108 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班甲組《應用力學（B）》

第 1 題詳解

（1）大理石離開管子的運動路徑

核心觀念

物體離開約束後，若水平方向沒有外力，便依牛頓第一運動定律沿離開瞬間的速度方向做等速直線運動。

大理石在管內運動時，速度可分為：

• 沿管子方向的速度分量；
• 由管子旋轉產生、垂直於管子方向的切向速度分量。

因此，離開管子瞬間的合速度不是單純沿管子方向，也不是曲線方向，而是斜向右上方的直線方向。

選項分析

• （a）路徑 1：方向向右下方，與離開瞬間速度方向不符。
• （b）路徑 2：僅沿管子原方向，忽略旋轉造成的切向速度分量。
• （c）路徑 3：為彎曲路徑；離開後無水平外力，不會繼續彎曲。
• （d）路徑 4：斜向右上方的直線，符合合速度方向。
• （e）路徑 5：僅表示垂直於管子的方向，忽略沿管子方向的速度分量。

解題技巧

判斷旋轉管中物體離開後的路徑時，先找「離開瞬間的切線方向」，再加上物體原本沿管子的速度分量；離開後則畫直線。

【答案】（d）4

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（2）滑塊能否完整通過圓形軌道？

核心觀念

此題使用機械能守恆與圓周運動接觸條件。

在圓形軌道最高點，滑塊若要不脫離軌道，必須滿足法向力 $N\geq 0$。最高點的向心力方程為

$$mg+N=\frac{mv_{\text{top}}^2}{R}$$

因此最低臨界速度為

$$v_{\text{top}}^2\geq gR$$

解題方法

題目給定滑塊由高度 $h$ 處由靜止釋放，而圓環最高點高度也為 $h$。

由機械能守恆：

$$mg h=mg h+\frac12mv_{\text{top}}^2$$

所以

$$v_{\text{top}}=0$$

代入最高點接觸條件：

$$mg+N=\frac{m(0)^2}{R}=0$$

得到

$$N=-mg$$

法向力不可能為負值，因此滑塊在到達最高點前就會失去接觸。

**答案：**不能完整繞行。因為滑塊到達圓環最高高度時速度為零，無法提供所需向心力，會在途中脫離軌道。

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（3）兩種完全塑性碰撞的損傷比較

核心觀念

完全塑性碰撞後，物體具有共同速度；碰撞造成的變形與損傷，與轉換成內能的動能有關。

Case 1：兩輛相同汽車正面對撞

兩車質量皆為 $m$，速度大小皆為 $v$，方向相反。

總動量為

$$mv-mv=0$$

碰撞後兩車共同速度為零。

碰撞前總動能：

$$T_i=2\left(\frac12mv^2\right)=mv^2$$

核心觀念

本題考查複合梁的靜力平衡與內鉸接反力分析：

• 三角形分布載重的合力：
  $R=\frac{1}{2}w_{\max}L$
• 合力作用位置位於三角形分布載重的形心。
• 內鉸接處不能傳遞彎矩，因此可將複合梁於內鉸接 $D$ 切開，分別對左右兩段列平衡方程式。
• 使用：
  $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$

解題方法

由圖可知：

• 左側三角形載重作用於 $AC$，底長 $6\ \text{m}$，最大強度 $900\ \text{N/m}$。
• $A$ 至 $D$ 長度為 $3+3+4=10\ \text{m}$。
• $D$ 至 $E$ 為 $3\ \text{m}$，$E$ 至 $B$ 為 $3\ \text{m}$。
• 右側三角形載重作用於 $DB$，底長 $6\ \text{m}$，在 $D$ 處最大。

左側載重合力為

$$R_L=\frac{1}{2}(900)(6)=2700\ \text{N}$$

左側三角形左右對稱，因此合力作用於 $A$ 右方 $3\ \text{m}$。

設內鉸接 $D$ 對左段的垂直反力為 $D_y$，支承 $A$ 的垂直反力為 $A_y$。對左段取 $A$ 點力矩：

$$\sum M_A=0$$ $$D_y(10)-2700(3)=0$$ $$D_y=810\ \text{N}$$

因此，$D$ 對右段的反力方向相反，即為向下 $810\ \text{N}$。

對左段列垂直力平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+D_y-2700=0$$ $$A_y=2700-810=1890\ \text{N}$$

左段沒有水平外力，因此

$$A_x=0$$

右側三角形載重合力為

核心觀念

本題考查：

• 靜摩擦力的極限條件：$f_s\leq \mu_s N$
• 即將滑動時：$f_s=\mu_s N$
• 無質量連桿的平衡
• 接觸力為零時，物體將離開平台：$N=0$

由圖可知，連桿與鉛直線夾角為 $25^\circ$，因此

$$\tan25^\circ=0.4663$$

每個方塊重量為

$$W=mg=8(9.81)=78.48\ \text{N}$$

設連桿對方塊 $A$、$B$ 的水平作用力分別為 $X_A$、$X_B$，對 $B$ 的鉛直作用力為 $Y_B$。由連桿的力矩平衡，可得

$$X_B=1.5P+Y_B\tan25^\circ$$

又由水平方向平衡，

$$X_A+X_B=P$$

所以

$$X_A=-\frac{P}{2}-Y_B\tan25^\circ$$

兩方塊的支持力為

$$N_A=W+Y_B,\qquad N_B=W-Y_B$$

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(a) $\mu_s=0.40$

若兩方塊同時向右滑動，兩處摩擦力皆向左，且均達到極限值。因此對整個系統作水平方向平衡：

$$P=f_A+f_B$$ $$P=\mu_s N_A+\mu_s N_B$$

由於

$$N_A+N_B=2W$$

故

$$P=2\mu_s W$$

代入數值：

$$P=2(0.40)(78.48)$$ $$\boxed{P=62.8\ \text{N}}$$

檢查接觸狀態。由連桿平衡：

$$Y_B=\frac{\mu_s W-1.5P}{\tan25^\circ+\mu_s}$$

代入 $P=2\mu_s W$：

$$Y_B=-\frac{2\mu_s W}{\tan25^\circ+\mu_s} =-72.5\ \text{N}$$

因此

$$N_A=78.48-72.5=6.0\ \text{N}>0$$ $$N_B=78.48+72.5=151.0\ \text{N}>0$$

兩方塊均仍與平台接觸，故確實是兩方塊同時向右滑動。

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核心觀念

本題考查光滑碰撞、恢復係數與碰撞後的彈簧運動。

• 碰撞瞬間，若接觸面光滑，沿接觸面的切向速度分量不變。

• 沿碰撞法線方向使用恢復係數：

  $e=\frac{\text{分離速度}}{\text{接近速度}}=0.6$

• 碰撞後，台車受到球的作用而開始運動；最大位移處速度為零，因此以能量守恆求彈簧最大壓縮量。

• 圖中台車接觸面與水平夾角為 $60^\circ$，球以水平速度 $10\ \text{m/s}$ 撞擊。

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(a) 球的反彈速度 $v'$

設碰撞面法線方向為 $n$，切線方向為 $t$。

球撞擊前速度為水平向右：

$$\vec v=10\hat i$$

相對於接觸面：

• 法線方向分量：

$$v_n=10\sin60^\circ=8.660\ \text{m/s}$$

• 切線方向分量：

$$v_t=10\cos60^\circ=5.000\ \text{m/s}$$

碰撞面光滑，所以切向分量不變；法向分量反向且依恢復係數縮小：

$$v_n'=e v_n =0.6(8.660) =5.196\ \text{m/s}$$

因此球碰撞後的速度大小為

$$v'=\sqrt{(v_t)^2+(v_n')^2}$$ $$v'=\sqrt{5^2+5.196^2} =7.071\ \text{m/s}$$

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(b) 反彈角 $\theta$

反彈後速度與接觸面切線方向的夾角為 $\theta$，因此

$$\tan\theta=\frac{v_n'}{v_t}$$ $$\tan\theta =\frac{5.196}{5} =1.0392$$ $$\boxed{\theta=46.1^\circ}$$

所以球以約 $7.07\ \text{m/s}$ 的速度反彈，方向與接觸面切線夾角為 $46.1^\circ$。

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(c) 台車最大行程 $d$

核心觀念

圓盤上的 $A$ 點做定軸轉動；槽桿 $BC$ 則繞固定點 $B$ 轉動，且 $A$ 能沿槽滑動。速度分析使用相對速度式，並將速度分解為「垂直槽桿的轉動分量」與「沿槽桿的滑動分量」。加速度分析則使用包含科氏加速度的相對加速度式。

取逆時針為正，依圖中幾何關係，$OA=r$、$OB=3r$，且 $OA$ 與向左水平線夾角為 $60^\circ$。設槽桿上由 $B$ 指向 $C$ 的單位向量為 $\mathbf e$，其逆時針法向量為 $\mathbf n$。

解題方法

取 $O$ 為原點、向右為 $x$ 軸、向上為 $y$ 軸。由圖得

$$\mathbf r_{A/O} = \left(-\frac{r}{2},\frac{\sqrt3r}{2}\right), \qquad \mathbf r_{A/B} = \left(\frac{5r}{2},\frac{\sqrt3r}{2}\right).$$

因此 $BA=\sqrt7r$，且

$$\mathbf e=\frac{(5,\sqrt3)}{\sqrt{28}}, \qquad \mathbf n=\frac{(-\sqrt3,5)}{\sqrt{28}}.$$

(a) $A$ 相對槽桿 $BC$ 的速度與加速度

圓盤的角速度為 $\omega_0=-20\ \text{rad/s}$，故

$$\mathbf v_A = \omega_0\mathbf k\times\mathbf r_{A/O} = (10\sqrt3r,\,10r).$$

令槽桿角速度為 $\omega_{BC}$，令 $v_{A/BC}$ 為 $A$ 沿槽、由 $B$ 朝 $C$ 的相對速度。相對速度式為

$$\mathbf v_A = \omega_{BC}\mathbf k\times\mathbf r_{A/B} + v_{A/BC}\mathbf e.$$

沿 $\mathbf n$ 投影可求槽桿角速度；沿 $\mathbf e$ 投影可求滑動速度：

$$\omega_{BC} = \frac{\mathbf v_A\cdot\mathbf n}{BA} = \frac{10}{7} = 1.43\ \text{rad/s},$$ $$v_{A/BC} = \mathbf v_A\cdot\mathbf e = \frac{30\sqrt3}{\sqrt7}r.$$

代入 $r=0.200\ \text{m}$：

$$v_{A/BC}=3.93\ \text{m/s}$$

方向沿槽由 $B$ 朝 $C$。

核心觀念

複合物體的質心由各部分質量加權平均求得；通過整體質心的轉動慣量，則將各部分的質心轉動慣量用平行軸定理移至 $G$，再相加。薄環形板的質心轉動慣量可由外圓盤減內圓盤，或直接使用環形板公式計算。

解題方法

依圖可讀出：桿 $AB$ 以 $O$ 為中點，左右各 $0.4\,\mathrm m$，所以全長 $0.8\,\mathrm m$；桿 $OC$ 長 $1.5\,\mathrm m$；薄板為環形板，內、外半徑分別為 $0.1\,\mathrm m$、$0.3\,\mathrm m$，且 $C$ 位於環形板上緣。原卷將薄板的質量密度印為 $12\,\mathrm{kg/m}$；薄板計算所需的面密度單位應為 $\mathrm{kg/m^2}$，以下依合理假設採面密度 $\rho_A=12\,\mathrm{kg/m^2}$。

取 $O$ 所在水平線為基準，向下為 $y$ 正方向。由圖形對稱，整體質心位於垂直中心線上。

各部分質量及質心位置為：

$$\begin{aligned} m_{AB}&=(3)(0.8)=2.4\,\mathrm{kg}, & y_{AB}&=0,\\ m_{OC}&=(3)(1.5)=4.5\,\mathrm{kg}, & y_{OC}&=0.75\,\mathrm m,\\ m_{\text{板}}&=12\pi(0.3^2-0.1^2)=0.96\pi\,\mathrm{kg}, & y_{\text{板}}&=1.5+0.3=1.8\,\mathrm m. \end{aligned}$$

因此質心位置為