115 年國立成功大學統計學研究所《統計學》考古題與詳解

Question 1

An ecologist wants to study the dietary of young adult blue crabs while feeding them on clams. She drops 150 live clams in each of the large aquarium of the same size at the same hour on the same day, and is wondering if the number of blue crabs living in an aquarium will give explanation to the number of live clams remaining (mutually independent across all aquarium) two days later by using a least-squares simple linear regression model. The number of crabs living in an aquarium and the number of remaining live clams at the time of observation are as shown in the following table. It is calculated that the total number of crabs in all aquariums is 34, the total number of live clams remaining is 485, the number of crabs squared has a total of 174, the number of remaining live clams squared has a total of 34257, the product of the two variables has a total of 1712.

Aquarium	1	2	3	4	5	6	7	8
Number of crabs	4	2	8	3	2	6	4	5
Number of clams	81	90	7	61	80	43	64	59

The slope of the estimated regression equation is
(A) -11.84
(B) 17.4
(C) -2.77
(D) 0.835
(E) -0.09

Accepted Answer

本題考驗對決定係數 (Coefficient of Determination, $R^2$ ) 的理解。決定係數衡量迴歸模型解釋了應變數變異的比例。

已知：
總樣本數 $n = 8$
迴歸總平方和 (Total Sum of Squares, $SST$ )：應變數 (remaining live clams) 的總變異。
殘差平方和 (Sum of Squared Errors, $SSE$ )：迴歸模型無法解釋的應變數變異。
迴歸平方和 (Regression Sum of Squares, $SSR$ )：迴歸模型解釋的應變數變異。
決定係數 $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$ 。

題目已提供以下資訊：
總螃蟹數 $\sum x_i = 34$
總剩餘蛤蜊數 $\sum y_i = 485$
螃蟹數平方和 $\sum x_i^2 = 174$
剩餘蛤蜊數平方和 $\sum y_i^2 = 34257$
乘積和 $\sum x_i y_i = 1712$

首先，計算樣本平均值：
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{34}{8} = 4.25$
$\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{485}{8} = 60.625$

接著，計算 $SST$ (應變數 $y$ 的總平方和)：
$SST = \sum y_i^2 - \frac{(\sum y_i)^2}{n} = 34257 - \frac{(485)^2}{8} = 34257 - \frac{235225}{8} = 34257 - 29403.125 = 4853.875$

Question 2

An ecologist wants to study the dietary of young adult blue crabs while feeding them on clams. She drops 150 live clams in each of the large aquarium of the same size at the same hour on the same day, and is wondering if the number of blue crabs living in an aquarium will give explanation to the number of live clams remaining (mutually independent across all aquarium) two days later by using a least-squares simple linear regression model. The number of crabs living in an aquarium and the number of remaining live clams at the time of observation are as shown in the following table. It is calculated that the total number of crabs in all aquariums is 34, the total number of live clams remaining is 485, the number of crabs squared has a total of 174, the number of remaining live clams squared has a total of 34257, the product of the two variables has a total of 1712.

Aquarium	1	2	3	4	5	6	7	8
Number of crabs	4	2	8	3	2	6	4	5
Number of clams	81	90	7	61	80	43	64	59

The slope of the estimated regression equation is
(A) -11.84
(B) 17.4
(C) -2.77
(D) 0.835
(E) -0.09

Accepted Answer

本題考驗簡單線性迴歸模型中斜率的計算。

迴歸直線的方程式為 $\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$ ，其中 $\hat{\beta}_1$ 是斜率。
斜率的計算公式為：
$\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$
其中：
$S_{xy} = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum x_i y_i - \frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}$
$S_{xx} = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}$

根據題目提供的資訊：
$n = 8$ (樣本數，共有 8 個水族箱)
$\sum x_i = 34$ (總螃蟹數)
$\sum y_i = 485$ (總剩餘蛤蜊數)

Question 3

An ecologist wants to study the dietary of young adult blue crabs while feeding them on clams. She drops 150 live clams in each of the large aquarium of the same size at the same hour on the same day, and is wondering if the number of blue crabs living in an aquarium will give explanation to the number of live clams remaining (mutually independent across all aquarium) two days later by using a least-squares simple linear regression model. The number of crabs living in an aquarium and the number of remaining live clams at the time of observation are as shown in the following table. It is calculated that the total number of crabs in all aquariums is 34, the total number of live clams remaining is 485, the number of crabs squared has a total of 174, the number of remaining live clams squared has a total of 34257, the product of the two variables has a total of 1712.

Aquarium	1	2	3	4	5	6	7	8
Number of crabs	4	2	8	3	2	6	4	5
Number of clams	81	90	7	61	80	43	64	59

The slope of the estimated regression equation is
(A) -11.84
(B) 17.4
(C) -2.77
(D) 0.835
(E) -0.09

Accepted Answer

本題考驗簡單線性迴歸模型中截距的計算。

迴歸直線的方程式為 $\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$ ，其中 $\hat{\beta}_0$ 是截距。
截距的計算公式為：
$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$
其中 $\bar{y}$ 是應變數 (remaining live clams) 的樣本平均值， $\bar{x}$ 是自變數 (number of crabs) 的樣本平均值， $\hat{\beta}_1$ 是迴歸線的斜率。

根據題目提供的資訊：
$n = 8$
$\sum x_i = 34$
$\sum y_i = 485$
$\sum x_i^2 = 174$
$\sum y_i^2 = 34257$
$\sum x_i y_i = 1712$

Question 4

An ecologist wants to study the dietary of young adult blue crabs while feeding them on clams. She drops 150 live clams in each of the large aquarium of the same size at the same hour on the same day, and is wondering if the number of blue crabs living in an aquarium will give explanation to the number of live clams remaining (mutually independent across all aquarium) two days later by using a least-squares simple linear regression model. The number of crabs living in an aquarium and the number of remaining live clams at the time of observation are as shown in the following table. It is calculated that the total number of crabs in all aquariums is 34, the total number of live clams remaining is 485, the number of crabs squared has a total of 174, the number of remaining live clams squared has a total of 34257, the product of the two variables has a total of 1712.

Aquarium	1	2	3	4	5	6	7	8
Number of crabs	4	2	8	3	2	6	4	5
Number of clams	81	90	7	61	80	43	64	59

The slope of the estimated regression equation is
(A) -11.84
(B) 17.4
(C) -2.77
(D) 0.835
(E) -0.09

Accepted Answer

本題考驗殘差 (residual) 的計算。殘差定義為實際觀測值與迴歸模型預測值之間的差異。
$e_i = y_i - \hat{y}_i$
其中 $y_i$ 是實際觀測值， $\hat{y}_i$ 是迴歸模型預測的值。

首先，我們需要找到題目所問的特定觀測值。題目問的是「有三個藍蟹 living in it」的水族箱。從表格中，我們找到 Aquarium 編號 4，其螃蟹數 $x_4 = 3$ ，對應的實際剩餘蛤蜊數 $y_4 = 61$ 。

接著，我們需要計算當 $x=3$ 時，迴歸模型預測的蛤蜊數 $\hat{y}_4$ 。
迴歸直線方程式為 $\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$ 。
從前面問題的計算，我們得知：
截距 $\hat{\beta}_0 \approx 110.940665$

Question 5

It is calculated that the sum of squares of all residuals is 719.1102, the statistic for testing whether the true value of the slope of the model is zero or not, while assuming that the random error of the model is normally distributed, would have an observed value of
(A) 4.61
(B) -1.43
(C) 3.13
(D) 3.23
(E) -5.874

Accepted Answer

本題考驗迴歸分析中的 t 檢定統計量計算，用於檢定斜率是否顯著不為零。

檢定統計量 $t$ 的公式為：
$t = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_{1,0}}{SE(\hat{\beta}_1)}$
其中 $\hat{\beta}_1$ 是樣本估計的斜率， $\beta_{1,0}$ 是虛無假設下的斜率值（在此題中是 0）， $SE(\hat{\beta}_1)$ 是斜率估計值的標準誤。

標準誤 $SE(\hat{\beta}_1)$ 的計算公式為：
$SE(\hat{\beta}_1) = \frac{s_e}{\sqrt{S_{xx}}}$
其中 $s_e$ 是殘差標準差 (standard error of the estimate)， $S_{xx}$ 是自變數 $x$ 的平方和修正項。

殘差標準差 $s_e$ 的計算公式為：
$s_e = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}}$
其中 $SSE$ 是殘差平方和 (Sum of Squared Errors)， $n$ 是樣本數。

Question 6

It is calculated that the sum of squares of all residuals is 719.1102, the statistic for testing whether the true value of the slope of the model is zero or not, while assuming that the random error of the model is normally distributed, would have an observed value of
(A) 4.61
(B) -1.43
(C) 3.13
(D) 3.23
(E) -5.874

Accepted Answer

本題考驗迴歸分析中用於檢定斜率是否為零的 t 檢定統計量。這與問題 5 實際上是相同的問題，只是提問方式略有不同。

迴歸直線的斜率檢定統計量 $t$ 的公式為：
$t = \frac{\hat{\beta}_1}{SE(\hat{\beta}_1)}$
其中 $\hat{\beta}_1$ 是樣本估計的斜率， $SE(\hat{\beta}_1)$ 是斜率估計值的標準誤。

$SE(\hat{\beta}_1) = \frac{s_e}{\sqrt{S_{xx}}}$
$s_e = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}}$

已知：
$SSE = 719.1102$
$n = 8$
$S_{xx} = 29.5$ (從問題 2 計算得到)
$\hat{\beta}_1 \approx -11.83898$ (從問題 2 計算得到)

Question 7

It is calculated that the sum of squares of all residuals is 719.1102, the statistic for testing whether the true value of the slope of the model is zero or not, while assuming that the random error of the model is normally distributed, would have an observed value of
(A) 1
(B) 1.968
(C) 2.131
(D) 0.954
(E) 10.14

Accepted Answer

核心觀念 本題考查簡單線性迴歸中，檢定母體斜率是否為 $0$ 的 $t$ 檢定。 模型為 $$ Yi=\beta0+\beta1Xi+\varepsiloni, \qquad \varepsiloni\overset{	ext{i.i.d.}}{\sim}N(0,\sigma^2) $$ 欲檢定 $$ H0:\beta1=0 \qquad	ext{vs.}\qquad H1:\beta1
eq 0 $$ 斜率的檢定統計量為 $$ t=\frac{\hat{\beta}1-0}{\operatorname{SE}(\hat{\beta}1)} =\frac{\hat{\beta}1}{\sqrt{MSE/S{xx}}} $$ 其中 $$ MSE=\frac{SSE}{n-2}, \qquad S{xx}=\sum{i=1}^n(Xi-\bar X)^2 $$ 因此，在誤差項服從常態分配的前提下， $$ t\sim t{n-2}. $$ 解題方法 題目給出殘差平方和 $$ SSE=\sum ei^2=719.1102. $$ 先由迴歸分析資料計算誤差均方： $$ MSE=\frac{719.1102}{n-2}. $$ 再代入斜率標準誤： $$ \operatorname{SE}(\hat{\beta}1) =\sqrt{\frac{MSE}{S{xx}}}, $$ 最後得到斜率檢定統計量： $$ t=\frac{\hat{\beta}1}{\sqrt{MSE/S{xx}}}. $$ 依本題完整迴歸資料所計算出的斜率檢定統計量為

Question 8

To test whether the mean of the distribution of number of remaining live clams in an aquarium is 50 or not, while assuming that the distribution is normal, the observed value of the test statistic is
(A) 0.76
(B) -2.81
(C) 1.14
(D) 0.62
(E) incalculable

Accepted Answer

本題考驗單一樣本平均數檢定 (one-sample mean test) 的統計量計算。 假設檢定： 虛無假設 $H0: \mu = 50$ (水族箱中剩餘蛤蜊的平均數為 50) 對立假設 $Ha: \mu 
eq 50$ (水族箱中剩餘蛤蜊的平均數不為 50) 檢定統計量（當母體標準差未知時，使用 t 檢定）： $$ t = \frac{\bar{x} - \mu0}{s/\sqrt{n}} $$ 其中： $\bar{x}$ 是樣本平均數。 $\mu0$ 是虛無假設下的母體平均數 (即 50)。 $s$ 是樣本標準差。 $n$ 是樣本數。 題目已提供： $n = 8$ $\sum yi = 485$ $\sum yi^2 = 34257$ $\mu0 = 50$ 首先計算樣本平均數 $\bar{y}$： $\bar{y} = \frac{\sum yi}{n} = \frac{485}{8} = 60.625$

Question 9

To test whether the mean of the distribution of number of remaining live clams in an aquarium is 50 or not, while assuming that the distribution is normal, the observed value of the test statistic is
(A) between 0.1 and 0.2
(B) greater than 0.5
(C) smaller than 0.05
(D) between 0.2 and 0.3
(E) incalculable

Accepted Answer

本題要求計算問題 8 中 t 檢定的 p 值。

從問題 8 的計算，我們得到：
檢定統計量 $t \approx 1.1413$
樣本數 $n = 8$
自由度 $df = n-1 = 8-1 = 7$

我們需要找到 P 值，即在虛無假設為真時，觀察到極端值（或更極端值）的機率。由於是對稱檢定 (two-tailed test)，P 值為 $P(|T_{df}| \ge |t|)$ 。

我們需要查找 t 分配表或使用統計軟體來找到當自由度為 7 時，t 值為 1.1413 的 P 值。

查閱 t 分配表（通常提供右尾機率）：
對於 $df=7$ ，尋找 $t=1.1413$ 附近的值。
在 t 分配表中，對於 $df=7$ ：
P(T > 0.711) = 0.25
P(T > 1.061) = 0.20
P(T > 1.415) = 0.10
P(T > 1.895) = 0.05

我們的 t 值是 1.1413。
因為 $1.061 < 1.1413 < 1.415$ ，所以右尾機率 $P(T_7 \ge 1.1413)$ 介於 0.10 和 0.20 之間。
也就是說， $0.10 < P(T_7 \ge 1.1413) < 0.20$ 。

Question 10

A random sample of 100 printed circuit boards is taken and the number of defects on each board is recorded, results of which is shown in the following table. Knowing that $e^{-0.8} = 0.44933$ and $e^{0.8} = 2.225541$ , and if number of defects found on each board is assumed to follow a Poisson distribution with mean 0.8,

Number of defects	0	1	2	3 or more
Number of boards in the sample with above number of defects	46	21	12	8

To test whether the assumption on the Poisson distribution for number of defects observed on a board seem appropriate, the observed value of the test statistic is
(A) 13.59
(B) -2.88
(C) 5.06
(D) 1.37
(E) incalculable

Accepted Answer

本題考驗對 Poisson 分配的理解與應用，以及機率計算。

題目假設每個電路板的缺陷數服從 Poisson 分配，平均數 $\lambda = 0.8$ 。
Poisson 分配的機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
其中 $k$ 是事件發生的次數（在此為缺陷數）， $\lambda$ 是平均發生率。

題目要求計算隨機選取的電路板有兩個缺陷的機率，即 $P(X=2)$ 。
我們已知 $\lambda = 0.8$ 。
$P(X=2) = \frac{(0.8)^2 e^{-0.8}}{2!}$
$P(X=2) = \frac{0.64 \times e^{-0.8}}{2}$
題目給定 $e^{-0.8} = 0.44933$ 。
$P(X=2) = \frac{0.64 \times 0.44933}{2}$

Question 11

A random sample of 100 printed circuit boards is taken and the number of defects on each board is recorded, results of which is shown in the following table. Knowing that $e^{-0.8} = 0.44933$ and $e^{0.8} = 2.225541$ , and if number of defects found on each board is assumed to follow a Poisson distribution with mean 0.8,

Number of defects	0	1	2	3 or more
Number of boards in the sample with above number of defects	46	21	12	8

To test whether the assumption on the Poisson distribution for number of defects observed on a board seem appropriate, the observed value of the test statistic is
(A) 13.59
(B) -2.88
(C) 5.06
(D) 1.37
(E) incalculable

Accepted Answer

核心觀念

本題是在檢定每片印刷電路板的缺陷數是否服從平均數為 $\lambda=0.8$ 的 Poisson 分布，應使用卡方適合度檢定。

若樣本數為 $n$ ，各類別的理論機率為 $p_i$ ，則期望次數為

E_i=np_i

卡方檢定統計量為

\chi^2=\sum_i\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}

其中 $O_i$ 為觀察次數， $E_i$ 為期望次數。

解題方法

Poisson 分布的機率質量函數為

P(X=x)=\frac{e^{-0.8}(0.8)^x}{x!}

因此：

P(X=0)=e^{-0.8}=0.44933

P(X=1)=0.8e^{-0.8}=0.359464

P(X=2)=\frac{0.8^2}{2}e^{-0.8} =0.32e^{-0.8}=0.143786

而

P(X\geq 3) =1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)

=1-0.44933-0.359464-0.143786 =0.047420

若樣本確實為 $100$ 片，理論期望次數應為：

缺陷數	觀察次數 $O_i$	期望次數 $E_i$
$0$	$46$	$44.933$
$1$	$21$	$35.946$
$2$	$12$	$14.379$

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Question 12

Angela is taking an accounting course, and his instructor states in the course outline that the final grade received by any student for the course is contributed by

All exams are out of 100 marks. Angela received scores of 70 on term test 1, 60 on term test 2, 80 on term test 3, and 75 on term test 4. To receive a final grade of B+ in the course, a student requires a final grade of 75 or higher. What is the minimum score Angela must get on the final exam in order to receive a final grade of B+?
(A) 90.5
(B) 70
(C) 75.5
(D) 75
(E) 80

Accepted Answer

本題考驗加權平均數的計算，用於確定獲得特定總分的最低要求。

首先，計算 Angela 已獲得的學期分數總貢獻：
Term test 1: $70 \times 10\% = 70 \times 0.10 = 7$ 分
Term test 2: $60 \times 15\% = 60 \times 0.15 = 9$ 分
Term test 3: $80 \times 15\% = 80 \times 0.15 = 12$ 分
Term test 4: $75 \times 20\% = 75 \times 0.20 = 15$ 分

Question 13

The instructor of Angela's Statistics class learns from the past that 10% of all students enrolled in the same course have earned a final grade of A or above.
What is the probability that, of ten randomly chosen students from Angela's class, exactly one will earn a final grade of A or above?
(A) 0.1
(B) 0.9936
(C) 0.8863
(D) 0.0328
(E) 0.3874

Accepted Answer

本題考驗二項分配 (Binomial distribution) 的應用。

問題描述了一個重複進行的獨立試驗，每次試驗有兩種結果：成功（獲得 A 或以上成績）或失敗（未獲得 A 或以上成績）。
成功機率 $p = 0.10$ (10% 的學生獲得 A 或以上成績)。
失敗機率 $q = 1 - p = 1 - 0.10 = 0.90$ 。
試驗次數 $n = 10$ (隨機選擇 10 位學生)。
我們要求的是恰好有 1 位學生獲得 A 或以上成績，即 $k = 1$ 。

Question 14

The instructor of Angela's Statistics class learns from the past that 10% of all students enrolled in the same course have earned a final grade of A or above.
What is the probability that, of five randomly chosen students from Angela's class, no one will earn a final grade of A or above?
(A) 0.5905
(B) almost 0
(C) 0.0003
(D) 0.1074
(E) 0.2843

Accepted Answer

本題同樣考驗二項分配 (Binomial distribution) 的應用。

成功機率 $p = 0.10$ (獲得 A 或以上成績)。
失敗機率 $q = 1 - p = 0.90$ 。
試驗次數 $n = 5$ (隨機選擇 5 位學生)。
我們要求的是沒有學生獲得 A 或以上成績，即 $k = 0$ 。

二項分配的機率質量函數為：
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
將已知值代入：
$P(X=0) = \binom{5}{0} (0.10)^0 (0.90)^{5-0}$

Question 15

There are ninety students in Angela's class, how many do you expect will earn a final grade of A or above? (A) 14 (B) 10 (C) 9 (D) 15 (E) 21

Accepted Answer

本題考驗期望值的計算，對於二項分配，期望值 E(X) = np。

Question 16

Continue from question 15, the probability that more than forty-four students in Angela's class will earn a final grade of A or above is approximately (A) 0.05 (B) almost 0 (C) 0.9 (D) 0.1 (E) 0.5

Accepted Answer

本題考驗二項分配的近似計算，當樣本數 $n$ 較大時，可以使用常態分配來近似二項分配。

已知：
$n = 90$
$p = 0.10$
$q = 1 - p = 0.90$
我們要求 $P(X > 44)$ ，其中 $X$ 是獲得 A 或以上成績的學生人數。

計算二項分配的平均數和標準差：
平均數 $\mu = np = 90 \times 0.10 = 9$
變異數 $\sigma^2 = npq = 90 \times 0.10 \times 0.90 = 8.1$
標準差 $\sigma = \sqrt{8.1} \approx 2.846$

由於 $np = 9 \ge 5$ 且 $nq = 90 \times 0.90 = 81 \ge 5$ ，我們可以使用常態分配來近似。
常態分配的平均數為 $\mu = 9$ ，標準差為 $\sigma \approx 2.846$ 。

Question 17

The annual rainfall in Tainan city follows a normal distribution with the standard deviation known to be 38 mm, and assuming that rainfall for any one-year period is independent of one another.
In 20% of years in past history, the city gets over 2200 mm of rain. What is the mean annual rainfall in Tainan city (in mm)?
(A) 2232.819
(B) 34.702
(C) 32.654
(D) 2168.018
(E) 2238.154

Accepted Answer

本題考驗常態分配的性質，以及如何利用百分位數來求解平均數。

已知：
年降雨量服從常態分配。
母體標準差 $\sigma = 38$ mm。
在 20% 的年份，降雨量超過 2200 mm。這意味著 2200 mm 是該常態分配的第 80 個百分位數 (100% - 20% = 80%)。
我們要找出年平均降雨量，即常態分配的平均數 $\mu$ 。

設年降雨量為隨機變數 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ，其中 $\sigma = 38$ 。
我們知道 $P(X > 2200) = 0.20$ 。
這等價於 $P(X \le 2200) = 1 - 0.20 = 0.80$ 。

將 $X$ 標準化為 z 值： $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 。

Question 18

Continue from the last question, of June each year if it is noticed that annual rainfall (for the past 12 months) is to reach two standard deviation below the mean or less, a water shortage warning is to be issued by the city government. What is the probability that a warning is to be issued in June in a typical year?
(A) 0.0228
(B) 0.9772
(C) 0.0188
(D) 0.0255
(E) 0.925

Accepted Answer

本題考驗常態分配的性質，以及如何計算特定事件發生的機率。

從問題 17，我們已知：
年平均降雨量 $\mu \approx 2168.0192$ mm。
年降雨量的標準差 $\sigma = 38$ mm。
年降雨量服從常態分配 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 。

題目描述的「水資源短缺警告」條件是：年降雨量達到「平均數減去兩個標準差或更少」。
即 $X \le \mu - 2\sigma$ 。

Question 19

Continue from question 17, the third quartile of the distribution of the amount of annual rainfall in Tainan city is (A) 2193.65 (B) 3141.96 (C) 2877.35 (D) 3579.48 (E) 1602.85

Accepted Answer

本題考驗常態分配的性質，以及如何利用百分位數來求解特定值。

已知：
年平均降雨量 $\mu \approx 2168.0192$ mm。
年降雨量的標準差 $\sigma = 38$ mm。
年降雨量服從常態分配 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 。

第三四分位數 (third quartile) 是指將數據分成四等份時，位於 75% 位置的值。也就是說，75% 的數據小於或等於這個值，25% 的數據大於這個值。
所以，第三四分位數是該常態分配的第 75 個百分位數。

我們需要計算 $P(X \le Q_3) = 0.75$ ，其中 $Q_3$ 是第三四分位數。
將 $X$ 標準化為 z 值： $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 。

Question 20

Over a ten-year period, the probability of observing an average annual rainfall for the ten years having the same value of the mean annual rainfall found in question 17 is
(A) 0.5675
(B) 0.5388
(C) 0
(D) 0.5
(E) 0.4899

Accepted Answer

本題考驗對常態分配平均數的機率理解。

在連續型隨機變數的機率分佈中，任一個特定點的機率為零。
年降雨量服從連續型常態分配。
平均年降雨量 $\mu$ 是一個確定的值（在問題 17 中計算得到 $\mu \approx 2168.0192$ ）。
當我們考慮「十年的平均年降雨量」這個隨機變數時，其期望值仍然是 $\mu$ 。
然而，要求這個平均值「恰好等於」一個確定的值 $\mu$ 的機率，在連續機率分佈中，這個機率是 0。

Question 21

Over a ten-year period, the probability of observing an average annual rainfall of 2130 mm or less is (A) 0.0037 (B) 0.0217 (C) 0.0212 (D) 0.0008 (E) 0.0073

Accepted Answer

本題考驗中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 在計算樣本平均數機率上的應用。

已知：
年降雨量服從常態分配 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 。
$\mu \approx 2168.0192$ mm (從問題 17 計算)。
$\sigma = 38$ mm。

我們考慮一個 10 年的期間，即樣本數 $n=10$ 。
根據中央極限定理，樣本平均數 $\bar{X}$ 的分佈近似於常態分配 $N(\mu_{\bar{X}}, \sigma^2_{\bar{X}})$ 。
其中：
平均數 $\mu_{\bar{X}} = \mu \approx 2168.0192$ 。
變異數 $\sigma^2_{\bar{X}} = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{38^2}{10} = \frac{1444}{10} = 144.4$ 。

Question 22

Continue from question 17, the minimum value (in mm) we can use to characterize the top 20% in annual rainfall is (A) 3362.922 (B) 5.753 (C) 58.846 (D) 2200.000 (E) 5078.144

Accepted Answer

本題考驗常態分配的性質，以及如何利用百分位數來求解特定值。這與問題 17 類似，只是這次是求「頂部 20%」的最小值。

已知：
年平均降雨量 $\mu \approx 2168.0192$ mm (從問題 17 計算)。
年降雨量的標準差 $\sigma = 38$ mm。
年降雨量服從常態分配 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 。

「頂部 20%」的最小值，意味著有 20% 的降雨量大於這個值，也就是說，這個值是第 80 個百分位數。
這與問題 17 的條件是相同的： $P(X > \text{value}) = 0.20$ ，或 $P(X \le \text{value}) = 0.80$ 。

Question 23

At a nearby shopping mall a statistician analyzed that, the amount spent by customers in a grocery store follows some distribution with mean μ (in dollar) and variance 1324 (in dollar²) on New Year's Day, and independent of grocery purchases, the amount spent by customers in a gift shop follows some distribution with mean 204 (in dollar) and variance 1089 (in dollar²).
It is estimated that the mean of total spending on grocery and gifts by a customer at the mall on New Year's Day is 620. Which of the following is a reasonable estimate for the mean amount of spending by customers in a grocery store?
(A) 310
(B) 416
(C) 765
(D) 408
(E) It can not be estimated.

Accepted Answer

本題考驗隨機變數的期望值性質。

設：
$G$ 為顧客在雜貨店 (grocery store) 的花費，其平均數為 $E(G) = \mu$ (未知)，變異數 $\text{Var}(G) = 1324$ 。
$F$ 為顧客在禮品店 (gift shop) 的花費，其平均數 $E(F) = 204$ ，變異數 $\text{Var}(F) = 1089$ 。

Question 24

Continue from the last question, while assuming that spending in a grocery store and spending in a gift shop are normally distributed, what is the probability that a randomly surveyed customer will spend more than 720 on New Year's Day?
(A) 0.021
(B) 0.004
(C) 0.653
(D) 0.131
(E) It can not be calculated.

Accepted Answer

本題考驗常態分配的性質，以及兩個獨立常態隨機變數和的分配。

已知：
雜貨店花費 $G \sim N(\mu, \sigma_G^2)$ ，其中 $\mu = 416$ (從問題 23 計算)， $\sigma_G^2 = 1324$ 。
禮品店花費 $F \sim N(E(F), \sigma_F^2)$ ，其中 $E(F) = 204$ ， $\sigma_F^2 = 1089$ 。

總花費 $T = G + F$ 。
由於 $G$ 和 $F$ 都服從常態分配且相互獨立，則它們的和 $T$ 也服從常態分配。

總花費的平均數：
$E(T) = E(G) + E(F) = 416 + 204 = 620$ 。
（這與問題 23 中給定的總平均數 620 相符。）

總花費的變異數：
$\text{Var}(T) = \text{Var}(G) + \text{Var}(F)$ (由於獨立性)
$\text{Var}(T) = 1324 + 1089 = 2413$ 。

總花費的標準差：
$\sigma_T = \sqrt{2413} \approx 49.1223$ 。

所以，總花費 $T \sim N(620, 2413)$ 。

Question 25

What minimum sample size would be required in order to estimate μ to within 15 with 95% confidence while assuming that spending in a grocery store is normally distributed?
(A) 23
(B) 128
(C) 16
(D) 45
(E) 76

Accepted Answer

本題考驗樣本大小的計算，用於估計平均數的信賴區間。

我們希望估計雜貨店的平均花費 $\mu$ (即問題 23 中的 $\mu$ )。
要求估計的誤差範圍 (margin of error, $ME$ ) 不超過 15。
信賴水準為 95%。
假設雜貨店花費 $G$ 服從常態分配，其變異數 $\sigma_G^2 = 1324$ 。
因此，標準差 $\sigma_G = \sqrt{1324} \approx 36.387$ 。

對於 95% 的信賴水準，標準常態分配的臨界值 $z_{\alpha/2}$ 為 1.96。

Question 26

The school principal of an elementary school wants to determine whether student performance in an aptitude test in math course differs depending on their grade (from Kindergarten to Grade 6) and the time of day the math class is taught. Grade-4, -5 and -6 students are asked to take the same aptitude test, students in each grade are separated into either the morning math class or the afternoon math class according to students preference of enrolment at the beginning of school year. At the end of the year, the principal will analyze and compare the average grades of the students in the six classes. This example describes
(A) a census.
(B) an observational study.
(C) an experiment of completely randomized design with four treatments.
(D) a sample survey intended for three target populations.
(E) an experiment of matched pairs design with two treatments.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查研究設計的分類，關鍵在於判斷： 1. 研究者是否主動施加處理； 2. 受試者是否以隨機方式分派至各組； 3. 研究對象是全體母體，還是其中的樣本。 本題有兩個研究變數： - 年級：四年級、五年級、六年級，共 3 個水準； - 上課時段：上午班、下午班，共 2 個水準。 因此形成 $3 	imes 2=6$ 個班級組合，最後比較六組學生的數學性向測驗平均成績。 解題方法 判斷研究設計時，先觀察學生如何進入上午班或下午班。題目指出，學生是依照學年開始時的「選課偏好」分班，而不是由校長或研究者隨機分派。 也就是說： - 研究者沒有指定學生接受上午或下午的課程； - 學生依自己的偏好選擇上課時段； - 研究者只在學年結束後觀察並比較各組的平均成績。 這符合觀察性研究（observational study）的定義：研究者不主動控制處理，只觀察既有分組下的結果。 本題可表示為： $$ 	ext{年級} 	imes 	ext{上課時段} = 3 	imes 2 = 6	ext{ 組} $$ 但「有六組」不代表是有六個隨機處理的實驗。由於上課時段是學生自行選擇，無法將成績差異完全歸因於上午或下午上課，學生的學習動機、生活作息等因素可能同時影響選課與測驗成績，形成混淆或選擇偏誤。 選項分析 (A) a census（普查） 錯誤。普查是對目標母體中的每一個成員都進行調查或測量。 本題的核心分類在於研究者沒有操弄上課時段，而是依學生偏好觀察結果，因此屬於觀察性研究。即使實際上測量了所有四至六年級學生，研究仍可同時具有「普查」的資料蒐集特徵，但在本題選項中，最符合研究設計的分類是觀察性研究，而非普查。 (B) an observational study（觀察性研究） 正確。學生自行選擇上午班或下午班，研究者沒有隨機分派，也沒有主動施加不同課程處理；研究者只是比較六組學生的平均測驗成績。 因此本題是觀察性研究。

Question 27

The NCKU Student Union has recently left a message on Facebook inquiring about the opinion of removing the penalty of put students on academic suspension for failing more than 1/2 of total credit hours of course enrolment in a semester. A QR code is made available everywhere on the university campus for all those who wish to submit their opinions on this topic through mobile phones. Everyone who, collectively, submits his or her response through the survey is a part of a
(A) systematic random sample.
(B) complete random sample.
(C) probability sample.
(D) convenience sample.
(E) voluntary response sample.

Accepted Answer

核心觀念

本題考查抽樣方法的辨識，關鍵在於判斷「樣本中的人是如何被選入來提供意見」。

**自願反應樣本（voluntary response sample）**是指研究者公開發出調查邀請，由受訪者自行決定是否參與；通常是對議題特別有興趣、意見特別強烈或特別關心結果的人較願意回覆，因此容易產生自願反應偏差。

題目中，成功大學學生會在 Facebook 公開徵詢意見，並在校園各處提供 QR code，讓「願意」表達意見的人自行填答。樣本成員不是由研究者隨機抽出，而是自行決定是否提交回覆，因此屬於自願反應樣本。

解題方法

判斷步驟如下：

學生會將調查公開給全校學生。
每位學生是否掃描 QR code 並填寫問卷，由自己決定。
研究者沒有按照學號、名單或固定間隔抽取樣本。
也沒有對全體學生進行普查。
因此，實際回覆者是「自行選擇參與」的學生。

這正符合自願反應樣本的定義：

\text{公開邀請}+\text{受訪者自行決定是否回覆} \Rightarrow \text{自願反應樣本}

選項分析

(A) systematic random sample

錯誤。

系統抽樣是先建立抽樣名單，再按照固定間隔選取樣本。例如從學生名冊中每隔 20 人抽取 1 人，或選取第 5、25、45 位學生。

本題沒有依照固定間隔抽取學生，學生是否參與完全取決於自身意願，因此不是系統抽樣。

(B) complete random sample

錯誤。

「complete random sample」並不是本題所描述的標準抽樣方法。

Question 28

Please refer to the following line of random digits to help you answer questions 28 to 30.
31214 12231 51371 36240 58253 05092 50287 23253 60399 79270 24863 97576 01139
We are given the instructions by the University information technology staff that students associated with the institution are to reset the password for their email accounts.
Suppose only the lowercase English alphabet letters can be used for creating a password 8 characters long while allowing for repeated characters in the chosen password, which of the following is a possible randomly generated password by using the random digits?
(A) newyearn
(B) kauboqu
(C) foodiemo
(D) bdluuylc
(E) akvrjjmt

Accepted Answer

核心觀念

本題考查「利用隨機數表產生隨機字串」以及隨機抽樣中的編碼方法。

若密碼只能使用 $26$ 個小寫英文字母，可將字母編碼為：

01\to a,\ 02\to b,\ \ldots,\ 26\to z

由於隨機數表中的兩位數可能落在 $27$ 至 $99$ ，這些數字不對應任何英文字母，必須捨棄，再繼續讀取後續兩位數。這是一種拒絕抽樣（rejection sampling）。

解題方法

將題目所給隨機數由左至右每兩位分組：

31,\ 21,\ 41,\ 22,\ 31,\ 51,\ 37,\ 13,\ 62,\ 40,\ 58,\ 25,\ 30,\ 50,\ 92,\ 50,

28,\ 72,\ 32,\ 53,\ 60,\ 39,\ 97,\ 92,\ 70,\ 24,\ 86,\ 39,\ 75,\ 76,\ 01,\ 13

其中只有 $01$ 至 $26$ 可以轉換成英文字母，因此保留：

$21,\ 22,\ 13,\ 25,\ 24,\ 01,\ 13$

依照 $01=a,\ldots,26=z$ 轉換：

Question 29

Suppose only the lowercase English alphabet letters can be used for creating a password 8 characters long while repeating characters in the chosen password is not allowed, which of the following is a possible randomly generated password by the random digits?
(A) bookworm
(B) wpqziyav
(C) Invpfmx
(D) kaubqtej
(E) jetqkaub

Accepted Answer

核心觀念 本題考查密碼形成的基本條件： 1. 密碼長度必須為 $8$ 個字元。 2. 每個字元只能是小寫英文字母，即 $a$ 至 $z$。 3. 密碼中不得重複使用任何字母。 判斷選項時，只需逐一檢查「長度、大小寫、字母是否重複」三項條件。 解題方法 依序檢查每個選項： - 字元數不是 $8$ 個，直接淘汰。 - 含有大寫字母，違反只能使用小寫字母的規定。 - 同一字母出現兩次以上，違反不可重複的規定。 - 同時符合三項條件者，即為可能的密碼。 選項分析 (A) bookworm 共有 $8$ 個字母： $$ b,o,o,k,w,o,r,m $$ 但字母 $o$ 出現 $3$ 次，重複使用字母，因此不符合條件。 (B) wpqziyav 共有 $8$ 個字母： $$ w,p,q,z,i,y,a,v $$ 全部為小寫英文字母，且八個字母彼此不同，因此符合條件，是可能的密碼。 (C) Invpfmx

Question 30

Which of the following is NOT true about the line of random digits in the above?
I. The first digit is equally likely to be any digit other than 9.
II. The first two digits are equally likely to be 33 if not 18.
III. The first two digits are less likely to be 33 if not 18.
IV. The probability of the first two letters to be included in the password being 'a' and 'b' is 1/100.
V. The probability of the first two letters to be included in the password being 'a' and 'b' in question 16 is 0.
(A) III, IV and V
(B) IV only
(C) II, III and IV
(D) II and IV
(E) III only

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個重點： 1. 隨機數字列中，各組數字的等可能性，以及在給定條件下的條件機率。 2. 密碼字元的獨立選取與乘法法則： $$ P(A\cap B)=P(A)P(B) $$ 題目前文未完整附上；以下依題目脈絡採用的設定為：隨機數字各位獨立且等可能，密碼每一位從 $10$ 種字母中等機率選取，而第 16 題的密碼僅由數字組成。 --- 解題方法 若所有兩位數組合皆等可能，則原本共有 $$ 10	imes 10=100 $$ 種有序結果，例如 $00,01,\ldots,99$。 當條件為「前兩位不是 $18$」時，只排除一種結果，因此剩下的 $99$ 種結果仍然等可能。故對任何不同於 $18$ 的兩位數，例如 $33$，都有 $$ P(33\mid 	ext{不是 }18)=\frac{1}{99}. $$ 因此，$33$ 與其他允許的兩位數一樣可能，並不會因為排除 $18$ 而變得比較不可能。 至於密碼部分，若每一位字母均從 $10$ 種字母中獨立選取，則第一位為 $a$、第二位為 $b$ 的機率為 $$ P(a,b)=\frac{1}{10}	imes\frac{1}{10} =\frac{1}{100}. $$ 但第 16 題的密碼若限定只能使用數字，則其中不會出現字母 $a,b$，故該事件機率為 $$ P(	ext{前兩字元為 }a,b)=0. $$ --- 選項分析 I. The first digit is equally likely to be any digit other than 9. 在題目設定下，排除數字 $9$ 後，$0,1,\ldots,8$ 這九個數字的機率相同。因此此敘述正確。

Question 31

We take a sample of 25 trees in a large forest and measure the height of each. Denote the mean height of trees in the forest by µ, the sample mean is calculated to be 29.3 feet and the sample standard deviation is calculated to be 5.3 feet.
Which of the following is considered a 95% confidence interval for µ?
(A) (25.31, 33.57)
(B) (25.33, 33.55)
(C) (27.11, 31.49)
(D) (27.22, 31.38)
(E) (27.25, 31.35)

Accepted Answer

本題考驗單一樣本平均數的信賴區間計算。

已知：
樣本大小 $n = 25$
樣本平均數 $\bar{x} = 29.3$ feet
樣本標準差 $s = 5.3$ feet
信賴水準 = 95%

由於母體標準差 $\sigma$ 未知，且樣本大小 $n=25$ (不大於 30)，我們使用 t 分配來計算信賴區間。
信賴區間的公式為：
$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

首先，計算自由度 $df = n-1 = 25-1 = 24$ 。
對於 95% 的信賴水準， $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ 。
$\alpha/2 = 0.025$ 。
我們需要查找 t 分配表中，自由度為 24，右尾機率為 0.025 的 t 值。
查閱 t 分配表，對於 $df=24$ ，臨界值 $t_{0.025, 24} \approx 2.064$ 。

Question 32

Which of the following is NOT required for the answer to question 31 to be valid?
I. The use of the central limit theorem.
II. The sample to be randomly selected from the forest.
III. Tree height to be normally distributed.
IV. The variance of the distribution of tree height.
V. The 0.95th quantile of the Student's t-distribution associated with 24 degrees of freedom.
(A) I and III
(B) I, IV and V
(C) I only
(D) V only
(E) II, III and IV

Accepted Answer

核心觀念 本題考查以 Student’s $t$ 分布建立母體平均數信賴區間或進行平均數推論時，所需的統計假設與資料。 當樣本數為 $n=25$，且母體變異數未知時，平均數的推論通常使用 $$ \bar X \pm t{\alpha,\;n-1}\frac{S}{\sqrt n}, $$ 其中： - $\bar X$ 為樣本平均數； - $S^2$ 為樣本變異數； - $t{\alpha,n-1}$ 為自由度 $n-1$ 的 Student’s $t$ 分布分位數； - 本題自由度為 $25-1=24$。 使用此方法的基本條件包括： 1. 樣本必須是從森林中隨機抽取，才能代表森林中的樹木。 2. 樹高母體需近似常態分布，尤其樣本數只有 $25$，不能完全依賴中央極限定理。 3. 必須知道或計算樹高的變異程度，也就是樣本變異數 $S^2$。 4. 必須使用自由度 $24$ 的 Student’s $t$ 分布分位數。 解題方法 逐一判斷各敘述是否為第 31 題推論方法的必要條件。 第 31 題採用 Student’s $t$ 分布進行平均數推論。由於樣本數為 $25$，且母體變異數未知，標準誤為 $$ \frac{S}{\sqrt{25}}. $$ 因此推論式需要樣本變異數 $S^2$，並使用自由度 $24$ 的 $t$ 分位數。 若樹高母體本身已假設為常態分布，則樣本平均數標準化後服從 $t$ 分布的結果，可以直接由常態母體與樣本變異數的性質得到，不必另外使用中央極限定理。因此，敘述 I 並非必要。 選項分析 - I. The use of the central limit theorem：不需要。 第 31 題使用 Student’s $t$ 分布，且已依據樹高母體常態性的條件進行推論。此時不必再使用中央極限定理。因此 I 是「不需要」的條件。

Question 33

A market research is interested in finding out the true proportion p of NCKU students who live off-campus. Five hundred randomly selected NCKU students in this city are surveyed to determine whether they live on or off-campus. Of the 500 people surveyed, 362 responded that they live off-campus.
A 90% confidence interval for p can be constructed as
(A) (0.5033, 0.8244)
(B) (0.6911, 0.7569)
(C) (0.6879, 0.7085)
(D) (0.5133, 0.8355)
(E) (0.6722, 0.7788)

Accepted Answer

本題考驗比例的信賴區間計算。

已知：
樣本大小 $n = 500$
樣本中成功次數（住校外） $x = 362$
信賴水準 = 90%

首先，計算樣本比例 $\hat{p}$ ：
$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{362}{500} = 0.724$

計算樣本中失敗次數 $n - x = 500 - 362 = 138$ 。
計算樣本失敗比例 $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.724 = 0.276$ 。

對於 90% 的信賴水準， $\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$ 。
$\alpha/2 = 0.05$ 。
查閱標準常態分配表 (z-table)，找到 $z_{0.05}$ 的值。
$z_{0.05} \approx 1.645$ 。

信賴區間的公式為：
$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$

計算標準誤 (standard error of the proportion)：

Question 34

A market research is interested in finding out the true proportion p of NCKU students who live off-campus. Five hundred randomly selected NCKU students in this city are surveyed to determine whether they live on or off-campus. Of the 500 people surveyed, 362 responded that they live off-campus.
If we desire that the interval estimate for p in the last question to be no wider than 0.1, the minimum required sample size would be
(A) 124
(B) 608
(C) 534
(D) 271
(E) 1067

Accepted Answer

核心觀念

本題考查母體比例 $p$ 的信賴區間與樣本數估計。

母體比例的近似信賴區間為

\hat p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},

其中：

$\hat p$ ：樣本比例；
$z_{\alpha/2}$ ：信賴水準所對應的標準常態臨界值；
$n$ ：樣本數。

信賴區間的總寬度為

W=2z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.

題目要求區間寬度不超過 $0.1$ ，因此令 $W=0.1$ 求所需最小樣本數。

本題所引用的「last question」未附在題目中；依選項判斷，前題應採用 $99\%$ 信賴區間，因此使用

z_{0.005}\approx 2.58.

解題方法

由前一題的資料，

\hat p=\frac{362}{500}=0.724,

因此

1-\hat p=0.276.

要求信賴區間寬度不超過 $0.1$ ：

2(2.58)\sqrt{\frac{(0.724)(0.276)}{n}}\leq 0.1.

兩邊平方：

(5.16)^2\frac{(0.724)(0.276)}{n}\leq 0.01.

整理得

n\geq \frac{(5.16)^2(0.724)(0.276)}{0.01}.

代入計算：

115 年 國立成功大學統計學研究所《統計學》

第 1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

第 8 題

第 9 題

第 10 題

第 11 題

核心觀念

解題方法

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

第 17 題

第 18 題

第 19 題

第 20 題

第 21 題

第 22 題

第 23 題

第 24 題

第 25 題

第 26 題

第 27 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) systematic random sample

(B) complete random sample

第 28 題

核心觀念

解題方法

第 29 題

第 30 題

第 31 題

第 32 題

第 33 題

第 34 題

核心觀念

解題方法

其他考古題

115 年成功大學的其他科目

成功大學《統計學》其他年度

其他學校的統計系考古題

115 年國立成功大學統計學研究所《統計學》