110 年國立政治大學統計學系碩士班《統計方法》考古題與詳解

Question 1

Ten golf players hit each a drive with one of three driver designs, namely A, B, and C, in a randomly selected order, and the overall distance (in yard) was recorded. The following table shows the result by player.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

denotes the sum of observations
** denotes the sum of squared observations

Assume that overall distance follows a normal distribution. Answer the following questions.
(a) Construct a 95% confidence interval for the mean driving distance using design A. (6%)
(b) Test the equality of the population variances of driving distance between designs A and B. (7%)
(c) Test the equality of the population means of driving distance between designs A and B. (10%)
(d) If the total sum of squares is 10125.87, then test whether the mean driving distance is the same for all three designs. (12%)

Accepted Answer

此題為單因子變異數分析 (One-way ANOVA) 的應用，包含信賴區間估計、變異數相等性檢定、平均數相等性檢定以及整體變異數分析。 首先，我們需要從題目提供的表格中提取設計 A、B、C 的數據，並計算各組的平均數、變異數、樣本數等統計量。 數據整理： 樣本數 $n = 10$ (共 10 位球員) 設計 A： $\sum YA = 2878$ $\sum YA^2 = 830820$ $\bar{Y}A = \frac{2878}{10} = 287.8$ $sA^2 = \frac{830820 - \frac{2878^2}{10}}{10-1} = \frac{830820 - 828288.4}{9} = \frac{2531.6}{9} \approx 281.2889$ 設計 B： $\sum YB = 3116$ $\sum YB^2 = 972804$ $\bar{Y}B = \frac{3116}{10} = 311.6$ $sB^2 = \frac{972804 - \frac{3116^2}{10}}{10-1} = \frac{972804 - 970945.6}{9} = \frac{1858.4}{9} \approx 206.4889$ 設計 C： $\sum YC = 2974$ $\sum YC^2 = 887336$ $\bar{Y}C = \frac{2974}{10} = 297.4$ $sC^2 = \frac{887336 - \frac{2974^2}{10}}{10-1} = \frac{887336 - 884467.6}{9} = \frac{2868.4}{9} \approx 318.7111$ (a) 95% 信賴區間 for $\muA$ 信賴區間的公式為 $\bar{Y}A \pm t{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{sA}{\sqrt{n}}$。 在這裡，$\bar{Y}A = 287.8$， $sA^2 \approx 281.2889 \implies sA \approx \sqrt{281.2889} \approx 16.7717$。 信賴水準為 95%，$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。 自由度 $df = n-1 = 10-1 = 9$。 查 t 分配表，當 $df=9$ 且 $\alpha/2 = 0.025$ 時，$t{0.025, 9} \approx 2.262$。 信賴區間為： $287.8 \pm 2.262 \cdot \frac{16.7717}{\sqrt{10}} = 287.8 \pm 2.262 \cdot \frac{16.7717}{3.1623} = 287.8 \pm 2.262 \cd…

Question 2

We now consider a regression analysis for the same data in Question 1 by employing the overall distance as the response variable, and defining the following dummy variables as explanatory variables:
$D_{1}= \begin{cases} 1 & \text{if from Design B} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
$D_{2}= \begin{cases} 1 & \text{if from Design C} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

We then obtain the following regression result.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Please answer the following questions.
(a) Write a linear regression model with both $D_1$ and $D_2$ to fit these data, explain each of the terms, and state the assumptions necessary for the model. (8%)
(b) Find the coefficient estimates of constant, $D_1$ , and $D_2$ . (6%)
(c) Explain the meanings of the estimated coefficients for $D_1$ and $D_2$ . (6%)
(d) Show the significances of the coefficient estimates for $D_1$ and $D_2$ . (8%)
(e) What is the value of the adjusted $R^2$ ? (7%)

Accepted Answer

核心觀念

本題考查「類別變數的虛擬變數迴歸」。三種 Design 中，以未設虛擬變數的 Design A 作為基準組：

$D_1=1$ ：Design B；否則為 $0$
$D_2=1$ ：Design C；否則為 $0$

因此，截距代表 Design A 的平均 overall distance，而兩個虛擬變數係數代表相對於 Design A 的平均差異。

題圖僅提供三個係數估計值的標準誤，未提供第 1 題的原始資料或各 Design 的平均 overall distance，因此 (b)、(c)、(d) 的數值結果及 (e) 的調整後 $R^2$ 無法唯一計算。以下給出完整定案公式，代入第 1 題資料即可得到數值答案。

(a) 迴歸模型

令 $Y_i$ 表示第 $i$ 筆資料的 overall distance，模型為

Y_i=\beta_0+\beta_1D_{1i}+\beta_2D_{2i}+\varepsilon_i,\qquad i=1,\ldots,n.

各項意義如下：

$Y_i$ ：第 $i$ 筆觀察值的 overall distance。
$\beta_0$ ：Design A 的母體平均 overall distance。
$\beta_1$ ：Design B 與 Design A 的平均 overall distance 差異。
$\beta_2$ ：Design C 與 Design A 的平均 overall distance 差異。
$\varepsilon_i$ ：第 $i$ 筆資料的隨機誤差。

三種 Design 的條件平均數為

E(Y_i\mid A)=\beta_0,

E(Y_i\mid B)=\beta_0+\beta_1,

E(Y_i\mid C)=\beta_0+\beta_2.

模型的必要假設為：

線性關係： $Y_i$ 的條件平均數可由虛擬變數的線性組合表示。
誤差平均數為零： $E(\varepsilon_i\mid D_{1i},D_{2i})=0$ 。
誤差彼此獨立。
誤差具有相同變異數： $\operatorname{Var}(\varepsilon_i\mid D_{1i},D_{2i})=\sigma^2$ 。
進行小樣本 $t$ 檢定時，通常另假設 $\varepsilon_i$ 服從常態分配。
$D_1$ 與 $D_2$ 不可同時為 $1$ ，且不可出現完全共線性。

(b) 係數估計值

設三組樣本平均數分別為

$\bar Y_A$ ：Design A 的平均 overall distance；
$\bar Y_B$ ：Design B 的平均 overall distance；
$\bar Y_C$ ：Design C 的平均 overall distance。

最小平方法估計值為

\hat\beta_0=\bar Y_A,

\hat\beta_1=\bar Y_B-\bar Y_A,

\hat\beta_2=\bar Y_C-\bar Y_A.

因此估計的迴歸式為

\hat Y_i=\bar Y_A+(\bar Y_B-\bar Y_A)D_{1i} +(\bar Y_C-\bar Y_A)D_{2i}.

題圖提供的標準誤為

SE(\hat\beta_0)=5.185,

SE(\hat\beta_1)=7.333,

SE(\hat\beta_2)=7.333.

但圖中沒有顯示 $\bar Y_A$ 、 $\bar Y_B$ 、 $\bar Y_C$ 或迴歸係數估計值，因此無法寫出三個係數的確切數字。

(c) 係數意義

截距估計值：

\hat\beta_0=\bar Y_A

表示 Design A 的預測平均 overall distance。

$D_1$ 的係數：

\hat\beta_1=\bar Y_B-\bar Y_A

表示在其他條件相同下，Design B 的平均 overall distance 相較於 Design A 改變多少：

Question 3

A salesperson makes four calls per day. A sample of 100 days gives the following frequencies (days) of sales volumes.

Number of sales	Days
0	30
1	32
2	25
3	10
4	3

Assuming independent sales calls, the number of successful sales per day should follow a binomial distribution and the sales rate resulted from 30% of all sales calls. Use the goodness of fit test to determinant whether the assumption of a binomial probability distribution should be rejected.

Accepted Answer

核心觀念 本題考驗「卡方適合度檢定」： - 虛無假設 $H0$：每日成功銷售數 $X$ 服從二項分配 $B(4,0.3)$。 - 對立假設 $H1$：每日成功銷售數不服從 $B(4,0.3)$。 - 二項分配機率函數為 $$ P(X=x)=\binom{4}{x}(0.3)^x(0.7)^{4-x},\qquad x=0,1,2,3,4. $$ 卡方統計量為 $$ \chi^2=\sum \frac{(Oi-Ei)^2}{Ei}, $$ 其中 $Oi$ 為觀察次數，$Ei$ 為在 $H0$ 成立下的期望次數。 由於 $P(X=4)$ 所對應的期望次數小於 $5$，須將尾端類別合併，以符合卡方適合度檢定的使用條件。 --- 解題方法與計算 每天有 $4$ 次獨立銷售電話，且每次成功率為 $p=0.3$，因此 $$ X\sim B(4,0.3). $$ 各種銷售量的理論機率如下： $$ P(X=0)=\binom{4}{0}(0.3)^0(0.7)^4=0.2401, $$ $$ P(X=1)=\binom{4}{1}(0.3)^1(0.7)^3=0.4116, $$ $$ P(X=2)=\binom{4}{2}(0.3)^2(0.7)^2=0.2646, $$ $$ P(X=3)=\binom{4}{3}(0.3)^3(0.7)^1=0.0756, $$ $$ P(X=4)=\binom{4}{4}(0.3)^4=0.0081. $$ 樣本共有 $100$ 天，因此理論期望次數為： | 銷售量 | 觀察次數 $Oi$ | 理論機率 | 期望次數 $Ei$ | |---:|---:|---:|---:| | $0$ | $30$ | $0.2401$ | $24.01$ | | $1$ | $32$ | $0.4116$ | $41.16$ | | $2$ | $25$ | $0.2646$ | $26.46$ | | $3$ | $10$ | $0.0756$ | $7.56$ | | $4$ | $3$ | $0.0081$ | $0.81$ | 因為 $E4=0.81<5$，將 $X=3$ 與 $X=4$ 合併：

Question 4

One of the most common tests for the detection of prostate cancer is the prostate-specific antigen (PSA) test. Suppose there is a 0.23 probability that a male patient has prostate cancer before testing. The probability of a false-positive (tests that come back positive for cancer when no cancer is present) for the SPA test is 0.65, and the probability of a false-negative (no indication of cancer when cancer is actually present) is 0.18.

(a) What is the probability that the male patient has prostate cancer if the PSA test comes back negative? (5%)
(b) What is the probability that the male patient has prostate cancer if the PSA test comes back positive? (5%)

Accepted Answer

此題考驗貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用，計算在檢測結果已知的情況下，患有某疾病的機率。

定義事件：

$C$ : 病患患有前列腺癌 (Cancer)。
$C^c$ : 病患未患有前列腺癌 (No Cancer)。
$Pos$ : PSA 檢測結果為陽性 (Positive)。
$Neg$ : PSA 檢測結果為陰性 (Negative)。

已知資訊：

$P(C) = 0.23$ (患病前驗機率)
$P(C^c) = 1 - P(C) = 1 - 0.23 = 0.77$ (未患病前驗機率)
$P(Pos | C^c) = 0.65$ (假陽性率：無癌症但檢測為陽性)
$P(Neg | C) = 0.18$ (假陰性率：有癌症但檢測為陰性)

推導其他機率：

$P(Neg | C^c) = 1 - P(Pos | C^c) = 1 - 0.65 = 0.35$ (真陰性率：無癌症且檢測為陰性)
$P(Pos | C) = 1 - P(Neg | C) = 1 - 0.18 = 0.82$ (真陽性率：有癌症且檢測為陽性)

(a) 計算 $P(C | Neg)$
我們想知道，如果檢測結果為陰性，病患患有癌症的機率。
根據貝氏定理：
$P(C | Neg) = \frac{P(Neg | C) P(C)}{P(Neg)}$

Question 5

（此題掃描不清，無法辨識，請參考原卷）

Accepted Answer

題目資訊不足

110 年國立政治大學統計學系碩士班《統計方法》

第 1 題35 分

第 2 題35 分

核心觀念

(a) 迴歸模型

(b) 係數估計值

(c) 係數意義

第 3 題20 分

第 4 題10 分

第 5 題

題目資訊不足

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