113 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班甲組《電子學（B）》

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第 1 題20 分

(20%) Determine node voltages V1V_1, V2V_2, V3V_3, V4V_4 and the currents through each of the diodes for R1=4.0 kΩR_1 = 4.0\ \text{k}\Omega, R2=R3=2.5 kΩR_2 = R_3 = 2.5\ \text{k}\Omega and R4=5.0 kΩR_4 = 5.0\ \text{k}\Omega. Assume all the diodes follow common voltage drop (CVD) model.

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核心觀念

使用定電壓降模型（CVD）時，導通二極體的陽極電壓比陰極高 0.7 V0.7\text{ V}；截止二極體則不導電，且其陽極與陰極間的電壓不足以使其導通。本題依圖判讀，二極體方向為 D1:V1→V2D_1:V_1\to V_2、D2:V3→V2D_2:V_3\to V_2、D3:V3→V4D_3:V_3\to V_4、D4:V4→0 VD_4:V_4\to 0\text{ V}。

解題方法

先假設四個二極體皆導通，利用每顆二極體的 0.7 V0.7\text{ V} 壓降建立節點電壓關係，再由電阻計算電流，最後以各節點的 KCL 檢查假設是否成立。

由 D4D_4 導通可得：

V4=0.7 VV_4=0.7\text{ V}

沿著 D3D_3、D2D_2、D1D_1 的導通方向，依序得到：

V3=V4+0.7=1.4 VV_3=V_4+0.7=1.4\text{ V} V2=V3−0.7=0.7 VV_2=V_3-0.7=0.7\text{ V} V1=V2+0.7=1.4 VV_1=V_2+0.7=1.4\text{ V}

接著計算電阻電流。由 +6.4 V+6.4\text{ V} 電源流入 V1V_1 的電流為：

IR1=6.4−1.44.0 kΩ=1.25 mAI_{R_1}=\frac{6.4-1.4}{4.0\text{ k}\Omega}=1.25\text{ mA}

由 +6.4 V+6.4\text{ V} 電源流入 V3V_3 的電流為：

IR3=6.4−1.42.5 kΩ=2.00 mAI_{R_3}=\frac{6.4-1.4}{2.5\text{ k}\Omega}=2.00\text{ mA}

由 V2V_2 經 R2R_2 流向 −4.3 V-4.3\text{ V} 的電流為：

IR2=0.7−(−4.3)2.5 kΩ=2.00 mAI_{R_2}=\frac{0.7-(-4.3)}{2.5\text{ k}\Omega}=2.00\text{ mA}

由 V4V_4 經 R4R_4 流向 −4.3 V-4.3\text{ V} 的電流為：

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第 2 題15 分

(15%) For the full-wave rectifier (FWR) topology shown in the figure, please choose component values that will support a Zener diode regulated 240 mW, 6V application from a 120 V, 60 Hz power tap. Transformer turns ratio N12=12:1N_{12} = 12:1. Assume all diodes are Si power diodes (VD=0.8 VV_D = 0.8\ \text{V}).

(a) Determine VCV_C and VPV_P.
(b) If VC(min⁡)=8.0 VV_C(\min) = 8.0\ V with the load connected, what values of R1R_1 and C1C_1 are required, assuming that the current through the Zener diode approaches zero when VCV_C approaches VC(min⁡)V_C(\min).
(c) What average power must the Zener diode dissipate when the load is not connected?

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核心觀念

此題考全波橋式整流、電容濾波與齊納穩壓。橋式整流每次導通會經過兩顆二極體，因此電容最高充電電壓約比變壓器次級峰值低 2VD2V_D。全波整流的紋波頻率是電源頻率的兩倍，電容在相鄰充電峰值之間供應負載電流。

圖中穩壓輸出由齊納二極體與一顆順向二極體串聯構成，因此 VL=VZ+VDV_L=V_Z+V_D。

解題方法

(a) 求 VCV_C 與 VPV_P

變壓器匝數比為 12:112:1，次級有效值電壓為

Vs,rms=12012=10 VV_{s,\mathrm{rms}}=\frac{120}{12}=10\ \mathrm{V}

次級峰值為

VP=2Vs,rms=2(10)=14.14 VV_P=\sqrt{2}V_{s,\mathrm{rms}} =\sqrt{2}(10) =14.14\ \mathrm{V}

橋式整流導通時有兩顆矽二極體串聯，故電容最高充電電壓為

VC≈VP−2VD=14.14−2(0.8)=12.54 VV_C \approx V_P-2V_D =14.14-2(0.8) =12.54\ \mathrm{V}

(b) 求 R1R_1 與 C1C_1

負載功率為 240 mW240\ \mathrm{mW}，穩壓輸出為 6 V6\ \mathrm{V}，所以負載電流為

IL=PLVL=0.2406=0.040 AI_L=\frac{P_L}{V_L} =\frac{0.240}{6} =0.040\ \mathrm{A}

由圖中的串聯順向二極體可得齊納電壓：

VZ=VL−VD=6−0.8=5.2 VV_Z=V_L-V_D=6-0.8=5.2\ \mathrm{V}

當 VCV_C 降至 VC(min⁡)=8.0 VV_C(\min)=8.0\ \mathrm{V} 時，齊納電流趨近於零，因此 R1R_1 電流等於負載電流：

R1=VC(min⁡)−VLIL=8−60.040=50 ΩR_1=\frac{V_C(\min)-V_L}{I_L} =\frac{8-6}{0.040} =50\ \Omega

全波整流後的紋波頻率為

fr=2(60)=120 Hzf_r=2(60)=120\ \mathrm{Hz}
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第 3 題20 分

(20%) The circuit is shown in the figure. Assume the OP amplifier is ideal. Please answer the questions in terms of the resistance RR and the input current II.

(a) Find the resistances looking into node 1, R1R_1; node 2, R2R_2; node 3, R3R_3; and node 4, R4R_4.
(b) Find the currents I1I_1, I2I_2, I3I_3, and I4I_4.
(c) Find the voltages at nodes 1, 2, 3, and 4, that is, V1V_1, V2V_2, V3V_3, and V4V_4.

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核心觀念

理想運算放大器在負回授下使反相端電壓等於同相端電壓，因此 V−=0V_-=0；理想輸入端不取電流。各節點的電流箭頭向上，故計算「看入節點」的電阻時，採用圖示方向的電流 IkI_k 與節點電壓 VkV_k，即 Rk=Vk/IkR_k=V_k/I_k。

解題方法

在反相端套用 KCL。電流源向下提供 II，因此電流經左側電阻 RR 流向節點 1：

0−V1R=I⇒V1=−IR\frac{0-V_1}{R}=I \quad\Rightarrow\quad V_1=-IR

再依序對節點 1、2、3 寫 KCL：

V1R+V1R+V1−V2R/2=0⇒V2=2V1\frac{V_1}{R}+\frac{V_1}{R} +\frac{V_1-V_2}{R/2}=0 \quad\Rightarrow\quad V_2=2V_1 V2−V1R/2+V2R+V2−V3R/2=0⇒V3=4V1\frac{V_2-V_1}{R/2}+\frac{V_2}{R} +\frac{V_2-V_3}{R/2}=0 \quad\Rightarrow\quad V_3=4V_1
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第 4 題20 分

(20%) Consider the common-gate amplifier shown in the figure. The MOSFET has K=1.5 mA/V2K = 1.5\ mA/V^2 and Vto=1VV_{to} = 1\text{V}, rd=∞r_d = \infty. The supply voltages are VDD=15 VV_{DD} = 15\ \text{V} and VSS=15 VV_{SS} = 15\ \text{V}. The resistances are RS=3 kΩR_S = 3\ \text{k}\Omega, RL=10 kΩR_L = 10\ \text{k}\Omega, and RD=3 kΩR_D = 3\ \text{k}\Omega. Determine the QQ point and the transconductance of the device, gmg_m. Determine the input resistance and the voltage gain.

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核心觀念

閘極接地的共閘極放大器，其輸入端位於源極，輸出端位於汲極。直流分析時，耦合電容視為開路；小訊號中頻分析時，耦合電容視為短路，直流電源則視為交流接地。

採用 MOSFET 飽和區公式 ID=K(VGS−Vto)2I_D=K(V_{GS}-V_{to})^2，並以 rd=∞r_d=\infty 忽略汲極與源極間的輸出電阻。

解題方法

1. 求直流工作點

閘極接地，因此 VG=0V_G=0。令 VGS=VG−VS=−VSV_{GS}=V_G-V_S=-V_S。源極電阻 RSR_S 接至 −VSS=−15 V-V_{SS}=-15\text{ V}，所以：

ID=VS+153 kΩ=15−VGS3 mAI_D=\frac{V_S+15}{3\text{ k}\Omega} =\frac{15-V_{GS}}{3}\text{ mA}

在飽和區：

ID=1.5(VGS−1)2 mAI_D=1.5(V_{GS}-1)^2\text{ mA}

聯立兩式：

1.5(VGS−1)2=15−VGS31.5(V_{GS}-1)^2=\frac{15-V_{GS}}{3} 4.5VGS2−8VGS−10.5=04.5V_{GS}^2-8V_{GS}-10.5=0

取符合 VGS>VtoV_{GS}>V_{to} 的根：

VGS=8+2539≈2.656 VV_{GS}=\frac{8+\sqrt{253}}{9}\approx 2.656\text{ V}

因此：

VS=−2.656 V,ID=15−2.6563≈4.115 mAV_S=-2.656\text{ V},\qquad I_D=\frac{15-2.656}{3}\approx 4.115\text{ mA}

汲極電壓與汲源電壓為：

VD=15−IDRD=15−(4.115 mA)(3 kΩ)≈2.656 VV_D=15-I_DR_D =15-(4.115\text{ mA})(3\text{ k}\Omega) \approx 2.656\text{ V} VDS=VD−VS≈2.656−(−2.656)=5.312 VV_{DS}=V_D-V_S\approx 2.656-(-2.656)=5.312\text{ V}

過驅電壓為 VOV=VGS−Vto≈1.656 VV_{OV}=V_{GS}-V_{to}\approx1.656\text{ V}。由於 VDS>VOVV_{DS}>V_{OV}，MOSFET 符合飽和區假設。

2. 求跨導

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第 5 題25 分

(25%) Consider the common-emitter amplifier of the figure.

(a) Draw the dc circuit and find ICQI_{CQ}. Find the resistance, rπr_\pi, in the small-signal equivalent circuit. Then calculate values for voltage gain AvA_v, the voltage gain in an open circuit AvoA_{vo}, input impedance ZinZ_{in}, the current gain AiA_i, the power gain GG, and output impedance ZoZ_o. Assume that the circuit is operating in the midband region for which the coupling and the bypass capacitors are short circuits.
(b) Repeat (a) if all resistance values, including RSR_S and RLR_L, are increased in value by a factor of 100. Prepare a table comparing the results for the low-impedance amplifier with those for the high-impedance amplifier.

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核心觀念

直流分析時，耦合電容與旁路電容視為開路；中頻小訊號分析時，則視為短路。射極旁路電容短路後，射極為交流接地，因此共射極電壓增益可由集極負載與跨導求得。

以下採用室溫熱電壓 VT=25 mVV_T=25\,\text{mV}，並忽略電晶體的 ror_o。增益正負號依題圖的電壓、電流方向定義；功率增益列為正值。

解題方法

(a) 低阻抗放大器

**直流等效電路：**將 C1C_1、輸出耦合電容及 CEC_E 開路，訊號源與負載 RLR_L 不參與直流偏壓。基極由 R1R_1、R2R_2 分壓，射極經 RER_E 接地，集極經 RCR_C 接 +15 V+15\,\text{V}。

將基極分壓網路化為戴維寧等效：

VTH=154.710+4.7=4.796 VV_{TH}=15\frac{4.7}{10+4.7}=4.796\,\text{V} RTH=R1∥R2=10 kΩ∥4.7 kΩ=3.197 kΩR_{TH}=R_1\parallel R_2=10\,\text{k}\Omega\parallel4.7\,\text{k}\Omega =3.197\,\text{k}\Omega

基極電流與集極靜態電流為

IB=VTH−VBERTH+(β+1)RE=4.796−0.73.197 kΩ+101(1 kΩ)=39.31 μAI_B=\frac{V_{TH}-V_{BE}}{R_{TH}+(\beta+1)R_E} =\frac{4.796-0.7}{3.197\,\text{k}\Omega+101(1\,\text{k}\Omega)} =39.31\,\mu\text{A} ICQ=βIB=3.931 mAI_{CQ}=\beta I_B=3.931\,\text{mA}

此時 VE≈3.970 VV_E\approx3.970\,\text{V}、VC≈11.069 VV_C\approx11.069\,\text{V}，所以 VCE≈7.099 VV_{CE}\approx7.099\,\text{V}，電晶體工作於放大區。

小訊號參數：

gm=ICVT=3.931 mA25 mV=0.1572 Sg_m=\frac{I_C}{V_T}=\frac{3.931\,\text{mA}}{25\,\text{mV}} =0.1572\,\text{S} rπ=βgm=636.0 Ωr_\pi=\frac{\beta}{g_m}=636.0\,\Omega

中頻時射極交流接地，因此輸入阻抗為

Zin=R1∥R2∥rπ=10 kΩ∥4.7 kΩ∥636.0 Ω≈530.7 ΩZ_{in}=R_1\parallel R_2\parallel r_\pi =10\,\text{k}\Omega\parallel4.7\,\text{k}\Omega\parallel636.0\,\Omega \approx530.7\,\Omega

輸出端接上 RLR_L 時，電壓增益為

Av=vovin=−gm(RC∥RL)=−0.1572(1 kΩ∥1 kΩ)≈−78.62A_v=\frac{v_o}{v_{in}} =-g_m(R_C\parallel R_L) =-0.1572(1\,\text{k}\Omega\parallel1\,\text{k}\Omega) \approx-78.62

輸出開路時，集極負載只剩 RCR_C：

Avo=−gmRC=−0.1572(1 kΩ)≈−157.2A_{vo}=-g_mR_C=-0.1572(1\,\text{k}\Omega)\approx-157.2
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