111 年 國立政治大學統計學系碩士班《基礎數學》

核心觀念

本題綜合測驗：

• 極限與階梯函數 $\lfloor x\rfloor$
• 連續函數與定積分
• 參數方程、極座標與圓
• 冪級數收斂半徑
• 二變數函數的連續性
• Hessian 矩陣與二階導數判別法
• 齊次線性方程組
• 正交矩陣與行列式
• 子空間
• 矩陣乘積的秩
• 矩陣對角化
• 矩陣級數

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選項分析

(a)

考慮

$$\lim_{x\to 0}\left(\lfloor 3x-1\rfloor-\lfloor 3x+1\rfloor\right).$$

當 $x<0$ 且充分接近 $0$ 時，

$$-2<3x-1<-1 \quad\Rightarrow\quad \lfloor 3x-1\rfloor=-2,$$

且

$$0<3x+1<1 \quad\Rightarrow\quad \lfloor 3x+1\rfloor=0.$$

因此左極限為

$$-2-0=-2.$$

當 $x>0$ 且充分接近 $0$ 時，

$$-1<3x-1<0 \quad\Rightarrow\quad \lfloor 3x-1\rfloor=-1,$$

且

$$1<3x+1<2 \quad\Rightarrow\quad \lfloor 3x+1\rfloor=1.$$

因此右極限為

$$-1-1=-2.$$

左右極限相等，所以極限存在，且等於 $-2$。

判定：X

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(b)

若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上連續，則 $f(x)g(x)$ 也連續，因此

$$\int_a^b f(x)g(x)\,dx$$

確實存在。

但一般而言，

$$\int_a^b f(x)g(x)\,dx \neq \left(\int_a^b f(x)\,dx\right) \left(\int_a^b g(x)\,dx\right).$$

例如取 $f(x)=g(x)=1$，在區間 $[0,2]$ 上，

$$\int_0^2 f(x)g(x)\,dx = \int_0^2 1\,dx=2,$$

而

$$\left(\int_0^2 f(x)\,dx\right) \left(\int_0^2 g(x)\,dx\right) = 2\cdot 2=4.$$

兩者不相等。

判定：X

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(c)

方程式

$$x^2+y^2=9$$

表示圓心 $(0,0)$、半徑 $3$ 的圓。

參數式為

$$x=-3\cos 2t,\qquad y=-3\sin 2t,\qquad 0\le t\le\pi.$$

計算得

$$x^2+y^2 = 9\cos^2 2t+9\sin^2 2t =9.$$

當 $0\le t\le\pi$ 時，$2t$ 從 $0$ 變化至 $2\pi$，完整繞行圓周一次，因此描出整個半徑 $3$ 的圓。

極座標方程

$$r=3$$

也表示距離原點為 $3$ 的所有點，同樣是此圓。

判定：O

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(d)

原冪級數

$$\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$$

的收斂半徑為 $R_0$，表示其在

$$|x|<R_0$$

時收斂。

對新級數

$$\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^{2k},$$

令 $u=x^2$，則它等同於

$$\sum_{k=0}^{\infty}a_ku^k.$$

收斂條件為

$$|u|<R_0 \quad\Rightarrow\quad |x^2|<R_0 \quad\Rightarrow\quad |x|<\sqrt{R_0}.$$

因此新級數的收斂半徑是

$$\sqrt{R_0},$$

而不是 $R_0$。

判定：X

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(e)

考慮

$$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^4}.$$

對 $(x,y)\neq(0,0)$，因為

$$x^2+y^4>0,$$

函數在原點以外連續。

又因為

$$\left|f(x,y)\right| = \frac{x^2|y|}{x^2+y^4} \le |y|,$$

所以當 $(x,y)\to(0,0)$ 時，

$$|f(x,y)|\le |y|\to 0.$$

由夾擠定理，

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).$$

因此 $f$ 在 $(0,0)$ 連續。

判定：O

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(f)

已知

$$f_x(0,0)=0,\qquad f_y(0,0)=0,$$

因此 $(0,0)$ 是臨界點。

Hessian 矩陣為

$$H_f(0,0)= \begin{bmatrix} f_{xx}(0,0)&f_{xy}(0,0)\\ f_{yx}(0,0)&f_{yy}(0,0) \end{bmatrix}.$$

題目給定此矩陣為正定矩陣。由於二階偏導數連續，混合偏導數相等，且二階導數判別法指出：

• Hessian 正定：局部極小值
• Hessian 負定：局部極大值
• Hessian 不定：鞍點

所以 $f$ 在 $(0,0)$ 有局部最小值。

判定：O

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(g)

四條齊次線性方程式、六個未知數可寫成

$$A\mathbf{x}=\mathbf{0},$$

其中 $A$ 是 $4\times 6$ 矩陣。

本題要求繪製多項式函數 $f(x) = 4x^5 + x^3 - 2x + 1$ 的圖形，並利用圖形或相關性質找出其唯一實根所在的區間 $(a, a+1)$。

1. 繪製函數圖形

為了繪製函數圖形，我們需要分析函數的性質，包括：

• 奇偶性：$f(x) = 4x^5 + x^3 - 2x + 1$。
  $f(-x) = 4(-x)^5 + (-x)^3 - 2(-x) + 1 = -4x^5 - x^3 + 2x + 1$.
  $f(-x) \neq f(x)$ 且 $f(-x) \neq -f(x)$，所以函數既不是偶函數也不是奇函數。

• 與 y 軸的交點：令 $x=0$，則 $f(0) = 4(0)^5 + (0)^3 - 2(0) + 1 = 1$。所以圖形通過點 $(0, 1)$。

• 與 x 軸的交點 (實根)：這是我們需要重點尋找的部分。

• 函數的單調性：計算一階導數 $f'(x)$。
  $f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^5 + x^3 - 2x + 1) = 20x^4 + 3x^2 - 2$.
  令 $f'(x) = 0$ 來尋找臨界點。這是一個關於 $x^2$ 的二次方程。令 $u = x^2$ ($u \ge 0$)。
  $20u^2 + 3u - 2 = 0$.
  使用二次公式求解 $u$:
  $u = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(20)(-2)}}{2(20)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 160}}{40} = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{40} = \frac{-3 \pm 13}{40}$.
  兩個解為：
  $u_1 = \frac{-3 + 13}{40} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$.
  $u_2 = \frac{-3 - 13}{40} = \frac{-16}{40} = -\frac{2}{5}$.
  由於 $u = x^2 \ge 0$, 我們只考慮 $u_1 = \frac{1}{4}$。
  所以 $x^2 = \frac{1}{4}$, 得到 $x = \pm \frac{1}{2}$.
  這兩個臨界點是 $x = -\frac{1}{2}$ 和 $x = \frac{1}{2}$。

  我們分析 $f'(x)$ 在這些臨界點附近的符號：
  $f'(x) = 20(x^2 - \frac{1}{4})(x^2 + \frac{2}{5})$.
  由於 $x^2 + \frac{2}{5} > 0$ 對所有實數 $x$ 恆成立，所以 $f'(x)$ 的符號由 $x^2 - \frac{1}{4}$ 決定。

  • 當 $x < -\frac{1}{2}$ (例如 $x=-1$): $x^2 = 1 > \frac{1}{4}$, $f'(x) > 0$。函數遞增。
    -當 $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ (例如 $x=0$): $x^2 = 0 < \frac{1}{4}$, $f'(x) < 0$。函數遞減。
    -當 $x > \frac{1}{2}$ (例如 $x=1$): $x^2 = 1 > \frac{1}{4}$, $f'(x) > 0$。函數遞增。

  這表示函數在 $x = -\frac{1}{2}$ 有局部極大值，在 $x = \frac{1}{2}$ 有局部極小值。

• 局部極值：
  $f(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^5 + (-\frac{1}{2})^3 - 2(-\frac{1}{2}) + 1 = 4(-\frac{1}{32}) + (-\frac{1}{8}) + 1 + 1 = -\frac{1}{8} - \frac{1}{8} + 2 = -\frac{1}{4} + 2 = \frac{7}{4} = 1.75$.
  $f(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2})^5 + (\frac{1}{2})^3 - 2(\frac{1}{2}) + 1 = 4(\frac{1}{32}) + \frac{1}{8} - 1 + 1 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0.25$.

• 函數的趨勢：
  當 $x \to \infty$, $f(x) = 4x^5 + x^3 - 2x + 1 \to \infty$ (因為最高次項 $4x^5$ 是正的)。
  當 $x \to -\infty$, $f(x) = 4x^5 + x^3 - 2x + 1 \to -\infty$ (因為最高次項 $4x^5$ 是負的)。

本題要求利用冪級數證明 $\ln 2 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k 2^k}$。

我們知道幾個基本的冪級數展開式。其中一個與對數函數相關的是：
對於 $|x| < 1$, $\ln(1-x) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}$.

我們希望得到 $\ln 2$。觀察級數 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k 2^k}$。
這個級數的形式是 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}$，其中 $x = \frac{1}{2}$.

考慮 $\ln(1-x) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}$.
如果我們令 $x = \frac{1}{2}$, 則 $|x| = \frac{1}{2} < 1$, 所以級數收斂。
$\ln(1 - \frac{1}{2}) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\frac{1}{2})^k}{k}$.
$\ln(\frac{1}{2}) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k 2^k}$.

我們知道 $\ln(\frac{1}{2}) = \ln(2^{-1}) = - \ln 2$.
所以，$-\ln 2 = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k 2^k}$.
兩邊乘以 $-1$，得到：
$\ln 2 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k 2^k}$.

證明完畢。

詳細步驟：

1. 回憶或推導 $\ln(1-x)$ 的泰勒級數展開式。
   我們知道 $\frac{d}{dx} \ln(1-x) = \frac{-1}{1-x}$.
   對於 $|x|<1$, $\frac{1}{1-x}$ 的幾何級數展開為 $1 + x + x^2 + x^3 + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} x^k$.
   所以，$\frac{d}{dx} \ln(1-x) = -(1 + x + x^2 + x^3 + \dots) = -\sum_{k=0}^{\infty} x^k$.
   對兩邊積分：
   $\ln(1-x) = \int (-\sum_{k=0}^{\infty} x^k) dx = -\sum_{k=0}^{\infty} \int x^k dx = -\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{k+1} + C$.
   令 $j = k+1$, 則 $k=j-1$. 當 $k=0$, $j=1$.
   $\ln(1-x) = -\sum_{j=1}^{\infty} \frac{x^j}{j} + C$.
   為了求 $C$, 令 $x=0$.
   $\ln(1-0) = -\sum_{j=1}^{\infty} \frac{0^j}{j} + C$.
   $\ln(1) = 0 + C$.
   $0 = 0 + C$, 所以 $C=0$.

本題要求計算一個二重積分 $\iint_D (x+y+3) dA$，其中積分區域 $D$ 是一個由四條直線圍成的平行四邊形。題目要求使用適當的變數變換來簡化計算。

1. 確定積分區域 D

積分區域 $D$ 由以下四條直線圍成：
$L_1: x+2y=0$
$L_2: x+2y=4$
$L_3: x-y=1$
$L_4: x-y=6$

注意到 $L_1$ 和 $L_2$ 是平行的，它們的法向量是 $(1, 2)$。
注意到 $L_3$ 和 $L_4$ 是平行的，它們的法向量是 $(1, -1)$。
這四條直線構成了一個平行四邊形。

2. 進行變數變換

觀察到積分函數 $x+y+3$ 和平行四邊形的邊界方程都包含 $x+y$ 或 $x+2y$。
我們可以定義新的變數 $u$ 和 $v$ 來簡化積分。
令 $u = x+2y$
令 $v = x-y$

現在我們需要將積分變數從 $(x, y)$ 變換到 $(u, v)$。這需要計算 Jacobian。
首先，我們需要表達 $x$ 和 $y$ 用 $u$ 和 $v$ 來表示。
從 $v = x-y$, 我們得到 $x = v+y$.
代入 $u = x+2y$:
$u = (v+y) + 2y = v + 3y$.
所以 $3y = u-v$, $y = \frac{u-v}{3}$.

現在求 $x$:
$x = v+y = v + \frac{u-v}{3} = \frac{3v + u - v}{3} = \frac{u+2v}{3}$.

所以，變換關係是：
$x = \frac{u+2v}{3}$
$y = \frac{u-v}{3}$

接下來計算 Jacobian 矩陣。
$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{3}$, $\frac{\partial x}{\partial v} = \frac{2}{3}$
$\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{3}$, $\frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{1}{3}$

Jacobian 矩陣為：
$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{bmatrix}$.

Jacobian 行列式為：
$|J| = \det(J) = (\frac{1}{3})(-\frac{1}{3}) - (\frac{2}{3})(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{9} - \frac{2}{9} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$.

面積元素 $dA = dx dy$ 在新變數下變為 $|J| du dv = |-\frac{1}{3}| du dv = \frac{1}{3} du dv$.

3. 確定新變數的積分範圍

根據變數變換的定義：
$u = x+2y$. 根據平行四邊形的邊界， $u$ 的範圍是 $[0, 4]$.
$v = x-y$. 根據平行四邊形的邊界， $v$ 的範圍是 $[1, 6]$.

4. 轉換積分函數

原積分函數是 $x+y+3$. 我們需要將其用 $u$ 和 $v$ 表示。
我們有 $x = \frac{u+2v}{3}$ 和 $y = \frac{u-v}{3}$.
$x+y = \frac{u+2v}{3} + \frac{u-v}{3} = \frac{2u+v}{3}$.
所以，積分函數變為 $\frac{2u+v}{3} + 3$.

5. 計算積分

新的積分是：

本題要求計算向量 $v$ 在由向量 $w_1, w_2, w_3$ 所張成的子空間 $W$ 上的正交投影。

1. 檢查基底向量的線性獨立性

首先，我們需要確定給定的向量 $w_1, w_2, w_3$ 是否構成子空間 $W$ 的一個基底。如果它們線性獨立，則它們就是 $W$ 的一個基底。我們將這些向量作為列向量組成一個矩陣，然後進行列運算。
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$
進行列運算：
$R_2 \leftarrow R_2 - R_1$
$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$
$R_4 \leftarrow R_4 - R_1$
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
交換 $R_2$ 和 $R_3$:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$R_1 \leftarrow R_1 - R_2$:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
矩陣的秩為 2。這表示 $w_1, w_2, w_3$ 是線性相關的。
我們需要找到 $W$ 的一個基底。從行階梯形矩陣可以看出，前兩個向量（在進行行運算之前的對應向量）是線性獨立的。
我們可以選擇 $w_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 和 $w_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ 作為 $W$ 的一組基底。
注意，$w_3 = w_2 - 2w_1$ ($w_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-2 \\ 1-2 \\ 2-2 \\ 2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$)，這驗證了 $w_3$ 可以由 $w_1$ 和 $w_2$ 線性表示。
所以，子空間 $W$ 的維度是 2，基底是 $\{w_1, w_2\}$。

2. 將基底向量正交化

為了計算投影，我們通常需要一個正交基底。我們可以使用 Gram-Schmidt 正交化過程。
令 $u_1 = w_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
令 $u_2 = w_2 - \text{proj}_{u_1} w_2$.
$\text{proj}_{u_1} w_2 = \frac{w_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1$
$w_2 \cdot u_1 = (1)(1) + (1)(1) + (2)(1) + (2)(1) = 1+1+2+2 = 6$.
$u_1 \cdot u_1 = (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) = 1+1+1+1 = 4$.
$\text{proj}_{u_1} w_2 = \frac{6}{4} u_1 = \frac{3}{2} u_1 = \frac{3}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/2 \\ 3/2 \\ 3/2 \\ 3/2 \end{bmatrix}$
$u_2 = w_2 - \text{proj}_{u_1} w_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3/2 \\ 3/2 \\ 3/2 \\ 3/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 3/2 \\ 1 - 3/2 \\ 2 - 3/2 \\ 2 - 3/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 \\ -1/2 \\ 1/2 \\ 1/2 \end{bmatrix}$
我們可以將 $u_2$ 乘以 2 以簡化，令 $u_2' = 2u_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
現在我們有一個 $W$ 的正交基底 $\{u_1, u_2'\}$。
$u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
$u_2' = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

3. 計算向量 v 在 W 上的正交投影

向量 $v$ 在子空間 $W$ 上的正交投影 $\text{proj}_W v$ 可以通過將 $v$ 投影到 $W$ 的每個正交基底向量上，然後將結果相加來計算。
$\text{proj}_W v = \text{proj}_{u_1} v + \text{proj}_{u_2'} v$
$\text{proj}_{u_1} v = \frac{v \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1$
$v \cdot u_1 = (2)(1) + (3)(1) + (4)(1) + (5)(1) = 2+3+4+5 = 14$.

本題要求計算一個線性轉換 $L$ 對於任意多項式 $at^2 + bt + c$ 的作用結果。已知線性轉換 $L$ 在基底 $S = \{p_1(t), p_2(t), p_3(t)\}$ 下的矩陣表示。

1. 理解問題

我們有一個向量空間 $P_2$，包含所有次數小於等於 2 的多項式。
$S = \{p_1(t) = t^2+t+1, p_2(t) = t+1, p_3(t) = 1\}$ 是 $P_2$ 的一個基底。
線性轉換 $L: P_2 \to P_2$ 的矩陣表示是 $[L]_S = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
我們要找到 $L(at^2 + bt + c)$。

2. 理解矩陣表示 $[L]_S$

矩陣 $[L]_S$ 的第 $j$ 欄表示向量 $L(p_j(t))$ 在基底 $S$ 下的座標。
令 $v = at^2 + bt + c$. 我們需要將 $v$ 表示成基底 $S$ 的線性組合。
$v = c_1 p_1(t) + c_2 p_2(t) + c_3 p_3(t)$
$at^2 + bt + c = c_1(t^2+t+1) + c_2(t+1) + c_3(1)$
$at^2 + bt + c = c_1 t^2 + (c_1+c_2) t + (c_1+c_2+c_3)$
比較係數：
$t^2$: $a = c_1$
$t$: $b = c_1 + c_2$
常數項: $c = c_1 + c_2 + c_3$

從這些方程，我們可以解出 $c_1, c_2, c_3$：
$c_1 = a$
$c_2 = b - c_1 = b - a$
$c_3 = c - (c_1+c_2) = c - b$

所以，向量 $v$ 在基底 $S$ 下的座標是 $[v]_S = \begin{bmatrix} a \\ b-a \\ c-b \end{bmatrix}$.

3. 計算 $L(v)$ 在基底 $S$ 下的座標

線性轉換 $L$ 作用在 $v$ 上，其在基底 $S$ 下的座標可以通過將矩陣 $[L]_S$ 乘以 $v$ 在基底 $S$ 下的座標得到：
$[L(v)]_S = [L]_S [v]_S$
$[L(v)]_S = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b-a \\ c-b \end{bmatrix}$
$[L(v)]_S = \begin{bmatrix} 0 \cdot a + 0 \cdot (b-a) + 0 \cdot (c-b) \\ 2 \cdot a + 0 \cdot (b-a) + 0 \cdot (c-b) \\ 0 \cdot a + 1 \cdot (b-a) + 0 \cdot (c-b) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2a \\ b-a \end{bmatrix}$
這表示 $L(v)$ 在基底 $S$ 下的座標是 $(0, 2a, b-a)$。

4. 將結果轉換回多項式形式

$[L(v)]_S = \begin{bmatrix} 0 \\ 2a \\ b-a \end{bmatrix}$ 表示 $L(v)$ 可以寫成基底向量的線性組合：
$L(v) = 0 \cdot p_1(t) + 2a \cdot p_2(t) + (b-a) \cdot p_3(t)$

本題是一個典型的馬可夫鏈問題，描述了鳥類在三個棲息地 A, B, C 之間的遷移模式。要求計算長期穩態時，各棲息地的鳥類比例。

1. 建立轉移矩陣

我們首先需要建立一個轉移矩陣 $P$，其中 $P_{ij}$ 表示從狀態 $j$ 轉移到狀態 $i$ 的機率。在這個問題中，狀態是棲息地 A, B, C。我們通常將向量表示為列向量，因此矩陣的列代表起始狀態，行代表結束狀態。

讓我們定義 $p_A, p_B, p_C$ 分別是鳥類在棲息地 A, B, C 的比例。

• 從 A 開始：
  • 20% 遷往 B
  • 50% 遷往 C
  • 這意味著 $100\% - 20\% - 50\% = 30\%$ 留在 A。
• 從 B 開始：
  • 10% 遷往 A
  • 10% 遷往 C
  • 這意味著 $100\% - 10\% - 10\% = 80\%$ 留在 B。
• 從 C 開始：
  • 40% 遷往 A
  • 40% 遷往 B
  • 這意味著 $100\% - 40\% - 40\% = 20\%$ 留在 C。

轉移矩陣 $P$ 的列代表起始棲息地，行代表目標棲息地。
$P = \begin{bmatrix} \text{P(A|A)} & \text{P(A|B)} & \text{P(A|C)} \\ \text{P(B|A)} & \text{P(B|B)} & \text{P(B|C)} \\ \text{P(C|A)} & \text{P(C|B)} & \text{P(C|C)} \end{bmatrix}$

根據題目敘述：

• P(A|A) = 0.3 (留在 A)
• P(B|A) = 0.2 (從 A 遷往 B)
• P(C|A) = 0.5 (從 A 遷往 C)
• P(A|B) = 0.1 (從 B 遷往 A)
• P(B|B) = 0.8 (留在 B)
• P(C|B) = 0.1 (從 B 遷往 C)
• P(A|C) = 0.4 (從 C 遷往 A)
• P(B|C) = 0.4 (從 C 遷往 B)
• P(C|C) = 0.2 (留在 C)

所以，轉移矩陣為：
$P = \begin{bmatrix} 0.3 & 0.1 & 0.4 \\ 0.2 & 0.8 & 0.4 \\ 0.5 & 0.1 & 0.2 \end{bmatrix}$
檢查每列的和是否為 1：
列 1: $0.3 + 0.2 + 0.5 = 1.0$
列 2: $0.1 + 0.8 + 0.1 = 1.0$
列 3: $0.4 + 0.4 + 0.2 = 1.0$
矩陣是正確的。

2. 計算長期穩態分佈

長期穩態分佈是一個向量 $\pi = \begin{bmatrix} \pi_A \\ \pi_B \\ \pi_C \end{bmatrix}$，其中 $\pi_A, \pi_B, \pi_C$ 是鳥類在棲息地 A, B, C 的長期比例，滿足以下條件：

1. $\pi$ 是 $P$ 的一個特徵向量，對應的特徵值是 1。即 $P\pi = \pi$。
2. 各元素的和為 1：$\pi_A + \pi_B + \pi_C = 1$.

方程 $P\pi = \pi$ 可以寫成 $(P - I)\pi = 0$, 其中 $I$ 是單位矩陣。