114 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班甲組《應用力學（B）》

本題主要考察應用力學中的基本名詞定義，屬於觀念題。

(1) 靜不定 (Statically indeterminate)：
在靜力學中，若結構物的未知反力或內部應力，無法僅由靜力平衡方程式（例如 $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M_z = 0$）來求解，則稱之為靜不定。這類問題需要額外考慮材料的變形或應變來建立足夠的方程式以求得解答。

(2) 極慣性矩 (Polar moment of inertia)：
極慣性矩是描述物體抵抗繞某一點或軸線轉動的慣性的量。

第 2 題核心觀念

本題綜合考查：

• 桁架零力構件判斷
• 剛體平面運動中的角速度與角加速度
• 機械能守恆與圓周運動接觸條件

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（1）桁架中的零力構件

核心觀念

若桁架某個無外力、無支承反力的節點只有兩根不共線構件相交，則該兩根構件皆為零力構件。

圖中右側最上方的節點 $D$ 沒有外力作用，且只連接 $DE$ 與 $DC$ 兩根不共線構件，因此：

$$F_{DE}=0,\qquad F_{DC}=0$$

所以右側結構共有 $2$ 根零力構件。

選項分析

• （a）$0$：錯。節點 $D$ 的兩根構件均為零力構件。
• （b）$2$：對。零力構件為 $DE$、$DC$。
• （c）$3$：錯。圖中沒有第三根可由零力節點規則判定為零的構件。
• （d）$4$：錯。不能將其他承受外力傳遞的構件列為零力構件。

解題技巧

先找「無外力且只有兩根不共線構件」的節點，通常能最快判斷零力構件。本圖應先由節點 $D$ 著手。

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（2）矩形板的角速度

核心觀念

角速度 $\omega$ 描述剛體在當下的轉動狀態；角加速度 $\alpha$ 則描述角速度隨時間的變化：

$$\alpha=\frac{d\omega}{dt}$$

圖中標示的 $1\ \mathrm{rad/s^2}$ 與 $2\ \mathrm{rad/s^2}$ 是兩支手臂的角加速度，不是角速度。題目所示瞬間，系統由靜止開始，因此當下：

$$\omega_{\text{plate}}=0$$

角加速度會影響下一瞬間的角速度，但不能直接把 $1$ 或 $2\ \mathrm{rad/s^2}$ 當成矩形板的角速度。

矩形板的質心位置也不影響其角速度，因此不需要知道質心位置。

選項分析

• （a）$0\ \mathrm{rad/s}$：對。所示瞬間板尚未產生角速度。
• （b）$1\ \mathrm{rad/s}$：錯。圖中的 $1$ 是角加速度，單位為 $\mathrm{rad/s^2}$。
• （c）$2\ \mathrm{rad/s}$：錯。

核心觀念

本題考查平面剛體的靜力平衡與庫倫靜摩擦定律：

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$$

接觸力如下：

• $A$ 點為地面接觸：正向力 $N_A$、水平摩擦力 $F_A$。
• $B$ 點為牆面接觸：水平正向力 $N_B$、垂直摩擦力 $F_B$。
• 依一般梯子題慣例，梯子均勻，重量 $W$ 作用於中點。

由圖得：

$$AB=6.5\text{ m},\qquad \text{水平距離}=2.5\text{ m},\qquad \text{垂直高度}=6\text{ m}$$

因此梯子重心到 $A$ 點的水平距離為 $1.25\text{ m}$。

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解題方法

取 $F_B$ 向上為正，並以 $A$ 點取力矩，可避免 $A$ 點的接觸力出現在力矩式中。

情況一：$B$ 點無摩擦

此時

$$F_B=0$$

由鉛直方向平衡：

$$N_A-W=0$$

所以

$$N_A=W$$

以 $A$ 點取力矩：

$$N_B(6)-W(1.25)=0$$

故

$$N_B=\frac{1.25}{6}W=\frac{5}{24}W$$

由水平方向平衡：

$$F_A=N_B=\frac{5}{24}W$$

在 $A$ 點達到極限摩擦時：

$$F_A=\mu_{s,A}N_A$$

因此

$$\mu_{s,A} =\frac{F_A}{N_A} =\frac{\frac{5}{24}W}{W} =\boxed{\frac{5}{24}}$$

即

$$\boxed{\mu_{s,A}\approx 0.208}$$

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情況二：$A$、$B$ 兩點的摩擦係數相同

令兩處共同的靜摩擦係數為 $\mu_s$，並令 $B$ 點摩擦力向上，大小為 $F_B$。

由力平衡：

$$F_A=N_B$$ $$N_A+F_B=W$$

由 $A$ 點力矩平衡：

$$6N_B+2.5F_B-1.25W=0$$

整理得：

$$N_B=\frac{1.25W-2.5F_B}{6}$$

令

$$t=\frac{F_B}{W}$$

則

$$\frac{N_B}{W}=\frac{5}{24}-\frac{5}{12}t =\frac{5}{24}(1-2t)$$

且

核心觀念

本題考查帶式煞車的摩擦力與張力關係。飛輪受逆時針力矩 $M$，皮帶必須產生等大的順時針煞車力矩。

使用公式：

1. 皮帶摩擦張力關係
   $\frac{T_t}{T_s}=e^{\mu\theta}$

2. 飛輪力矩平衡
   $M=(T_t-T_s)r$

3. 操作桿力矩平衡
   $P(650)=T_t(125)$

其中 $T_t$ 為緊邊張力，$T_s$ 為鬆邊張力。由圖可知皮帶包覆飛輪約 $270^\circ$，因此

$$\theta=270^\circ=\frac{3\pi}{2}$$

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解題方法

飛輪半徑由圖得

$$r=125\text{ mm}=0.125\text{ m}$$

摩擦張力比為

$$\frac{T_t}{T_s} =e^{\mu\theta} =e^{0.2(3\pi/2)} =2.566$$

飛輪力矩平衡：

核心觀念

本題使用平面剛體的相對速度與相對加速度關係。對長度不變的連桿，兩端速度差來自角速度；加速度差則同時包含角加速度項與向心加速度項：

$$\mathbf v_B=\mathbf v_A+\boldsymbol\omega_{AB}\times\mathbf r_{B/A}$$ $$\mathbf a_B=\mathbf a_A+\boldsymbol\alpha_{AB}\times\mathbf r_{B/A} -\omega_{AB}^{\,2}\mathbf r_{B/A}$$

解題方法

圖中，液壓缸桿端 A 向右，速度為 $2\ \mathrm{m/s}$；連桿 $AB=180\ \mathrm{mm}$，由 A 指向 B 向右下方，與水平線夾 $60^\circ$；連桿 $OB=120\ \mathrm{mm}$，O 為固定鉸支點，由 O 指向 B 向左上方，與水平線夾 $15^\circ$。題目只給 A 點速度，沒有給 A 點加速度，因此角加速度須保留 $a_A$。

取向右為 $x$ 正向、逆時針為角速度正向，位置向量為

$$\mathbf r_{B/A} =(0.18\cos60^\circ,\,-0.18\sin60^\circ) =(0.0900,\,-0.1559)\ \mathrm m$$ $$\mathbf r_{B/O} =(-0.12\cos15^\circ,\,0.12\sin15^\circ) =(-0.1159,\,0.0311)\ \mathrm m$$

因 O 固定，B 點速度可由兩根連桿分別表示：

$$(2,0)+\omega_{AB}(0.1559,\,0.0900) =\omega_{OB}(-0.0311,\,-0.1159)$$

由 $y$ 分量得 $\omega_{AB}=-1.2879\omega_{OB}$。代入 $x$ 分量：

$$2-0.2008\omega_{OB}=-0.0311\omega_{OB}$$

因此

$$\omega_{OB}=11.8\ \mathrm{rad/s}$$

正號表示逆時針。