112 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班甲組《應用力學（B）》

本題為觀念題，主要測試學生對基本力學名詞的理解。

(1) 保守力 (Conservative force)：
保守力是一種力的形式，其所做的功與路徑無關，僅與起點和終點的位置有關。換句話說，若一個物體在保守力作用下沿著封閉路徑運動，則力對物體所做的總功為零。能量守恆定律與保守力密切相關，保守力所做的功可以轉換成位能的變化。常見的保守力包含重力、彈性力、靜電力等。
【答案】保守力所做的功與路徑無關，僅與起點和終點位置有關。

(2) 三力體 (Three-force body)：
三力體是指一個物體同時受到三個力的作用，並且這三個力滿足平衡條件。若要使一個物體在三個力的作用下保持平衡，則這三個力必須滿足兩個條件：
a. 三力共點：三個力的作用線必須交於一點。
b. 三力共面：三個力的作用線必須在同一平面上。
c. 三力合力為零：三個力的向量和必須為零。
【答案】一個物體同時受到三個力的作用，且這三個力共點、共面且合力為零，則物體處於平衡狀態。

本題為選擇題，包含三個子題，分別考驗動量守恆、衝量-動量定理以及剛體運動學。

(1) 碰撞損傷比較
核心觀念：碰撞中的能量轉換與動量守恆。
分析：
在兩種情況下，兩車的質量相同，且初始速度大小相同。
情況一：兩車對撞。由於兩車質量相同，動量守恆。假設兩車質量皆為 $m$，初始速度為 $v$。若為完全彈性碰撞，碰撞後兩車速度交換，皆為零。若為完全非彈性碰撞，則兩車黏在一起，共同運動。在完全非彈性碰撞的情況下，系統損失的動能最大。
情況二：車撞牆。牆的質量遠大於車，可以視為固定不動。因此，車輛的動量在碰撞過程中會急劇變化。
根據動量定理，衝量等於動量的變化量 ($J = \Delta p$)。衝量的大小等於作用力與作用時間的乘積 ($J = F \Delta t$)。
在兩種情況下，若碰撞時間相同，則動量變化量也相同（因為初始動量相同，最終動量都接近零）。然而，問題在於「損傷」程度，這通常與碰撞過程中物體吸收的能量有關。
對於完全非彈性碰撞，系統的動能損失最大。
情況一（兩車對撞）：假設兩車質量均為 $m$，速度均為 $v$。總動能為 $2 \times \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$。若為完全非彈性碰撞，碰撞後兩車速度為零，總動能為零，所有動能都轉化為內能、聲能和形變能（即損傷）。
情況二（車撞牆）：假設車輛質量為 $m$，速度為 $v$。牆的質量為 $M \gg m$。碰撞後車輛速度變為零。車輛的動能為 $\frac{1}{2}mv^2$。
比較兩種情況，情況一的總初始動能是情況二的兩倍。雖然兩車對撞時，動量變化量可能分散在兩車上，但總的能量轉化（用於造成損傷）在情況一中更大。
更精確地說，損傷與碰撞過程中物體吸收的能量有關。對於完全非彈性碰撞，系統動能的損失為 $\Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}(m+m')v_f^2$。
在情況一，兩車對撞，質量皆為 $m$，速度皆為 $v$。若為完全非彈性，碰撞後共同速度為 $v_f = \frac{mv + m(-v)}{m+m} = 0$。動能損失為 $\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 - 0 = mv^2$。
在情況二，車輛質量為 $m$，速度為 $v$。牆質量為 $M$，速度為 0。碰撞後車輛速度為 $v_f'$。由動量守恆，$mv = mv_f' + M(0)$，所以 $v_f' = v$ (若碰撞是瞬間的，牆的動量變化忽略不計)。然而，這裡的「撞牆」通常是指牆壁是堅固的，車輛會停止。所以，更合理的假設是車輛的動量變化極大，且車輛吸收了大部分的能量。
假設牆是絕對剛固的，車輛速度從 $v$ 變為 0。車輛動能損失為 $\frac{1}{2}mv^2$。
比較兩種情況，情況一（兩車對撞）的總動能損失為 $mv^2$，而情況二（車撞牆）的車輛動能損失為 $\frac{1}{2}mv^2$。因此，兩車對撞時，車輛受到的總能量轉換（用於造成損傷）更大。
【答案】(a) Case 1

(2) 碰撞中的重量
核心觀念：衝量-動量定理與力的分類。
分析：
衝量-動量定理指出，物體動量的變化量等於作用在物體上的淨衝量。衝量是力與作用時間的乘積 ($J = \int F dt$)。
一個力被稱為「衝量力」(impulsive force) 或「衝擊力」，是指在一個非常短的時間內產生一個很大的衝量，足以顯著改變物體的動量。
「非衝量力」(non-impulsive force) 則是在碰撞的短暫瞬間，其作用時間非常短，以至於其產生的衝量相對較小，對物體動量的改變貢獻不大。
在碰撞過程中，例如兩物體相互作用的非常短的時間內，碰撞力（如彈力、摩擦力）是主要的、產生巨大衝量的力。而重量（重力）雖然一直存在，但在極短的碰撞時間內，其累積的衝量相對碰撞力產生的衝量來說非常微小，可以忽略不計。因此，重量在碰撞的短暫瞬間被視為「非衝量力」。
(a) 衝量力：產生巨大衝量，顯著改變動量的力。
(b) 爆炸力：通常指向外擴散的力，與此處情況不同。
(c) 非衝量力：在極短時間內產生的衝量很小的力。
(d) 內部力：作用於系統內部的力，但此處考量的是對單一物體的力。
【答案】(c) non-impulsive force

核心觀念

本題考查：

• 剛體平面靜力平衡：$\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$、$\sum M=0$。
• 均勻桿重量作用於桿中心。
• 胡克定律：$F_s=k\Delta s$。
• 由幾何關係求彈簧長度。

由圖可知兩桿長度皆為 $L=2\ \text{m}$，且與水平夾角皆為 $\theta$。彈簧連接 $A、C$，其長度為

$$AC=2L\sin\theta=4\sin\theta .$$

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解題方法：繪製自由體圖

每根桿的重量為

$$W=mg=(16)(9.81)=156.96\ \text{N}.$$

桿 $BC$ 的 FBD

桿 $BC$ 上有：

• $C$ 點鉸鏈反力 $C_x、C_y$；
• $B$ 點鉸鏈力分量 $B_x、B_y$；
• 中點向下的重量 $W$。

以 $C$ 點取矩，鉸鏈反力 $C_x、C_y$ 不產生力矩：

$$B_y(L\cos\theta)-B_x(L\sin\theta) -W\left(\frac{L}{2}\cos\theta\right)=0.$$

代入 $L=2\ \text{m}$：

$$B_y(2\cos\theta)-B_x(2\sin\theta) -W\cos\theta=0. \tag{1}$$

桿 $AB$ 的 FBD

桿 $AB$ 上有：

• $A$ 點的彈簧力 $F_s$；
• $B$ 點與上桿相反的鉸鏈力；
• 中點向下的重量 $W$；
• $A$ 點支承反力。

以 $A$ 點取矩：

$$-B_y(L\cos\theta)-B_x(L\sin\theta) -W\left(\frac{L}{2}\cos\theta\right)=0,$$

即

核心觀念

本題結合三個觀念：

1. 槓桿力矩平衡

$\sum M_O=0$

2. 皮帶摩擦的 Euler–Eytelwein 公式

$\frac{T_{\max}}{T_{\min}}=e^{\mu_b\beta}$

其中 $\mu_b=0.3$，$\beta$ 為皮帶與管子接觸的包覆角。

3. V 型塊接觸摩擦
   管子半徑為

$r=250\text{ mm}=0.25\text{ m}$

V 型塊兩側各與水平線成 $30^\circ$。

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解題方法

1. 求皮帶在 A 端的張力

對右側槓桿以 $O$ 點取力矩。由圖中力臂：

$T_A(100\text{ mm})=P(375\text{ mm})$

代入 $P=100\text{ N}$：

$T_A=\frac{100(375)}{100}=375\text{ N}$

2. 求皮帶另一端張力

由圖形，皮帶包覆管子的角度為

$\beta=240^\circ=\frac{4\pi}{3}\text{ rad}$

因此：

$$\frac{T_A}{T_B}=e^{\mu_b\beta} =e^{0.3(4\pi/3)} =3.513$$

所以：

$T_B=\frac{375}{3.513}=106.7\text{ N}$

故皮帶張力差為

$T_A-T_B=375-106.7=268.3\text{ N}$

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3. 求 V 型塊的正向力

管子重量忽略，兩側正向力相等，均設為 $N$。

皮帶兩端的張力皆近似沿垂直方向，因此垂直方向平衡得：