115 年國立臺灣大學生物機電系碩士班甲組《應用力學（B）》考古題與詳解

Question 1

Provide conceptual definitions (not just translations) for the following. For (2)-(4), include key formulas and identify all physical variables.
(1) Free Body Diagram;
(2) Impending Motion;
(3) Kinematics of Rigid Bodies;
(4) Kinetics of Rigid Bodies.

Accepted Answer

這題主要在考驗學生對應用力學基本概念的理解。 (1) 自由體圖 (Free Body Diagram, FBD)： 自由體圖是工程分析中最基本且最重要的工具之一。它是一個簡化的圖示，用來表示系統（一個物體、一個組件或一整個結構）與其周圍環境之間的互動。在繪製自由體圖時，會將所分析的系統從其周圍環境中「分離」出來，並在系統與環境的接觸點或作用點上，標示出所有作用在系統上的外力與力矩。這些力包括重力、外加載荷、支承反力、摩擦力、彈簧力、繩索張力等。自由體圖的目的是將複雜的物理系統抽象化，以便應用運動定律或平衡方程式進行分析。 (2) 運動趨勢 (Impending Motion)： 運動趨勢是指物體即將開始運動的狀態。在靜力學和動力學的分析中，運動趨勢通常出現在物體處於臨界平衡條件下，且有微小的擾動或外力變化就會導致其開始運動的時刻。例如，在摩擦力學中，當施加在物體上的靜摩擦力達到最大靜摩擦力時，物體就處於運動趨勢；在動力學中，當物體所受合力不為零時，它就會開始運動，而運動開始的瞬間可以視為一種運動趨勢。分析運動趨勢的目的是確定導致運動發生的條件，例如所需的最小外力或力矩。 (3) 剛體運動學 (Kinematics of Rigid Bodies)： 剛體運動學是研究剛體運動的幾何學，它不考慮引起運動的力或力矩。剛體運動學主要關注剛體的運動描述，包括位置、速度和加速度。對於剛體而言，其運動可以分解為整體平移和繞質心的轉動。 位置 (Position)：描述剛體上任意點的空間位置。 速度 (Velocity)：描述剛體上任意點的位置隨時間的變化率。剛體的點速度可以表示為其質心的速度加上繞質心的相對角速度所產生的速度。 加速度 (Acceleration)：描述剛體上任意點的速度隨時間的變化率。剛體的點加速度包含質心加速度以及由角速度和角加速度產生的相對加速度分量。 關鍵公式： 點的速度：$\vec{v}P = \vec{v}O + \vec{\omega} 	imes \vec{r}{P/O}$，其中 $\vec{v}P$ 是點 P 的速度，$\vec{v}O$ 是參考點 O 的速度，$\vec{\omega}$ 是剛體的角速度，$\vec{r}{P/O}$ 是從 O 到 P 的位移向量。

Question 2

Multiple-choice questions. (1) Three uniform rods, ABC, DCE and FGH are connected as shown. Which of the following statements are true? (a) $\omega{ABC} = \omega{DCE} = \omega{FGH}$; (b) $\omega{DCE} \omega{ABC} \omega{FGH}$; (c) $\omega{DCE} < \omega{ABC} < \omega{FGH}$; (d) $\omega{ABC} \omega{DCE} \omega{FGH}$; (e) $\omega{FGH} = \omega{DCE} < \omega{ABC}$. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 2(1) (2) The ball rolls without slipping on the fixed surface as shown. What is the direction of the velocity of Point A? (a) $\rightarrow$ (b) $\uparrow$ (c) $\leftarrow$ (d) $\downarrow$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 2(2) (3) For known forces that act on a two-dimensional structure, which of the following is true? (a) For external determinacy, it is an unstable structure. (b) For internal determinacy, it is an uns…

Accepted Answer

第 2 題 (1) 三根連桿的角速度關係 核心觀念 此題使用平面連桿機構的速度約束與瞬時中心法。對同一剛體而言，各點速度必須符合 $$ v=\omega r $$ 圖中 $ABC$ 為中央連桿，$DCE$ 與 $FGH$ 為上下兩根平行連桿。由圖示連接關係與速度幾何可得，上下兩根連桿的轉動情形相同，而中央連桿的角速度較大： $$ \omega{FGH}=\omega{DCE}<\omega{ABC} $$ 選項分析 - (a) 錯：三根連桿的角速度不相等，中央連桿 $ABC$ 的角速度較大。 - (b) 錯：正確的大小關係不是 $\omega{DCE}\omega{ABC}$。 - (c) 錯：$\omega{DCE}$ 並未小於 $\omega{FGH}$，兩者相等。 - (d) 錯：雖然 $\omega{ABC}$ 最大，但 $\omega{DCE}$ 與 $\omega{FGH}$ 並非前者大於後者。 - (e) 對：上下兩根連桿角速度相等，且均小於中央連桿。 解題技巧 遇到此類對稱連桿，先判斷平行連桿的運動是否相同，再利用 $v=\omega r$ 比較角速度。中央連桿的有效轉動半徑較小，在相同速度約束下角速度較大。 【答案】(e) --- (2) 滾動球上 $A$ 點的速度方向 核心觀念 球在固定面上「無滑動滾動」，接觸點瞬間速度為零： $$ \vec v{	ext{接觸點}}=0 $$ 圖中球為順時針轉動，因此球心向右運動。對左側點 $A$ 而言： - 球心平移速度方向：向右； - 因順時針轉動產生的切向速度方向：向上； - 左側點的轉動速度與球心平移速度同向疊加。 因此 $A$ 點速度方向向上。 選項分析 - (a) $ightarrow$：錯。向右是球心的速度方向，不是 $A$ 點的合速度方向。 - (b) $\uparrow$：對。左側點的轉動切向速度向上，且與球心速度共同形成向上方向。 - (c) $\leftarrow$：錯，方向與運動學關係不符。 - (d) $\downarrow$：錯，順時針轉動時左側點的切向速度為向上。 解題技巧 無滑動滾動可先記住：接觸點速度為零，球心速度方向與滾動方向相同。再利用「轉動速度方向必須垂直於半徑」判斷其他點的速度。 【答案】(b) --- (3) 二維桁架的穩定性與零力構件 核心觀念

Question 3

Classify each of the structures shown as completely, partially, or improperly constrained; if completely constrained, further classify as determinate or indeterminate. (All members can act both in tension and in compression.)
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 2(3)
(a)
(b)
(c)

Accepted Answer

核心觀念 此題考查平面桁架的約束分類。對具有 $j$ 個節點、$m$ 根桿件、$r$ 個支承反力分量的平面桁架，先使用自由度計數： $$ m+r \begin{cases} =2j & 	ext{靜定且完全約束}\ 2j & 	ext{超靜定且完全約束}\ <2j & 	ext{部分約束} \end{cases} $$ 但上述判斷的前提是： 1. 桁架幾何形狀穩定； 2. 外部支承反力的作用線不全平行，也不全部交於同一點。 若反力作用線全部交於同一點，即使數量符合 $m+r=2j$，仍屬於不適當約束。 --- 解題方法 圖中三個桁架皆有 $j=10$ 個節點，因此完全約束的基本需求為： $$ 2j=2(10)=20 $$ 逐一計算桿件數 $m$ 與支承反力分量 $r$。 （a） 圖（a）有： - 桿件數：$m=17$ - 支承反力分量：左端鉸支承 $2$ 個、中間滾輪支承 $1$ 個、右端滾輪支承 $1$ 個，因此 $r=4$ 所以： $$ m+r=17+4=2120=2j $$ 桿件與支承數量比完全約束所需數量多出一個，因此為一次超靜定結構。桁架本身具有三角形分割，幾何上穩定。 （b） 圖（b）有：

Question 4

A hydraulic-lift table is used to raise a 1000-kg crate. It consists of a platform and two identical linkages on which hydraulic cylinders exert equal forces. (Only one linkage and one cylinder are shown here.) Member EDB and CG are each of length 2a and AD is pinned to the midpoint of EDB. If the crate is placed on the table, so that half of its weight is supported by the system shown, determine the force exerted by the cylinder in raising the crate for $	heta = 60^\circ$, $a = 0.7$ m, and $L = 3.2$ m.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 功－能原理中的虛功原理； - 剛體連桿的幾何約束； - 液壓缸的軸向力與長度變化； - 對稱配置下，每一組連桿承受總重量的一半。 液壓缸與平台的支承反力屬於內力或約束力，在理想鉸接、無摩擦的條件下不產生虛功，因此只需考慮： 1. 液壓缸作功； 2. 貨物重量作功。 --- 解題方法 設貨物總重量為 $W$。由於有兩組完全相同的連桿系統，每一組承受 $$ \frac{W}{2} $$ 令連桿與水平線的夾角為 $	heta$。 單組系統中，連桿長度為 $2a$，因此平台高度可表示為 $$ y=2a\sin	heta $$ 對 $	heta$ 作微小變化 $\delta	heta$，平台的虛位移為 $$ \delta y=2a\cos	heta\,\delta	heta $$ 由圖中的幾何關係，取三角形 $EDH$，其中 $$ ED=a,\qquad EH=L $$ 液壓缸長度為 $DH$。依餘弦定理， $$ (DH)^2=a^2+L^2-2aL\cos	heta $$ 對上式微分： $$ 2(DH)\,\delta(DH) = 2aL\sin	heta\,\delta	heta $$ 因此液壓缸的虛位移為 $$ \delta(DH) = \frac{aL\sin	heta}{DH}\,\delta	heta $$ --- 套用虛功原理 液壓缸力作正功，貨物重量作負功，因此 $$ F\,\delta(DH)-\frac{W}{2}\,\delta y=0 $$ 代入兩個虛位移式： $$ F\left(\frac{aL\sin	heta}{DH}\delta	hetaight) - \frac{W}{2} \left(2a\cos	heta\,\delta	hetaight)=0 $$ 消去 $a$ 與 $\delta	heta$：

115 年國立臺灣大學生物機電系碩士班甲組《應用力學（B）》

第 1 題16 分

第 2 題16 分

第 2 題

(1) 三根連桿的角速度關係

(2) 滾動球上 $A$ 點的速度方向

(3) 二維桁架的穩定性與零力構件

第 3 題16 分

核心觀念

解題方法

（a）

（b）

第 4 題16 分

第 5 題20 分

第 6 題16 分

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