111 年 國立政治大學統計學系碩士班《統計方法》

此題考驗獨立性檢定（Test of Independence）。

(a) 獨立性檢定步驟：

1. 建立虛無與對立假設：

   • $H_0$：睡眠時數與年齡是獨立的。
   • $H_1$：睡眠時數與年齡不是獨立的。

2. 設定顯著水準：

   • $\alpha = 0.05$。

3. 計算期望次數 (Expected Frequencies)：
   首先，計算各行（睡眠時數）和各列（年齡）的總次數，以及總樣本數。

   • 總樣本數 $N = 500$。
   • 各睡眠時數總計：
     • fewer than 6: $60 + 90 = 150$
     • 6 to 6.9: $70 + 70 = 140$
     • 7 to 7.9: $60 + 60 = 120$
     • 8 or more: $50 + 40 = 90$
   • 各年齡總計：
     • Younger than 30: $60 + 70 + 60 + 50 = 240$
     • 30 or older: $90 + 70 + 60 + 40 = 260$

   期望次數 $E_{ij} = \frac{(\text{Row } i \text{ total}) \times (\text{Column } j \text{ total})}{N}$

   • $E_{11}$ (fewer than 6, Younger than 30) = $\frac{150 \times 240}{500} = 72$
   • $E_{12}$ (fewer than 6, 30 or older) = $\frac{150 \times 260}{500} = 78$
   • $E_{21}$ (6 to 6.9, Younger than 30) = $\frac{140 \times 240}{500} = 67.2$
   • $E_{22}$ (6 to 6.9, 30 or older) = $\frac{140 \times 260}{500} = 72.8$
   • $E_{31}$ (7 to 7.9, Younger than 30) = $\frac{120 \times 240}{500} = 57.6$
   • $E_{32}$ (7 to 7.9, 30 or older) = $\frac{120 \times 260}{500} = 62.4$
   • $E_{41}$ (8 or more, Younger than 30) = $\frac{90 \times 240}{500} = 43.2$
   • $E_{42}$ (8 or more, 30 or older) = $\frac{90 \times 260}{500} = 46.8$

4. 計算檢定統計量 (Test Statistic)：
   卡方檢定統計量 $\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$

核心觀念

本題考查母體變異數已知時的單一母體平均數右尾 $Z$ 檢定，以及顯著水準與第二類錯誤的關係。

已知：

• $H_0:\mu\le 22$
• $H_\alpha:\mu>22$
• $n=256$
• $\sigma^2=400$，故 $\sigma=20$
• 標準誤為

$$\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n} =\frac{20}{\sqrt{256}} =\frac{20}{16}=1$$

右尾檢定的拒絕域可寫為：

$$\bar X>c$$

其中 $c$ 為臨界值。

顯著水準為虛無假設邊界 $\mu=22$ 下的拒絕機率：

$$\alpha=P(\bar X>c\mid \mu=22)$$

當實際平均數為 $\mu=23.4$ 時，檢定力為：

$$1-\beta_{23.4} =P(\bar X>c\mid \mu=23.4) =0.2005$$

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解題方法

（a）求顯著水準

由題意：

$$P(\bar X>c\mid \mu=23.4)=0.2005$$

因為 $\bar X\sim N(23.4,1^2)$，標準化得：

$$P\left( Z>\frac{c-23.4}{1} \right)=0.2005$$

標準常態分配中：

$$P(Z>0.84)=0.2005$$

因此：

$$\frac{c-23.4}{1}=0.84$$

得到臨界值：

$$c=23.4+0.84=24.24$$

接著在虛無假設的邊界 $\mu=22$ 下計算顯著水準：

$$\alpha=P(\bar X>24.24\mid \mu=22)$$

此時 $\bar X\sim N(22,1^2)$，所以：

$$\alpha =P\left( Z>\frac{24.24-22}{1} \right) =P(Z>2.24)$$

查標準常態分配表：

$$P(Z>2.24)=1-\Phi(2.24)=1-0.9875=0.0125$$

故：

$$\boxed{\alpha=0.0125}$$

亦即顯著水準為 $1.25\%$。

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（b）顯著水準與第二類錯誤能否同時下降？

此題考驗簡單線性迴歸、複迴歸的參數估計、判定係數，以及複迴歸的 F 檢定與變數篩選的解讀。

Model 1：簡單線性迴歸 $Y = \alpha + \beta_1 X_1 + \eta$

(a) 計算 $\alpha$ 和 $\beta_1$ 的最小平方法估計值：
對於簡單線性迴歸 $Y = \alpha + \beta_1 X_1 + \eta$，最小平方法估計量為：
$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \bar{X})(Y_{i} - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \bar{X})^2} = \frac{S_{XY}}{S_{XX}}$
$\hat{\alpha} = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$

首先，計算所需的總和：
$n = 10$
$\sum X_i = -5 - 9 - 5 + 9 + 11 - 8 - 19 - 21 - 13 + 6 = -59$
$\bar{X} = \frac{-59}{10} = -5.9$

$\sum Y_i = 250 + 360 + 165 + 43 + 92 + 200 + 355 + 290 + 230 + 120 = 2005$
$\bar{Y} = \frac{2005}{10} = 200.5$

計算 $S_{XY} = \sum X_i Y_i - n \bar{X} \bar{Y}$：
$\sum X_i Y_i = (-5)(250) + (-9)(360) + (-5)(165) + (9)(43) + (11)(92) + (-8)(200) + (-19)(355) + (-21)(290) + (-13)(230) + (6)(120)$
$\sum X_i Y_i = -1250 - 3240 - 825 + 387 + 1012 - 1600 - 6745 - 6090 - 2990 + 720 = -13526$
$S_{XY} = -13526 - 10 \times (-5.9) \times (200.5) = -13526 + 11829.5 = -1696.5$

計算 $S_{XX} = \sum X_i^2 - n \bar{X}^2$：
$\sum X_i^2 = (-5)^2 + (-9)^2 + (-5)^2 + 9^2 + 11^2 + (-8)^2 + (-19)^2 + (-21)^2 + (-13)^2 + 6^2$
$\sum X_i^2 = 25 + 81 + 25 + 81 + 121 + 64 + 361 + 441 + 169 + 36 = 1304$
$S_{XX} = 1304 - 10 \times (-5.9)^2 = 1304 - 10 \times 34.81 = 1304 - 348.1 = 955.9$

$\hat{\beta}_1 = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} = \frac{-1696.5}{955.9} \approx -1.7747$

$\hat{\alpha} = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 200.5 - (-1.7747) \times (-5.9) = 200.5 - 10.47073 \approx 190.0293$

【答案】$\hat{\alpha} \approx 190.0293$, $\hat{\beta}_1 \approx -1.7747$。

(b) 計算判定係數 $R^2$：
$R^2 = \frac{S_{XY}^2}{S_{XX} S_{YY}}$，其中 $S_{YY} = \sum Y_i^2 - n \bar{Y}^2$。
首先計算 $S_{YY}$：
$\sum Y_i^2 = 250^2 + 360^2 + 165^2 + 43^2 + 92^2 + 200^2 + 355^2 + 290^2 + 230^2 + 120^2$
$\sum Y_i^2 = 62500 + 129600 + 27225 + 1849 + 8464 + 40000 + 126025 + 84100 + 52900 + 14400 = 547063$
$S_{YY} = 547063 - 10 \times (200.5)^2 = 547063 - 10 \times 40200.25 = 547063 - 402002.5 = 145060.5$

$R^2 = \frac{(-1696.5)^2}{955.9 \times 145060.5} = \frac{2878112.25}{138650115.995} \approx 0.020758$

或者，也可以使用 $R^2 = 1 - \frac{SSE}{S_{YY}}$。
$SSE = \sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2 = S_{YY} - \hat{\beta}_1 S_{XY}$
$SSE = 145060.5 - (-1.7747) \times (-1696.5) = 145060.5 - 3009.15 = 142051.35$
$R^2 = 1 - \frac{142051.35}{145060.5} \approx 1 - 0.97924 = 0.02076$

【答案】$R^2 \approx 0.0208$。

Model 3：複迴歸 $Y = \alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \epsilon$

(c) 解釋 Model 3 的 F 檢定結果：
F 檢定的虛無假設是所有迴歸係數（除了截距項）同時為零：$H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0$。

此題考驗假設檢定中，第一型錯誤機率、第二型錯誤機率與樣本數的關係，特別是如何推導樣本數的公式。

題目給定的檢定是左尾檢定：
$H_0: \mu \ge \mu_0$
$H_\alpha: \mu < \mu_0$

顯著水準為 $\alpha$，即 $P(\text{Reject } H_0 | \mu = \mu_0) = \alpha$。
第二型錯誤機率為 $\beta$，當實際母體平均數為 $\mu_{oa}$ 時，該機率為 $\beta$。 $\mu_{oa} < \mu_0$。
$\beta = P(\text{Accept } H_0 | \mu = \mu_{oa}) = \beta$。

樣本數為 $n$，母體變異數為 $\sigma^2$。
檢定統計量為 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$。

根據顯著水準 $\alpha$，我們拒絕 $H_0$ 當 $Z < -z_\alpha$（因為是左尾檢定，臨界值在負方向）。
也就是 $\frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} < -z_\alpha$，所以拒絕域為 $\bar{X} < \mu_0 - z_\alpha \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

根據第二型錯誤機率 $\beta$，當實際母體平均數為 $\mu_{oa}$ 時，我們接受 $H_0$ 的機率為 $\beta$。
接受域為 $\bar{X} \ge \mu_0 - z_\alpha \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
所以，$\beta = P(\text{Accept } H_0 | \mu = \mu_{oa}) = P\left(\bar{X} \ge \mu_0 - z_\alpha \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Big| \mu = \mu_{oa}\right)$。

將 $\bar{X}$ 轉換為標準常態變數 $Z'$，其平均值為 $\mu_{oa}$，標準誤為 $\sigma/\sqrt{n}$。
$\beta = P\left(\frac{\bar{X} - \mu_{oa}}{\sigma/\sqrt{n}} \ge \frac{(\mu_0 - z_\alpha \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) - \mu_{oa}}{\sigma/\sqrt{n}}\right)$
$\beta = P\left(Z' \ge \frac{\mu_0 - \mu_{oa}}{\sigma/\sqrt{n}} - z_\alpha\right)$。

題目定義 $z_\beta$ 滿足 $P(Z \ge z_\beta) = \beta$。
然而，這裡的檢定是左尾檢定，接受域是 $\bar{X} \ge c$，拒絕域是 $\bar{X} < c$。
在 $\mu = \mu_{oa}$ 時，$\beta = P(\bar{X} \ge c | \mu = \mu_{oa})$。
標準化後，$\beta = P\left(Z' \ge \frac{c - \mu_{oa}}{\sigma/\sqrt{n}}\right)$。

此題考驗單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)，用於比較三個或更多類別（在這裡是三種汽油類型）的平均值是否存在顯著差異。

(a) 虛無與對立假設：
ANOVA 的目的是檢定各組（汽油類型）的平均值是否相等。

• $H_0$: 三種汽油類型的平均每公升公里數都相等。
  即 $\mu_{\text{Regular}} = \mu_{\text{Mid-grade}} = \mu_{\text{Super Premium}}$。
• $H_1$: 至少有一種汽油類型的平均每公升公里數與其他不同。
  即 至少存在一對 $i, j$ 使得 $\mu_i \ne \mu_j$。

【答案】
$H_0: \mu_{\text{Regular}} = \mu_{\text{Mid-grade}} = \mu_{\text{Super Premium}}$
$H_1:$ 至少有一種汽油類型的平均每公升公里數與其他不同。

(b) 建立 ANOVA 表：
ANOVA 表的基本結構包括：變異來源 (Source of Variation)、平方和 (Sum of Squares, SS)、自由度 (Degrees of Freedom, df)、均方 (Mean Square, MS)、F 檢定統計量，以及 P 值。

步驟：

1. 定義變數：

   • 分組數 (Number of groups, $k$) = 3 (Regular, Mid-grade, Super Premium)。
   • 每組樣本數 (Number of observations per group, $n_i$) = 7 (有 7 輛汽車)。
   • 總樣本數 (Total number of observations, $N$) = $k \times n_i = 3 \times 7 = 21$。

2. 計算各組平均值與總平均值：

   • Regular (組 1):
     • $\sum Y_{1j} = 26+28+26+29+31+28+28 = 196$
     • $\bar{Y}_1 = 196 / 7 = 28$
   • Mid-grade (組 2):
     • $\sum Y_{2j} = 26+25+28+28+30+29+30 = 196$
     • $\bar{Y}_2 = 196 / 7 = 28$
   • Super Premium (組 3):
     • $\sum Y_{3j} = 29+28+30+30+35+33+32 = 217$
     • $\bar{Y}_3 = 217 / 7 = 31$
   • 總平均值 ($\bar{Y}$):
     • $\sum Y_{total} = 196 + 196 + 217 = 609$
     • $\bar{Y} = 609 / 21 = 29$

3. 計算平方和 (Sum of Squares, SS)：

   • 組間平方和 (Between Groups SS, $SS_B$ 或 $SS_{Treatment}$):
     $SS_B = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{Y}_i - \bar{Y})^2$
     $SS_B = 7 \times (28 - 29)^2 + 7 \times (28 - 29)^2 + 7 \times (31 - 29)^2$
     $SS_B = 7 \times (-1)^2 + 7 \times (-1)^2 + 7 \times (2)^2$
     $SS_B = 7 \times 1 + 7 \times 1 + 7 \times 4 = 7 + 7 + 28 = 42$

   • 組內平方和 (Within Groups SS, $SS_W$ 或 $SS_{Error}$):
     $SS_W = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y}_i)^2$

     • Regular (組 1):
       $(26-28)^2 + (28-28)^2 + (26-28)^2 + (29-28)^2 + (31-28)^2 + (28-28)^2 + (28-28)^2$
       $= (-2)^2 + 0^2 + (-2)^2 + 1^2 + 3^2 + 0^2 + 0^2 = 4 + 0 + 4 + 1 + 9 + 0 + 0 = 18$
     • Mid-grade (組 2):
       $(26-28)^2 + (25-28)^2 + (28-28)^2 + (28-28)^2 + (30-28)^2 + (29-28)^2 + (30-28)^2$
       $= (-2)^2 + (-3)^2 + 0^2 + 0^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 9 + 0 + 0 + 4 + 1 + 4 = 22$
     • Super Premium (組 3):
       $(29-31)^2 + (28-31)^2 + (30-31)^2 + (30-31)^2 + (35-31)^2 + (33-31)^2 + (32-31)^2$
       $= (-2)^2 + (-3)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2 = 4 + 9 + 1 + 1 + 16 + 4 + 1 = 36$
     • $SS_W = 18 + 22 + 36 = 76$