112 年 國立成功大學統計學研究所《統計學》

本題考驗獨立事件與互斥事件的定義。

• 獨立事件 (Independent Events)：若事件 A 與事件 B 獨立，則 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$。
• 互斥事件 (Mutually Exclusive Events)：若事件 A 與事件 B 互斥，則 $A \cap B = \emptyset$，因此 $P(A \cap B) = 0$。

本題在探討點估計 (Point Estimation) 的基本概念。

點估計是統計推論的一種方法，其目的是利用從母體中抽取的樣本資料，來估計母體的未知參數。估計的結果是一個單一的數值，稱為點估計量。例如，我們可以用樣本平均數 $\bar{X}$ 來估計母體平均數 $\mu$。

本題在檢驗對平均數 (Mean) 的理解。

平均數是所有觀測值的總和除以觀測值的個數。平均數的特性是它會受到極端值 (outliers) 的影響。

• 對稱分佈 (Symmetric Distribution)：在對稱分佈中，例如常態分佈，平均數、中位數 (Median) 和眾數 (Mode) 通常是相等的。在中位數定義下，一半的數據小於或等於中位數，一半的數據大於或等於中位數。
• 偏態分佈 (Skewed Distribution)：

本題在檢驗 Bayes' Theorem (貝氏定理) 的用途。

Bayes' Theorem 是用來更新事件的機率，特別是在獲得新的證據或資訊之後。它描述了在已知某事件 B 發生的條件下，另一事件 A 發生的機率 $P(A|B)$，如何根據事件 B 發生的機率 $P(B)$、事件 A 發生的機率 $P(A)$，以及在事件 A 發生時事件 B 發生的機率 $P(B|A)$ 來計算。

本題在檢驗 Poisson 分佈 (Poisson Distribution) 的性質。

Poisson 分佈是一個離散機率分佈，用來描述在給定時間或空間間隔內，發生某事件的隨機次數。其機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$
其中 $k$ 是事件發生的次數，$\lambda$ 是平均發生率 (rate parameter)。

Poisson 分佈的重要性質是：

• 平均數 (Mean)：$E(X) = \lambda$
• 變異數 (Variance)：$Var(X) = \lambda$
• 標準差 (Standard Deviation)：$SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\lambda}$

本題在檢驗假設檢定 (Hypothesis Testing) 中的基本名詞定義。

在假設檢定中，我們有兩種錯誤：

1. 第一類錯誤 (Type I Error)：在虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 為真時，拒絕了 $H_0$。此錯誤發生的機率通常用 $\alpha$ 表示，也稱為顯著水準 (Significance Level)。
2. 第二類錯誤 (Type II Error)：在對立假設 (Alternative Hypothesis, $H_a$) 為真時，未能拒絕 $H_0$。

本題在檢驗配對樣本 t 檢定 (Paired Difference t-test) 的適用條件。

• 獨立樣本 t 檢定 (Independent Samples t-test)：用於比較兩個獨立母體的平均數。兩個樣本之間沒有關聯性。
• 配對樣本 t 檢定 (Paired Samples t-test)：用於比較兩個相關樣本的平均數。這通常發生在：
  • 同一個體在不同時間點的測量（例如，治療前後的測量）。

本題在檢驗變異數分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 的用途。

ANOVA 是一種統計方法，用於檢定三個或更多個母體平均數之間是否存在顯著差異。它透過將總變異分解為不同來源的變異（例如，組間變異和組內變異）來實現這一點。

本題在檢驗連續型隨機變數的機率函數定義。

• 離散型隨機變數 (Discrete Random Variable)：其機率由 機率質量函數 (Probability Mass Function, PMF) 描述，通常記為 $P(X=x)$ 或 $f(x)$。PMF 的值代表在特定點 $x$ 發生的機率。
• 連續型隨機變數 (Continuous Random Variable)：其機率由 機率密度函數 (Probability Density Function, PDF) 描述，通常記為 $f(x)$。PDF 的值本身不是機率，而是機率的密度。

本題在探討假設檢定中第一類錯誤 ($\alpha$) 與第二類錯誤 ($\beta$) 的權衡關係。

在假設檢定中，當樣本數固定時，第一類錯誤的機率 ($\alpha$) 和第二類錯誤的機率 ($\beta$) 之間存在一種反向關係：

• 減小 $\alpha$：如果我們想要降低在虛無假設為真時拒絕它的機率（即降低第一類錯誤），我們需要設定一個更嚴格的拒絕域，這意味著我們需要觀察到更極端的樣本統計量才能拒絕 $H_0$。這樣做會使得當對立假設為真時，我們更難以拒絕 $H_0$，從而增加了第二類錯誤的機率 $\beta$。

本題考驗常態分佈 (Normal Distribution) 的機率計算。

已知：

• 隨機變數 $X$ 代表男性的身高，服從常態分佈。
• 平均數 $\mu = 1.85$ 米。
• 變異數 $\sigma^2 = 0.09$。
• 標準差 $\sigma = \sqrt{0.09} = 0.3$ 米。

我們需要計算 $P(1.65 < X < 1.95)$。

為了計算這個機率，我們需要將 $X$ 標準化為標準常態分佈 $Z$（平均數為 0，標準差為 1）。轉換公式為 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。

計算 $X = 1.65$ 對應的 $Z$ 值：
$Z_1 = \frac{1.65 - 1.85}{0.3} = \frac{-0.20}{0.3} = -\frac{2}{3} \approx -0.67$

計算 $X = 1.95$ 對應的 $Z$ 值：
$Z_2 = \frac{1.95 - 1.85}{0.3} = \frac{0.10}{0.3} = \frac{1}{3} \approx 0.33$

本題考驗如何建構母體平均數的信賴區間 (Confidence Interval for the Population Mean)。

已知：

• 樣本大小 $n = 36$。
• 樣本平均數 $\bar{x} = 2300$。
• 樣本標準差 $s = 120$。
• 信賴水準為 99%，即 $1 - \alpha = 0.99$，所以 $\alpha = 0.01$。

由於樣本大小 $n=36$ 較大 (通常 $n \ge 30$ 被視為大樣本)，我們可以利用中央極限定理，即使母體分佈未知，樣本平均數 $\bar{X}$ 的分佈也近似於常態分佈。

當母體標準差 $\sigma$ 未知時，我們使用樣本標準差 $s$ 來估計 $\sigma$。對於大樣本，我們可以使用 $Z$ 分佈來建構信賴區間。

信賴區間的公式為：
$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

首先，我們需要找到 $z_{\alpha/2}$。
因為信賴水準是 99%，所以 $\alpha = 0.01$，$\alpha/2 = 0.005$。
我們需要查找標準常態分佈表中，尾部機率為 0.005 的 $z$ 值。
$z_{0.005}$ 對應的累積機率是 $1 - 0.005 = 0.995$。
查閱標準常態分佈表，累積機率為 0.995 的 $z$ 值約為 2.576。

接下來，計算標準誤 (Standard Error, SE)：
$SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{120}{\sqrt{36}} = \frac{120}{6} = 20$

本題考驗機率計算，特別是關於擲骰子 (rolling dice) 的問題。

當擲一對公正的骰子時，總共有 $6 \times 6 = 36$ 種可能結果。
我們感興趣的是兩個骰子點數的總和。
我們需要計算總和等於 9 或更大 (即 9, 10, 11, 12) 的機率。

列出總和為 9 的組合：

• (3, 6)
• (4, 5)
• (5, 4)
• (6, 3)
  共有 4 種組合。

列出總和為 10 的組合：

• (4, 6)
• (5, 5)
• (6, 4)
  共有 3 種組合。

本題考驗連續型隨機變數 (Continuous Random Variable) 與離散型隨機變數 (Discrete Random Variable) 的區別。

• 連續型隨機變數：其取值範圍是連續的區間，可以取任意實數值。例如，長度、重量、時間、溫度等。
• 離散型隨機變數：其取值是離散的、可數的。通常是整數。例如，人數、次數、物品個數等。

我們逐一分析選項：
I. The weight of an elephant (大象的重量)：重量是一個連續的物理量，可以取任意實數值（在物理極限範圍內）。因此，它是連續型隨機變數。

本題考驗單尾假設檢定 (One-tailed Hypothesis Test) 的建立以及臨界值 (Critical Value) 的計算。

1. 建立假設：
題目提到，公司過去假設平均理賠金額是 $1200。現在希望提高保費，並需要提供證據證明「平均理賠金額現在超過$1200」。

• 虛無假設 ($H_0$)：代表現狀或無效主張。在這裡，它應該是平均理賠金額不超過 $1200$。
• 對立假設 ($H_a$)：代表我們想要證明的、有顯著差異的主張。在這裡，我們想要證明平均理賠金額「超過 $1200$」。

因此，假設應為：
$H_0: \mu \le 1200$
$H_a: \mu > 1200$

這是一個右尾檢定 (right-tailed test)。

2. 識別檢定統計量與參數：

• 樣本大小 $n = 49$。
• 樣本平均數 $\bar{x} = 1215$。
• 母體變異數 $\sigma^2 = 1225$。
• 母體標準差 $\sigma = \sqrt{1225} = 35$。

本題考驗 p-value 的計算及根據 p-value 做出決策。

我們延續上一題的資訊：

• 虛無假設 $H_0: \mu \le 1200$
• 對立假設 $H_a: \mu > 1200$ (右尾檢定)
• 樣本大小 $n = 49$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 1215$
• 母體標準差 $\sigma = 35$
• 顯著水準 $\alpha = 0.01$
• 臨界值 $Z_{critical} = 2.326$

1. 計算檢定統計量 (Test Statistic)：
由於 $\sigma$ 已知，我們使用 Z 檢定。
$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
其中 $\mu_0$ 是虛無假設中的參數值，在此為 1200。
$Z = \frac{1215 - 1200}{35/\sqrt{49}} = \frac{15}{35/7} = \frac{15}{5} = 3$

2. 計算 p-value：
p-value 是在 $H_0$ 為真時，觀察到樣本統計量等於或比實際觀察到的統計量更極端的機率。

核心觀念

完全隨機設計的單因子變異數分析中，若有 $k$ 個處理組、總樣本數 $N$，自由度為：

• 處理間：$df_{\text{處理}}=k-1$
• 誤差：$df_{\text{誤差}}=N-k$
• 總計：$df_{\text{總計}}=N-1$

均方為平方和除以自由度，$F$ 統計量則為處理均方除以誤差均方：

$$MS=\frac{SS}{df}, \qquad F=\frac{MS_{\text{處理}}}{MSE}$$

解題方法

三組的樣本數分別為 $12、15、20$，因此總樣本數為：

$$N=12+15+20=47$$

題目給定處理平方和 $SS_{\text{處理}}=1200$、總平方和 $SS_{\text{總計}}=1800$，所以誤差平方和為：

$$SS_{\text{誤差}}=SS_{\text{總計}}-SS_{\text{處理}} =1800-1200=600$$

共有 $k=3$ 組，自由度為：

$$df_{\text{處理}}=3-1=2$$ $$df_{\text{誤差}}=47-3=44$$

處理均方與誤差均方為：

本題考驗 SSTR (Sum of Squares due to Treatments) 的變化對 F 統計量和 p-value 的影響。

我們從 Exhibit 2 的 ANOVA 表中已知：

• SST = 1800
• DFTR = 2 (三個治療組)
• DFE = 44 (總樣本數 47)

1. 分析 F 統計量的變化：
F 統計量的公式為：
$F = \frac{MSTR}{MSE} = \frac{SSTR / DFTR}{SSE / DFE}$

在本次問題情境中，SST (1800) 和 DFE (44), DFTR (2) 是固定的。
當 SSTR 從 1200 變為 1000 時：

• SSTR 減少：SSTR 減少 200 (從 1200 到 1000)。
• SSE 增加：因為 SST = SSTR + SSE 且 SST 固定，所以當 SSTR 減少時，SSE 必然會增加。
  新的 SSE = SST - 新的 SSTR = 1800 - 1000 = 800。
• MSTR 減少：新的 MSTR = 新 SSTR / DFTR = 1000 / 2 = 500。

本題考驗隨機區集設計 (Randomized Block Design) 的平方和 (Sum of Squares) 計算。

在這個實驗中：

• 因子 (Factor) 是分析儀器 (Analyzer)：Computerized, Electronic。
• 區塊 (Block) 是汽車類型 (Car)：Compact, Intermediate, Full-sized。
• 觀測值是引擎tune-up所需時間。

ANOVA 表的總平方和 (SST) 可以分解為：
$SST = SS_{Factor} + SS_{Block} + SSE$ (對於雙因子實驗，這裡指的因子是分析儀器，區塊是汽車類型)
或者，在這個情境下，我們可能是在進行一個隨機區集設計的單因子實驗，其中因子是分析儀器，區塊是汽車類型。
在隨機區集設計中，總平方和 (SST) 分解為：
$SST = SS_{Treatment} + SS_{Block} + SSE$
其中：

• $SS_{Treatment}$ 是因子 (分析儀器) 的平方和。
• $SS_{Block}$ 是區塊 (汽車類型) 的平方和。
• $SSE$ 是誤差平方和。

題目要求計算 $SS_{Block}$ (Sum of Squares due to Blocks)。
$SS_{Block}$ 的計算公式為：
$SS_{Block} = \sum_{i=1}^{b} n_i (\bar{X}_{i.} - \bar{X}_{..})^2$
其中：

• $b$ 是區塊的數量 (這裡有 3 種汽車類型)。
• $n_i$ 是第 $i$ 個區塊中的總觀測數。
• $\bar{X}_{i.}$ 是第 $i$ 個區塊的平均數 (Row means)。
• $\bar{X}_{..}$ 是總平均數 (overall mean)。

根據表格：

• 區塊 (汽車類型) 的平均數：
  • Compact (i=1): $\bar{X}_{1.} = 26$
  • Intermediate (i=2): $\bar{X}_{2.} = 29.5$
  • Full-sized (i=3): $\bar{X}_{3.} = 34.5$
• 總平均數 $\bar{X}_{..} = 30$。

在隨機區集設計中，每個區塊中的觀測數 $n_i$ 是指該區塊內的處理數。這裡有 2 種分析儀器 (Computerized, Electronic)，所以每個區塊有 $n_i = 2$ 個觀測值。

計算 $SS_{Block}$：
$SS_{Block} = n_1(\bar{X}_{1.} - \bar{X}_{..})^2 + n_2(\bar{X}_{2.} - \bar{X}_{..})^2 + n_3(\bar{X}_{3.} - \bar{X}_{..})^2$
$SS_{Block} = 2 \times (26 - 30)^2 + 2 \times (29.5 - 30)^2 + 2 \times (34.5 - 30)^2$
$SS_{Block} = 2 \times (-4)^2 + 2 \times (-0.5)^2 + 2 \times (4.5)^2$
$SS_{Block} = 2 \times 16 + 2 \times 0.25 + 2 \times 20.25$

本題考驗隨機區集設計 (Randomized Block Design) 中平方和 (Sum of Squares) 與自由度 (Degrees of Freedom, DF) 的計算。

根據題目提供的 Exhibit 3 資訊與問題：

• 總平方和 $SST = 310$。
• 處理平方和 $SSTR$ (Sum of Squares due to Treatments, 這裡指分析儀器) $= 216$。
• 實驗設計：隨機區集設計。
  • 處理 (Treatments)：分析儀器 (Computerized, Electronic)。有 $k=2$ 個處理。
  • 區塊 (Blocks)：汽車類型 (Compact, Intermediate, Full-sized)。有 $b=3$ 個區塊。
  • 總觀測數 $N = k \times b = 2 \times 3 = 6$。
  • 數據表格中的列數代表區塊，欄數代表處理。

1. 計算誤差平方和 (SSE)：
在隨機區集設計中，總平方和 (SST) 可以分解為：
$SST = SSTR + SS_{Block} + SSE$
其中：

• $SSTR$ 是處理（因子）的平方和。
• $SS_{Block}$ 是區塊的平方和。
• $SSE$ 是誤差平方和。

我們需要先計算 $SS_{Block}$。
區塊平均數：
Compact: $\bar{X}_{1.} = (30+22)/2 = 26$
Intermediate: $\bar{X}_{2.} = (35+24)/2 = 29.5$
Full-sized: $\bar{X}_{3.} = (43+26)/2 = 34.5$
總平均數 $\bar{X}_{..} = 30$。
每個區塊的觀測數是處理數，即 $n_i = k = 2$。

本題考驗迴歸分析 (Regression Analysis) 中的變異數分析 (ANOVA) 表，特別是 F 統計量的計算。

從 Exhibit 4 的 ANOVA 表中，我們可以看到：

• SOURCE: Regression, Residual Error, Total
• DF:
  • Regression DF = 1 (因為只有一個預測變數 X)
  • Residual Error DF = 5
  • Total DF = 6 (Regression DF + Residual Error DF = 1 + 5 = 6)
• SS:
  • Regression SS = 497.2
  • Residual Error SS = 795.7
  • Total SS = 1292.9 (Regression SS + Residual Error SS = 497.2 + 795.7 = 1292.9)

我們需要計算 F 統計量。F 統計量的計算公式為：
$F = \frac{MS_{Regression}}{MS_{Residual Error}}$

首先，計算 $MS_{Regression}$：
$MS_{Regression} = \frac{SS_{Regression}}{DF_{Regression}} = \frac{497.2}{1} = 497.2$

本題考驗複迴歸分析 (Multiple Regression Analysis) 中的調整後決定係數 (Adjusted R-squared) 的計算。

從 Exhibit 4 的 ANOVA 表中，我們已經知道：

• $SS_{Regression} = 497.2$
• $SS_{Residual Error} = 795.7$
• $SST = 1292.9$
• $DF_{Regression} = 1$
• $DF_{Residual Error} = 5$
• $DFT = 6$

首先，我們計算決定係數 $R^2$：
$R^2 = \frac{SS_{Regression}}{SST} = \frac{497.2}{1292.9}$
$R^2 \approx 0.384559...$

接下來，計算調整後決定係數 (Adjusted R-squared)，其公式為：
$R^2_{adj} = 1 - \frac{SSE / (N-k-1)}{SST / (N-1)}$
其中：

• $N$ 是總觀測數。
• $k$ 是預測變數的數量。
• $SSE$ 是殘差平方和 ($SS_{Residual Error}$)。
• $SST$ 是總平方和。
• $N-1$ 是總自由度 ($DFT$)。
• $N-k-1$ 是殘差自由度 ($DF_{Residual Error}$)。

本題考驗獨立隨機變數 (Independent Random Variables) 的性質。

若 X 和 Y 是獨立的隨機變數，則它們的聯合機率分佈可以分解為邊際機率分佈的乘積。同時，它們的協方差為零，期望值和變異數具有特定的性質。

我們逐一檢驗每個選項：

(A) $P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)$
這是獨立隨機變數的定義。對於離散隨機變數，聯合 PMF 是邊際 PMF 的乘積。對於連續隨機變數，聯合 PDF 也是邊際 PDF 的乘積。此敘述是正確的。

(B) Cov(X, Y) = 0
如果 X 和 Y 是獨立的，則它們之間沒有線性關係，因此它們的協方差為零。
$Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E(X - E(X))E(Y - E(Y)) = 0 \times 0 = 0$
此敘述是正確的。

本題考驗卡方適合度檢定 (Chi-Square Goodness-of-Fit Test) 的決策規則。

在卡方適合度檢定中，我們比較計算出的卡方統計量 (Calculated Chi-Square Statistic) 與來自卡方分佈表的臨界值 (Table Chi-Square Value)。

• 計算出的卡方值：7.21
• 表格卡方值 (臨界值)：10.645

決策規則如下：

• 如果 計算出的卡方值 > 表格卡方值，則拒絕虛無假設 ($H_0$)。
• 如果 計算出的卡方值 $\le$ 表格卡方值，則不拒絕虛無假設 ($H_0$)。

在這個例子中，計算出的卡方值 7.21 小於表格卡方值 10.645。
$7.21 \le 10.645$。

因此，我們不拒絕虛無假設。

本題考驗單樣本平均數的雙尾假設檢定 (Two-tailed Hypothesis Test for a Single Mean)，包括計算檢定統計量和根據顯著水準做出決策。

1. 識別參數與假設：

• 虛無假設 $H_0: \mu = 18$
• 對立假設 $H_a: \mu \neq 18$ (雙尾檢定)
• 樣本大小 $n = 100$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 17.5$
• 樣本標準差 $s = 2.8$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$

2. 計算檢定統計量：
由於母體標準差 $\sigma$ 未知，我們使用樣本標準差 $s$ 來估計。對於大樣本 ($n=100 \ge 30$)，我們可以使用 Z 檢定。
檢定統計量公式為：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
其中 $\mu_0$ 是虛無假設中的母體平均數值，即 18。

首先計算標準誤 (Standard Error, SE)：
$SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2.8}{\sqrt{100}} = \frac{2.8}{10} = 0.28$

然後計算 Z 統計量：
$Z = \frac{17.5 - 18}{0.28} = \frac{-0.5}{0.28}$
$Z = -\frac{50}{28} = -\frac{25}{14} \approx -1.7857$

我們將 Z 統計量近似為 -1.786。

3. 確定臨界值：
由於這是雙尾檢定，且顯著水準 $\alpha = 0.05$，我們將 $\alpha$ 分配到兩個尾部，每個尾部機率為 $\alpha/2 = 0.05/2 = 0.025$。
我們需要找到標準常態分佈中，尾部機率為 0.025 的 $z$ 值。
這表示累積機率 $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$。
查閱標準常態分佈表，累積機率為 0.975 的 $z$ 值是 $\pm 1.96$。

4. 做出決策：
我們將計算出的 Z 統計量與臨界值進行比較。

• 如果 $|Z| > z_{\alpha/2}$，則拒絕 $H_0$。
• 如果 $|Z| \le z_{\alpha/2}$，則不拒絕 $H_0$。

計算出的 Z 統計量是 -1.786。
$|Z| = |-1.786| = 1.786$。
臨界值 $z_{\alpha/2} = 1.96$。

因為 $1.786 \le 1.96$，所以我們不拒絕虛無假設 $H_0$。

本題考驗簡單線性迴歸模型 (Simple Linear Regression Model) 的定義和基本假設。

簡單線性迴歸模型
簡單線性迴歸模型描述了一個因變數 $y_i$ 與一個自變數 $x_i$ 之間的線性關係。模型可以表示為：
$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i, \quad i = 1, \ldots, n$
其中：

• $y_i$ 是第 $i$ 個觀測值的因變數 (response variable)。
• $x_i$ 是第 $i$ 個觀測值的自變數 (independent variable)。
• $\beta_0$ 是截距 (intercept)，表示當 $x_i=0$ 時，$y_i$ 的預期值。
• $\beta_1$ 是斜率 (slope)，表示 $x_i$ 每增加一個單位時，$y_i$ 的預期變化量。
• $\epsilon_i$ 是隨機誤差項 (random error term)，代表模型未能解釋的變異。

基本模型假設 (Basic Model Assumptions)
為了進行有效的參數估計和假設檢定，簡單線性迴歸模型需要滿足以下幾個基本假設：

1. 線性關係 (Linearity)：自變數 $x_i$ 與因變數 $y_i$ 之間的平均關係是線性的。即 $E(y_i | x_i) = \beta_0 + \beta_1 x_i$。
2. 獨立性 (Independence)：各個觀測值的誤差項 $\epsilon_i$ 是相互獨立的。即對於 $i \neq j$，$Cov(\epsilon_i, \epsilon_j) = 0$。

本題考驗簡單線性迴歸中，擬合的迴歸線是否通過樣本均值點 $(\bar{x}, \bar{y})$。

回答：
是的，估計的（擬合的）迴歸線一定會通過樣本均值點 $(\bar{x}, \bar{y})$。

解釋：
簡單線性迴歸模型旨在找到最佳擬合線 $\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$，其中 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$ 是通過最小平方法 (Ordinary Least Squares, OLS) 估計得到的參數。

最小平方法法的目標是最小化殘差平方和 (Sum of Squared Residuals, SSR)：
$SSR = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 = \sum_{i=1}^n (y_i - (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i))^2$

通過對 SSR 分別對 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$ 求偏導數並令其為零，我們可以得到 OLS 估計量的正規方程式 (Normal Equations)：

1. $\sum_{i=1}^n (y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_i) = 0$
2. $\sum_{i=1}^n x_i (y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_i) = 0$

我們來分析第一個正規方程式：
$\sum_{i=1}^n (y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_i) = 0$
$\sum_{i=1}^n y_i - \sum_{i=1}^n \hat{\beta}_0 - \sum_{i=1}^n \hat{\beta}_1 x_i = 0$
$\sum_{i=1}^n y_i - n\hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 \sum_{i=1}^n x_i = 0$

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸中，樣本相關係數 $r_{xy}$、迴歸斜率估計值 $\hat{\beta}_1$ 與決定係數 $R^2$ 之間的關係。

定義：

$$S_{xx}=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2,\qquad S_{yy}=\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2$$ $$S_{xy}=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$

則：

$$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}$$ $$r_{xy}=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$$

而簡單線性迴歸的決定係數為：

$$R^2=\frac{SSR}{SST}$$

解題方法與推導

在簡單線性迴歸中，

$$SSR=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}},\qquad SST=S_{yy}$$

因此：

$$R^2 =\frac{SSR}{SST} =\frac{S_{xy}^2/S_{xx}}{S_{yy}} =\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}}$$

另一方面，樣本相關係數平方為：

$$r_{xy}^2 =\left(\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}\right)^2 =\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}}$$

故有：

$$R^2=r_{xy}^2$$

又因為 $S_{xx}>0$，所以迴歸斜率估計值的正負號與 $S_{xy}$ 相同：

$$\operatorname{sign}(\hat{\beta}_1) =\operatorname{sign}\left(\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right) =\operatorname{sign}(S_{xy}) =\operatorname{sign}(r_{xy})$$

因此：

本題考驗機率抽樣 (Probability Sampling) 與非機率抽樣 (Non-probability Sampling) 方法的定義與區別。

抽樣方法 (Sampling Methods)
抽樣是從母體 (Population) 中選取一個樣本 (Sample) 的過程，目的是透過樣本的資訊來推論母體的特性。抽樣方法的選擇對推論的有效性至關重要。

一、機率抽樣 (Probability Sampling)
機率抽樣是指母體中的每一個元素（單位）都有一個已知的、非零的機率被選入樣本。這意味著抽樣過程是隨機的，並且可以量化抽樣誤差。機率抽樣是進行統計推論（如估計母體參數、建構信賴區間、進行假設檢定）的基礎。

常見的機率抽樣方法：

1. 簡單隨機抽樣 (Simple Random Sampling, SRS)：

   • 定義：母體中的每一個樣本都有相同的機率被選取。
   • 方法：為母體中的每個元素編號，然後使用亂數表或電腦亂數產生器來隨機抽取。
   • 優點：概念簡單，易於操作（若母體不大），樣本統計量是母體參數的無偏估計量。
   • 缺點：對於大型母體可能難以取得完整的抽樣框 (sampling frame)；可能無法保證樣本的代表性（例如，某些子群體可能未被充分代表）。

2. 系統抽樣 (Systematic Sampling)：

   • 定義：從母體中抽取固定間隔的元素。
   • 方法：首先確定抽樣間隔 $k = N/n$（N為母體大小，n為樣本大小）。從母體的第一個元素開始，隨機選取一個起始點 $m$（$1 \le m \le k$），然後每隔 $k$ 個元素抽取一個，即抽取第 $m, m+k, m+2k, \ldots$ 個元素。
   • 優點：操作相對簡單，比 SRS 更容易執行，且樣本分佈較均勻。
   • 缺點：如果母體存在週期性（與抽樣間隔 $k$ 相關），則可能導致偏差。

3. 分層抽樣 (Stratified Sampling)：

   • 定義：將母體劃分為若干互斥的子群體（層，strata），然後從每個層中進行簡單隨機抽樣或系統抽樣。
   • 方法：根據某個特徵（如年齡、性別、地區）將母體分成層，然後在各層內進行隨機抽樣。抽樣比例可以是按比例 (proportional) 或非按比例 (disproportional)。
   • 優點：可以提高樣本的代表性，特別是對於包含異質性較大子群體的母體；可以對各層進行單獨分析；通常可以獲得更精確的估計量（較小的標準誤）。
   • 缺點：需要事先了解母體的層別資訊，操作較複雜。

4. 叢聚抽樣 (Cluster Sampling)：

   • 定義：將母體劃分為若干叢聚 (clusters)，然後隨機抽取叢聚，並對所選叢聚內的所有元素進行調查（單階段叢聚抽樣），或對所選叢聚內的元素再進行抽樣（多階段叢聚抽樣）。
   • 方法：例如，將城市劃分為若干社區（叢聚），然後隨機抽取社區，調查這些社區內的所有住戶。
   • 優點：當母體分散且難以獲取完整抽樣框時非常有用；成本較低，操作較 SRS 簡單。
   • 缺點：抽樣誤差通常比 SRS 或分層抽樣大，因為叢聚內的元素可能比母體內隨機選取的元素更相似。

二、非機率抽樣 (Non-probability Sampling)
非機率抽樣是指樣本的選擇並非基於隨機原則，而是基於研究者的主觀判斷或方便性。這種方法無法量化抽樣誤差，也不能保證樣本的代表性，因此不能用於進行嚴格的統計推論。然而，在某些探索性研究、市場調查或難以實施機率抽樣的情況下，非機率抽樣仍有其用途。

常見的非機率抽樣方法：

1. 便利抽樣 (Convenience Sampling)：

   • 定義：選擇最容易接觸到的母體元素作為樣本。
   • 方法：例如，在街頭訪問路人，或對身邊的同學進行調查。
   • 優點：快速、便宜、方便。
   • 缺點：樣本代表性極差，偏差極大，結果不可信。

2. 判斷抽樣 (Judgmental/Purposive Sampling)：

   • 定義：研究者根據自己的專業知識和判斷，有目的地選擇那些被認為最能代表母體特徵的元素。
   • 方法：例如，選擇某領域的專家進行訪談。

本題考驗中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT) 的敘述與解釋。

中央極限定理 (Central Limit Theorem, CLT)

中央極限定理是機率論和統計學中一個非常重要的定理。它指出，在相當廣泛的條件下，大量獨立隨機變數的平均值（或總和）的分佈，趨近於一個常態分佈，無論原始變數的機率分佈為何。

定理的敘述 (Formal Statement)：
設 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是一組從任何一個具有有限平均數 $\mu$ 和有限變異數 $\sigma^2 > 0$ 的母體中獨立抽取出來的隨機樣本。
令 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 為樣本平均數。
則隨著樣本大小 $n$ 的增加，樣本平均數 $\bar{X}$ 的分佈趨近於一個常態分佈，其平均數為 $\mu$ 且變異數為 $\frac{\sigma^2}{n}$。
即，當 $n \to \infty$ 時，
$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} Z$
其中 $Z$ 是一個標準常態分佈的隨機變數，即 $Z \sim N(0, 1)$。

定理的解釋與意義：

1. 對原始分佈的獨立性：CLT 的強大之處在於，它不要求原始母體服從常態分佈。無論原始分佈是均勻分佈、指數分佈、二項分佈，甚至是高度偏態或不規則的分佈，只要樣本數足夠大，樣本平均數的分佈就會近似常態。
2. 樣本大小的要求：定理中的「足夠大」通常指的是 $n \ge 30$。然而，這個閾值並非絕對，如果原始母體本身就接近常態，那麼較小的樣本數也可能產生近似常態的樣本平均數分佈。反之，如果原始母體分佈極端不對稱，則可能需要更大的樣本數。
3. 對樣本平均數的應用：CLT 是許多統計方法的基礎，尤其是關於母體平均數的推論。例如：