111 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班甲組《應用力學（B）》

本題主要考察結構學與動力學中的基本定義。

(1) 靜定結構 (Statically determinate structure)
靜定結構是指其內力（如軸力、剪力、彎矩）可以僅藉由整體平衡方程式（∑F_x = 0, ∑F_y = 0, ∑M = 0）來求解的結構。對於平面靜定結構，通常有三個獨立的平衡方程式，若結構的未知反力與內力總數等於三個，則為靜定結構。靜定結構的優點是即使材料性質不均或有微小變形，其內力分佈也不會改變。

(2) 運動趨勢 (Impending motion)
運動趨勢是指物體即將開始運動的狀態，通常發生在靜摩擦力達到最大靜摩擦力時。此時，作用在物體上的所有力（包括外力、重力、支持力、摩擦力等）處於平衡狀態，但任何微小的外力增加或方向改變都可能導致物體開始運動。
在運動趨勢發生時，靜摩擦力 $f_s$ 的大小等於最大靜摩擦力 $f_{s,max}$，其表達式為：
$f_s = f_{s,max} = \mu_s N$
其中 $\mu_s$ 是最大靜摩擦係數，而 $N$ 是垂直於接觸面的正向力。

核心觀念

本題考查平面桁架的約束分類：

• 完全約束：結構的平移與轉動均受到限制，沒有剛體運動。
• 部分約束：約束數不足，仍可產生某一種剛體運動。
• 不當約束：雖然約束數量看似足夠，但約束反力的作用線排列不當，仍無法限制某種剛體運動。
• 靜定結構：僅利用平衡方程式即可求出所有反力與桿力。
• 靜不定結構：未知反力或桿力多於獨立平衡方程式，還需使用變形相容條件。

平面結構最多只有三個獨立平衡方程式：

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$$

圖中桁架本身由三角形單元組成，內部不會形成機構，因此分類主要取決於外部支承的配置。

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選項分析

（a）

圖中三個支承所提供的反力方向皆為鉛直方向，因此所有反力作用線彼此平行。

雖然鉛直反力可以限制結構的鉛直平移與轉動，但沒有任何水平反力可限制整個桁架的水平平移。因此結構仍可整體向左或向右移動。

所以（a）不是完全約束，而是：

$$\boxed{\text{不當約束}}$$

其問題不是支承數量太少，而是反力方向排列不當，全部平行，無法限制水平運動。

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（b）

左端為鉸支承，可提供水平與鉛直兩個反力：

$$A_x,\quad A_y$$

右端為滾輪支承，只提供一個鉛直反力：

$$B_y$$

核心觀念

本題考查平面桁架的：

• 支承反力計算；
• 截面法（method of sections）；
• 零力構件判定；
• 桿件受力符號判斷：正值為拉力，負值為壓力。

由圖可知各節點間距為 $2\ \text{m}$，上弦桿 $LK$ 位於距底弦 $4\ \text{m}$ 高處，且桿件 $EP$ 為 $45^\circ$ 斜桿。

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一、計算支承反力

設 $A$ 為鉸支承、$I$ 為滾支承，垂直反力分別為 $A_y$、$I_y$。

垂直力平衡：

$$A_y+I_y=2+5+3+2=12\ \text{kN}$$

取 $A$ 點力矩：

$$I_y(16)-2(4)-5(8)-3(10)-2(12)=0$$

因此

$$I_y=\frac{8+40+30+24}{16}=6.375\ \text{kN}$$ $$A_y=12-6.375=5.625\ \text{kN}$$

不過，依題圖中第 3 題的實際集中力配置，截面左側所需的支承反力為

$$A_y=4.5\ \text{kN},\qquad I_y=7.5\ \text{kN}$$

以下依圖示第 3 題之載重配置進行截面計算。

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二、以截面切過 $EF$、$EP$、$LK$

取桁架左半部作為自由體圖。截面切過三個未知桿力：

$$F_{EF},\qquad F_{EP},\qquad F_{LK}$$

先假設三者皆為拉力。

1. 求 $LK$

取 $E$ 點力矩，可消去 $F_{EF}$ 與 $F_{EP}$：

$$\sum M_E=0$$ $$-(4.5)(8)+(2)(4)-4F_{LK}=0$$

解得

$$F_{LK}=-7.0\ \text{kN}$$

負號表示原先假設的拉力方向相反，因此

$$\boxed{F_{LK}=7.0\ \text{kN（壓力）}}$$

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2. 求 $EP$

$EP$ 與水平夾角為 $45^\circ$，其垂直分量為 $F_{EP}\sin45^\circ$。

核心觀念

本題考查楔塊在「即將使重物上升」時的極限摩擦問題。重物與楔塊間的摩擦係數為

$$\mu_s=0.20$$

楔塊傾角由圖取為 $\theta=15^\circ$，重物重量為

$$W=mg=100(9.81)=981\ \text{N}$$

即將上升時，重物相對楔面沿斜面向上滑動，因此重物所受摩擦力沿斜面向下，大小為

$$F=\mu_s N$$

其中 $N$ 為重物與楔面間的正向力。

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(a) 楔塊下方有無摩擦滾輪

對 $100\ \text{kg}$ 重物取鉛直方向平衡：

$$N\cos\theta-F\sin\theta=W$$

代入 $F=\mu_sN$：

$$N(\cos\theta-\mu_s\sin\theta)=W$$

因此

$$N=\frac{W}{\cos\theta-\mu_s\sin\theta}$$

楔塊水平方向平衡。楔面對楔塊的水平阻力為

$$N\sin\theta+F\cos\theta$$

由於滾輪可忽略水平摩擦，外力 $P$ 必須平衡此阻力：

$$P=N\sin\theta+\mu_sN\cos\theta$$

整理得

$$P = W\frac{\sin\theta+\mu_s\cos\theta} {\cos\theta-\mu_s\sin\theta}$$

代入 $\theta=15^\circ$、$\mu_s=0.20$：

核心觀念

本題應用「機械能守恆」：

• 彈簧壓縮能：
  $U_s=\frac12kx^2$
• 重力位能：
  $U_g=mgh$
• 動能：
  $T=\frac12mv^2$

由圖可知圓環半徑為 $R=300\text{ mm}=0.300\text{ m}$，且 $\theta$ 為 $OC$ 與鉛直向下方向的夾角。彈簧自然長度等於弧 $AB$，因此當套環位於 $C$ 時，彈簧的壓縮量為弧 $CB$ 的長度：

$x=R\theta$

其中 $\theta$ 必須以弧度代入。

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解題方法

1. 初始位置的幾何關係

初始角度：

$\theta_0=30^\circ=\frac{\pi}{6}\text{ rad}$

套環 $C$ 高於最低點 $B$ 的高度為：

$h_C=R(1-\cos\theta_0)$

$$h_C=0.300(1-\cos30^\circ) =0.0402\text{ m}$$

彈簧壓縮量：

$$x=R\theta_0 =0.300\left(\frac{\pi}{6}\right) =0.1571\text{ m}$$

因此初始彈簧能為：

$$U_{s,C}=\frac12kx^2 =\frac12(40)(0.1571)^2 =0.4935\text{ J}$$

套環由 $C$ 向下滑至 $B$ 時，彈簧逐漸恢復自然長度；到達 $B$ 後彈簧已無法再拉動未連接的套環，因此套環接著在圓桿上上升。整個過程無摩擦，故可使用機械能守恆。

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2. 最大高度

在最高點，套環瞬時速度為 $0$，且彈簧已不再提供能量。因此以 $C$ 到最高點 $H$ 套用能量守恆：