114 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班甲組《自動控制》

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第 1 題

Consider a damped spring-mass system with an actuator as shown in Fig. 1(a). For a position-regulation system, which attempts to maintain the position of the block in one fixed place regardless of disturbances.
(a) Please derived the closed-loop dynamics. (10%)
(b) If the parameters of the damped spring-mass system are m=1m=1, b=1b=1 and k=1k=1, find the gains KpK_p and KvK_v for a position-regulation control law the results in the system's being critically damped with a closed-loop stiffness of 16.0. (15%)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Fig. 1(a) shows a damped spring-mass system with an actuator.
Fig. 1(b) shows the controller with gains KpK_p and −Kv-K_v.

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
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這一題的完整詳解

此題考查質量彈簧阻尼系統的閉迴路動力學推導與控制器參數設計，以及由閉迴路系統性能指標反求控制器參數。

(a) 閉迴路動力學推導

首先，我們分析圖 1(a) 的開放迴路系統。
質量 mm 受到外力 ff 的作用，同時受到彈簧力 −kx-kx 和阻尼力 −bx˙-b\dot{x} 的作用。
根據牛頓第二運動定律，系統的運動方程式為：
mx¨=f−kx−bx˙m\ddot{x} = f - kx - b\dot{x}
mx¨+bx˙+kx=fm\ddot{x} + b\dot{x} + kx = f

在圖 1(b) 中，控制器輸出的控制訊號 ff 與系統輸出 xx 的關係為：
f=−Kpx−Kvx˙f = -K_p x - K_v \dot{x}
其中 KpK_p 是比例增益，−Kv-K_v 是微分增益。

將控制器的輸出 ff 代入系統的運動方程式，可得到閉迴路系統的動力學方程式：
mx¨+bx˙+kx=−Kpx−Kvx˙m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = -K_p x - K_v \dot{x}
mx¨+(b+Kv)x˙+(k+Kp)x=0m\ddot{x} + (b+K_v)\dot{x} + (k+K_p)x = 0

這是描述閉迴路系統輸出的二階線性常係數齊次微分方程式。

(b) 計算控制器參數 KpK_p 和 KvK_v

給定系統參數為 m=1m=1, b=1b=1, k=1k=1。
閉迴路動力學方程式變為：
1x¨+(1+Kv)x˙+(1+Kp)x=01\ddot{x} + (1+K_v)\dot{x} + (1+K_p)x = 0
x¨+(1+Kv)x˙+(1+Kp)x=0\ddot{x} + (1+K_v)\dot{x} + (1+K_p)x = 0

此方程式的特徵方程式為：
s2+(1+Kv)s+(1+Kp)=0s^2 + (1+K_v)s + (1+K_p) = 0

系統要求達到「臨界阻尼」 (critically damped)，這表示特徵方程式的根必須是兩個相等且位於負實軸的實根。對於一個標準的二階系統 s2+2ζωns+ωn2=0s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0，臨界阻尼發生在阻尼比 ζ=1\zeta=1 的時候。

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第 2 題

Consider a feedback control system shown in Fig. 2(a). The root loci of the feedback control system are shown in Fig. 2(b).
(a) Find the parameters aa, bb, cc, and dd indicated in the forward-path transfer function of Fig. 2(a) (10%).
(b) Find the gain KK that the root loci of the system intersects the imaginary axis. (15%)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Fig. 2(a) shows a feedback control system with R(s)R(s) as input and Y(s)Y(s) as output. The forward path transfer function is Gopen(s)=K(s+a)s(s3+bs2+cs+d)G_{open}(s) = \frac{K(s+a)}{s(s^3 + bs^2 + cs + d)}. The feedback path transfer function is H(s)=1H(s) = 1.
Fig. 2(b) shows the root locus plot.

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核心觀念

此題利用根軌跡圖讀取開迴路零點與極點，再由閉迴路特徵方程判斷虛軸交點。

前向傳遞函數為

G(s)H(s)=K(s+a)s(s3+bs2+cs+d).G(s)H(s)=\frac{K(s+a)}{s(s^3+bs^2+cs+d)}.

根軌跡圖中可直接讀出：

  • 開迴路零點位於 s=−5s=-5；
  • 根軌跡與虛軸交於約 s=±j2s=\pm j2。

因此零點為 s=−a=−5s=-a=-5，可得

a=5.a=5.

解題方法

(a) 求 a,b,c,da,b,c,d

由根軌跡圖，若三個非原點極點分別為

s=−p1,s=−p2,s=−p3,s=-p_1,\quad s=-p_2,\quad s=-p_3,

則

s3+bs2+cs+d=(s+p1)(s+p2)(s+p3).s^3+bs^2+cs+d =(s+p_1)(s+p_2)(s+p_3).

展開後：

b=p1+p2+p3,b=p_1+p_2+p_3, c=p1p2+p1p3+p2p3,c=p_1p_2+p_1p_3+p_2p_3, d=p1p2p3.d=p_1p_2p_3.

然而，題目所附掃描圖中的三個非原點極點標記解析度不足，無法可靠辨識其精確座標。因此除零點 s=−5s=-5 外，b,c,db,c,d 無法由目前圖像唯一確定；不能逕自假設極點位置而編造數值。

(b) 求虛軸交點的增益 KK

閉迴路特徵方程為

1+K(s+5)s(s3+bs2+cs+d)=0,1+\frac{K(s+5)}{s(s^3+bs^2+cs+d)}=0,

所以

s(s3+bs2+cs+d)+K(s+5)=0.s(s^3+bs^2+cs+d)+K(s+5)=0.

整理得

s4+bs3+cs2+(d+K)s+5K=0.s^4+bs^3+cs^2+(d+K)s+5K=0.
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第 3 題

Consider a second-order position control system shown in Fig.3 with the transfer functions of the plant G(s)=1s(s+1)G(s) = \frac{1}{s(s+1)} and D(s)=Ks+as+bD(s) = K \frac{s+a}{s+b}.

(a) Please calculate the steady state error for a unit-ramp input r(t)r(t) if K=10K=10 (10%).
(b) Please draw the Bode plot of G(s)G(s) and find the phase margin of G(s)G(s) (10%).
(c) Please design a lead compensator D(s)D(s) so that the phase margin is larger than 45∘45^\circ (20%).

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Fig. 3 shows a feedback control system. The input is r(t)r(t), output is y(t)y(t). The controller transfer function is D(s)D(s), and the plant transfer function is G(s)G(s). The feedback path is unity.

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核心觀念

本題考查單位負回授系統的：

  1. 型別與穩態誤差。
  2. Bode 圖、增益交越頻率與相位裕度。
  3. 超前補償器（lead compensator）的設計。

開迴路傳遞函數為

L(s)=D(s)G(s)=Ks+as+b1s(s+1).L(s)=D(s)G(s) =K\frac{s+a}{s+b}\frac{1}{s(s+1)}.

(a) 單位斜坡輸入的穩態誤差

單位斜坡輸入為

r(t)=t,R(s)=1s2.r(t)=t,\qquad R(s)=\frac{1}{s^2}.

系統含有一個原點極點，因此屬於 Type 1 系統。對 Type 1 系統，單位斜坡的穩態誤差為

ess=1Kv,e_{\mathrm{ss}}=\frac{1}{K_v},

其中速度誤差常數

Kv=lim⁡s→0sL(s).K_v=\lim_{s\to 0}sL(s).

代入開迴路傳遞函數：

Kv=lim⁡s→0s[Ks+as+b1s(s+1)].K_v =\lim_{s\to0} s\left[ K\frac{s+a}{s+b}\frac{1}{s(s+1)} \right].

因此

Kv=lim⁡s→0Ks+a(s+b)(s+1)=Kab.K_v =\lim_{s\to0} K\frac{s+a}{(s+b)(s+1)} =\frac{Ka}{b}.

當 K=10K=10 時，

Kv=10ab.K_v=\frac{10a}{b}.

所以

ess=b10a\boxed{e_{\mathrm{ss}}=\frac{b}{10a}}

只要 a>0a>0、b>0b>0，穩態誤差為有限值。

題目未提供 aa、bb 的數值，因此無法得到單一數值答案；在題目所給參數下，答案為 b10a\dfrac{b}{10a}。

(b) G(s)G(s) 的 Bode 圖與相位裕度

1. 頻率響應

植物為

G(s)=1s(s+1).G(s)=\frac{1}{s(s+1)}.

令 s=jωs=j\omega：

G(jω)=1jω(1+jω).G(j\omega)=\frac{1}{j\omega(1+j\omega)}.

其幅值為

∣G(jω)∣=1ω1+ω2.|G(j\omega)| =\frac{1}{\omega\sqrt{1+\omega^2}}.

以分貝表示：

20log⁡10∣G(jω)∣=−20log⁡10ω−10log⁡10(1+ω2).20\log_{10}|G(j\omega)| =-20\log_{10}\omega -10\log_{10}(1+\omega^2).

相位為

∠G(jω)=−90∘−tan⁡−1ω.\angle G(j\omega) =-90^\circ-\tan^{-1}\omega.

2. Bode 幅值圖特徵

G(s)G(s) 包含：

  • 一個原點極點 s=0s=0：低頻斜率為 −20-20 dB/decade。
  • 一個位於 ω=1\omega=1 rad/s 的極點 s+1s+1：超過 11 rad/s 後，斜率變為 −40-40 dB/decade。

因此幅值圖的漸近線為：

  • ω<1\omega<1：斜率 −20-20 dB/decade。
  • ω>1\omega>1：斜率 −40-40 dB/decade。

相位則由低頻的 −90∘-90^\circ 逐漸下降，最後趨近 −180∘-180^\circ。

3. 增益交越頻率

增益交越頻率 ωgc\omega_{gc} 滿足

∣G(jωgc)∣=1.|G(j\omega_{gc})|=1.

因此

1ωgc1+ωgc2=1.\frac{1}{\omega_{gc}\sqrt{1+\omega_{gc}^2}}=1.

平方後得

ωgc2(1+ωgc2)=1.\omega_{gc}^2(1+\omega_{gc}^2)=1.

令 x=ωgc2x=\omega_{gc}^2：

x2+x−1=0.x^2+x-1=0.

取正根：

x=5−12,x=\frac{\sqrt{5}-1}{2},

所以

ωgc=5−12≈0.786 rad/s.\omega_{gc} =\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \approx 0.786\ \text{rad/s}.

在此頻率下，

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第 4 題

Consider a plant is described as
x˙=[1−10−1]x+[10]u\dot{x} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} u
please design a state feedback so that the poles of the closed loop system are located at −20-20 and −10-10. (10%)

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核心觀念

本題考查：

  • 狀態回授極點配置
  • 可控制性（controllability）
  • 狀態回授對閉迴路極點的影響

對系統

x˙=Ax+Bu\dot{x}=Ax+Bu

採用狀態回授

u=−Kx,K=[k1k2]u=-Kx,\qquad K=\begin{bmatrix}k_1&k_2\end{bmatrix}

則閉迴路系統為

x˙=(A−BK)x\dot{x}=(A-BK)x

只有在系統完全可控制時，才能任意配置閉迴路極點。

解題方法一：先檢查可控制性

題目給定

A=[1−10−1],B=[10]A= \begin{bmatrix} 1&-1\\ 0&-1 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}

二階系統的可控制矩陣為

C=[BAB]\mathcal{C}=\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}

先計算

AB=[1−10−1][10]=[10]AB= \begin{bmatrix} 1&-1\\ 0&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}

因此

C=[1100]\mathcal{C} = \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&0 \end{bmatrix}

其秩為

rank⁡(C)=1<2\operatorname{rank}(\mathcal{C})=1<2

所以此系統不是完全可控制系統，無法透過狀態回授任意配置兩個閉迴路極點。

解題方法二：直接觀察閉迴路矩陣

令

K=[k1k2]K=\begin{bmatrix}k_1&k_2\end{bmatrix}

則

BK=[10][k1k2]=[k1k200]BK= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1&k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_1&k_2\\ 0&0 \end{bmatrix}

因此

A−BK=[1−k1−1−k20−1]A-BK = \begin{bmatrix} 1-k_1&-1-k_2\\ 0&-1 \end{bmatrix}

此矩陣為上三角矩陣，其特徵值直接等於對角元素：

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