113 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班甲組《應用力學（B）》

本題主要在於釐清幾個力學的基本名詞定義。

1. 質心 (Centroid)：
   質心是幾何物件的「幾何中心」，是所有點的加權平均位置。對於均質物體，質心與重心（質量中心）是相同的。質心僅與物體的形狀和尺寸有關，與物體的質量分佈無關。
   例如，一個均質長條的質心在其幾何中心；一個均質圓盤的質心是其圓心。

2. 慣量積 (Product of Inertia)：
   慣量積是描述物體質量分佈相對於某兩個座標軸的慣性特性。對於一個由離散質量點 $m_i$ 組成的物體，其相對於 xy 座標軸的慣量積定義為 $I_{xy} = \sum_i m_i x_i y_i$。對於連續體，則為積分形式 $I_{xy} = \int_V (x y) dm$。
   慣量積的值會隨著所選座標系的改變而改變。當一個物體繞著某軸旋轉時，若其慣量積不為零，則在旋轉過程中會產生振動或不平衡力。

核心觀念

本題考查工程力學（靜力學）中結構物分類的基本定義：桁架（Trusses）、框架（Frames）與機械（Machines）的差異。

• 二力構件（Two-force member）：僅在兩個端點受力（無中間載重或彎矩），作用於該構件上的兩力大小相等、方向相反且共線。靜力學桁架的所有構件在理想化假設下均為二力構件。
• 多力構件（Multi-force member）：受三個或三個以上的力（或受中間集中載重、分佈載重、彎矩）作用的構件。
• 結構分類定義：
  • 桁架（Trusses）：由全部皆為二力構件所組成的結構物。
  • 框架（Frames）與機械（Machines）：含有至少一個多力構件的結構物（框架通常用於承受載重且固定不動，機械則包含可動元件以轉移或放大力）。

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解題方法

劃分桁架與框架／機械的核心標準在於構件受力的型態：

1. 理想桁架假設節點為光滑鉸接（Pin-connected），且載重僅作用於節點上，因此每一個構件皆為二力構件。
2. 框架與機械結構中，通常會有構件在節點以外的位置承受載重（例如中間受集中力、均佈力或彎矩作用），導致該構件成為多力構件。
3. 因此，只要結構物中存在至少一個多力構件，該結構即不再屬於桁架，而歸類為框架或機械。

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選項分析

核心觀念

本題考查平面極座標運動，以及人在旋轉平台上向中心行走時的加速度。

取平台中心為原點，圖中 $+x$ 軸沿人相對中心的徑向向外，$+y$ 軸為逆時針切向方向。則：

• 人相對平台以定速 $u$ 向內行走，因此 $\dot r=-u$、$\ddot r=0$。
• 平台以定角速度 $\omega$ 逆時針旋轉，因此 $\dot\theta=\omega$、$\ddot\theta=0$。

極座標加速度為

$$\mathbf a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\mathbf e_r +(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\mathbf e_\theta$$

解題方法

代入上述條件：

$$\mathbf a=(0-r\omega^2)\mathbf e_r +\left(0+2(-u)\omega\right)\mathbf e_\theta$$

因此

$$\mathbf a=-r\omega^2\mathbf e_r-2u\omega\mathbf e_\theta$$

第一項 $-r\omega^2\mathbf e_r$ 為向心加速度，方向沿徑向向內，即 $-x$ 方向。

核心觀念

本題考查平面桁架的內部靜定性與零力構件判斷。

對平面桁架：

• $j$：節點數
• $m$：桿件數
• $r$：支承反力數

若桁架幾何穩定，且滿足

$$m+r=2j$$

則為靜定桁架；若

$$m+r>2j$$

則為靜不定；若

$$m+r<2j$$

通常表示不穩定或桿件不足。

零力構件的常用判斷規則為：

1. 某無外力或支承反力作用的節點，若只有兩根不共線桿件相連，則兩桿皆為零力構件。
2. 某無外力作用的節點，若有三根桿件相連，其中兩根共線，則第三根非共線桿件為零力構件。

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解題方法

由圖數得：

• 節點數：$j=16$
• 桿件數：$m=29$
• 支承反力數：$r=3$

因此

$$m+r=29+3=32$$

而

$$2j=2(16)=32$$

故

$$m+r=2j$$

核心觀念

考查旋轉運動中粒子離管瞬間的速度，以及離管後的運動。離管前，彈珠的速度可分解為沿管向外的徑向速度與隨管旋轉的切向速度：

$$\mathbf v_A = v_r\mathbf e_r+\omega r\mathbf e_\theta$$

其中 $v_r$ 是彈珠沿管向外滑出的速度，$\omega r$ 是旋轉造成的切向速度。離管後，管壁不再對彈珠施力；從俯視方向看，彈珠會沿離管瞬間速度的方向直線前進。

解題方法

圖中彈珠位於管的右端 $A$，管的徑向向外方向朝右。管以逆時針方向旋轉，因此 $A$ 點的切向速度朝上。彈珠離管時同時具有向右的徑向速度與向上的切向速度，合速度指向右上方。

核心觀念

本題考查平面剛體的靜力平衡、三力構件與油壓缸的軸向力。油壓缸兩端皆為鉸接，因此可視為二力構件，缸內力必沿著缸體軸線作用。

由於左右共有兩組相同機構，且每組承擔總負載的一半，因此本組機構承受：

$$W=\frac{16}{2}=8\ \text{kN}$$

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解題方法

先對鏟斗取力矩，求出連接於鏟斗上的水平作用力；再分別對構件 $BCE$ 與 $DEFG$ 取力矩，消去鉸鏈反力。

1. 鏟斗受力分析

以鏟斗鉸點 $D$ 為力矩中心。由圖得負載作用線至 $D$ 的水平距離為 $0.30\ \text{m}$，連桿作用線至 $D$ 的垂直距離為 $0.32\ \text{m}$。

$$\sum M_D=0$$ $$(8)(0.30)-F_{AB}(0.32)=0$$

因此

$$F_{AB}=7.50\ \text{kN}$$

此力傳遞至構件 $BCE$ 的 $B$ 點，方向為水平方向。

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2. 構件 $BCE$ 的 FBD 與油壓缸 $CD$

構件 $BCE$ 的自由體圖應包含：

• $B$ 點：鏟斗施加的水平力 $F_{AB}=7.50\ \text{kN}$。
• $C$ 點：油壓缸 $CD$ 的軸向力 $F_{CD}$，方向沿 $CD$。
• $E$ 點：鉸鏈反力 $E_x,E_y$。

由圖中幾何關係：

$$\tan\beta=\frac{0.16}{0.40}$$ $$\beta=21.8^\circ$$

以 $E$ 點取力矩，可消去 $E_x,E_y$。依圖中力臂：

$$\sum M_E=0$$ $$(7.50)(0.46) +F_{CD}\cos\beta(0.30) -F_{CD}\sin\beta(0.10)=0$$

代入 $\beta=21.8^\circ$：

$$3.45+ F_{CD}\left[(0.30)\cos21.8^\circ-(0.10)\sin21.8^\circ\right]=0$$

核心觀念

本題考查楔形塊的極限摩擦平衡。楔塊即將向右移出時，兩接觸面皆達到最大靜摩擦力：

$$F_{CA}=\mu_{CA}N_{CA},\qquad F_{CB}=\mu_{CB}N_{CB}$$

其中楔塊上表面 $CA$ 與水平夾角為 $\alpha=10^\circ$。先由梁 $AD$ 的平衡求出 $A$ 點對梁的垂直支承力，再分析楔塊。

一、梁 $AD$ 的支承力

分布載重可分為：

• 左側三角形載重：

$$W_1=\frac{1}{2}(3)(4)=6\ \text{kN}$$

其作用點距離 $D$ 為 $2\ \text{m}$。

• 右側矩形載重：

$$W_2=(4)(4)=16\ \text{kN}$$

其作用點距離 $D$ 為 $3+2=5\ \text{m}$。

對 $D$ 點取力矩，設梁在 $A$ 點受到的垂直反力為 $R_A$：

$$R_A(7)-6(2)-16(5)=0$$

因此

$$R_A=\frac{12+80}{7} =13.143\ \text{kN}$$

二、楔塊上表面的接觸力

設梁與楔塊在 $CA$ 面的法向力為 $N_{CA}$。

楔塊向右移出時，$CA$ 面的摩擦力方向對楔塊為左下方，因此梁受到楔塊的垂直向上分力為

$$N_{CA}\cos10^\circ +\mu_{CA}N_{CA}\sin10^\circ$$

故

$$R_A=N_{CA} \left(\cos10^\circ+\mu_{CA}\sin10^\circ\right)$$

代入 $\mu_{CA}=0.25$：

$$N_{CA} = \frac{13.143} {\cos10^\circ+0.25\sin10^\circ} =12.78\ \text{kN}$$

三、楔塊的水平平衡

楔塊底面 $CB$ 的法向力由鉛直方向平衡得

核心觀念

本題考查斜面碰撞與恢復係數：

• 碰撞時間極短，水平方向外力衝量可忽略，因此碰撞瞬間可用水平方向動量守恆。
• 球與車接觸面視為光滑，碰撞衝量沿斜面法線方向，因此球沿斜面切線方向的速度分量不變。
• 恢復係數定義為碰撞後、前的法向相對速度比值。
• 碰撞後車子的動能轉換為彈簧位能，以求最大位移。

圖中斜面與水平夾角為 $60^\circ$。設球質量 $m=2\ \text{kg}$，車質量 $M=10\ \text{kg}$，球初速 $u=10\ \text{m/s}$，恢復係數 $e=0.6$。

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解題方法

取斜面法線方向為碰撞衝量方向。設碰撞衝量大小為 $J$。

球受到衝量後，其速度分量為

$$v_x=10-\frac{J\sin60^\circ}{2}$$ $$v_y=\frac{J\cos60^\circ}{2}$$

車受到反作用衝量，向右速度為

$$V=\frac{J\sin60^\circ}{10}$$

碰撞前球沿法線方向的相對速度大小為

$$u_n=10\sin60^\circ$$

碰撞後法向相對速度為

$$v_n'=e u_n=e(10\sin60^\circ)$$

因此恢復係數方程為

$$-10\sin60^\circ+\frac{J}{2}+V\sin60^\circ = 0.6(10\sin60^\circ)$$

代入 $V=\dfrac{J\sin60^\circ}{10}$：

$$-10\sin60^\circ+\frac{J}{2} +\frac{J\sin^2 60^\circ}{10} = 0.6(10\sin60^\circ)$$

整理得

$$J\left(\frac12+\frac{\sin^2 60^\circ}{10}\right) = 1.6(10\sin60^\circ)$$ $$J=24.10\ \text{N}\cdot\text{s}$$

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(1) 球的反彈速度 $v'$

球碰撞後速度分量為

$$v_x = 10-\frac{24.10\sin60^\circ}{2} = -0.435\ \text{m/s}$$

核心觀念

本題運用兩個守恆定律：錐面光滑，正向力不作功，因此機械能守恆；重力與錐面的正向力對鉛直軸的力矩皆為零，因此質點對鉛直軸的角動量守恆。

解題方法

由圖可讀出：小塊質量為 $0.1\text{ kg}$，初始半徑 $r_1=500\text{ mm}=0.500\text{ m}$、初速 $v_1=0.4\text{ m/s}$ 為水平環向速度；錐面母線與鉛直軸夾角為 $30^\circ$。小塊下降距離 $h$ 後，速率為 $v_2=2\text{ m/s}$。

先用機械能守恆求下降距離：

$$\frac12 mv_1^2+mgh=\frac12 mv_2^2$$ $$h=\frac{v_2^2-v_1^2}{2g} =\frac{2^2-0.4^2}{2(9.81)} =0.1957\text{ m} \approx 0.196\text{ m}$$

沿錐面下降時，半徑依錐面幾何關係縮小：

$$r_2=r_1-h\tan 30^\circ =0.500-(0.1957)\tan 30^\circ =0.3870\text{ m}$$

初速是水平環向速度，故初始環向分速度 $v_{\phi 1}=0.4\text{ m/s}$。角動量守恆給出：