113 年 國立政治大學統計學系碩士班《基礎數學（含微積分、線性代數）》

本題主要在檢驗學生對於極限定義、可微分定義的掌握，以及能否運用極限定義來證明可微分蘊含連續。

核心觀念：

1. 極限定義 ($\epsilon-\delta$ definition of a limit)
2. 函數在某點可微分的定義
3. 可微分函數蘊含連續的證明

詳解：
(a) 極限定義 ($\epsilon-\delta$ definition of a limit)
若 $\lim_{x\to a} f(x) = L$，則對於任意給定的 $\epsilon > 0$，都存在一個 $\delta > 0$，使得當 $0 < |x-a| < \delta$ 時， $|f(x) - L| < \epsilon$ 恆成立。

(b) 函數 $f(x)$ 在 $x = a$ 可微分的定義
若 $\lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ 存在，則稱函數 $f(x)$ 在 $x = a$ 可微分。此極限值記為 $f'(a)$。

(c) 證明 Theorem 1：若 $f(x)$ 在 $x = a$ 可微分，則 $f(x)$ 在 $x = a$ 連續。
證明：
由於 $f(x)$ 在 $x = a$ 可微分，根據定義，極限 $\lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ 存在，且等於 $f'(a)$。
我們需要證明 $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$，這等價於證明 $\lim_{x\to a} (f(x) - f(a)) = 0$。

本題考驗學生對積分技巧的掌握，包含分部積分法與三角函數積分。

核心觀念：

1. 分部積分法 (Integration by parts)：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
2. 三角函數積分技巧：降冪公式

詳解：
(a) $\int \arctan(x) dx$
此積分可使用分部積分法來求解。令 $u = \arctan(x)$ 且 $dv = dx$。
則 $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ 且 $v = x$。
套用分部積分公式：
$\int \arctan(x) dx = x \arctan(x) - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$
現在我們需要計算積分 $\int \frac{x}{1+x^2} dx$。
令 $w = 1+x^2$，則 $dw = 2x dx$，即 $x dx = \frac{1}{2} dw$。
$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{w} \cdot \frac{1}{2} dw = \frac{1}{2} \int \frac{1}{w} dw = \frac{1}{2} \ln|w| + C_1 = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C_1$

本題考驗學生對極限計算的掌握，包含一維極限的處理技巧以及二維函數在某點的極限。

核心觀念：

1. 處理含根號的極限：通常使用分子有理化。
2. 二維函數的極限：嘗試不同路徑趨近，若極限值不同則極限不存在；若路徑法結果相同，則需進一步證明。

詳解：
(a) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+n} - n)$
此極限為 $\infty - \infty$ 的不定型，我們使用分子有理化的技巧來處理。
$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+n} - n) = \lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+n} - n) \cdot \frac{\sqrt{n^2+n} + n}{\sqrt{n^2+n} + n}$
$= \lim_{n\to\infty} \frac{(n^2+n) - n^2}{\sqrt{n^2+n} + n}$
$= \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + n}$
為了進一步化簡，我們可以在分母中提出 $n^2$ 的根號，即 $n$（因為 $n \to \infty$，所以 $n>0$）。
$= \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n})} + n}$
$= \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}} + n}$
將分子分母同除以 $n$：
$= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1}$
當 $n \to \infty$ 時，$\frac{1}{n} \to 0$。
$= \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

(b) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2}$
我們嘗試沿著不同的路徑趨近 $(0,0)$ 來判斷極限是否存在。

路徑 1：沿著 $y=mx$ 的直線趨近。

本題結合了級數、極限與泰勒級數的概念。第一小題考驗泰勒級數的定義，第二小題則需要運用給定的極限條件和對數的性質來求解。

核心觀念：

1. 泰勒級數 (Taylor series) 的定義。
2. 極限的運算性質，特別是當某些項趨近於特定值時的組合。
3. 對數函數的性質。

詳解：
(a) 函數 $f(x)$ 在 $x=a$ 的泰勒級數定義
若函數 $f(x)$ 在點 $a$ 的某個鄰域內有無窮次可導，則 $f(x)$ 在 $x=a$ 的泰勒級數為：
$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots$
其中 $f^{(k)}(a)$ 表示函數 $f(x)$ 的 $k$ 階導函數在 $x=a$ 的值，$f^{(0)}(a) = f(a)$。

(b) 求 $\lim_{a_n \to \infty} a_n (\log(x_n) - x_n+1)$ 的值。
已知條件：

1. $a_n$ 是正數數列，且 $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$。
2. $\lim_{n\to\infty} a_n (x_n - 1) = c$。
3. $x_n$ 是實數數列。
4. $\log(e) = 1$。

從條件 1 和 2，我們可以推斷出 $x_n$ 的行為。
因為 $a_n \to \infty$，為了使 $a_n (x_n - 1)$ 趨近於一個有限值 $c$，則 $x_n - 1$ 必須趨近於 0。
$\lim_{n\to\infty} (x_n - 1) = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n(x_n - 1)}{a_n} = \frac{c}{\infty} = 0$
因此，$\lim_{n\to\infty} x_n = 1$。

現在我們來處理我們要計算的極限：$\lim_{n\to\infty} a_n (\log(x_n) - x_n+1)$。
由於 $x_n \to 1$，我們可以考慮將 $\log(x_n)$ 在 $x_n=1$ 附近進行泰勒展開。
令 $g(x) = \log(x)$。則 $g'(x) = \frac{1}{x}$， $g''(x) = -\frac{1}{x^2}$。
在 $x=1$ 處的值為 $g(1) = \log(1) = 0$。
$g'(1) = \frac{1}{1} = 1$。
$g''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$。

函數 $g(x)$ 在 $x=1$ 的泰勒展開（麥克勞林級數的變形）是：
$\log(x) = \log(1) + g'(1)(x-1) + \frac{g''(1)}{2!}(x-1)^2 + O((x-1)^3)$

本題考查矩陣的左反矩陣與右反矩陣的定義，以及它們之間的關係。

核心觀念：

1. 左反矩陣 (Left inverse) 的定義。
2. 右反矩陣 (Right inverse) 的定義。
3. 矩陣乘法結合律。

詳解：
(a) 左反矩陣與右反矩陣的定義
設 $A$ 為一個 $n \times n$ 的方陣。
若存在一個 $n \times n$ 的矩陣 $B$，使得 $BA = I_n$（其中 $I_n$ 為 $n \times n$ 的單位矩陣），則稱 $B$ 為 $A$ 的左反矩陣。
若存在一個 $n \times n$ 的矩陣 $C$，使得 $AC = I_n$（其中 $I_n$ 為 $n \times n$ 的單位矩陣），則稱 $C$ 為 $A$ 的右反矩陣。

核心觀念

本題考查線性相依與線性獨立的定義，以及它們在集合包含關係下的性質。

設 $V$ 的純量域為 $\mathbb F$，將有限集合 $S$ 的相異元素記為 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$。考慮

$$c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n=0, \qquad c_1,\dots,c_n\in\mathbb F.$$

• 線性相依：存在一組不全為零的係數，使上述等式成立。
• 線性獨立：上述等式成立時，必定有 $c_1=\cdots=c_n=0$。

對無限集合而言，定義中使用的線性組合仍然只涉及有限多個相異向量，不涉及無限級數。

解題方法

(a) 直接寫出線性相依的充要條件

$S$ 線性相依，若且唯若存在 $c_1,\dots,c_n\in\mathbb F$，滿足

$$c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n=0, \qquad (c_1,\dots,c_n)\ne(0,\dots,0).$$

也就是說，零向量可以由 $S$ 中的向量作非平凡線性組合得到。

若 $c_j\ne0$，則可移項得到

$$\alpha_j = -\sum_{\substack{i=1\\i\ne j}}^n \frac{c_i}{c_j}\alpha_i.$$

因此，對非空有限集合，線性相依也等價於：至少有一個向量可由其餘向量線性表示。當 $S=\{0\}$ 時，其餘向量形成空集合，而空集合的生成空間為 $\{0\}$，此敘述仍成立。

(b) 以「非平凡的零線性組合」判斷

判斷集合是否相依，關鍵在於能否找到有限多個相異向量，以及不全為零的係數，使其線性組合等於零。

選項分析

i. 任何包含線性相依集合的集合，也線性相依：O。

本題為線性代數中的重要定理證明，涉及線性轉換、向量空間的基底、零空間與值域的定義，以及維度定理的相關概念。

核心觀念：

1. 線性轉換 (Linear transformation) 的定義。
2. 零空間 (Null space, Kernel) 的定義。
3. 值域 (Range, Image) 的定義。
4. 基底 (Basis) 的定義：線性獨立且張成 (span) 整個空間。
5. 向量空間的維度 (Dimension)。
6. 證明定理的邏輯：證明 span 和線性獨立。

詳解：
(a) 線性轉換 $T$ 的定義
設 $V$ 和 $W$ 是向量空間。一個映射 $T: V \to W$ 被稱為線性轉換，如果對於 $V$ 中的任意向量 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 和任意純量 $c$，以下兩個條件成立：

1. $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$ （加法保持）
2. $T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$ （純量乘法保持）

(b) 零空間 (Null space) 和值域 (Range) 的定義
設 $T: V \to W$ 是一個線性轉換。
零空間 (Null space) $N(T)$ 或 $Ker(T)$ 是 $V$ 中所有映射到 $W$ 中零向量 $\mathbf{0}_W$ 的向量的集合：
$N(T) = \{\mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W \}$
值域 (Range) $R(T)$ 或 $Im(T)$ 是 $W$ 中所有形如 $T(\mathbf{v})$（對應於 $V$ 中的某個向量 $\mathbf{v}$）的向量的集合：
$R(T) = \{T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in V \}$

(c) 證明 Theorem 2
定理內容：設 $V$ 是 $n$ 維向量空間，基底為 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_n\}$。設 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_k\}$ ($k<n$) 是 $T$ 的零空間 $N(T)$ 的基底。則 $\{\alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n\}$ 構成 $T$ 的值域 $R(T)$ 的一個基底。

證明步驟：我們需要證明兩件事：

1. 向量集合 $\{T\alpha_{k+1}, \dots, T\alpha_n\}$ 張成 (span) $R(T)$。
2. 向量集合 $\{T\alpha_{k+1}, \dots, T\alpha_n\}$ 是線性獨立的。

第一部分：證明 $\{T\alpha_{k+1}, \dots, T\alpha_n\}$ 張成 $R(T)$
根據值域的定義，任何在 $R(T)$ 中的向量 $\mathbf{w}$ 都可以寫成 $T(\mathbf{v})$ 的形式，其中 $\mathbf{v} \in V$。
由於 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_n\}$ 是 $V$ 的基底，向量 $\mathbf{v}$ 可以唯一地表示為這些基底向量的線性組合：
$\mathbf{v} = c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 + \dots + c_n \alpha_n$
其中 $c_1, \dots, c_n$ 是純量。
應用線性轉換 $T$ 到 $\mathbf{v}$ 上：
$T(\mathbf{v}) = T(c_1 \alpha_1 + \dots + c_n \alpha_n)$
利用線性轉換的性質：
$T(\mathbf{v}) = T(c_1 \alpha_1) + \dots + T(c_k \alpha_k) + T(c_{k+1} \alpha_{k+1}) + \dots + T(c_n \alpha_n)$

核心觀念

本題考查矩陣可逆的定義，以及如何利用矩陣乘法的結合律與反矩陣公式進行恆等式證明。

已知 $I-BA$ 可逆，需要先證明 $I-AB$ 也可逆，接著驗證右側確實是 $(I-BA)^{-1}$。關鍵公式為：若 $M$ 可逆，則

$$M^{-1}-I=M^{-1}(I-M).$$

令 $M=I-BA$，可得

$$(I-BA)^{-1}-I=(I-BA)^{-1}BA.$$

由於 $(I-BA)^{-1}$ 與 $BA$ 可交換，也有

$$(I-BA)^{-1}-I=BA(I-BA)^{-1}.$$

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解題方法

一、先證明 $I-AB$ 可逆

設

$$M=I-BA,$$

則 $M$ 可逆。定義

$$N=I+A M^{-1}B.$$

計算 $(I-AB)N$：

$$\begin{aligned} (I-AB)N &=(I-AB)(I+AM^{-1}B)\\ &=I-AB+AM^{-1}B-ABAM^{-1}B\\ &=I+A\left(M^{-1}B-B-BAM^{-1}B\right). \end{aligned}$$

由

$$M^{-1}-I=BA M^{-1},$$

兩側右乘 $B$，得到

$$M^{-1}B-B=BAM^{-1}B.$$

因此

$$M^{-1}B-B-BAM^{-1}B=0,$$

所以

$$(I-AB)N=I.$$

由於 $I-AB$ 與 $N$ 都是 $n\times n$ 方陣，存在右逆矩陣即表示可逆，因此 $I-AB$ 可逆，且

$$(I-AB)^{-1}=N =I+A(I-BA)^{-1}B.$$

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二、驗證題目中的公式

令