114 年 國立成功大學統計學研究所《統計學》

這題在考驗對常態分配（Normal Distribution）基本性質的理解。

常態分配的性質：

1. 無限多個常態分配：常態分配由平均數 $\mu$ 和標準差 $\sigma$ 決定，$\mu$ 和 $\sigma$ 可以是任何實數（$\sigma > 0$），因此有無限多個不同的常態分配。選項 (a) 正確。
2. 反曲點（Inflection Points）：常態分配的圖形在距離平均數 $\mu$ 各一個標準差 $\sigma$ 的位置有反曲點。也就是說，反曲點位於 $\mu - \sigma$ 和 $\mu + \sigma$。

這題在考驗對常態分配（Normal Distribution）基本性質的理解。

常態分配的性質：

1. 無限多個常態分配：常態分配由平均數 $\mu$ 和標準差 $\sigma$ 決定，$\mu$ 和 $\sigma$ 可以是任何實數（$\sigma > 0$），因此有無限多個不同的常態分配。選項 (a) 正確。
2. 反曲點（Inflection Points）：常態分配的圖形在距離平均數 $\mu$ 各一個標準差 $\sigma$ 的位置有反曲點。也就是說，反曲點位於 $\mu - \sigma$ 和 $\mu + \sigma$。

核心觀念

母體標準差未知，且母體近似常態，因此母體平均數 $\mu$ 的信賴區間使用 $t$ 分配：

$$\bar X \pm t_{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt n}$$

其中：

• $\bar X$：樣本平均數
• $S$：樣本標準差
• $n$：樣本數
• $t_{\alpha/2,n-1}$：自由度為 $n-1$ 的臨界值
• $\displaystyle t_{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt n}$：誤差範圍（margin of error）

信賴區間寬度為：

$$W=2t_{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt n}$$

在樣本數 $n$ 不變時，若降低信賴水準，例如由 $95\%$ 降至 $90\%$，則 $\alpha$ 由 $0.05$ 增加至 $0.10$，臨界值會下降。因此：

$$\text{臨界值下降} \Rightarrow \text{誤差範圍下降} \Rightarrow \text{信賴區間變窄}$$

解題方法

本題只需判斷信賴水準與臨界值、誤差範圍及區間寬度之間的關係。

當樣本數固定時，

$$W=2t_{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt n}$$

其中 $S$、$n$ 均不因信賴水準改變而改變，所以區間寬度完全取決於臨界值 $t_{\alpha/2,n-1}$。

降低信賴水準會使臨界值下降，故信賴區間變窄。選項中只有 (b) 完整正確描述此結果。

選項分析

(a) 錯誤。

選項指出臨界值下降，但誤差範圍會增加。實際上：

這題在考驗如何根據敘述設定統計檢定的虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_\alpha$)。

題目敘述：

1. 研究目的：探討出生順序是否影響 ACT 成績。
2. 假設：平均而言，第一胎子女的 ACT 成績低於第二胎子女。
3. 定義：第一胎子女為母體 1 ($\mu_1$)，第二胎子女為母體 2 ($\mu_2$)。
4. 檢定問題：是否有足夠證據顯示第一胎子女的平均 ACT 成績低於第二胎子女？
5. 顯著水準：10%。

統計檢定的虛無假設 ($H_0$) 通常是「無差別」或「無關」的陳述，代表現狀或沒有效果。
對立假設 ($H_\alpha$) 則是研究者希望證明或尋找證據支持的陳述。

根據題意，研究者希望證明的是「第一胎子女的平均 ACT 成績低於第二胎子女」。這就是對立假設。
因此，對立假設 ($H_\alpha$) 應該是 $\mu_1 < \mu_2$。

虛無假設 ($H_0$) 則是與對立假設相對立，或者包含對立假設的邊界情況。在這裡，最直接的虛無假設是兩者平均數相等。
因此，虛無假設 ($H_0$) 應該是 $\mu_1 = \mu_2$。

題目已經給出了虛無假設和對立假設的設定：$H_0: \mu_1 = \mu_2$ v.s. $H_\alpha: \mu_1 < \mu_2$。
然後要求填空：(a) > (b) ≠ (c) < (d) =。

這個填空題似乎是要求填入代表「虛無假設」或「對立假設」的符號。
從題目給出的 $H_0$ 和 $H_\alpha$ 來看，虛無假設是 $\mu_1 = \mu_2$，對立假設是 $\mu_1 < \mu_2$。
選項 (a) 是 >
選項 (b) 是 ≠
選項 (c) 是 <
選項 (d) 是 =

題目敘述「The null and alternative hypotheses for the test are $H_0: \mu_1 = \mu_2$ v.s. $H_\alpha: \mu_1 < \mu_2$. Fill in the blank: (a) > (b) ≠ (c) < (d) =」
這是一個奇怪的提問方式。它給了 $H_0$ 和 $H_\alpha$，然後問要填哪個符號。
通常，這種填空題是讓考生自己寫出 $H_0$ 或 $H_\alpha$ 的符號。

如果題目是問「虛無假設與對立假設的關係」，那可能是在問 $H_0$ 的符號是「=」，而 $H_\alpha$ 的符號是「<」。
如果題目是問「對立假設的符號是什麼？」，那答案就是 (c) <。
如果題目是問「虛無假設的符號是什麼？」，那答案就是 (d) =。

但題目描述「Fill in the blank:」後面列出了四個符號選項。
並且，它已經給出了 $H_0$ 和 $H_\alpha$ 的完整敘述。
這表示這個填空題很可能是在考驗：

1. 虛無假設的符號。
2. 對立假設的符號。

這題是接著上一題的假設檢定，需要根據樣本數據計算 p-value 並做出決策。

步驟 1：確認檢定參數

• 母體 1 (第一胎)：樣本大小 $n_1 = 100$，樣本平均數 $\bar{x}_1 = 24.3$，母體變異數 $\sigma_1^2 = 4$ (題目給的是變異數，不是標準差)。
• 母體 2 (第二胎)：樣本大小 $n_2 = 200$，樣本平均數 $\bar{x}_2 = 24.7$，母體變異數 $\sigma_2^2 = 10$。
• 顯著水準 $\alpha = 0.10$ (來自上一題)。
• 檢定類型：單尾檢定 (對立假設 $H_\alpha: \mu_1 < \mu_2$)。

步驟 2：選擇適當的檢定統計量
由於母體變異數已知 ($\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$ 已知)，我們可以使用 Z 檢定來檢定兩個獨立母體平均數的差異。

Z 檢定統計量的公式為：
$Z = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

在虛無假設 $H_0: \mu_1 = \mu_2$ 下，$(\mu_1 - \mu_2)_0 = 0$。

步驟 3：計算檢定統計量
$\bar{x}_1 = 24.3$, $\bar{x}_2 = 24.7$
$\sigma_1^2 = 4$, $n_1 = 100$
$\sigma_2^2 = 10$, $n_2 = 200$

$Z = \frac{(24.3 - 24.7) - 0}{\sqrt{\frac{4}{100} + \frac{10}{200}}}$
$Z = \frac{-0.4}{\sqrt{0.04 + 0.05}}$
$Z = \frac{-0.4}{\sqrt{0.09}}$
$Z = \frac{-0.4}{0.3}$
$Z \approx -1.333$

步驟 4：計算 p-value
p-value 是在虛無假設為真的情況下，得到觀察到的檢定統計量或更極端值的機率。

核心觀念

本題測驗實驗設計（Experimental Design）的基本要素與分組名詞：

1. 處理組（Treatment Group / Experimental Group）：在實驗中接受特定處理（例如施予新開發藥物、特定教學法等介入措施）的受試對象群體。
2. 對照組（Control Group）：在實驗中不接受該特定處理（例如給予安慰劑、標準現有治療，或不給藥）的受試對象群體，其目的在於提供基線（Baseline），以排除時間趨勢、心理作用或其他外生干擾變數，確保處理效果能被有效歸因。
3. 盲性實驗（Blinding Experiment）：控制認知偏誤的設計方法，包含單盲（受試者不知受試條件）與雙盲（受試者與研究評估人員皆不知受試條件）。
4. 安慰劑效應（Placebo Effect）：受試者因「相信自己正在接受治療」而產生的心理或生理客觀改善反應。

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解題方法

題目描述的情境為：

「有一項研究正在測試一種旨在降低血壓的新藥。該研究中有部分患有高血壓的個體沒有被給予該藥物（are not given the drug）。」

本題的核心在於辨識這群「參與實驗、具備目標症狀，但未接受實驗藥物處置」的受試者所代表的統計學名詞。由於該組個體未施加研究者主要探討的介入因子（新藥），其角色是作為對比基準，以衡量新藥的真實療效，因此該群體被稱為對照組（control group）。

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選項分析

這題考驗對抽樣方法的理解。

題目描述的抽樣過程：

1. 研究者將所有受試者分成兩組，依據「性別」（Gender）。這表示研究者將母體（所有受試者）按照一個特徵（性別）進行分層。
2. 然後，從「每個組別」中選取成員。

這種先將母體分成若干個具有某種共同特徵的子群體（稱為「層」，stratum），然後從每個子群體中獨立抽取樣本的方法，稱為「分層抽樣」（Stratified Sampling）。

各抽樣方法的定義：

• 叢集抽樣（Cluster Sampling）：將母體分成若干個叢集（通常是地理區域或群體），然後隨機抽取若干個叢集，並對被選中叢集中的所有成員進行調查，或從中再進

核心觀念

線性迴歸模型通常寫成

$$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$$

其中誤差項 $\varepsilon_i$ 的標準差記為 $\sigma$，代表觀測值偏離迴歸線的典型程度。

由於 $\sigma$ 通常未知，必須利用殘差估計。簡單線性迴歸中，誤差標準差的估計量為

$$s_e=\sqrt{\frac{SSE}{n-2}}$$

其中：

• $SSE=\sum_{i=1}^{n}e_i^2$ 為殘差平方和；
• $n$ 為樣本數；
• $n-2$ 是自由度，因為估計了截距 $\beta_0$ 與斜率 $\beta_1$ 兩個參數。

此 $s_e$ 稱為 standard error of the estimate，中文通常譯為「估計標準誤」或「估計值的標準誤」，是誤差項標準差 $\sigma$ 的良好估計量。

解題方法

題目問的是：「在線性迴歸中，用來良好估計誤差項標準差的量稱為什麼？」

判斷關鍵在於：

1. 估計對象是誤差項的標準差 $\sigma$；
2. 線性迴歸使用殘差計算；
3. 其估計量為殘差標準差 $s_e$；
4. 此量的名稱是 standard error of the estimate。

因此正確選項為（c）。

選項分析

（a）standard deviation

「標準差」是描述資料或隨機變數離散程度的一般統計量。誤差項確實有標準差 $\sigma$，但題目詢問的是「估計誤差項標準差的估計量名稱」，在線性迴歸中該估計量有特定名稱，因此（a）不夠精確，錯誤。

（b）variance

「變異數」是標準差的平方：

這題考驗對簡單線性迴歸和相關係數關係的理解。

假設我們有兩個線性迴歸模型：

1. $Y$ 對 $X$ 的迴歸線：$Y = a + bX$
2. $X$ 對 $Y$ 的迴歸線：$X = c + dY$

在簡單線性迴歸中，$Y$ 對 $X$ 的迴歸線斜率 $b$ 與變數 $X$ 和 $Y$ 的相關係數 $r$ 以及它們的標準差 $s_X, s_Y$ 有關：
$b = r \frac{s_Y}{s_X}$

同理，對於 $X$ 對 $Y$ 的迴歸線，其斜率 $d$ 與變數 $X$ 和 $Y$ 的相關係數 $r$ 以及它們的標準差 $s_X, s_Y$ 有關：
$d = r \frac{s_X}{s_Y}$

我們要求的是變數 $X$ 和 $Y$ 之間的相關係數 $r$。
將上述兩個公式相乘：

這題考驗對第一類錯誤（Type I Error）與顯著水準（Level of Significance）之間關係的理解。

第一類錯誤（Type I Error）：當虛無假設 ($H_0$) 實際上為真時，卻拒絕了它。
顯著水準 ($\alpha$)：在假設檢定中，我們預設的犯第一類錯誤的最大機率。

在假設檢定中，顯著水準 $\alpha$ 的定義就是犯第一類錯誤的機率。

這題考驗的是多項分佈（Multinomial Distribution）的應用。

問題描述：

• 母體分成三類活動：電影 (M)、戲劇 (P)、購物 (S)。
• 各類活動的機率：$P(M) = 0.50$, $P(P) = 0.30$, $P(S) = 0.20$。
• 總機率：$0.50 + 0.30 + 0.20 = 1.00$。
• 抽取一個樣本，大小 $n = 5$。
• 要求計算樣本中包含：3 人選擇電影 (M)，1 人選擇戲劇 (P)，1 人選擇購物 (S)。

多項分佈的機率公式為：
$P(X_1=n_1, X_2=n_2, ..., X_k=n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} p_1^{n_1} p_2^{n_2} ... p_k^{n_k}$
其中：

• $n$ 是總試驗次數（樣本大小）。
• $k$ 是類別的數量。
• $n_i$ 是第 i 類別的出現次數，且 $\sum_{i=1}^k n_i = n$。
• $p_i$ 是第 i 類別在單次試驗中出現的機率，且 $\sum_{i=1}^k p_i = 1$。

核心觀念

本題考查「母體比例的抽樣樣本數決定」。設民眾支持某候選人的母體比例為 $p$，樣本比例為 $\hat p$，要求：

• 誤差不超過 $5$ 個百分點：$E=0.05$
• 信賴水準為 $90\%$
• 母體比例 $p$ 未知

母體比例估計的樣本數公式為

$$n=\frac{z_{\alpha/2}^{\,2}p(1-p)}{E^2}$$

其中 $z_{\alpha/2}$ 為標準常態分配的臨界值。

解題方法

1. 決定臨界值

$90\%$ 信賴水準表示兩側總共留下 $10\%$ 的尾端機率，因此：

$$\alpha=0.10,\qquad \frac{\alpha}{2}=0.05$$

查標準常態分配表：

$$z_{0.05}=1.645$$

2. 處理未知的母體比例

題目沒有提供先前的比例估計值，因此採用最保守的設定：

$$p=0.5$$

此時：

$$p(1-p)=0.5(0.5)=0.25$$

因為 $p(1-p)$ 在 $p=0.5$ 時達到最大值，使用此值可確保樣本數足以達到指定精確度。

3. 代入公式

這題考驗對迴歸診斷、相關係數性質的理解。

逐一分析三個敘述：

(I) Random scatter in the residuals indicates a linear model

• 敘述：殘差的隨機分佈（scatter）表明模型是線性的。
• 分析：在線性迴歸中，殘差應該是隨機分佈的，且沒有明顯的模式（例如曲線、扇形）。如果殘差呈現隨機分佈，這支持了線性模型的假設。然而，殘差的隨機分佈本身並不絕對保證模型是線性的，它只是支持線性模型的假設，並且表明殘差項滿足獨立性、同質性（變異數恆定）等假設。如果殘差呈現非隨機模式（如曲線），則表示線性模型不適合。所以，隨機散佈是線性模型的必要條件之一，也是一個重要跡象。這句話可以理解為：如果殘差是隨機的，那麼線性模型是可能的或被支持的。在實際應用中，這是判斷模型是否合適的重要診斷圖。因此，這個敘述通常被認為是正確的。

(II) If two variables are very strongly associated, then the correlation between them will be near +1 or -1

• 敘述：如果兩個變數關聯性很強，則它們之間的相關係數會接近 +1 或 -1。
• 分析：這是相關係數（Pearson correlation coefficient, $r$）的定義和性質。相關係數的取值範圍是 [-1, 1]。
  • $r = +1$ 表示完全正線性相關。
  • $r = -1$ 表示完全負線性相關。
  • $r = 0$ 表示沒有線性相關。
  • $|r|$ 越接近 1，表示線性相關性越強。
    因此，如果兩個變數關聯性「非常強」，其相關係數 $r$ 的絕對值 $|r|$ 會非常接近 1，即接近 +1 或 -1。這個敘述是正確的。

這題考驗對多元迴歸模型擬合度（Goodness of Fit）不良時，相關統計量的表現。

當一個迴歸模型擬合度「不良」（poor fit）時，表示模型無法很好地解釋應變數的變異。這會體現在幾個統計量上：

• Sum of Squares for Error (SSE) 或 Sum of Squared Residuals：
  SSE = $\sum_{i=1}^n e_i^2 = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2$
  如果模型擬合度差，則殘差 $e_i$ 的值會普遍較大，因此 SSE 的總和也會較大。

• Standard Error of the Estimate ($s_e$)：
  $s_e = \sqrt{\frac{SSE}{n-p}}$
  其中 $n$ 是樣本數，$p$ 是模型參數數量。
  如果 SSE 很大，而 $n-p$ 相對固定或變化不大，則 $s_e$ 也會比較大。$s_e$ 是誤差項標準差 $\sigma$ 的估計值，大的 $s_e$ 表示預測誤差較大。

核心觀念

單因子變異數分析（ANOVA）將總平方和分解為：

$$SS_T=SS_B+SS_E$$

其中：

• $SS_T$：總平方和
• $SS_B$：組間平方和
• $SS_E$：組內平方和（誤差平方和）

三種藥物、每種藥物 4 人，因此總樣本數為：

$$N=3\times 4=12$$

組間自由度為：

$$df_B=k-1=3-1=2$$

組內自由度為：

$$df_E=N-k=12-3=9$$

組內均方為：

$$MS_E=\frac{SS_E}{df_E}$$

而 ANOVA 中所求的整體樣本標準差，依本題選項設計，是取組內均方的平方根：

$$s=\sqrt{MS_E}$$

解題方法

已知總平方和：

$$SS_T=244$$

已知組間均方：

$$MS_B=50$$

因此組間平方和為：

$$SS_B=MS_B\times df_B =50\times 2 =100$$

由平方和分解公式：

$$SS_E=SS_T-SS_B =244-100 =144$$

接著計算組內均方：

$$MS_E=\frac{SS_E}{df_E} =\frac{144}{9} =16$$

所以標準差為：

$$s=\sqrt{MS_E} =\sqrt{16} =4$$

這題考驗對降維（Dimension Reduction）技術（如主成分分析 PCA, 因子分析 Factor Analysis）目標的理解。

降維技術的核心目的是，利用原始變數之間的相關性（correlation structure），尋找一個新的、維度更低的變數集合（稱為成分或因子），這些新變數能夠盡可能多地保留原始變數所包含的資訊。

讓我們逐一分析每個目標：

(I) To reduce the number of predictor components.

• 解釋：這是降維最直接的目標。原始數據可能有很多變數（高維度），降維技術將這些變數轉換為較少數量的新變數（低維度），從而簡化模型。
• 正確性：正確。

(II) To help ensure that these components are dependent.

• 解釋：希望找到的新成分是相關的。
• 分析：大多數降維技術（如 PCA）的目標是找到一組**新的、不相關的（independent）**變數（主成分），這些變數是原始變數的線性組合，並且按其解釋變異量的多少排序。因子分析也尋求找到不相關的因子。因此，這個目標是錯誤的。

(III) To provide a framework for interpretability of the results.

• 解釋：通過減少變數數量，並將原始變數的資訊濃縮到少數幾個有意義的新成分中，可以更容易地理解和解釋模型的結果。
• 分析：這是降維的一個重要優勢。

核心觀念

相關係數 $r$ 衡量兩個變數之間「線性關係」的方向與強度，取值介於 $-1$ 與 $1$。點雲越接近向右上方的直線，$r$ 越接近 $1$；越接近向右下方的直線，$r$ 越接近 $-1$。若沒有明顯線性趨勢，$r$ 則接近 $0$。

解題方法

散佈圖中，主要點群沿著向右上方的方向分布，表示整體是正相關。不過，左上方另有一群明顯偏離主要趨勢的點。這些點在 $x$ 值很小時，$y$ 值卻偏高，會削弱整體的線性關係，使相關係數低於只看主要點群時的直覺。

因此，相關係數應是中度正相關，較接近 $0.5$，而非極強的正相關。

選項分析

這題考驗對迴歸輸出結果的理解，找出其中不合理的數值。

我們逐一檢查選項所對應的輸出值：

(a) The coefficient of wt

• 輸出顯示：wt 的 Estimate (係數) 是 -5.3445。
• 意義：這表示汽車重量 (wt) 每增加一個單位，其每加侖英里數 (mpg) 平均會減少 5.3445。這在實際意義上是合理的（較重的車通常較耗油）。
• 合理性：合理。

(b) The p-value of wt

• 輸出顯示：wt 的 Pr(>|t|) (p-value) 是 $1.29 \times e^{-10}$。
• 意義：這是一個非常小的 p-value，遠小於常用的顯著水準 (如 0.05 或 0.01)。這表示重量 (wt) 與油耗 (mpg) 之間存在非常顯著的線性關係。
• 合理性：合理。

(c) The Multiple R-squared

• 輸出顯示：Multiple R-squared: 3.598。
• 意義：$R^2$ (決定係數) 是模型解釋的應變數變異的比例，其值範圍應在 0 到 1 之間（或 0% 到 100%）。
• 問題：$R^2$ 的值為 3.598，這遠遠超過了 1 的最大值。

這題緊接上一題 (問題 17)，要求確定 mtcars 資料集的樣本大小。

在問題 17 的輸出中，我們可以看到：

• Residual standard error: 3.046 on 30 degrees of freedom
• F-statistic: 91.38 on 1 and 30 DF

在簡單線性迴歸模型 ($y \sim x$) 中，殘差自由度 (Residual Degrees of Freedom, $df_{residual}$) 的計算方式為：
$df_{residual} = n - p$
其中：

這題考驗對邏輯迴歸（Logistic Regression）中 logit 轉換和斜率參數 $\beta_1$ 的理解，以及如何從圖形判斷。

問題背景：

• 模型形式：簡單邏輯迴歸，使用 logit 連結函數。
• 連結函數：$logit(p(x)) = \log\left(\frac{p(x)}{1-p(x)}\right) = \beta_0 + \beta_1 x$。
• $p(x)$ 是機率，表示在自變數 $x$ 值下，應變數為 1 的機率。
• $\beta_0$ 是截距項，$\beta_1$ 是斜率項。
• 圖形顯示了兩個模型的預測曲線（S 形曲線）。

模型解讀：

• logit 函數：$\log\left(\frac{p(x)}{1-p(x)}\right)$ 是機率 $p(x)$ 的 Logit 轉換。它將機率 (0, 1) 映射到整個實數線 $(-\infty, \infty)$。
• $\beta_1$ 的意義：在 Logit 尺度上，$\beta_1$ 代表了自變數 $x$ 每增加一個單位時，logit 值的平均變化量。
  • 如果 $\beta_1 > 0$，logit 值隨 $x$ 增加而增加。由於 logit 函數是單調遞增的，這意味著 $p(x)$ 隨 $x$ 增加而增加。
  • 如果 $\beta_1 < 0$，logit 值隨 $x$ 增加而減小。這意味著 $p(x)$ 隨 $x$ 增加而減小。
  • $\beta_1$ 的絕對值 $|\beta_1|$ 越大，表示 logit 值（以及機率 $p(x)$）對 $x$ 的變化越敏感，S 形曲線在 Logit 尺度上越陡峭。

這題考驗對多元迴歸中加入自變數的影響。

當我們在迴歸模型中加入更多的自變數時，通常會發生以下情況：

• 決定係數 ($R^2$)：
  $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$
  加入一個新的自變數，即使它與應變數的關聯性很弱，也至少不會使 SSE 增加（通常會使 SSE 減少，因為新的變數可能解釋了部分原先屬於誤差的變異）。如果 SSE 減少，那麼 $R^2$ 就會增加。因此，$R^2$ 總是會增加或至少保持不變（如果新變數完全無關）。所以，加入額外的自變數總是會增加 $R^2$ 的值。
  選項 (a) 說「increase the value of the coefficient of multiple determination」，這是正確的。

• 預測能力 (Predictive Power)：
  預測能力通常透過 $R^2$ 或調整決定係數 (Adjusted $R^2$) 來衡量。
  雖然 $R^2$ 總是增加，但加入一個對模型貢獻不大的變數，可能會導致模型過度擬合（overfitting），尤其是在樣本數相對較少時。
  調整決定係數 (Adjusted $R^2$) 會考慮到加入的變數數量，它在加入無關緊要的變數時，可能會下降。
  然而，從「模型包含更多資訊」的角度來看，加入更相關的變數，理論上可以「改善」預測能力。
  選項 (b) 說「improve the predictive power of the equation」。這句話比較籠統。如果加入的是有用的變數，預測能力會提高。如果加入的是無用的變數，預測能力可能不會顯著提升，甚至因為過度擬合而下降（在外部數據上）。

這題要求根據樣本統計量（平均數、標準差、相關係數）來求出簡單線性迴歸直線的方程式。

簡單線性迴歸直線的方程式為：
$\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X$
其中 $\hat{\beta}_0$ 是截距項，$\hat{\beta}_1$ 是斜率項。

我們有以下已知資訊：

• 樣本平均數：$\bar{X} = 1.0$, $\bar{Y} = 2.0$
• 樣本標準差：$S_X = 3.0$, $S_Y = 9.0$
• 樣本相關係數：$r = 0.8$

步驟 1：計算斜率 $\hat{\beta}_1$
斜率的計算公式為：
$\hat{\beta}_1 = r \frac{S_Y}{S_X}$

代入已知數值：
$\hat{\beta}_1 = 0.8 \times \frac{9.0}{3.0}$
$\hat{\beta}_1 = 0.8 \times 3$
$\hat{\beta}_1 = 2.4$

核心觀念

在線性模型

$$\mathbf{Y}=X\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\epsilon}$$

中，若參數的線性函數 $L'\boldsymbol{\beta}$ 可估計，表示存在觀測值的線性組合 $a'\mathbf{Y}$，使其期望值等於該參數函數：

$$E(a'\mathbf{Y})=L'\boldsymbol{\beta}.$$

等價地，$L'\boldsymbol{\beta}$ 可估計的充要條件是存在向量 $a$，使得

$$X'a=L.$$

本題模型的參數向量可寫為

$$\boldsymbol{\beta} = (\mu,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k)'.$$

欲估計的線性函數為

$$\sum_{i=1}^k c_i\alpha_i,$$

因此其係數向量為

$$L=(0,c_1,c_2,\ldots,c_k)'.$$

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解題方法：利用可估計性的矩陣條件

令 $a_{ij}$ 表示觀測值 $Y_{ij}$ 在線性估計量中的係數，則一般線性估計量可寫為

$$\widehat{L} = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n a_{ij}Y_{ij}.$$

代入模型：

$$Y_{ij}=\mu+\alpha_i+\epsilon_{ij},$$

得到

$$E(\widehat{L}) = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n a_{ij}(\mu+\alpha_i).$$

整理各參數的係數：

$$E(\widehat{L}) = \left(\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n a_{ij}\right)\mu + \sum_{i=1}^k \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}\right)\alpha_i.$$

若 $\sum_{i=1}^k c_i\alpha_i$ 可估計，則必須滿足：

1. $\mu$ 的係數為 $0$：

$$\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n a_{ij}=0.$$

2. 每一個 $\alpha_i$ 的係數為 $c_i$：

$$\sum_{j=1}^n a_{ij}=c_i, \qquad i=1,\ldots,k.$$

將第二組等式對 $i$ 加總：

$$\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^n a_{ij} = \sum_{i=1}^k c_i.$$

由第一個條件，左側等於 $0$，因此

這題是關於二因子變異數分析（Two-Way ANOVA）的應用，包含檢定交互作用以及檢定線性對比。

已知資訊：

• 因子：Dietary Plan (3 levels: A, B, C)，Exercise Intensity (2 levels: low, high)。
• 總樣本數 $N = 60$。
• 假設：常態分配，變異數同質。
• ANOVA 表部分數據：
  • Total Sum of Square (SST) = 1420
  • Mean Square for Dietary Plan ($MS_{Diet}$) = 200
  • Mean Square for Exercise Intensity ($MS_{Ex}$) = 180
  • Sum of Square for Error ($SS_E$) = 540
• 線性對比 (Contrast)：$L = \frac{1}{3} (A, \text{low}) + \frac{1}{3} (B, \text{low}) + \frac{1}{3} (C, \text{low}) - (A, \text{high})$
• 對比的平方和 ($SS_L$) = 35
• 顯著水準 $\alpha = 0.1$

首先，我們需要補齊 ANOVA 表。

• 因子數：Dietary Plan (A, B, C) 有 $k_1 = 3$ 個水平；Exercise Intensity (low, high) 有 $k_2 = 2$ 個水平。

• 每組樣本數：由於總樣本數 $N=60$，且有 $3 \times 2 = 6$ 個組合，每組樣本數為 $n = N / (k_1 k_2) = 60 / 6 = 10$。

• Degree of Freedom (df)：

  • $df_{Diet} = k_1 - 1 = 3 - 1 = 2$
  • $df_{Ex} = k_2 - 1 = 2 - 1 = 1$
  • $df_{Interaction} = df_{Diet} \times df_{Ex} = 2 \times 1 = 2$
  • $df_{Error} = N - k_1 k_2 = 60 - (3 \times 2) = 60 - 6 = 54$
  • $df_{Total} = N - 1 = 60 - 1 = 59$
  • 驗證：$df_{Diet} + df_{Ex} + df_{Interaction} + df_{Error} = 2 + 1 + 2 + 54 = 59 = df_{Total}$。

• Sum of Square (SS)：

  • $SST = 1420$
  • $SS_E = 540$
  • $SS_{Diet} = MS_{Diet} \times df_{Diet} = 200 \times 2 = 400$
  • $SS_{Ex} = MS_{Ex} \times df_{Ex} = 180 \times 1 = 180$
  • $SS_{Interaction} = SST - SS_{Diet} - SS_{Ex} - SS_E = 1420 - 400 - 180 - 540 = 300$

• Mean Square (MS)：

  • $MS_{Diet} = 200$ (已給)
  • $MS_{Ex} = 180$ (已給)
  • $MS_{Interaction} = SS_{Interaction} / df_{Interaction} = 300 / 2 = 150$
  • $MS_{Error} = SS_E / df_{Error} = 540 / 54 = 10$

• F-Statistic：

  • $F_{Diet} = MS_{Diet} / MS_{Error} = 200 / 10 = 20$
  • $F_{Ex} = MS_{Ex} / MS_{Error} = 180 / 10 = 18$
  • $F_{Interaction} = MS_{Interaction} / MS_{Error} = 150 / 10 = 15$

補齊的 ANOVA 表：

Source	Degree of Freedom	Sum of Square	Mean Square	F-Statistic
Dietary Plan	2	400	200	20
Exercise Intensity	1	180	180	18
Diet x Exercise	2	300	150	15
Error	54	540	10
Total	59	1420

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(a) Is the interaction between dietary plans and exercise intensity significant? (5%)

• 檢定假設：
  • $H_0$: 交互作用效應為零 ($\alpha_{Diet \times Ex} = 0$)。
  • $H_\alpha$: 交互作用效應不為零 ($\alpha_{Diet \times Ex} \neq 0$)。