115 年 國立成功大學統計學研究所《數理統計（含機率概論）》

核心觀念

本題旨在求非正則母體（支撐集依賴未知參數 $\theta$）參數的「均勻最小變異不偏估計量」（Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator, UMVUE）。涉及的核心觀念包含：

1. 充分統計量（Sufficient Statistic）：利用奈曼－費雪因式分解定理（Neyman-Fisher Factorization Theorem）找出 $\theta$ 的充分統計量。
2. 完備統計量（Complete Statistic）：檢驗充分統計量的完備性。
3. 雷曼－薛費定理（Lehmann-Scheffé Theorem）：若 $T$ 是參數 $\theta$ 的完備充分統計量（Complete Sufficient Statistic），且存在某一函數 $g(T)$ 滿足 $E[g(T)] = \theta$，則 $g(T)$ 為 $\theta$ 唯一的 UMVUE。

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解題方法

步驟一：找出 $\theta$ 的充分統計量

母體機率密度函數（pdf）為：
$f(x|\theta) = \frac{1}{2\theta} I_{(-\theta, \theta)}(x) = \frac{1}{2\theta} I(|x| < \theta), \quad \theta > 0$

隨機樣本 $X_1, \ldots, X_n$ 的聯合機率密度函數（joint pdf）為：
$f(x_1, \ldots, x_n|\theta) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{1}{2\theta} I(|x_i| < \theta) \right] = \frac{1}{(2\theta)^n} \prod_{i=1}^n I(|x_i| < \theta)$

因為所有 $|x_i| < \theta$ 成立的充要條件是其最大值小於 $\theta$，即 $\max_{1 \le i \le n} |x_i| < \theta$，故聯合 pdf 可改寫為：
$f(x_1, \ldots, x_n|\theta) = \frac{1}{(2\theta)^n} I\left(\max_{1 \le i \le n} |x_i| < \theta\right) \cdot 1$

令統計量 $Y = \max_{1 \le i \le n} |X_i|$。根據奈曼－費雪因式分解定理，聯合 pdf 可分解為只含 $Y$ 與 $\theta$ 的函數以及不含 $\theta$ 的函數之乘積，因此：
$Y = \max_{1 \le i \le n} |X_i| \text{ 為 } \theta \text{ 的充分統計量}$

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步驟二：求 $Y$ 的抽樣分配並驗證完備性

令 $W_i = |X_i|$。由於 $X_i \sim U(-\theta, \theta)$，利用變數變換或幾何機率易得 $W_i$ 的累積分布函數（cdf）為：
$F_W(w) = P(|X_i| \le w) = P(-w \le X_i \le w) = \frac{2w}{2\theta} = \frac{w}{\theta}, \quad 0 < w < \theta$

即 $W_i \sim U(0, \theta)$（獨立同分布，i.i.d.）。

統計量 $Y = \max_{1 \le i \le n} W_i$ 為其極大順序統計量，其累積分布函數 $F_Y(y)$ 為：

核心觀念

1. 二維隨機變數的機率計算：
   若連續型隨機向量 $(X, Y)$ 具有聯合機率密度函數（joint pdf）$f(x, y)$，則事件 $A$ 的機率為聯合 pdf 在事件區域上的重積分：

   $$P((X, Y) \in A) = \iint_A f(x, y) \, dx dy$$

2. 積分區域的幾何判定與積分順序互換（Fubini's Theorem）：
   計算雙重積分時，選擇適當的積分次序（先對 $y$ 積分或先對 $x$ 積分）能大幅簡化計算難度。本題中，若先對 $y$ 積分，可直接利用指數函數反導函數的特性，避開複雜的分部積分。

3. 高斯型尾端積分與標準常態分佈：
   形式為 $\int_c^\infty e^{-x^2} \, dx$ 之積分無初等函數形式，研究所考試中標準表示法為化為標準常態分佈之累積分配函數 $\Phi(z)$、互補誤差函數 $\operatorname{erfc}(z)$，或不完全伽瑪函數（Incomplete Gamma Function）。

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解題方法

步驟一：確定聯合支撐集（Support）與目標事件區域

由題目給定之聯合 pdf：

$$f(x, y) = e^{-y}, \quad 0 < x < y < \infty$$

欲求事件為 $X < \sqrt{Y}$。

因為在支撐集內 $X > 0$，故不等式 $X < \sqrt{Y}$ 兩邊平方等價於：

$$Y > X^2$$

結合原支撐集的限制條件 $Y > X$ 與 $X > 0$，事件區域 $A$ 可表示為：

$$A = \left\{ (x, y) : x > 0 \text{ 且 } y > \max(x, x^2) \right\}$$

步驟二：分析分界點並分割積分區間

比較 $x$ 與 $x^2$ 的大小關係：

• 當 $0 < x < 1$ 時：$x^2 < x$，因此 $\max(x, x^2) = x$。此時 $y$ 的範圍為 $x < y < \infty$。
• 當 $x \ge 1$ 時：$x \le x^2$，因此 $\max(x, x^2) = x^2$。此時 $y$ 的範圍為 $x^2 < y < \infty$。

步驟三：設立雙重積分（先對 $y$ 積分）

將積分區域依 $x \in (0, 1)$ 與 $x \in [1, \infty)$ 分割為兩部分相加：

$$P(X < \sqrt{Y}) = \int_0^1 \left( \int_x^\infty e^{-y} \, dy \right) dx + \int_1^\infty \left( \int_{x^2}^\infty e^{-y} \, dy \right) dx$$

分別計算內部對 $y$ 的積分：

1. 第一項之內部積分： $$\int_x^\infty e^{-y} \, dy = \left[ -e^{-y} \right]_x^\infty = e^{-x}$$
2. 第二項之內部積分： $$\int_{x^2}^\infty e^{-y} \, dy = \left[ -e^{-y} \right]_{x^2}^\infty = e^{-x^2}$$

步驟四：計算外部對 $x$ 的積分

1. 計算第一項： $$\int_0^1 e^{-x} \, dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^1 = 1 - e^{-1}$$

核心觀念

本題探討**非正則統計模型（Non-regular model）**的點估計問題，核心概念涵蓋：

1. Cramér-Rao 不等式（Cramér-Rao Inequality）的正則條件（Regularity Conditions）：
   • 傳統 Cramér-Rao 下界（CRLB）成立的前提之一，為支撐集（Support）不得依賴未知參數 $\theta$（即 $\frac{d}{d\theta}\int f(x;\theta)dx = \int \frac{\partial}{\partial\theta} f(x;\theta)dx$ 之微積分交換條件成立）。
   • 當支撐集與參數有關（如 $U(0, \theta)$ 的支撐集為 $(0, \theta)$）時，正則條件不滿足，CRLB 不存在（或不適用）；若形式上硬套微商與 Fisher Information 的定義計算，將得到無效或矛盾的結果。
2. 極大概似估計量（MLE）：
   • 均勻分配 $U(0, \theta)$ 的概似函數為單調遞減函數，其 MLE 發生於邊界點，即最大順序統計量 $X_{(n)} = \max(X_1, \ldots, X_n)$。
3. 順序統計量（Order Statistics）之抽樣分配：
   • 設 $X_i \overset{\text{iid}}{\sim} U(0, \theta)$，則 $Y = X_{(n)}$ 的機率密度函數（pdf）為： $$f_Y(y) = n \left(\frac{y}{\theta}\right)^{n-1} \frac{1}{\theta} = \frac{n y^{n-1}}{\theta^n}, \quad 0 < y < \theta$$
   • 由此可推導其期望值與變異數，並調整常數建構出不偏估計量（UMVUE）。

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解題方法與推導

(a) Find the Cramer-Rao lower bound (CRLB) for any unbiased estimator.

令 $f(x;\theta) = \frac{1}{\theta} I_{(0, \theta)}(x)$。
其支撐集為 $\{x: 0 < x < \theta\}$，明顯相依於未知參數 $\theta$。

因此，積分與微分的對調條件：

$$\frac{d}{d\theta} \int_0^\theta f(x;\theta) \, dx \neq \int_0^\theta \frac{\partial}{\partial \theta} f(x;\theta) \, dx$$

不滿足。Cramér-Rao Regularity Conditions 被破壞，故嚴格而言 CRLB 並不存在（Does not exist / Not applicable）。

補充說明（形式推導之陷阱）：
若在忽略支撐集相依性下形式套用公式，令單一樣本的 $\ln f(X;\theta) = -\ln \theta$（在 $0 < X < \theta$ 內），則：

$$\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(X;\theta) = -\frac{1}{\theta}$$

形式計算之 Fisher 訊息量為：

$$I_n(\theta) = n E\left[\left(-\frac{1}{\theta}\right)^2\right] = \frac{n}{\theta^2}$$

則「形式上的 CRLB」為：

$$\frac{1}{I_n(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}$$

但必須特別強調：此形式推導在數學上並不成立，標準的數理統計理論認定此題的 CRLB 不適用（Not applicable）或不存在（Does not exist）。在考卷作答時，應同時指出「正則條件不符故不存在」，並附上若命題者疏忽正則條件時可能預期的「形式解 $\frac{\theta^2}{n}$」，方可確保萬無一失。

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(b) Find the unbiased estimator based on the maximum likelihood estimator.

1. 求 MLE：
   樣本的概似函數為：

   $$L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta} I_{(0, \theta)}(X_i) = \frac{1}{\theta^n} I_{(\max(X_1,\ldots,X_n), \infty)}(\theta) = \frac{1}{\theta^n} I_{(X_{(n)}, \infty)}(\theta)$$

   當 $\theta \ge X_{(n)}$ 時，$L(\theta) = \theta^{-n}$ 為 $\theta$ 的嚴格遞減函數；當 $\theta < X_{(n)}$ 時，$L(\theta) = 0$。
   因此，概似函數在邊界點 $\theta = X_{(n)}$ 達到最大值：

   $$\hat{\theta}_{\text{MLE}} = X_{(n)}$$

2. 計算 $E[X_{(n)}]$ 並進行偏誤修正：
   令 $Y = X_{(n)}$，其累積分配函數為：

   $$F_Y(y) = [P(X \le y)]^n = \left(\frac{y}{\theta}\right)^n, \quad 0 < y < \theta$$

   微分得 pdf：

核心觀念

本題屬於**階層模型（Hierarchical Models）**中條件期望值與條件變異數的經典應用，主要考驗以下三大機率與數理統計核心定理及性質：

1. 疊代期望值法則（Law of Iterated Expectations / Adam's Law）：
   $E[X] = E[E[X|Z]]$

2. 全變異數公式（Law of Total Variance / Eve's Law）：
   $\text{Var}(X) = E[\text{Var}(X|Z)] + \text{Var}(E[X|Z])$

3. 全共變異數公式（Law of Total Covariance）：
   $\text{Cov}(X, Y) = E[\text{Cov}(X, Y|Z)] + \text{Cov}(E[X|Z], E[Y|Z])$

4. 波氏稀疏性質（Poisson Thinning Property）：
   若 $N|\Lambda \sim \text{Poisson}(\Lambda)$ 且 $Y|N \sim \text{Bin}(N, p)$，則 $Y|\Lambda \sim \text{Poisson}(p\Lambda)$。

5. Gamma 分布的參數化慣例：
   在國內數理統計主流教材（如 Casella & Berger）中，$\text{Gamma}(\alpha, \beta)$ 預設 $\beta$ 為尺度參數（Scale parameter），其機率密度函數為 $f(\lambda) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}\lambda^{\alpha-1}e^{-\lambda/\beta}$，此時期望值為 $E[\Lambda] = \alpha\beta$，變異數為 $\text{Var}(\Lambda) = \alpha\beta^2$。（若依率參數 $\beta$（Rate parameter）定義，則 $E[\Lambda] = \frac{\alpha}{\beta}$、$\text{Var}(\Lambda) = \frac{\alpha}{\beta^2}$）。

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解題方法

步驟一：推導 $Y|\Lambda$ 的條件期望值與條件變異數

由題目已知階層結構：
$Y|N \sim \text{Bin}(N, p) \implies E[Y|N] = Np, \quad \text{Var}(Y|N) = Np(1-p)$
$N|\Lambda \sim \text{Poisson}(\Lambda) \implies E[N|\Lambda] = \Lambda, \quad \text{Var}(N|\Lambda) = \Lambda$

根據疊代期望值法則，給定 $\Lambda$ 下 $Y$ 的條件期望值為：
$E[Y|\Lambda] = E[E[Y|N]|\Lambda] = E[Np|\Lambda] = p E[N|\Lambda] = p\Lambda$

根據全變異數公式，給定 $\Lambda$ 下 $Y$ 的條件變異數為：
$\text{Var}(Y|\Lambda) = E[\text{Var}(Y|N)|\Lambda] + \text{Var}(E[Y|N]|\Lambda)$

將各項代入：
$\text{Var}(Y|\Lambda) = E[Np(1-p)|\Lambda] + \text{Var}(Np|\Lambda) = p(1-p)E[N|\Lambda] + p^2\text{Var}(N|\Lambda)$
$\text{Var}(Y|\Lambda) = p(1-p)\Lambda + p^2\Lambda = [p - p^2 + p^2]\Lambda = p\Lambda$

亦可直接由「波氏稀疏（Poisson Thinning）」性質得知：二項抽樣下的波氏隨機變數 $Y|\Lambda$ 服從 $\text{Poisson}(p\Lambda)$，故其條件平均值與條件變異數皆直接等於 $p\Lambda$。

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步驟二：計算 $\text{Var}(Y)$

再次利用全變異數公式，將對象由條件變異數推廣至無條件變異數：
$\text{Var}(Y) = E[\text{Var}(Y|\Lambda)] + \text{Var}(E[Y|\Lambda])$

將步驟一之結果代入：
$\text{Var}(Y) = E[p\Lambda] + \text{Var}(p\Lambda) = p E[\Lambda] + p^2 \text{Var}(\Lambda)$

已知 $\Lambda \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta)$（以尺度參數 $\beta$ 為準）：

核心觀念

本題評量數理統計學中兩大基石概念：

1. 機率密度函數（Probability Density Function, pdf）的定義性質：
   若函數 $f_X(x)$ 為連續型隨機變數 $X$ 的合法 pdf，必須同時滿足下列兩項公理條件：
   • 非負性（Non-negativity）：對所有 $x \in \mathbb{R}$，恆有 $f_X(x) \ge 0$。
   • 正規化條件（Total Probability）：全空間積分必為 $1$，即 $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = 1$。
2. 非單調隨機變數變換（Transformation of Non-monotonic Variables）：
   當轉換函數 $Y = g(X) = X^2$ 在 $X$ 的支撐集（Support）上非一對一（非單調）時，無法直接使用單變數變換的 Jacobian 公式，應採用累積分布函數法（CDF Technique）：先求出 $F_Y(y) = P(Y \le y)$，再對 $y$ 微分求得 $f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y)$。

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解題方法與推導步驟

第一部分：求常數 $c$

根據機率密度函數的正規化條件：

$$\int_{-2}^{1} f_X(x) \, dx = 1$$

展開積分計算：

$$\int_{-2}^{1} c(x + 1) \, dx = c \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-2}^{1}$$

代入上下限：

$$c \left( \left( \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( \frac{(-2)^2}{2} + (-2) \right) \right) = c \left( \frac{3}{2} - (2 - 2) \right) = \frac{3}{2}c$$

令全機率為 $1$：

$$\frac{3}{2}c = 1 \implies c = \frac{2}{3}$$

觀念補充與命題剖析：
嚴格依據機率公理檢驗，當 $x \in [-2, -1)$ 時，$x+1 < 0$；當 $x \in (-1, 1]$ 時，$x+1 > 0$。由於 $x+1$ 在區間內變號，嚴格來說不存在任何實數常數 $c$ 能保證 $f_X(x) \ge 0$ 於 $[-2, 1]$ 恆成立（此為歷屆試題常見之命題瑕疵，原題設計僅考量積分為 $1$ 之幾何代數計算）。考場作答應依命題者原意，取正規化條件解 $c = \frac{2}{3}$，並接續推導後續分布。

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第二部分：求 $Y = X^2$ 的 pdf

1. 確定 $X$ 與 $Y$ 的支撐集（Support）：

   • 隨機變數 $X \in [-2, 1]$。
   • 因 $Y = X^2$，故 $Y$ 的取值範圍為 $0 \le Y \le (-2)^2 = 4$。

2. 區間分割與累積分布函數 $F_Y(y)$ 的建立：
   事件 $\{Y \le y\}$ 即 $\{X^2 \le y\}$，其在實數軸上的對應集合為 $[-\sqrt{y}, \sqrt{y}]$。將此集合與 $X$ 的支撐集 $[-2, 1]$ 取交集：

   • 當 $y < 0$ 時，$F_Y(y) = 0$。
   • 當 $0 \le y \le 1$ 時：$\sqrt{y} \le 1$ 且 $-\sqrt{y} \ge -1 > -2$，$X$ 的積分範圍為 $[-\sqrt{y}, \sqrt{y}]$。
   • 當 $1 < y \le 4$ 時：$1 < \sqrt{y} \le 2$，由於 $X$ 的上限僅到 $1$，故 $X$ 的有效積分範圍截斷為 $[-\sqrt{y}, 1]$。
   • 當 $y > 4$ 時，$F_Y(y) = 1$。

3. 分段計算 $F_Y(y)$ 並微分求 $f_Y(y)$：

   • 情況一：當 $0 < y \le 1$ 時 $$F_Y(y) = P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{2}{3}(x + 1) \, dx$$ 利用對稱性（奇函數 $x$ 在對稱區間積分為 $0$，偶常數 $1$ 積分為 $2\sqrt{y}$）： $$F_Y(y) = \frac{2}{3} \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{y} = \frac{4}{3}\sqrt{y}$$ 兩邊對 $y$ 微分：

核心觀念

1. 檢定之大小（Size of a Test）：
   設檢定函數為 $\phi(\mathbf{X})$，型 I 錯誤機率函數為 $\alpha(\theta) = P_\theta(\text{Reject } H_0)$，則此檢定之大小定義為虛無假設參數空間 $\Theta_0$ 上的型 I 錯誤機率之上確界（Supremum）： $$\text{Size} = \sup_{\theta \in \Theta_0} P_\theta(\text{Reject } H_0)$$ 此處虛無假設空間為 $\Theta_0 = [\theta_1, \theta_2]$。
2. 區間虛無假設檢定之棄拒域結構：
   題目給定之檢定其拒絕域可拆分為兩個互斥事件的聯集： $$R_1 = \left\{ \frac{\bar{X} - \theta_1}{S/\sqrt{n}} < -t_{n-1, \alpha/2} \right\}, \quad R_2 = \left\{ \frac{\bar{X} - \theta_2}{S/\sqrt{n}} > t_{n-1, \alpha/2} \right\}$$
3. Student's $t$ 分配之性質：
   在常態母體 $N(\theta, \sigma^2)$ 下，隨機變數 $T(\theta) = \frac{\bar{X} - \theta}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$。且機率 $P_\theta\left(\frac{\bar{X} - c}{S/\sqrt{n}} > k\right)$ 隨 $\theta$ 嚴格遞增；$P_\theta\left(\frac{\bar{X} - c}{S/\sqrt{n}} < -k\right)$ 隨 $\theta$ 嚴格遞減。

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解題方法

題目之檢定拒絕域為：

$$R = R_1 \cup R_2$$

其中

$$R_1 = \left\{ \bar{X} < \theta_1 - t_{n-1, \alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}} \right\} = \left\{ \frac{\bar{X} - \theta_1}{S/\sqrt{n}} < -t_{n-1, \alpha/2} \right\}$$ $$R_2 = \left\{ \bar{X} > \theta_2 + t_{n-1, \alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}} \right\} = \left\{ \frac{\bar{X} - \theta_2}{S/\sqrt{n}} > t_{n-1, \alpha/2} \right\}$$

由於 $\theta_1 \le \theta_2$ 且 $t_{n-1, \alpha/2} > 0$、$S/\sqrt{n} > 0$，故：

$$\theta_1 - t_{n-1, \alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}} < \theta_2 + t_{n-1, \alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}$$

事件 $R_1$ 與 $R_2$ 為互斥事件（$R_1 \cap R_2 = \emptyset$）。因此，對任意母體平均數 $\theta$，檢定拒絕 $H_0$ 的機率為：

$$P_\theta(\text{Reject } H_0) = P_\theta(R_1) + P_\theta(R_2)$$

步驟一：計算端點 $\theta = \theta_1$ 之拒絕機率

當 $\theta = \theta_1$ 時：

1. 第一部分之機率： $$P_{\theta_1}(R_1) = P\left( \frac{\bar{X} - \theta_1}{S/\sqrt{n}} < -t_{n-1, \alpha/2} \right) = \frac{\alpha}{2}$$
2. 第二部分之機率： $$P_{\theta_1}(R_2) = P\left( \frac{\bar{X} - \theta_2}{S/\sqrt{n}} > t_{n-1, \alpha/2} \right) = P\left( \frac{\bar{X} - \theta_1}{S/\sqrt{n}} > t_{n-1, \alpha/2} + \frac{\theta_2 - \theta_1}{S/\sqrt{n}} \right)$$
   • 情況 A（若 $\theta_1 = \theta_2 = \theta_0$）：
     此時問題退化為雙尾檢定 $H_0: \theta = \theta_0$。此時： $$P_{\theta_1}(R_2) = P\left( \frac{\bar{X} - \theta_0}{S/\sqrt{n}} > t_{n-1, \alpha/2} \right) = \frac{\alpha}{2}$$ 因而 $P_{\theta_0}(\text{Reject } H_0) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$，但題意之假設為區間假設（非單點）。
   • 情況 B（若 $\theta_1 < \theta_2$）：
     由於 $S > 0$ 且 $\theta_2 - \theta_1 > 0$，故隨機變數 $t_{n-1, \alpha/2} + \frac{\theta_2 - \theta_1}{S/\sqrt{n}} > t_{n-1, \alpha/2}$ 幾乎處處成立。
     由於常態母體下 $S$ 的支持集為 $(0, \infty)$，該尾端機率嚴格大於 0： $$P_{\theta_1}(R_2) = \epsilon_1 > 0$$ 由此可得端點 $\theta = \theta_1$ 的型 I 錯誤機率為： $$P_{\theta_1}(\text{Reject } H_0) = \frac{\alpha}{2} + \epsilon_1 > \frac{\alpha}{2}$$

步驟二：分析虛無假設區間 $\Theta_0 = [\theta_1, \theta_2]$ 內之機率

同理，在另一端點 $\theta = \theta_2$ 處：

核心觀念

1. 樞紐量法（Pivotal Quantity Method）：
   尋找一個包含樣本與待估母數 $\theta$ 的隨機變數 $Q(\mathbf{X}, \theta)$，使得 $Q$ 的機率分配完全已知（不依賴任何未知母數）。利用 $P(a \le Q \le b) = 1 - \alpha$ 反解 $\theta$，即可求得其 $1 - \alpha$ 信心區間。
2. 極端值順序統計量（Order Statistics）的分配：
   由於母體支撐集（support）的上界由未知母數 $\theta$ 決定（$0 < x < \theta$），其充分統計量為樣本最大值 $X_{(n)} = \max(X_1, \ldots, X_n)$。選用以 $X_{(n)}$ 構造的標準化量作為樞紐量，可得到最短長度或最有效率的信心區間。
3. 單一觀察值與最大順序統計量的累積分布函數（CDF）：
   • 母體 CDF：$F(x) = \int_0^x \frac{2t}{\theta^2}\,dt = \left(\frac{x}{\theta}\right)^2$，$0 < x < \theta$。
   • 樣本最大值 $X_{(n)}$ 的 CDF：$F_{X_{(n)}}(y) = [F(y)]^n = \left(\frac{y}{\theta}\right)^{2n}$，$0 < y < \theta$。

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解題方法

步驟一：求母體累積分布函數（CDF）

由母體機率密度函數（pdf）：

$$f(x|\theta) = \frac{2x}{\theta^2}, \quad 0 < x < \theta$$

可得其累積分布函數（CDF）：

$$F(x) = \int_0^x \frac{2t}{\theta^2}\,dt = \frac{x^2}{\theta^2} = \left(\frac{x}{\theta}\right)^2, \quad 0 < x < \theta$$

步驟二：求最大順序統計量 $X_{(n)}$ 的分配

令 $X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n)$，其累積分布函數為：

$$F_{X_{(n)}}(y) = P(X_{(n)} \le y) = [F(y)]^n = \left[\left(\frac{y}{\theta}\right)^2\right]^n = \left(\frac{y}{\theta}\right)^{2n}, \quad 0 < y < \theta$$

步驟三：構造樞紐量（Pivotal Quantity）

定義隨機變數：

$$Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}$$

則 $Q$ 的取值範圍為 $(0, 1)$，其 CDF 為：

$$F_Q(q) = P\left(\frac{X_{(n)}}{\theta} \le q\right) = P(X_{(n)} \le q\theta) = \left(\frac{q\theta}{\theta}\right)^{2n} = q^{2n}, \quad 0 < q < 1$$

因為 $Q$ 的機率分配不依賴未知母數 $\theta$，故 $Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}$ 為一個合法的樞紐量。

步驟四：反解求信心區間

選取分位數常數 $0 < a < b \le 1$，使得：

$$P(a \le Q \le b) = 1 - \alpha$$

即：

$$F_Q(b) - F_Q(a) = b^{2n} - a^{2n} = 1 - \alpha$$

將 $Q = \frac{X_{(n)}}{\theta}$ 代入不等式中並反解 $\theta$：

$$a \le \frac{X_{(n)}}{\theta} \le b \iff \frac{1}{b} \le \frac{\theta}{X_{(n)}} \le \frac{1}{a} \iff \frac{X_{(n)}}{b} \le \theta \le \frac{X_{(n)}}{a}$$

步驟五：決定常數 $a$ 與 $b$

在統計實務與考試中，常見的選法有兩種：

1. 等尾選法（Equal-tailed Confidence Interval）：
   將型一錯誤率 $\alpha$ 平均分配在兩端：