113 年 國立成功大學統計學研究所《統計學》

此題考驗對資料類型的基本理解。
【詳解】
類別資料（Categorical data）是指用來分類或標記的資料，例如性別（男、女）、顏色（紅、綠、藍）或產品等級（A、B、C）。

此題考驗常態分配（Normal Distribution）的對稱性及其參數之間的關係。
【詳解】
常態分配是一個對稱的機率分配。

此題考驗機率論中事件交集與聯集計算公式的區別。
【詳解】
事件的交集（intersection）是指兩個事件同時發生的機率，通常用 $P(A \cap B)$ 表示。事件的聯集（union）是指兩個事件至少發生一個的機率，通常用 $P(A \cup B)$ 表示。

此題考驗對共變異數（Covariance）性質的理解。
【詳解】
共變異數（Covariance）衡量兩個變數之間線性相關的方向和強度。其值可以為任何實數，沒有固定的上下界。

此題考驗卜瓦松分配（Poisson Distribution）與指數分配（Exponential Distribution）之間的關係。
【詳解】

此題考驗變異數檢定中使用的統計分配。
【詳解】
檢定兩個母體變異數是否有差異時，我們通常計算兩個樣本變異數的比值，並將其與 F 分配（F-distribution）進行比較。

此題考驗樣本大小對樣本平均數抽樣分配變異性的影響。
【詳解】
根據中央極限定理（Central Limit Theorem），不論母體分配如何，當樣本大小 (n) 增加時，樣本平均數 ( $\bar{X}$ ) 的抽樣分配會趨近於常態分配，且其平均數等於母體平均數 ( $\mu$ )，變異數為母體變

此題考驗對第二類錯誤（Type II Error）定義的理解。
【詳解】
統計檢定中存在兩種錯誤：
第一類錯誤（Type I error）：當虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$）為真時，卻拒絕了 $H_0$。

此題考驗判定係數（Coefficient of Determination）與迴歸直線斜率的關係。
【詳解】
判定係數（$R^2$）衡量迴歸模型解釋應變數變異性的比例，其值介於 0 和 1 之間。
在簡單線性迴歸中，判定係數 $R^2$ 的平方根等於相關係數 (r) 的絕對值，即 $R = |r|$。

此題考驗變異數分析（ANOVA）的基本假設。
【詳解】
變異數分析（ANOVA）的主要目的是檢定多個母體平均數是否相等。
其虛無假設 ($H_0$) 通常是所有母體平均數都相等，即 $\mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_k$。

此題考驗如何計算檢定兩個母體變異數相等的 F 統計量。
【詳解】
此題是要檢定兩個母體變異數是否相等，即 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 對 $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$。
檢定統計量為樣本變異數的比值：$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$ 或 $F = \frac{s_2^2}{s_1^2}$。通常將較大的樣本變異數放在分子，以進行單尾檢定，但在此題中，對立假設為雙尾，所以哪個在分子都可以，但自由度要對應。
我們有：
樣本大小：$n_1 = 31$, $n_2 = 8$
樣本標準差：$s_1 = 0.2$, $s_2 = 0.1$
樣本變異數：$s_1^2 = (0.2)^2 = 0.04$, $s_2^2 = (0.1)^2 = 0.01$

此題考驗如何根據 F 統計量和自由度來判斷 p-value，並根據顯著水準做出決策。
【詳解】
在問題 B.1 中，我們計算得到 F 統計量為 4。
檢定的對立假設是 $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$，這是一個雙尾檢定。
自由度為 $df_1 = n_1 - 1 = 31 - 1 = 30$ 和 $df_2 = n_2 - 1 = 8 - 1 = 7$。
我們需要找到 F 分配表中自由度為 (30, 7) 的值，並對應雙尾檢定的 p-value。

我們查閱 F 分配表（通常會提供 P 值對應的臨界值，或臨界值對應的 P 值）。題目最後一頁有提供 F 分配的參考值，但它是上尾機率。
通常，我們計算 F 統計量，然後查找 p-value。在這裡，我們需要根據 F 統計量 4 和自由度 (30, 7) 來估計 p-value。

因為對立假設是雙尾，所以 p-value = $2 \times P(F_{df_1, df_2} \ge F_{observed})$。
我們需要查找 $P(F_{30, 7} \ge 4)$。

我們查看題目最後一頁提供的 F 分配參考值，其中有 $F_{0.05}(30,7) = 3.38$ 和 $F_{0.025}(30,7) = 4.36$。
由於我們計算的 F 統計量為 4，它介於 3.38 和 4.36 之間。
$3.38 < 4 < 4.36$
這表示 $P(F_{30, 7} \ge 4)$ 介於 0.025 和 0.05 之間。
$0.025 < P(F_{30, 7} \ge 4) < 0.05$

此題考驗如何利用總平方和（SST）和誤差平方和（SSE）來計算相關係數。
【詳解】
在簡單線性迴歸中，總平方和（SST）可以分解為迴歸平方和（SSR）和誤差平方和（SSE）：
$SST = SSR + SSE$

給定：
$SST = 4500$
$SSE = 1575$

我們可以計算 SSR：
$SSR = SST - SSE = 4500 - 1575 = 2925$

判定係數（Coefficient of Determination），記為 $R^2$，表示模型解釋的變異量佔總變異量的比例。
$R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{2925}{4500}$

此題考驗信賴區間（Confidence Interval）與假設檢定（Hypothesis Test）之間的關係。
【詳解】
題目設定的虛無假設是 $H_0: p = 0.64$。
檢定的顯著水準是 $\alpha = 0.01$。
這意味著我們使用的信賴區間是 $(1-\alpha)$ 的信賴區間，即 $1 - 0.01 = 0.99$，也就是 99% 的信賴區間。

一個信賴區間是否包含虛無假設中的母體參數值，決定了我們是否拒絕虛無假設。
如果一個 $(1-\alpha)$ 的信賴區間包含虛無假設中的參數值，則在顯著水準 $\alpha$ 下，我們不拒絕虛無假設。
如果一個 $(1-\alpha)$ 的信賴區間不包含虛無假設中的參數值，則在顯著水準 $\alpha$ 下，我們拒絕虛無假設。

此題考驗比例檢定（Test for Proportion）的計算與決策。
【詳解】
我們要檢定的虛無假設是 $H_0: p = 0.64$，對立假設是 $H_a: p \neq 0.64$。
樣本資訊：
樣本大小 $n = 100$
樣本中聲稱品牌好的數量 $x = 52$
樣本比例 $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{52}{100} = 0.52$

顯著水準 $\alpha = 0.01$。

進行比例檢定時，我們使用 Z 統計量。在虛無假設下，母體比例 $p_0 = 0.64$。
Z 統計量的計算公式為：
$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$

代入數值：
$Z = \frac{0.52 - 0.64}{\sqrt{\frac{0.64(1-0.64)}{100}}}$
$Z = \frac{-0.12}{\sqrt{\frac{0.64(0.36)}{100}}}$
$Z = \frac{-0.12}{\sqrt{\frac{0.2304}{100}}}$
$Z = \frac{-0.12}{\sqrt{0.002304}}$

計算 $\sqrt{0.002304}$:
$0.002304 = 2304 \times 10^{-6}$
$\sqrt{0.002304} = \sqrt{2304} \times 10^{-3}$
$40^2 = 1600$, $50^2 = 2500$
$48^2 = (50-2)^2 = 2500 - 200 + 4 = 2304$
所以，$\sqrt{0.002304} = 48 \times 10^{-3} = 0.048$

此題考驗如何根據假設檢定設定，計算出樣本平均數的接受區間（Acceptance Region）。
【詳解】
問題設定：
汽車製造商聲稱新經濟車款每加侖至少可跑 25 英里。
虛無假設 ($H_0$)：母體平均里程 $\mu \ge 25$。
對立假設 ($H_a$)：母體平均里程 $\mu < 25$。
這是一個左尾檢定。
顯著水準 $\alpha = 0.05$。
樣本大小 $n = 36$。
母體變異數 $\sigma^2 = 9$ 英里/加侖。
母體標準差 $\sigma = \sqrt{9} = 3$ 英里/加侖。

因為母體變異數已知，我們使用 Z 檢定。
Z 統計量的公式為：$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$，其中 $\mu_0$ 是虛無假設中的母體平均數。
在左尾檢定中，我們拒絕 $H_0$ 如果 $Z < -Z_{\alpha}$。
其中 $Z_{\alpha}$ 是標準常態分配中，右尾機率為 $\alpha$ 的臨界值。
對於 $\alpha = 0.05$，查標準常態分配表，得 $Z_{0.05} = 1.645$。
所以，我們拒絕 $H_0$ 如果 $Z < -1.645$。

此題考驗如何計算第二類錯誤（Type II Error）的機率（$\beta$）以及檢定的功效（Power）。
【詳解】
延續 Exhibit 3 的設定：
$H_0: \mu \ge 25$ (或 $\mu = 25$)
$H_a: \mu < 25$
$\alpha = 0.05$
$n = 36$
$\sigma = 3$
拒絕區域是 $\bar{X} < 24.1775$。
接受區域是 $\bar{X} \ge 24.1775$。

第二類錯誤（Type II Error）是指當對立假設為真時，卻未能拒絕虛無假設。
在這裡，我們假設實際的母體平均里程是 $\mu = 23.5$ (這是對立假設為真的一種情況)。
第二類錯誤的機率 $\beta$ 是在實際 $\mu = 23.5$ 的情況下，樣本平均數 $\bar{X}$ 落入接受區域的機率。
$\beta = P(\text{Fail to reject } H_0 | \mu = 23.5)$
$\beta = P(\bar{X} \ge 24.1775 | \mu = 23.5)$

當 $\mu = 23.5$ 時，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配的平均數是 23.5，標準差是

核心觀念

本題考查連續型均勻分配 $U(a,b)$ 的兩項基本性質：

1. 機率密度函數為

2. 均勻分配的平均數為

題目給定：

需由此求出 $a$ 與 $b$。

解題方法

第一步：利用機率密度函數求區間長度

均勻分配的密度為：

因為

所以：

這表示均勻分配的區間長度為 $160$。

第二步：利用平均數求區間中點

均勻分配的平均數為：

因此：

第三步：聯立求解

由

以及

兩式相加：

因此：

代回 $a+b=272$：

所以：

選項分析

• (A) $(56,126)$：錯誤。
  區間長度為 $126-56=70$，其密度應為

  $$\frac{1}{70}\ne 0.00625$$

  且平均數為

  $$\frac{56+126}{2}=91\ne136$$

此題考驗均勻分佈的機率計算和標準差計算。
【詳解】
延續 Exhibit 4 的設定，我們已經從問題 B.8 中得出均勻分佈的參數為 $a = 56$ 和 $b = 216$。
機率密度函數為 $f(x) = 0.00625$, for $56 \le x \le 216$。

首先，計算消費者每日可支配支出在 $100 美元到$200 美元之間的機率 (p)。
對於均勻分佈，在區間 $[c, d]$ 內的機率為：
$P(c \le X \le d) = \int_c^d f(x) dx = \int_c^d \frac{1}{b-a} dx = \frac{d-c}{b-a}$
這裡，$c = 100$, $d = 200$, $a = 56$, $b = 216$。
$p = P(100 \le X \le 200) = \frac{200 - 100}{216 - 56} = \frac{100}{160}$
$p = \frac{100}{160} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} = 0.625$

接下來，計算該均勻分佈的標準差 ($\sigma$)。
對於均勻分佈 $U(a, b)$，其標準差的公式是：
$\sigma = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}}$

此題考驗常態分配（Normal Distribution）的百分位數計算。
【詳解】
題目給定：
scholarship value 是一個常態分配。
平均數 $\mu = 19000$ 美元。
標準差 $\sigma = 2100$ 美元。

我們要找出「3% 的獎學金價值最高，它們值多少錢」。
這表示我們要找一個價值，使得只有 3% 的獎學金價值比這個值高，而 97% 的獎學金價值比這個值低。
換句話說，我們要找的是第 97 個百分位數 (97th percentile)。

我們需要找到一個 Z 值，使得其右尾機率為 0.03，或者左尾機率為 $1 - 0.03 = 0.97$。
查標準常態分配表，尋找累計機率接近 0.97 的 Z 值。
P(Z < 1.88) ≈ 0.9699

此題考驗最小平方法（Least Squares Method）在簡單線性迴歸中求解迴歸係數估計量（$\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$）的過程。

【詳解】
簡單線性迴歸模型為 $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$。
最小平方法旨在最小化實際觀測值 $y_i$ 與迴歸直線預測值 $\hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i$ 之間的誤差平方和（Sum of Squared Errors, SSE）。
SSE = $\sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 = \sum_{i=1}^n (y_i - (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i))^2$

為了找到使 SSE 最小的 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$，我們對 SSE 分別對 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$ 取偏導數，並令其等於零，然後解聯立方程式。

1. 對 $\hat{\beta}_0$ 取偏導數並令其為零：
   $\frac{\partial SSE}{\partial \hat{\beta}_0} = \sum_{i=1}^n 2(y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_i)(-1) = 0$
   $-2 \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_i) = 0$
   $\sum_{i=1}^n (y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_i) = 0$
   $\sum y_i - \sum \hat{\beta}_0 - \sum \hat{\beta}_1 x_i = 0$
   $\sum y_i - n\hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 \sum x_i = 0$
   $n\hat{\beta}_0 = \sum y_i - \hat{\beta}_1 \sum x_i$
   $\hat{\beta}_0 = \frac{\sum y_i}{n} - \hat{\beta}_1 \frac{\sum x_i}{n}$
   $\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$
   這個結果表明，最小平方迴歸直線一定通過樣本均值點 $(\bar{x}, \bar{y})$。

2. 對 $\hat{\beta}_1$ 取偏導數並令其為零：
   $\frac{\partial SSE}{\partial \hat{\beta}_1} = \sum_{i=1}^n 2(y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_i)(-x_i) = 0$
   $-2 \sum_{i=1}^n x_i(y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_i) = 0$
   $\sum_{i=1}^n x_i(y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_i) = 0$
   $\sum (x_i y_i - \hat{\beta}_0 x_i - \hat{\beta}_1 x_i^2) = 0$
   $\sum x_i y_i - \hat{\beta}_0 \sum x_i - \hat{\beta}_1 \sum x_i^2 = 0$

   現在將 $\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$ 代入上式：
   $\sum x_i y_i - (\bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}) \sum x_i - \hat{\beta}_1 \sum x_i^2 = 0$
   $\sum x_i y_i - \bar{y} \sum x_i + \hat{\beta}_1 \bar{x} \sum x_i - \hat{\beta}_1 \sum x_i^2 = 0$

核心觀念

在一般線性迴歸模型中，均方誤差（MSE）是殘差平方和除以殘差自由度。若模型有 $n$ 筆觀測、設計矩陣 $X$ 的秩為 $p$，則

在誤差項彼此不相關且具有相同變異數的假設下，MSE 是母體誤差變異數 $\sigma^2$ 的不偏估計量。

解題方法

設線性模型為

令 $H=X(X'X)^{-1}X'$ 為投影矩陣，則殘差向量為

因為 $HX=X$，可得 $(I_n-H)X\boldsymbol\beta=\mathbf 0$，因此

利用二次型期望公式

此題考驗如何根據檢定的功效（Power）來反推顯著水準（$\alpha$）。

【詳解】
我們有一個關於母體平均數 $\mu$ 的假設檢定：
$H_0: \mu \le 20$
$H_a: \mu > 20$
這是一個右尾檢定。

已知資訊：
母體標準差 $\sigma = 10$。
樣本大小 $n = 64$。
當實際母體平均數為 $\mu = 21.4$ 時，檢定的功效（Power）為 0.2。

功效（Power）的定義是：當對立假設為真時，正確拒絕虛無假設的機率。
Power $= P(\text{Reject } H_0 | H_a \text{ is true})$
在這裡，Power $= P(\text{Reject } H_0 | \mu = 21.4) = 0.2$。

由於母體標準差 $\sigma$ 已知，我們使用 Z 檢定。
Z 統計量為 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$。
在右尾檢定中，我們拒絕 $H_0$ 如果 $Z > Z_{\alpha}$，其中 $Z_{\alpha}$ 是在顯著水準 $\alpha$ 下的標準常態臨界值。
所以，Power $= P(\frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} > Z_{\alpha} | \mu = 21.4)$。

我們將 $\mu_0$ 設定為 $H_0$ 的邊界值，即 $\mu_0 = 20$。
$\sigma/\sqrt{n} = 10/\sqrt{64} = 10/8 = 1.25$。

Power $= P(\frac{\bar{X} - 20}{1.25} > Z_{\alpha} | \mu = 21.4) = 0.2$。
令 $Z' = \frac{\bar{X} - 21.4}{1.25}$。當 $\mu=21.4$ 時，$\bar{X}$ 的期望值是 21.4，所以 $Z'$ 是一個標準常態變數。
我們需要將不等式轉換成以 $\mu = 21.4$ 為基礎的 Z 值。

核心觀念

此題考查「隨機區集設計」（randomized block design）的 ANOVA 表補全。

設：

• 處理數 $t=4$
• 區集數 $b=8$
• 總觀測值數 $N=tb=32$

隨機區集設計的自由度分解為：

其中：

平方和亦滿足：

均方與 $F$ 統計量為：

解題方法

1. 計算各來源的自由度

處理的自由度：

因此：

區集的自由度：

因此：

誤差的自由度：

因此：

總自由度：

因此：

也可驗算：

2. 計算誤差平方和

已知：

因此：

所以：

3. 計算各來源的均方

處理均方：

因此：

區集均方：

本題為上一題 C.3 的延續，只是為了格式要求，將表格填寫的結果重新列出。

此為標準常態分配的累積機率表，提供給考生在解題時查閱 Z 值所對應的機率。在統計學研究所考試中，這類表格是標準配備，用於進行假設檢定、信賴區間計算等。

【詳解】
此表格列出了標準常態分配（平均數為 0，標準差為 1）的累積機率 $P(Z \le z)$。
表格的列標（Z）表示標準常態變數的值，小數點後第一位；表格的欄標（.00 到 .09）表示標準常態變數的第二位小數。

此為 F 分配的臨界值表，提供給考生在進行變異數分析或檢定兩個母體變異數時使用。表格中標示的機率是指上尾機率（upper tail probability），即 $P(F_{df_1, df_2} \ge F_{\alpha}) = \alpha$。

【詳解】
表格的格式為 $F_{\alpha}(df_1, df_2)$，其中：

• $\alpha$ 是上尾機率（例如 0.1, 0.05, 0.025, 0.01）。
• $df_1$ 是分子自由度。