110 年 國立政治大學統計學系碩士班《基礎數學》

核心觀念

本題考查：

• 可微分與連續的關係
• 反曲點的判定
• 經典極限 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$
• 對數函數的連續性與代入計算
• 複選題中逐項判斷敘述真偽

選項分析

（a）$f$ 在 $x_0$ 可微分，則 $f$ 在 $x_0$ 連續

正確。

若 $f$ 在 $x_0$ 可微分，則導數

$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

存在且為有限值。將差值改寫為

$$f(x)-f(x_0) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0).$$

當 $x\to x_0$ 時，

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\to f'(x_0), \qquad x-x_0\to 0,$$

因此

$$f(x)-f(x_0)\to 0,$$

也就是

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$

所以 $f$ 在 $x_0$ 連續。

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（b）$f(x)=x^3+3$ 有反曲點

正確。

先求二階導數：

$$f'(x)=3x^2, \qquad f''(x)=6x.$$

當 $x<0$ 時，

$$f''(x)<0,$$

函數圖形向下凹；當 $x>0$ 時，

$$f''(x)>0,$$

函數圖形向上凹。因此在 $x=0$ 的左右兩側，凹向發生改變，故 $x=0$ 為反曲點。

其座標為

$$f(0)=3,$$

所以反曲點是

$$(0,3).$$

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（c）

這題主要測試對泰勒級數（Taylor series）的展開、函數的導數以及函數的增減性判斷。

首先，我們來求函數 $f(x) = \ln(1+x)$ 在 $x=0$ 附近的泰勒級數。
我們知道幾個基本的泰勒級數展開：
$\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{u^n}{n}$，此級數在 $|u| < 1$ 時收斂。
令 $u = x$，則 $f(x) = \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$，此級數在 $|x| < 1$ 時收斂。

現在我們來檢視選項：
(a) 題目寫的是 $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$。這與我們推導出的級數一致。然而，選項 (a) 和 (b) 的內容是相同的。這表示題目本身存在重複或印刷錯誤。我們假設其中一個選項的內容是不同的。
（註：根據原卷掃描，選項 (a) 和 (b) 的內容是完全相同的。這很可能是題目印刷錯誤。我們將按照標準泰勒級數展開來判斷。）
根據我們推導的泰勒級數，$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$ for $|x| < 1$。
所以，如果選項 (a) 或 (b) 是這個內容，那它就是正確的。

(c) 判斷 $f'(x)$ 的增減性。
$f(x) = \ln(1+x)$
$f'(x) = \frac{1}{1+x}$。
我們要判斷 $f'(x)$ 在 $x > -1$ 的增減性。
$f'(x)$ 的增減性取決於其導數，即 $f''(x)$ 的符號。
$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1+x} \right) = \frac{d}{dx} (1+x)^{-1} = -1 (1+x)^{-2} = -\frac{1}{(1+x)^2}$。
對於 $x > -1$，$(1+x)^2 > 0$，所以 $f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2} < 0$。
因為 $f''(x) < 0$，所以 $f'(x)$ 是遞減的（decreasing），而不是遞增的（increasing）。
所以，選項 (c) 是錯誤的。

(d) 判斷 $f''(x)$ 的增減性。
我們已經計算出 $f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$。
我們要判斷 $f''(x)$ 在 $x > -1$ 的增減性。
$f''(x)$ 的增減性取決於其導數，即 $f'''(x)$ 的符號。
$f'''(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{(1+x)^2} \right) = \frac{d}{dx} (-(1+x)^{-2}) = -(-2)(1+x)^{-3} = \frac{2}{(1+x)^3}$。
對於 $x > -1$，$(1+x)^3 > 0$。
因此，$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3} > 0$。
因為 $f'''(x) > 0$，所以 $f''(x)$ 是遞增的（increasing）。
所以，選項 (d) 是正確的。

這題主要測試對幾何級數（Geometric series）的泰勒展開以及瑕積分（improper integral）的計算。

首先，我們來考慮函數 $f(x) = \frac{1}{1+x}$ 在 $x=0$ 附近的泰勒級數。
我們知道一個重要的幾何級數公式：
$\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + u^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$，此級數在 $|u| < 1$ 時收斂。
令 $u = -x$，則 $\frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}$。
所以，$\frac{1}{1+x} = 1 + (-x) + (-x)^2 + (-x)^3 + \dots = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$。
此級數在 $|-x| < 1$，即 $|x| < 1$ 時收斂。

現在我們來檢視選項：
(a) 題目說泰勒級數是 $1 + x + x^2 + x^3 + \dots$。這對應於 $\frac{1}{1-x}$ 的展開，而不是 $\frac{1}{1+x}$。所以選項 (a) 是錯誤的。

(b) 題目說泰勒級數是 $1 - x + x^2 - x^3 + \dots$。這與我們推導出的 $\frac{1}{1+x}$ 的泰勒級數展開式一致，且收斂域為 $|x| < 1$。所以選項 (b) 是正確的。

接下來，我們來計算瑕積分 $\int_0^\infty f(x) dx = \int_0^\infty \frac{1}{1+x} dx$。
這個積分是瑕積分，因為積分區間是無窮的。
我們計算定積分：
$\int_0^M \frac{1}{1+x} dx = [\ln|1+x|]_0^M = \ln(1+M) - \ln(1+0) = \ln(1+M) - \ln(1) = \ln(1+M)$。
現在計算極限：

核心觀念

本題考查以下三類級數與不等式：

1. 調和級數部分和與自然對數的比較
   $H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

2. 積分判別法

   對正項、連續、遞減函數 $f(x)$，級數 $\sum f(n)$ 可與廣義積分 $\int f(x)\,dx$ 比較收斂性。

3. $p$-級數與交錯級數

   • $p$-級數 $\sum \frac{1}{n^p}$ 在 $p>1$ 時收斂，在 $p\leq 1$ 時發散。
   • 交錯級數若各項絕對值遞減且趨近於 $0$，則依Leibniz判別法收斂。

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解題方法

對前兩個選項，利用函數

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

在 $x>0$ 上為正且遞減，因此可用積分與矩形面積比較。

對 $p$-級數，直接比較指數 $p$ 與 $1$。

對交錯級數，檢查項目絕對值是否遞減並趨近於 $0$。

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選項分析

（a）$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}<\ln n$

由於 $\frac{1}{x}$ 為遞減函數，對每個 $k=2,3,\dots,n$，有

$$\frac{1}{k}<\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}\,dx.$$

將上述不等式相加：

$$\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k} < \sum_{k=2}^{n}\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}\,dx = \int_{1}^{n}\frac{1}{x}\,dx = \ln n.$$

因此選項（a）正確。

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（b）$\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}>\ln n$

對 $k=1,2,\dots,n$，由 $\frac{1}{x}$ 遞減可得

$$\frac{1}{k}>\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}\,dx.$$

相加後得到

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} > \int_{1}^{n+1}\frac{1}{x}\,dx = \ln(n+1).$$

又因為 $\ln(n+1)>\ln n$，所以

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}>\ln n.$$

因此選項（b）正確。

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這題主要測試多元函數的梯度（gradient）、Hessian 矩陣的計算，以及條件極值（constrained optimization）的問題。

函數為 $f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$。
變數向量為 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^T$。

(a) 計算梯度（gradient）。
梯度是一個向量，其分量是函數對每個變數的偏導數。
$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3} \right)^T$
$\frac{\partial f}{\partial x_1} = \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) = 2x_1$
$\frac{\partial f}{\partial x_2} = \frac{\partial}{\partial x_2} (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) = 2x_2$
$\frac{\partial f}{\partial x_3} = \frac{\partial}{\partial x_3} (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) = 2x_3$
所以，梯度為 $\nabla f = (2x_1, 2x_2, 2x_3)^T$。
選項 (a) 是正確的。

(b) 計算 Hessian 矩陣。
Hessian 矩陣是一個方陣，其元素是函數對變數的二階偏導數。
$H_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$。
我們已經計算了一階偏導數：$\frac{\partial f}{\partial x_1} = 2x_1$, $\frac{\partial f}{\partial x_2} = 2x_2$, $\frac{\partial f}{\partial x_3} = 2x_3$。
現在計算二階偏導數：
$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} = \frac{\partial}{\partial x_1} (2x_1) = 2$
$\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} = \frac{\partial}{\partial x_2} (2x_2) = 2$
$\frac{\partial^2 f}{\partial x_3^2} = \frac{\partial}{\partial x_3} (2x_3) = 2$
對於混合偏導數：
$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} = \frac{\partial}{\partial x_1} (2x_2) = 0$
$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_3} = \frac{\partial}{\partial x_1} (2x_3) = 0$
$\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} = \frac{\partial}{\partial x_2} (2x_1) = 0$
$\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_3} = \frac{\partial}{\partial x_2} (2x_3) = 0$
$\frac{\partial^2 f}{\partial x_3 \partial x_1} = \frac{\partial}{\partial x_3} (2x_1) = 0$
$\frac{\partial^2 f}{\partial x_3 \partial x_2} = \frac{\partial}{\partial x_3} (2x_2) = 0$
Hessian 矩陣為：
$H = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
選項 (b) 說 Hessian 是 $(2, 2, 2)^T$，這是一個向量，而不是一個矩陣。Hessian 矩陣的對角線元素是 2，但它必須是個 $3 \times 3$ 的矩陣。所以選項 (b) 是錯誤的。

(c) 和 (d) 求解條件極值問題。
目標函數 $f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$。

這題主要測試對極限、函數值以及最大值的判斷，特別是涉及 $\frac{\sin x}{x}$ 這個重要極限。

函數為 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$。

(a) 和 (b) 測試 $\lim_{x\to 0} f(x)$。
當 $x \to 0$ 時，$\sin x \to 0$ 且 $x \to 0$，這是 $\frac{0}{0}$ 的不定型。
我們知道一個重要的極限：$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
這個極限可以通過泰勒級數或羅必達法則證明。
使用羅必達法則：
$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin x)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$。
所以，$\lim_{x\to 0} f(x) = 1$。
選項 (a) 說極限是 0，是錯誤的。
選項 (b) 說極限是 1，是正確的。

(c) 測試 $\lim_{x\to \pi} f(x)$。
當 $x \to \pi$ 時，$\sin x \to \sin \pi = 0$。
同時，$x \to \pi$。
所以，$\lim_{x\to \pi} f(x) = \lim_{x\to \pi} \frac{\sin x}{x} = \frac{0}{\pi} = 0$。
選項 (c) 說極限是 0，是正確的。

(d) 測試 $\max_{x\neq 0} f(x) = 1$。
我們知道 $\lim_{x\to 0} f(x) = 1$。
如果我們定義 $f(0) = 1$，那麼函數在 $x=0$ 處的值就是 1。
我們需要判斷 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在 $x \neq 0$ 的情況下，其值是否會大於 1。
考慮函數 $g(x) = \sin x$ 和 $h(x) = x$。
在 $x > 0$ 且 $x$ 接近 0 的時候，$\sin x < x$。
這是因為 $\sin x$ 的泰勒級數為 $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$。
對於小於 0 的 $x$，令 $x = -y$，其中 $y > 0$。
$f(-y) = \frac{\sin(-y)}{-y} = \frac{-\sin y}{-y} = \frac{\sin y}{y}$。
所以 $f(x)$ 是偶函數。我們只需要考慮 $x > 0$ 的情況。
我們知道 $\frac{\sin x}{x} < 1$ 對於所有 $x \neq 0$。
證明：考慮函數 $k(x) = x - \sin x$。
$k'(x) = 1 - \cos x$。
對於 $x \neq 0$，$1 - \cos x > 0$ （當 $x$ 不是 $2m\pi$ 的倍數時）。
所以 $k(x)$ 是遞增函數。
$k(0) = 0 - \sin 0 = 0$。

這題主要測試對積分函數（integral function）的極限以及瑕積分的性質。
函數 $F(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t} dt$。
我們知道 $\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$。
因此，被積函數 $f(t) = \frac{\sin t}{t}$ 在 $t=0$ 處可以定義為 1，使得它在 $t=0$ 處連續。
這意味著 $F(x)$ 是一個在整個實數域上都連續的函數。

(a) 和 (b) 測試 $\lim_{x\to 0} F(x)$。
由於 $F(x)$ 是連續函數，當 $x \to 0$ 時，
$\lim_{x\to 0} F(x) = F(0) = \int_0^0 \frac{\sin t}{t} dt = 0$。
所以，選項 (a) 是正確的。
選項 (b) 是錯誤的。

(c) 和 (d) 測試 $\lim_{x\to \infty} F(x)$。
這需要計算瑕積分 $\int_0^\infty \frac{\sin t}{t} dt$。
這個積分稱為 Dirichlet integral，其值為 $\frac{\pi}{2}$。
證明這個積分需要用到傅立葉變換或複分析的方法，在基礎數學考試中，通常會假設考生已知這個結果，或者可以從選項推測。
$\int_0^\infty \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2}$。
因此，$\lim_{x\to \infty} F(x) = \int_0^\infty \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2}$。

核心觀念

本題考查矩陣的秩、零度、轉置矩陣，以及「奇異矩陣」的定義。

對於 $m\times n$ 矩陣 $A$：

1. 秩－零度定理

   $$\operatorname{nullity}(A)+\operatorname{rank}(A)=n.$$

   其中 $n$ 是矩陣的欄數。

2. 轉置矩陣的秩

   $$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T).$$

3. 秩的上界

   $$\operatorname{rank}(A)\leq \min(m,n).$$

4. 奇異矩陣（singular matrix）

   嚴格定義下，奇異矩陣必須是方陣，且不可逆。若 $A$ 是 $n\times n$ 方陣，則

   $$A\text{ singular}\iff \operatorname{rank}(A)<n.$$

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解題方法

本題是判斷題，直接逐一套用上述定理與定義即可。尤其要注意：

• $m\times n$ 矩陣的欄數是 $n$，因此秩－零度定理右側為 $n$。
• 任意矩陣的秩不會超過列數與欄數中較小者。
• 「singular」通常只對方陣使用，非方陣不能直接稱為奇異矩陣。

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選項分析

(a) $\operatorname{nullity}(A)+\operatorname{rank}(A)=n$

由秩－零度定理，對任意 $m\times n$ 矩陣 $A$，皆有

$$\operatorname{nullity}(A)+\operatorname{rank}(A)=n.$$

因此此敘述正確。

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(b) $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T)$

矩陣的列秩等於欄秩，而轉置矩陣會交換原矩陣的列與欄，因此轉置不會改變矩陣的秩：

$$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T).$$

因此此敘述正確。

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(c) 若 $m=7$、$n=5$，則 $\operatorname{rank}(A)$ 至多為 $5$

這題主要測試矩陣跡（trace）的性質。跡的定義是方陣對角線元素的總和。

(a) $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$。
這是跡的一個重要性質。證明如下：
設 $A$ 和 $B$ 是 $n \times n$ 矩陣。
$(AB)_{ii} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{ki}$。
$\operatorname{tr}(AB) = \sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{ki}$。
$(BA)_{kk} = \sum_{i=1}^n b_{ki} a_{ik}$。
$\operatorname{tr}(BA) = \sum_{k=1}^n (BA)_{kk} = \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n b_{ki} a_{ik}$。
由於求和的順序可以交換，且 $a_{ik} b_{ki} = b_{ki} a_{ik}$，所以 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$。
選項 (a) 是正確的。

(b) $\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(CBA)$。
這個性質是跡的循環性（cyclic property）。
$\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(A(BC)) = \operatorname{tr}((BC)A)$ （根據性質 (a)）。
$\operatorname{tr}((BC)A) = \operatorname{tr}(BCA)$。
再應用性質 (a) 於 $BCA$：
$\operatorname{tr}(BCA) = \operatorname{tr}(C(BA)) = \operatorname{tr}(CBA)$。
所以 $\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA) = \operatorname{tr}(CBA)$。
選項 (b) 是正確的。

(c) $\operatorname{tr}(A^T B) = \operatorname{tr}(AB^T)$。
我們知道 $\operatorname{tr}(X) = \operatorname{tr}(X^T)$。
令 $X = A^T B$。則 $X^T = (A^T B)^T = B^T (A^T)^T = B^T A$。
所以 $\operatorname{tr}(A^T B) = \operatorname{tr}((A^T B)^T) = \operatorname{tr}(B^T A)$。
根據性質 (a)，$\operatorname{tr}(B^T A) = \operatorname{tr}(A B^T)$。
因此，$\operatorname{tr}(A^T B) = \operatorname{tr}(AB^T)$。
選項 (c) 是正確的。

(d) $\operatorname{tr}(A+B) = (\operatorname{tr} B)(\operatorname{tr} A)$。

核心觀念

本題考查矩陣微分與矩陣梯度的定義：

$$\nabla_A f(A)=\left[\frac{\partial f}{\partial a_{ij}}\right].$$

若將微分寫成

$$df=\operatorname{tr}\left((\nabla_A f)^T dA\right),$$

即可由比較係數得到梯度。

另外，跡函數具有循環性：

$$\operatorname{tr}(XYZ)=\operatorname{tr}(ZXY)=\operatorname{tr}(YZX).$$

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解題方法

一、計算 $\operatorname{tr}(AB)$ 對 $A$ 的梯度

將跡函數展開：

$$\operatorname{tr}(AB) =\sum_{i=1}^n (AB)_{ii} =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}.$$

因此，

$$\frac{\partial \operatorname{tr}(AB)}{\partial a_{ij}}=b_{ji}.$$

所以梯度的第 $(i,j)$ 個元素為 $b_{ji}$，即

$$\nabla_A\operatorname{tr}(AB)=B^T.$$

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二、計算 $\operatorname{tr}(AA^TC)$ 對 $A$ 的梯度

先利用跡函數循環性：

$$f(A)=\operatorname{tr}(AA^TC) =\operatorname{tr}(A^TCA).$$

對 $A$ 微分：

$$df =\operatorname{tr}(dA^TCA)+\operatorname{tr}(A^TCdA).$$

第一項：

$$\operatorname{tr}(dA^TCA) =\operatorname{tr}\left((CA)^T dA\right).$$

第二項：

$$\operatorname{tr}(A^TCdA) =\operatorname{tr}\left(A^TCdA\right).$$

依照

$$df=\operatorname{tr}\left((\nabla_A f)^T dA\right),$$

可得

$$(\nabla_A f)^T=(CA)^T+A^TC =A^TC+C^TA.$$

因此

$$\nabla_A f =CA+C^TA.$$

故

這題主要測試矩陣的奇異性、線性變換、伴隨矩陣以及向量空間維度的基本概念。

(a) 矩陣 $A$ 是奇異的（singular）當且僅當 $\det(A) = 0$。
如果 $A$ 是奇異的，那麼 $Ax = b$ 可能有無限多解（當 $b$ 在 $A$ 的像空間中時）或者無解（當 $b$ 不在 $A$ 的像空間中時）。
也就是說，對於「每一個」$n \times 1$ 的向量 $b$，$Ax=b$ 都有無限多解，這是不正確的。
例如，如果 $A$ 是奇異的，那麼 $Ax=0$ 至少有一個非零解（無限多解）。
但是，如果 $b \neq 0$ 且 $b$ 不在 $A$ 的像空間中，則 $Ax=b$ 會無解。
所以，「對於每一個 $n \times 1$ 的向量 $b$，$Ax=b$ 都有無限多解」這個條件，等價於 $A$ 是可逆的（rank$(A)=n$），並且 $A$ 的像空間是整個 $\mathbb{R}^n$。
因此，選項 (a) 是錯誤的。

(b) 矩陣變換（matrix transformation）是由矩陣定義的函數，形如 $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$，其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩陣，$\mathbf{x}$ 是 $n \times 1$ 向量。
矩陣變換是線性的，因為對於任意向量 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 和標量 $c$，有：
$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v} = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$ （向量加法保持）。
$T(c\mathbf{u}) = A(c\mathbf{u}) = c(A\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$ （純量乘法保持）。
因此，矩陣變換滿足線性變換的兩個基本性質。
所以，選項 (b) 是正確的。

(c) 如果 $A$ 是一個 $n \times n$ 的非奇異（nonsingular）上三角矩陣，那麼 $A$ 的伴隨矩陣（adjoint matrix，通常指 adjugate matrix）是下三角矩陣。
伴隨矩陣 $\operatorname{adj}(A)$ 的定義是，其 $(i, j)$ 元是 $A$ 的 $(j, i)$ 元的代數餘子式（cofactor）。
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$。
由於 $A$ 是非奇異的，所以對角線元素 $a_{ii} \neq 0$。
代數餘子式 $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是刪去 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列後得到的子行列式的行列式。
伴隨矩陣 $\operatorname{adj}(A)$ 的 $(i, j)$ 元是 $C_{ji}$。
考慮 $\operatorname{adj}(A)$ 的 $(i, j)$ 元，即 $C_{ji} = (-1)^{j+i} M_{ji}$。
$M_{ji}$ 是刪去 $A$ 的第 $j$ 行和第 $i$ 列後的行列式。
如果 $j > i$，則刪去第 $j$ 行（其中 $a_{j1}, \dots, a_{jj-1}$ 都是 0）和第 $i$ 列（可能包含非零元素）。
當 $j > i$ 時，考慮 $M_{ji}$。如果我們刪去第 $j$ 行和第 $i$ 列。
由於 $A$ 是上三角矩陣，其 $(k, l)$ 元為 0 當 $k > l$。
如果 $j > i$，那麼刪去第 $j$ 行和第 $i$ 列後，新的矩陣的 $(k, l)$ 元。
如果 $k > l$ 且 $k \neq j, l \neq i$，則原元素為 0。
考慮 $M_{ji}$。這是一個 $(n-1) \times (n-1)$ 的行列式。
如果 $A$ 是上三角矩陣，那麼 $A$ 的任何子矩陣（通過刪除行和列得到）的對角線元素。
如果 $j > i$，我們刪去第 $j$ 行和第 $i$ 列。