114 年 國立政治大學統計學系碩士班《基礎數學（含微積分、線性代數）》

本題考查函數連續性的 $\epsilon-\delta$ 定義。題目要求證明函數 $f(x) = \sqrt{x}$ 在任意非零點 $c$ 處連續。

核心觀念：
函數 $f(x)$ 在點 $c$ 處連續的 $\epsilon-\delta$ 定義為：對於任意 $\epsilon > 0$，存在一個 $\delta > 0$，使得當 $|x-c| < \delta$ 時，有 $|f(x)-f(c)| < \epsilon$。

解題步驟：
我們要證明對於任意 $c > 0$（因為 $\sqrt{x}$ 的定義域是 $x \ge 0$，且題目要求 $c \neq 0$），函數 $f(x) = \sqrt{x}$ 在點 $c$ 處連續。

令 $c > 0$ 為任意一點。
對於任意給定的 $\epsilon > 0$，我們需要找到一個 $\delta > 0$，使得當 $|x-c| < \delta$ 且 $x$ 在定義域內時，有 $|\sqrt{x} - \sqrt{c}| < \epsilon$。

考慮 $|\sqrt{x} - \sqrt{c}|$。我們可以利用共軛項來化簡它：
$|\sqrt{x} - \sqrt{c}| = \left| \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{c})(\sqrt{x} + \sqrt{c})}{\sqrt{x} + \sqrt{c}} \right| = \frac{|x-c|}{\sqrt{x} + \sqrt{c}}$

現在，我們需要控制這個表達式的大小。我們知道 $|x-c| < \delta$。
對於分母 $\sqrt{x} + \sqrt{c}$，由於 $c > 0$，我們可以假設 $x$ 離 $c$ 夠近，例如令 $\delta \le c/2$。這樣的話，當 $|x-c| < \delta$ 時，$x > c - \delta > c - c/2 = c/2 > 0$。
因此，$\sqrt{x} > \sqrt{c/2}$。
所以，$\sqrt{x} + \sqrt{c} > \sqrt{c/2} + \sqrt{c} = \sqrt{c} (\frac{1}{\sqrt{2}} + 1) > \sqrt{c}$。
更保守地，我們可以這樣想：如果 $|x-c| < \delta$，我們希望 $\sqrt{x}+\sqrt{c}$ 是一個較大的正數。
由於 $c>0$，$\sqrt{c} > 0$。如果我們限制 $\delta \le c$，那麼 $x > c - \delta \ge 0$。
因此，$\sqrt{x} + \sqrt{c} \ge \sqrt{c}$。

所以，我們可以得到：
$|\sqrt{x} - \sqrt{c}| = \frac{|x-c|}{\sqrt{x} + \sqrt{c}} < \frac{|x-c|}{\sqrt{c}}$

我們希望這個值小於 $\epsilon$。
$\frac{|x-c|}{\sqrt{c}} < \epsilon \implies |x-c| < \epsilon \sqrt{c}$。

因此，如果我們選擇 $\delta = \epsilon \sqrt{c}$，那麼當 $|x-c| < \delta$ 時，就有 $|\sqrt{x} - \sqrt{c}| < \epsilon$。
不過，我們在分母的估計中做了一些假設（例如 $\delta \le c$）。

第 2 題 (a)

核心觀念

本題考查數列極限與級數求和，主要可透過以下兩種核心工具求解：

1. 平方和公式（Sum of Squares Formula）：
   $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
2. 黎曼和（Riemann Sum）與定積分的定義：
   $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) \, dx$

解題方法

方法一：利用有限項級數求和公式（代數法）

將平方和公式代入原極限式中：
$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}$

將其代入原式：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \left( \sum_{i=1}^{n} i^2 \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3}$

分子與分母同除以 $n^3$：
$\lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6} = \frac{2 + 0 + 0}{6} = \frac{1}{3}$

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方法二：化為黎曼和定積分（微積分法）

重組極限式，提取 $\frac{1}{n}$ 作為分割寬度 $\Delta x$：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^2$

依據黎曼和與定積分之對應關係（取分割點 $x_i = \frac{i}{n}$，函數 $f(x) = x^2$，區間 $[0, 1]$）：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^2 = \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}$

解題技巧

• 面對連續整數冪次和的極限問題 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{p+1}} \sum_{i=1}^{n} i^p$，其極限值必為 $\int_0^1 x^p \, dx = \frac{1}{p+1}$。本題 $p=2$，可秒答 $\frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$，適合在考試中快速驗算。

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第 2 題 (b)

核心觀念

本題考查函數極限與不定型的處理：

1. 羅必達法則（L'Hôpital's Rule）：適用於 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定型。

核心觀念

本題利用三角函數的半角公式，將含根號的遞迴式化為角度的線性遞迴。另須注意正切函數的週期性：

$$\tan(x+k\pi)=\tan x,\qquad k\in\mathbb Z.$$

題目只限制 $b_0\in(0,\pi/2)$，並未限制其餘 $b_n$ 的範圍，因此答案必須保留整數倍 $\pi$ 的自由度。

解題方法

一、引入第一象限的代表角

由 $a_0>0$ 及遞迴式可知，每個 $a_n$ 都是正數。定義

$$\theta_n=\arctan a_n\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).$$

因為 $a_0=\tan b_0$ 且 $b_0\in(0,\pi/2)$，所以 $\theta_0=b_0$。

在此範圍內 $\cos\theta_n>0$，故

$$\sqrt{1+a_n^2} =\sqrt{1+\tan^2\theta_n} =\frac{1}{\cos\theta_n}.$$

代入原遞迴式，利用半角公式可得

$$\begin{aligned} a_{n+1} &=\frac{1+\dfrac{1}{\cos\theta_n}}{\tan\theta_n}\\ &=\frac{1+\cos\theta_n}{\sin\theta_n}\\ &=\frac{2\cos^2(\theta_n/2)} {2\sin(\theta_n/2)\cos(\theta_n/2)}\\ &=\cot\frac{\theta_n}{2}\\ &=\tan\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta_n}{2}\right). \end{aligned}$$

又因

$$\frac{\pi}{2}-\frac{\theta_n}{2} \in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right),$$

這個角仍在反正切的主值範圍內，因此

$$\theta_{n+1}=\frac{\pi}{2}-\frac12\theta_n.$$

本題考查高斯積分 (Gaussian integral) 的計算，這是一個非常經典且重要的積分。

核心觀念：

1. 高斯積分：$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$。
2. 二重積分的極座標轉換。

解題步驟：
我們要計算的積分是 $I = \int_0^\infty e^{-z^2} dz$。
注意到被積函數 $e^{-z^2}$ 是偶函數，所以 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2} dz = 2 \int_0^\infty e^{-z^2} dz = 2I$。
因此，如果我們能計算出 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2} dz$，就能得到 $I$ 的值。

題目提供的 Hint 是關鍵：
$\left(\int_0^\infty e^{-z^2} dz\right)^2 = \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-(x^2+y^2)} dx dy$
令 $I = \int_0^\infty e^{-z^2} dz$。則 Hint 告訴我們 $I^2 = \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-(x^2+y^2)} dx dy$。
右邊的二重積分是在第一象限進行積分。被積函數 $e^{-(x^2+y^2)}$ 具有徑向對稱性，這提示我們使用極座標轉換。

在極座標系中，轉換關係為 $x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，其中 $r \ge 0$ 且 $\theta \in [0, 2\pi)$。
$x^2+y^2 = r^2$。
微分面積元素 $dx dy$ 在極座標下變為 $r dr d\theta$。

積分區域是第一象限。在極座標下，第一象限對應於 $r \ge 0$ 且 $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。
所以，二重積分變為：
$I^2 = \int_0^{\pi/2} \int_0^\infty e^{-r^2} (r dr d\theta)$

本題考查線性代數中的基本概念，包含線性方程組、矩陣、向量空間及其基底。

核心觀念：

1. 線性方程組的解空間。
2. 可逆矩陣的性質。
3. 向量空間的基底定義。
4. 行空間與列空間。

解題步驟：
我們逐一判斷每個敘述的真偽。

(a) If all the equations in one system of linear equations are linear combinations of the equations in another system of linear equations, then the solution sets of the two systems are necessarily identical.

考慮兩個線性方程組 $Ax=b$ 和 $Cx=d$。
若 $A$ 的每一列向量都是 $C$ 的列向量的線性組合，則 $A=CQ$ 對於某個矩陣 $Q$。
若 $C$ 的每一列向量都是 $A$ 的列向量的線性組合，則 $C=AP$ 對於某個矩陣 $P$。
這題說的是「方程組的方程」是線性組合。假設第一個系統是 $A_1 x = b_1$（$m_1$ 個方程，$n$ 個變數），第二個系統是 $A_2 x = b_2$（$m_2$ 個方程，$n$ 個變數）。
如果第一個系統的每個方程都是第二個系統方程的線性組合，這意味著 $A_1$ 的每一列向量都是 $A_2$ 的列向量的線性組合，且 $b_1$ 是 $b_2$ 的對應線性組合。
更精確地說，如果 $A_1 = M A_2$ 且 $b_1 = M b_2$ 對於某個矩陣 $M$，則第一個系統的解空間是第二個系統解空間的子集。
反之，如果第二個系統的每個方程都是第一個系統方程的線性組合，則 $A_2 = N A_1$ 且 $b_2 = N b_1$，則第二個系統的解空間是第一個系統解空間的子集。
只有當兩個系統的方程集合是等價的（即可以互相由對方組合而成），解空間才會相同。
題目說「all the equations in one system ... are linear combinations of the equations in another system」。這通常意味著兩個系統的方程組張成的空間是包含關係。
例如：
系統 1: $x+y=1$
系統 2: $2x+2y=2$, $3x+3y=3$
系統 2 的兩個方程都是系統 1 的方程的倍數，但系統 1 的方程不是系統 2 的線性組合（除非係數為 0）。
然而，如果我們考慮方程組所定義的超平面（或者說，由方程組的係數矩陣的行向量張成的空間），如果一個系統的方程是另一個系統方程的線性組合，則前者的方程組張成的空間是後者方程組張成的空間的子空間。
如果兩個方程組的轉換矩陣是可逆的，那麼解空間才會相同。
但題目沒有提到可逆性。
考慮：
系統 1: $x=0$ (一個方程)
系統 2: $2x=0$ (一個方程)
系統 2 的方程是系統 1 的 $2$ 倍，反之亦然。解集相同。
考慮：
系統 1: $x+y=1$
系統 2: $2x+2y=2$
系統 2 的方程是系統 1 的 $2$ 倍，反之亦然。解集相同。
考慮：
系統 1: $x+y=1$
系統 2: $x+y=1$, $2x+2y=2$
系統 2 的方程組包含系統 1 的方程，並且系統 2 的第二個方程是第一個方程的兩倍。兩個系統的解集都是 $y=1-x$。
考慮：
系統 1: $x+y=1$
系統 2: $x+y=1$, $x-y=0$
系統 2 的方程不是系統 1 的線性組合。
現在反過來：
系統 1: $x+y=1$, $x-y=0$
系統 2: $x+y=1$
系統 2 的方程是系統 1 的方程的線性組合（例如，$1 \times (x+y=1) + 0 \times (x-y=0)$）。
但是，系統 1 的解是 $x=1/2, y=1/2$。
系統 2 的解是 $y=1-x$，有無窮多個解。

本題考查矩陣的性質，特別是與跡 (trace) 和轉置 (transpose) 相關的性質，以及矩陣為零矩陣的條件。

核心觀念：

1. 矩陣的跡 (trace)：方陣對角線元素之和。
2. 矩陣的轉置 (transpose)：行與列互換。
3. 矩陣乘法。
4. 向量的內積 (dot product)。
5. 矩陣為零矩陣的判斷。

解題步驟：
我們要證明 $A = 0$ (零矩陣) 當且僅當 $\text{tr}(A^T A) = 0$。這是一個「如果且只有如果」(if and only if) 的證明，需要證明兩個方向：

方向一：證明 $A = 0 \implies \text{tr}(A^T A) = 0$

假設 $A$ 是 $n \times n$ 的零矩陣，即 $A = 0$。
這意味著矩陣 $A$ 的所有元素 $A_{i,j}$ 都等於 0。
則 $A^T$ 也是零矩陣，因為轉置零矩陣仍然是零矩陣。
$A^T = 0$。
那麼，矩陣乘積 $A^T A = 0 \cdot 0 = 0$。
$A^T A$ 也是零矩陣。
零矩陣的跡是其對角線元素之和。由於所有元素都是 0，對角線元素也都是 0。
所以，$\text{tr}(A^T A) = \text{tr}(0) = 0$。
這個方向的證明是直接且顯然的。

方向二：證明 $\text{tr}(A^T A) = 0 \implies A = 0$

假設 $\text{tr}(A^T A) = 0$。我們需要證明 $A$ 是零矩陣。
設 $C = A^T A$。則 $\text{tr}(C) = 0$。
我們知道，對於任意矩陣 $M$，其跡 $\text{tr}(M)$ 等於 0 當且僅當 $M$ 的所有對角線元素都為 0，並且 $M$ 是半正定矩陣 (positive semidefinite matrix)。
更直接地，我們可以用矩陣元素的定義來計算 $\text{tr}(A^T A)$。

設 $A$ 的元素為 $A_{i,j}$。
設 $A^T$ 的元素為 $(A^T)_{i,j} = A_{j,i}$。
矩陣 $C = A^T A$ 的元素 $C_{i,j}$ 由矩陣乘法規則給出：
$C_{i,j} = \sum_{k=1}^n (A^T)_{i,k} A_{k,j} = \sum_{k=1}^n A_{k,i} A_{k,j}$
我們感興趣的是對角線元素 $C_{i,i}$。
$C_{i,i} = \sum_{k=1}^n A_{k,i} A_{k,i} = \sum_{k=1}^n (A_{k,i})^2$
現在，我們計算跡：
$\text{tr}(A^T A) = \sum_{i=1}^n C_{i,i} = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{k=1}^n (A_{k,i})^2 \right)$
這個表達式是矩陣 $A$ 中所有元素的平方和。
$\text{tr}(A^T A) = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n (A_{k,i})^2$
注意，這裡的上下標 $i$ 和 $k$ 只是代表矩陣的行和列索引，它們涵蓋了矩陣 $A$ 的所有元素。我們可以將其理解為對矩陣 $A$ 的所有元素的平方求和。

核心觀念

本題考查矩陣的零空間與值域，以及如何把「子空間包含關係」轉成矩陣乘積為零。若 $A^T x=0$，依定義便有 $x\in\operatorname{Null}(A^T)$。

解題方法

由題設

$$\operatorname{Null}(A^T)=\operatorname{Range}(A-I),$$

對任意向量 $x$，都有 $(A-I)x\in\operatorname{Range}(A-I)=\operatorname{Null}(A^T)$。因此

$$A^T(A-I)x=0.$$

此式對所有 $x$ 都成立，所以

$$A^T(A-I)=0,$$

核心觀念

矩陣滿足 $A^2=A$ 時，$A$ 是冪等矩陣。題目另給 $A^T=A$，所以 $A$ 也是對稱矩陣，因此 $A^T x=Ax$。

本題要證明兩個子空間相同：$\operatorname{Null}(A^T)$ 中的向量都屬於 $\operatorname{Range}(A-I)$，反過來也成立。證明時分別從兩個集合的定義出發，找出能表示向量的形式。

解題方法

(a) 證明 $\operatorname{Null}(A^T)\subseteq\operatorname{Range}(A-I)$

設 $x\in\operatorname{Null}(A^T)$，則 $A^Tx=0$。由 $A^T=A$ 可得 $Ax=0$。取向量 $-x$ 作為 $A-I$ 的輸入，則

$$(A-I)(-x)=-Ax+x=x.$$

因此 $x$ 可寫成 $(A-I)$ 作用於某個向量的結果，故

$$x\in\operatorname{Range}(A-I).$$