111 年 國立成功大學統計學研究所《統計學》

此題考驗對「統計量 (Statistic)」基本定義的理解。

此題考驗對長條圖 (Bar chart) 適用性的理解，以及對「家戶所得 (household income)」資料類型的認識。

家戶所得通常是連續性的數值資料，而且分佈範圍可能較廣。長條圖主要用於呈現類別資料 (categorical data) 的頻率分佈，例如不同產品的銷售量、不同地區的人口數等。

此題考驗對信賴區間 (Confidence Interval) 的組成要素及其與母體參數 (parameter) 之間關係的理解。

此題考驗對「集合 (set)」基本概念的理解，與「獨立 (independent)」一詞的用法。

「獨立」在這裡的語境與機率或統計中的獨立事件 (independent events) 不同，而是指集合之間的關係。兩個集合的交集 (intersection) 是指同時存在於兩個集合中的元素所形成的集合。

此題考驗對最小平方法 (least-square method) 在線性迴歸 (linear regression) 中假設條件的理解。

在簡單線性迴歸中，使用最小平方法來估計迴歸係數（包括斜率 $\beta_1$ 和截距 $\beta_0$）時，基本的假設是誤差項（或稱殘差）服從獨立且期望值為零的常態分佈，即 $\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2)$。這個假設對於進行參數估計的推論（如假設檢定和信賴區間的建構）是必要的。

然而，最小平方法本身作為一種優化方法，其核心目標是最小化殘差平方和，從而找到最佳擬合直線。在純粹的參數估計層面，即使誤差項不服從常態分佈，最小平方法仍然可以得到無偏估計量（在某些條件下），但統計推論的有效性（例如 t 檢定或 F 檢定的 P

此題考驗對偏態 (skewness) 與平均數 (mean) 和中位數 (median) 之間關係的理解。

偏態描述的是資料分佈的不對稱性。

• 右偏態 (Right-skewed / Positively skewed)：分佈的尾部較長在右側。此時，平均數會被右側的極端值拉高，因此通常有 平均數 > 中位數。

此題考驗對中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的理解。

中央極限定理指出，對於一個具有有限變異數 ($\sigma^2$) 的母體，不論其原始分佈為何，當樣本大小 (n) 足夠大時，從該母體抽取的樣本平均數 ($\bar{X}$) 的抽樣分佈將近似於常態分佈。

定理的關鍵在於「樣本平均數的抽樣分佈」近似於常態，而不是「樣本本身」近似於常態。樣本本身的分佈特性取決於母體分佈。只有當母體本身就是常態分佈時，樣本的平均數抽樣分佈才是精確的常態分佈，且樣本本身也近似常態。

此題考驗對叢集抽樣 (cluster sampling) 主要目的的理解。

叢集抽樣是一種抽樣方法，將母體分成若干個稱為「叢集」的群組，然後隨機抽取部分叢集，並對被抽中的叢集內的所有單位或隨機抽取的單位進行調查。

叢集抽樣的主要優點和目的是：

1. 節省成本 (Cost-saving)：將地理位置相近的單位分在同一個叢集，可以減少調查員在地理上的移動成本。
2. 便利性 (Convenience)：對於地理分佈廣泛的母體，叢集抽樣可以使抽樣工作更易於管理和執行。

此題考驗對離散型隨機變數 (discrete random variable) 的機率質量函數 (probability mass function, PMF) 的理解。

離散型隨機變數的機率分佈是由機率質量函數 (PMF) 來描述，通常用 $P(X=x)$ 或 $f(x)$ 表示。PMF 的值表示隨機變數取特定離散值的機率。根據機率的定義，任何事件的機率都必須介於 0 和 1 之間（包含 0 和 1）。

此題考驗對「中位數 (median)」定義的理解。

中位數是指將一組資料或一個機率分佈按大小順序排列後，位於最中間的值。

• 對於一組有限的數值資料：
  • 如果資料點的個數是奇數，中位數就是最中間那個數。
  • 如果資料點的個數是偶數，中位數通常定義為中間兩個數的平均值。
• 對於一個連續機率分佈 $F(x)$：中位數 $m$ 是滿足 $F(m) = 0.5$ 的值。

此題考驗對單一樣本 t 檢定 (one-sample t-test) 和母體變異數檢定的假設條件，以及樣本大小對這些檢定方法的影響。

關於單一樣本 t 檢定：
當母體變異數 $\sigma^2$ 未知時，我們使用樣本標準差 $S$ 來估計它，並進行 t 檢定。t 檢定的理論基礎是假設母體 $X$ 服從常態分佈 $N(\mu, \sigma^2)$。然而，根據中央極限定理 (CLT)，當樣本大小 $n$ 足夠大時（通常認為 $n \ge 30$），即使母體不服從常態分佈，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分佈也會近似於常態分佈。因此，t 檢定在 $n$ 足夠大時對母體非常態的條件是具有一定穩健性 (robustness) 的。所以，敘述中關於 t 檢定的部分是正確的。

此題考驗對 F 分佈的分位數 (quantile) 及其反轉性質的理解。

首先，定義 $X \sim F_{m,k}$ 表示隨機變數 $X$ 服從自由度為 $m$（分子）和 $k$（分母）的 F 分佈。
$X_\alpha$ 通常表示 F 分佈的 $\alpha$ 分位數，即 $P(X \le X_\alpha) = 1 - \alpha$。
題目中給定的 $U^\alpha$ 是 upper $\alpha$ quantile，即 $P(U > U^\alpha) = \alpha$。這意味著 $U^\alpha$ 是 $F_{m,k}$ 分佈的 $1-\alpha$ 分位數，即 $U^\alpha = X_{1-\alpha}$。

我們需要驗證 $X_{1-\alpha} = (Y^\alpha)^{-1}$，其中 $Y \sim F_{k,m}$。
這裡的 $Y^\alpha$ 應理解為 $Y$ 的 $\alpha$ 分位數，即 $P(Y \le Y^\alpha) = 1 - \alpha$。
反過來，$P(Y > Y^\alpha) = \alpha$。

F 分佈有一個重要的性質：如果 $X \sim F_{m,k}$，那麼 $\frac{1}{X} \sim F_{k,m}$。
令 $Y = \frac{1}{X}$，則 $Y \sim F_{k,m}$。
我們知道 $P(X \le X_{1-\alpha}) = 1 - \alpha$。

此題考驗對離散型分佈（幾何分佈）與連續型分佈（指數分佈）在各自過程中的對應關係的理解。

• 伯努利過程 (Bernoulli Process)：由一系列獨立的伯努利試驗組成，每次試驗只有兩種結果（成功或失敗），且成功的機率 $p$ 保持恆定。
  • 幾何分佈 (Geometric Distribution)：描述在伯努利過程中，首次成功出現前所經歷的失敗次數，或達到首次成功所需的試驗總次數。這是離散型的。
  • 例如：擲硬幣直到第一次出現正面為止，需要擲幾次？

此題考驗對參數檢定 (parametric test) 與非參數檢定 (nonparametric test) 的對應關係的理解。

• 參數檢定：通常假設母體來自某種特定的機率分佈（如常態分佈），並且檢定是關於母體參數（如平均數、變異數）的。

• 非參數檢定：對母體分佈的假設較少或沒有假設，通常檢定的是關於母體分佈位置、尺度或形狀的性質。

• 單一樣本 t 檢定 (One-sample t-test)：這是一個參數檢定，用於檢定單一樣本的平均數是否等於某個已知值。其主要假設是母體來自常態分佈。

此題考驗對測量尺度 (scale of measurement) 的理解，特別是區間尺度 (interval scale)。

測量尺度有四種：

1. 名目尺度 (Nominal scale)：只能用於分類，變數值沒有順序意義。例如：性別（男/女）、血型（A/B/AB/O）。
2. 順序尺度 (Ordinal scale)：變數值有順序意義，但相鄰數值之間的差距沒有固定意義。例如：學歷（國小/國中/高中/大學）、滿意度（非常不滿意/不滿意/普通/滿意/非常滿意）。
3. 區間尺度 (Interval scale)：變數值有順序意義，且相鄰數值之間的差距有固定意義，但沒有真正的零點。零點是人為定義的。例如：攝氏溫度 (Celsius, °C)、華氏溫度 (Fahrenheit, °F)、智商 (IQ)。

此題考驗對事件獨立性 (independence of events) 的定義和性質的理解。

兩個事件 A 和 B 獨立的定義是 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$。
等價的條件還有：

• $P(A|B) = P(A)$ (如果 $P(B) > 0$)
• $P(B|A) = P(B)$ (如果 $P(A) > 0$)

如果 A 和 B 獨立，那麼 A 和 B 的補集 $B^c$ 也獨立。
證明：
$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$ （根據集合性質）
因為 A 和 B 獨立，所以 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$。
$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A)P(B)$
$P(A \cap B^c) = P(A)(1 - P(B))$
$P(A \cap B^c) = P(A)P(B^c)$
這證明了 A 和 $B^c$ 也是獨立的。

同理，如果 A 和 B 獨立，那麼 $A^c$ 和 B 也獨立，且 $A^c$ 和 $B^c$ 也獨立。

題目敘述：「The independence between two events A and B cannot be guaranteed by neither the independence between A and B, nor the independence between A and Bᶜ。」

此題考驗對標準常態分佈 (standard normal distribution) 的性質，以及兩個獨立標準常態隨機變數比值的分佈和中位數的理解。

設 $X \sim N(0, 1)$ 且 $Y \sim N(0, 1)$，且 $X$ 和 $Y$ 獨立。
我們考慮隨機變數 $Z = \frac{X}{Y}$。

首先，需要注意 $Y$ 的值可能為 0，這會導致 $\frac{X}{Y}$ 無法定義。標準常態分佈是連續分佈，隨機變數取特定值的機率為 0。因此，$P(Y=0) = 0$。所以，在大多數情況下，$Z$ 是有定義的。

$Z = \frac{X}{Y}$ 的分佈是柯西分佈 (Cauchy distribution)。
標準柯西分佈的機率密度函數 (PDF) 為：
$f(z) = \frac{1}{\pi(1+z^2)}$，其中 $-\infty < z < \infty$。

此題考驗對偏態分佈 (skewed distribution) 下集中趨勢度量 (measure of central tendency) 選擇的理解。

• 右偏態 (Right-skewed)：分佈的尾部較長在右側。這意味著存在一些較大的極端值。
• 集中趨勢度量：
  • 平均數 (Mean)：受極端值影響很大。
  • 中位數 (Median)：不受極端值影響，它只與資料的排序有關。
  • 眾數 (Mode)：代表最常出現的值。

此題考驗對柴比雪夫定理 (Chebyshev's Theorem) 的理解及其應用。

柴比雪夫定理提供了一個不論母體分佈為何，都可以保證的數據比例範圍。
定理內容：對於任何具有有限期望值 $\mu$ 和有限非零變異數 $\sigma^2$ 的隨機變數 $X$，對於任意常數 $k > 0$，數據落在距離期望值 $\mu$ 的 $k$ 個標準差範圍內的比例至少為 $1 - \frac{1}{k^2}$。
即：$P(|X - \mu| \le k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}$。

題目中提到「within 4 standard deviations of the sample mean」。

此題考驗對皮爾森相關係數 (Pearson correlation coefficient) 為 1 的意義及其線性關係的理解。

皮爾森相關係數 $r$ 的值介於 -1 和 1 之間。當 $r=1$ 時，表示兩個隨機變數 $X$ 和 $Y$ 之間存在完全的線性正相關。這意味著 $X$ 可以表示為 $Y$ 的線性函數，且斜率為正。

具體來說，如果 $X$ 和 $Y$ 之間的相關係數為 1，則 $X$ 和 $Y$ 之間存在一個線性關係 $X = aY + b$，其中：

• $a$ 是斜率，表示 $X$ 相對於 $Y$ 的變化率。
• $b$ 是截距。

此題為迴歸分析與變異數分析的應用，需要填寫缺漏的數值。

核心觀念：

1. 調整後決定係數 (Adjusted R-squared)：用於衡量模型擬合優度，考慮了預測變數的數量。
2. 變異數分析表 (ANOVA table)：將總變異分解為迴歸變異和殘差變異，用於檢定模型整體顯著性。
3. 決定係數 (R-squared) 與 總平方和 (Total Sum of Squares, TSS)、迴歸平方和 (Regression Sum of Squares, RSS)、殘差平方和 (Residual Sum of Squares, ESS) 之間的關係。

計算 (A) - Adjusted R-squared：
調整後決定係數的計算公式為：
$Adj. R^2 = 1 - \frac{ESS / (n-p-1)}{TSS / (n-1)}$
其中：

• $n$ 是樣本大小。
• $p$ 是預測變數的數量。
• $ESS$ 是殘差平方和 (Error Sum of Squares)。
• $TSS$ 是總平方和 (Total Sum of Squares)。

從題目資訊中，我們可以得知：

• 樣本大小 $n = 30$ (30 items of data)。
• 預測變數的數量 $p = 2$ (X1 和 X2，因為 X3 是參照組)。
• $n-p-1 = 30 - 2 - 1 = 27$ (殘差自由度，與題目給的 Residuals Df 27 相符)。
• $n-1 = 30 - 1 = 29$ (總平方和自由度)。

我們已知：

• Multiple R-squared = 0.2642。
• Residual standard error = 109.7。
• Residuals Sum of Squares (ESS) = 12037。

首先，我們需要計算總平方和 (TSS)。
殘差標準誤 (Residual standard error) 的定義是 $s_e = \sqrt{\frac{ESS}{n-p-1}}$。
$109.7 = \sqrt{\frac{12037}{27}}$
$109.7^2 \approx 12033.09$

這題的核心觀念在於單因子變異數分析（One-Way ANOVA）中的點估計量計算。考生必須理解在平衡或不平衡設計下，如何利用樣本平均數（Sample Mean）來估計特定處理組（Treatment Group）的母體平均數，以及如何計算總平均數（Grand Mean）。關鍵在於釐清「組內平均」與「整體平均」的加權關係，特別是要注意當各組樣本數不同時，整體平均並非單純將三組平均數相加除以三，而必須考慮樣本數的權重。

由於您提供的文字 prompt 中未包含具体的數據表格或前一小題（B.1.i）的計算結果，以下詳解將基於標準 ANOVA 考古題的邏輯架構，假設題目給定了三組方法（A, B, C）的樣本數 $n_i$ 與樣本總和 $\sum X_{ij}$（或樣本平均 $\bar{X}_i$）進行推導。請您對照手邊考卷的實際數字代入下列公式即可得到最終數值。

解題過程與邏輯分析

在單因子變異數分析的模型中，我們假設第 $i$ 組的觀察值 $X_{ij}$ 服從常態分佈 $N(\mu_i, \sigma^2)$，其中 $\mu_i$ 為第 $i$ 種方法的母體平均生產量。

1. 估計方法 C 的平均生產量 (C)

根據點估計的無偏性原則，特定組別母體平均數 $\mu_i$ 的最佳不偏估計量（Best Unbiased Estimator）即為該組的樣本平均數 $\bar{X}_i$。

若設方法 C 為第 3 組（通常順序為 A, B, C），其樣本數為 $n_C$，該組所有觀察值之總和為 $T_C = \sum_{j=1}^{n_C} X_{Cj}$。

則方法 C 的估計平均量 $\hat{\mu}_C$ 計算公式為：
$\hat{\mu}_C = \bar{X}_C = \frac{T_C}{n_C}$

邏輯說明：
這裡不需要考慮其他組別的數據，因為在 ANOVA 模型假設下，各組之間的誤差項是獨立且同質變異的，對特定組別平均數的估計僅依賴該組內的數據。若考卷前一小題已算出 $\bar{X}_C$，則直接填入該數值。

2. 估計三種方法的整體平均生產量 (D)

整體平均數（Grand Mean），記為 $\mu$ 或 $\mu_{\cdot}$，代表所有處理組混合後的母體平均。其最佳不偏估計量為總樣本平均數 $\bar{X}_{\cdot\cdot}$。

計算時必須注意加權平均的概念。設總共有 $k=3$ 組（方法 A, B, C），第 $i$ 組的樣本數為 $n_i$，總樣本數 $N = n_A + n_B + n_C$。

核心觀念

這題考三種方法的平均產量是否全都相同，屬於單因子變異數分析的整體 $F$ 檢定。虛無假設為

對立假設為至少有一種方法的平均產量不同。

解題方法

原圖的變異數分析表顯示：$X_1$ 與 $X_2$ 各有 $1$ 個自由度，殘差自由度為 $27$，殘差均方為 $12037$。由於三種方法的整體差異由兩個自由度描述，整體檢定的分子平方和為 $X_1$、$X_2$ 平方和的總和：

因此方法的均方為 $116667/2$，整體檢定統計量為

核心觀念

在「性別與啤酒偏好互相獨立」的虛無假設下，列聯表中每一格的期望次數為：

解題方法

核心觀念

在獨立性檢定中，虛無假設 $H_0$ 表示性別與啤酒偏好獨立。每一格的期望次數為

Pearson 殘差則是觀察次數與期望次數之差，除以期望次數的平方根：

解題方法

從原卷表格讀得：女性偏好淡啤酒與深啤酒的人數分別為 $12$ 與 $13$；女性總數為 $25$。深啤酒的總人數為 $13+51=64$，總樣本數為 $100$。

在 $H_0$ 下，女性偏好深啤酒的期望次數為

核心觀念

檢定性別與啤酒偏好是否獨立，可使用列聯表的 Pearson 卡方統計量。若兩變數獨立，各格的期望次數為「該列合計 × 該欄合計 ÷ 總人數」，再計算各格觀察次數與期望次數的差異。

解題方法

圖中第 4 頁的第 B.2 題依序詢問 Pearson 殘差、檢定統計量 $K$ 與 $p$ 值；本小題要計算的是檢定統計量。依題幹列出的交叉表，女性、男性合計分別為 $25$、$75$ 人，偏好淺啤酒、深啤酒合計分別為 $36$、$64$ 人，總人數為 $100$。

在「性別與啤酒偏好獨立」的假設下，期望次數如下：

核心觀念

本題考查列聯表的卡方獨立性檢定。虛無假設 $H_0$ 為啤酒偏好與性別互相獨立；在虛無假設成立時，各格的期望次數為「列合計乘以欄合計，再除以總樣本數」。卡方統計量為觀察次數與期望次數差異的加權平方和，自由度為 $(列數-1)(欄數-1)$。

解題方法

原卷圖中 B.2.iv 詢問的是此適合度檢定統計量的 $p$ 值。題幹資料為女性偏好淺啤酒、深啤酒各 $12$、$13$ 人；男性各 $24$、$51$ 人，總樣本數為 $100$。

列合計為女性 $25$ 人、男性 $75$ 人；欄合計為淺啤酒 $36$ 人、深啤酒 $64$ 人。因此期望次數如下：

卡方統計量為

題目資訊

題目沒有附上第 2 題 B 部分的兩種檢定方法、檢定統計量與顯著水準，因此無法判定該題實際得到相同或不同的結論。以下依常見考法，假設兩種方法是「臨界值法」與「$p$ 值法」。

核心觀念

在同一個假設檢定中，若兩種方法使用相同的虛無假設與對立假設、檢定統計量、分配假設及顯著水準 $\alpha$，臨界值法與 $p$ 值法是等價的判斷程序，結論必須相同。

臨界值法比較檢定統計量是否落入拒絕域；$p$ 值法比較觀察到的 $p$ 值是否小於或等於 $\alpha$。兩者都是在判斷資料是否提供足夠證據拒絕 $H_0$。

解題方法

以右尾檢定為例，設檢定統計量為 $T$，其虛無假設下的分配為 $F_0$。

臨界值法的拒絕規則為：

$p$ 值法則計算：

並在 $p\leq\alpha$ 時拒絕 $H_0$。

核心觀念

這題考的是線性迴歸中「信賴帶」與「預測帶」的差別。

信賴帶描述的是：在某個自變數位置，母體的平均反應值落在哪個範圍。它反映迴歸線估計的不確定性。

預測帶描述的是：在同一個自變數位置，一筆新的個別觀測值落在哪個範圍。除了迴歸線估計的不確定性，還要納入個別觀測值本身相對於母體平均值的隨機波動。

解題方法

比較兩種範圍所涵蓋的不確定性：

• 信賴帶只需考慮估計母體平均反應值時的誤差。
• 預測帶除了考慮上述估計誤差，還須考慮新觀測值自身的隨機誤差。

核心觀念

這題考的是母體平均數信賴區間的正確解讀。題目是根據樣本平均數的抽樣分配，為該系學生的「每日平均支出」建立 $95\%$ 信賴區間。

信賴區間的 $95\%$ 信賴水準描述的是區間估計方法的長期涵蓋率：若在相同條件下反覆抽取樣本，並每次都用同一方法建立區間，長期而言約有 $95\%$ 的區間會包含母體平均數。

解題方法

珍妮由樣本得到的區間是 250 元至 500 元。正確解讀是：依照所使用的抽樣與區間估計方法，這是一個具有 $95\%$ 信賴水準、用來估計該系學生每日平均支出的區間。