109 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班甲組《應用力學（B）》

本題主要在檢測考生對於結構學與材料力學基本名詞的理解程度。

(1) Two-force member 的平衡 (Equilibrium of a two-force member)
一個構件若只受到兩個力作用，且這兩個力大小相等、方向相反、作用在同一直線上，則該構件處於平衡狀態。這兩個力必須沿著連接兩個作用點的直線方向。
【答案】若一構件只受兩個力作用，則此兩力必大小相等、方向相反，且作用於同一條直線上，該構件方可達平衡。

(2) 靜不定 (Statically indeterminacy)
靜不定結構是指其平衡方程式不足以求解所有未知反力或內力。

核心觀念

本題分別考查：

1. 純滾動運動：接觸點瞬時速度為零，利用剛體平面運動的速度關係判斷圓周上各點速度方向。
2. 機械效率：效率為有效輸出功率與馬達輸入功率之比。
3. 桁架零力構件判斷：利用節點法，若節點沒有外力或支承反力，且只連接兩個不共線構件，則兩構件皆為零力構件。

---

（1）滾動圓球上 $A$ 點的速度方向

解題方法

圓球在固定水平面上「無滑動滾動」，因此與地面接觸點的速度為零。由圖中角速度方向可知，圓球為逆時針轉動，故圓心的平移方向向左。

對左側點 $A$ 而言：

• 圓心平移速度：向左；
• 以圓心為基準的切線速度：向下。

純滾動時，$A$ 點的切線速度與圓心速度合成後，水平方向分量互相抵消，剩下向下的速度。

因此：

$$\vec v_A \text{ 方向向下}$$

選項分析

• （a）向右：錯誤。接觸點才是瞬時速度為零，$A$ 點不會向右運動。
• （b）右上方：錯誤。$A$ 點的轉動切線速度方向為向下，合速度不會指向右上方。
• （c）向下：正確。平移速度與轉動速度的水平分量抵消，垂直分量向下。
• （d）向左：錯誤。若只考慮圓心平移，才會得到向左；但 $A$ 點還有轉動造成的切線速度，不能忽略。

解題技巧

純滾動圓球可視為「以接觸點為瞬時轉動中心」。因此，圓周上任一點的速度方向必定垂直於該點與接觸點的連線。左側點 $A$ 相對接觸點的位置方向左上，故其速度方向為向下。

---

（2）馬達效率

核心公式

馬達對貨物提供的有效輸出功為重力位能增加量：

$$W_{\text{out}}=mgh$$

有效輸出功率為：

$$P_{\text{out}}=\frac{mgh}{t}$$

馬達效率為：

$$\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}$$

計算

已知：

$$m=50\ \text{kg},\qquad h=6\ \text{m},\qquad t=3\ \text{s}$$

貨物所需的有效功率：

$$P_{\text{out}} =\frac{50(9.81)(6)}{3} =981\ \text{W}$$

馬達輸入功率為：

$$P_{\text{in}}=4\ \text{kW}=4000\ \text{W}$$

核心觀念

本題考查粗糙接觸面的極限摩擦與摩擦角：

$$\phi=\tan^{-1}\mu_s=\tan^{-1}(0.20)=11.31^\circ$$

楔塊角度為

$$\theta=5^\circ$$

楔塊向右推入時，機座與楔塊接觸面達到極限摩擦狀態，接觸合力相對於法線偏轉摩擦角 $\phi$。

一、先求機座在 A、B 兩處的鉛直反力

由圖得 $AB=50\text{ cm}$、$BG=20\text{ cm}$，機座重量為 $W=1400\text{ N}$。

對 $B$ 點取力矩：

$$R_A(50)-1400(20)=0$$

因此

$$R_A=\frac{1400(20)}{50}=560\text{ N}$$

再由鉛直力平衡：

$$R_B=1400-560=840\text{ N}$$

其中 $R_A$ 為楔塊對機座的鉛直支承力，$R_B$ 為地面对機座的鉛直反力。

二、判斷機座是否會移動

楔塊與機座接觸面達到極限摩擦時，楔塊對機座的水平推力為

$$H_A=R_A\tan(\theta+\phi)$$

代入數值：

$$H_A=560\tan(5^\circ+11.31^\circ)$$ $$H_A\approx 560(0.2918)=163.4\text{ N}$$

核心觀念

本題考查：

• 靜摩擦力上限：$f_s\leq \mu_s N$
• 粗糙滑輪上的繩索摩擦（Capstan equation）：
  $\frac{T_D}{T_A}=e^{\mu\theta}$
• 判斷兩接觸面何者先發生相對運動。

由圖可知繩索在滑輪上的包覆角為 $90^\circ=\frac{\pi}{2}$，且 $\mu=0.5$。

---

(1) 靜止時 $D$ 的最大質量

設繩索拉動方塊 $A$ 向左，繩索兩側張力分別為 $T_A$ 與 $T_D$。

方塊 $A$、$B$ 均靜止，因此 $A/B$ 接觸面的摩擦力實際上為零；外力主要由 $A/C$ 接觸面的最大靜摩擦力平衡。

$A/C$ 接觸面的正向力為

$$N_{AC}=(m_A+m_B)g=(20+10)g=30g$$

故最大靜摩擦力為

$$f_{AC,\max}=\mu_{AC}N_{AC} =0.4(30g)=12g$$

因此繩索作用於 $A$ 的最大張力為

$$T_A=12g$$

繩索在粗糙滑輪上，$D$ 側張力較大，故

$$\frac{T_D}{T_A} =e^{\mu\theta} =e^{0.5(\pi/2)} =e^{\pi/4}$$

又因為

$$T_D=m_Dg$$