108 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班丙組《電子學（B）》

核心觀念

本題要求設計一個具有射極旁路電容的共射極 BJT 放大器，必須同時滿足：

1. 輸出電壓約為 $23\text{ V}_{p-p}$。
2. 電壓增益大小為 $20$。
3. 所有電阻的功率消耗低於 $0.2\text{ W}$。

題目未指定工作頻率、負載及 BJT 型號，因此採用下列合理設計條件：

• 工作頻率：$f=1\text{ kHz}$
• 輸出接高阻抗示波器，負載視為 $R_L\geq 1\text{ M}\Omega$
• BJT 參數：$\beta=100$
• $V_{BE}=0.7\text{ V}$
• 熱電壓：$V_T=25\text{ mV}$

射極旁路電容並非在所有頻率都能完全短路射極電阻，因此本設計將旁路電容的阻抗納入增益計算。

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解題方法

選擇靜態集極電流約為 $1\text{ mA}$，並令集極靜態電壓接近電源電壓的一半，使輸出具有足夠的上下擺幅。

取：

$$V_{CC}=30\text{ V}$$ $$I_{CQ}\approx 1\text{ mA}$$

令射極直流電壓約為：

$$V_{EQ}=2.2\text{ V}$$

因此射極電阻取：

$$R_E=\frac{V_{EQ}}{I_E} \approx \frac{2.2\text{ V}}{1\text{ mA}} =2.2\text{ k}\Omega$$

集極電阻取：

$$R_C=15.1\text{ k}\Omega$$

則集極靜態電壓約為：

$$V_{CQ}=V_{CC}-I_C R_C$$ $$V_{CQ}\approx 30-(0.992\text{ mA})(15.1\text{ k}\Omega) \approx 15.0\text{ V}$$

因此集極電壓可由約 $15\text{ V}$ 向上擺至接近 $30\text{ V}$，向下擺至約 $3.5\text{ V}$，足以產生 $23\text{ V}_{p-p}$ 輸出。

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偏壓電路設計

基極電壓應為：

$$V_B=V_E+V_{BE} \approx 2.2+0.7 =2.9\text{ V}$$

取基極分壓電流約為 $100\ \mu\text{A}$。因為：

$$I_B=\frac{I_C}{\beta} =\frac{1\text{ mA}}{100} =10\ \mu\text{A}$$

上方分壓電阻中的電流約為：

$$I_{R1}=100\ \mu\text{A}+10\ \mu\text{A} =110\ \mu\text{A}$$

因此：

$$R_2=\frac{V_B}{100\ \mu\text{A}} =\frac{2.9}{100\ \mu\text{A}} \approx 29\text{ k}\Omega$$ $$R_1=\frac{V_{CC}-V_B}{110\ \mu\text{A}} =\frac{30-2.9}{110\ \mu\text{A}} \approx 246\text{ k}\Omega$$

採用：

$$R_1=246\text{ k}\Omega,\qquad R_2=29\text{ k}\Omega$$

考慮基極電流後，分壓器的戴維寧等效電壓為：

$$V_{TH}=30\frac{29}{246+29} \approx 3.164\text{ V}$$

戴維寧等效電阻為：

$$R_{TH}=246\text{ k}\Omega\parallel29\text{ k}\Omega \approx25.9\text{ k}\Omega$$

實際基極電壓：

$$V_B=V_{TH}-I_B R_{TH}$$ $$V_B\approx3.164-(10\ \mu\text{A})(25.9\text{ k}\Omega) \approx2.905\text{ V}$$

所以：

$$V_E\approx2.905-0.7=2.205\text{ V}$$ $$I_E=\frac{2.205}{2.2\text{ k}\Omega} \approx1.002\text{ mA}$$ $$I_C=\frac{\beta}{\beta+1}I_E \approx0.992\text{ mA}$$

此結果符合 $I_C\approx1\text{ mA}$ 的設計目標。

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電壓增益設計

小訊號射極內電阻為：

$$r_e\approx\frac{V_T}{I_E} =\frac{25\text{ mV}}{1.002\text{ mA}} \approx25\Omega$$

在 $1\text{ kHz}$ 下，射極電阻與旁路電容的等效阻抗為：

$$Z_E=R_E\parallel\frac{1}{j\omega C_E}$$

選擇：

$$C_E=0.20\ \mu\text{F}$$

其中：

$$\omega=2\pi f=2\pi(1000)$$ $$X_{C_E}=\frac{1}{2\pi f C_E} \approx796\Omega$$

因此：

$$Z_E =2.2\text{ k}\Omega\parallel(-j796\Omega) \approx254-j704\Omega$$

共射極放大器的電壓增益近似為：

$$A_v\approx-\frac{R_C}{r_e+Z_E}$$

其增益大小為：

$$|A_v| \approx\frac{15.1\text{ k}\Omega} {|25+(254-j704)|}$$ $$|A_v| \approx\frac{15100}{757} \approx19.95 \approx20$$

因此在 $1\text{ kHz}$ 下，選用 $C_E=0.20\ \mu\text{F}$ 可使電壓增益符合題目要求。

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輸出擺幅驗證

要求輸出為：

$$V_{o(p-p)}=23\text{ V}$$

因此輸出峰值為：

$$V_{o(p)}=11.5\text{ V}$$

靜態集極電壓約為 $15.0\text{ V}$，向上擺動後：

採用兩顆相同的 NMOS（$M_1,M_2$）構成基本電流鏡：

• $M_1$ 採二極體接法，即閘極與汲極相接。
• $M_1,M_2$ 的閘極相接，源極均接地。
• 以直流電源 $V_{DD}=5\text{ V}$ 經電阻 $R$ 接至 $M_1$ 的閘汲極。
• $M_2$ 的汲極為輸出端。

假設兩顆 NMOS 工作於飽和區，忽略通道長度調變：

$$I_D=\frac{1}{2}k_n'\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{TH})^2$$

選用參數：

$$V_{TH}=1\text{ V},\qquad k_n'=200\,\mu\text{A}/\text{V}^2,\qquad \frac WL=10$$

令 $I_D=1\text{ mA}$，則

核心觀念

本題考查兩級電壓放大器串接時的負載效應。每級放大器以以下三個參數表示：

• 輸入阻抗：$R_i$
• 輸出阻抗：$R_o$
• 開路電壓增益：$A_{voc}$

前級輸出端會受到後級輸入阻抗的負載，因此兩級間的實際電壓傳遞增益為

$$A_{v,\text{loading}} = A_{voc} \frac{R_{i,\text{next}}} {R_{o,\text{previous}}+R_{i,\text{next}}}$$

級聯放大器的總開路電壓增益為各級開路增益乘上級間負載因子。

已知：

$$\begin{array}{c|c|c|c} & A_{voc} & R_i & R_o\\ \hline A & 100 & 1\,\text{k}\Omega & 100\,\Omega\\ B & 500 & 1\,\text{M}\Omega & 1\,\text{k}\Omega \end{array}$$

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解題方法

對於兩級串接：

1. 級聯輸入阻抗等於第一級輸入阻抗。
2. 級聯輸出阻抗等於第二級輸出阻抗。
3. 總開路電壓增益必須考慮前級輸出阻抗與後級輸入阻抗造成的分壓。

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(a) 串接順序為 A-B

輸入阻抗

第一級為 A，因此

$$R_{i,\text{AB}}=R_{iA}=1\,\text{k}\Omega$$

輸出阻抗

第二級為 B，因此

$$R_{o,\text{AB}}=R_{oB}=1\,\text{k}\Omega$$

開路電壓增益

A 級輸出受到 B 級輸入阻抗負載，級間負載因子為

$$\frac{R_{iB}}{R_{oA}+R_{iB}} = \frac{1\,\text{M}\Omega} {100\,\Omega+1\,\text{M}\Omega}$$

因此

$$A_{voc,\text{AB}} = A_{vocA} \frac{R_{iB}}{R_{oA}+R_{iB}} A_{vocB}$$

代入數值：

$$A_{voc,\text{AB}} = 100 \left( \frac{1\,000\,000}{1\,000\,000+100} \right) 500$$ $$A_{voc,\text{AB}} \approx 49\,995$$

可近似為

$$\boxed{A_{voc,\text{AB}}\approx 5.0\times 10^4}$$

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(b) 串接順序為 B-A

輸入阻抗

第一級為 B，因此

$$R_{i,\text{BA}}=R_{iB}=1\,\text{M}\Omega$$

輸出阻抗

第二級為 A，因此

$$R_{o,\text{BA}}=R_{oA}=100\,\Omega$$

開路電壓增益

核心觀念

此題考查齊納二極體並聯穩壓器的工作條件。

理想齊納二極體導通時，負載電壓固定為齊納電壓：

$$V_L=V_Z=5\text{ V}$$

串聯電阻 $R_S$ 的電流由電流定律得到：

$$i_S=i_L+i_Z$$

而串聯電阻上的電壓為：

$$V_S-V_Z=i_SR_S$$

因此：

$$i_Z=\frac{V_S-V_Z}{R_S}-i_L$$

要維持穩壓，齊納二極體必須至少處於臨界導通狀態，即：

$$i_Z\geq 0$$

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解題方法

(a) 求能維持定值 $V_L$ 的最大 $R_S$

$R_S$ 越大，串聯電流越小，越容易在負載電流過大或輸入電壓過低時失去穩壓。因此最嚴苛的情況是：

• $V_S$ 最小：$7\text{ V}$
• $i_L$ 最大：$120\text{ mA}$
• 齊納電流恰好為零：$i_Z=0$

此時：

$$i_S=i_L=120\text{ mA}$$

套用串聯電阻公式：

$$R_S=\frac{V_S-V_Z}{i_S}$$ $$R_S=\frac{7-5}{120\times 10^{-3}} =\frac{2}{0.12} =16.67\ \Omega$$

因此，$R_S$ 的最大值為：

$$\boxed{R_S=16.67\ \Omega}$$

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(b) 求 $R_S$ 的最大功率耗散

串聯電阻的功率為：

核心觀念

本題考查三運算放大器型儀表放大器（instrumentation amplifier）的結構與增益推導，分成兩級：

1. 第一級：U1、U2 與 $R_1、R_G、R_4$

   • 提供高輸入阻抗。
   • 先放大兩個輸入電壓的差值。
   • 增益由 $R_G$ 調整。

2. 第二級：U3 與 $R_2、R_3、R_5、R_6$

   • 為差動放大器（difference amplifier）。
   • 將第一級兩個輸出相減，並抑制共模訊號。

理想運算放大器使用：

$$V_+=V_-$$

以及輸入端電流為零：

$$i_+=i_-=0$$

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(a) U1、$R_1$ 與 $R_G$ 的部分

電路名稱與功能

U1、$R_1$ 與 $R_G$ 所屬的部分，是儀表放大器第一級的其中一半，通常稱為：

輸入緩衝／增益級（input buffer and gain stage）

完整第一級還包含對稱的 U2、$R_4$ 與 $R_G$。

其功能為：

• 讓輸入端具有很高的輸入阻抗，避免負載訊號源。
• 放大輸入差值 $V_{IN,2}-V_{IN,1}$。
• 透過調整 $R_G$ 改變增益。
• 保留良好的共模抑制能力。

由於 $R_G$ 越小，差動增益越大，因此可用單一電阻調整整體增益。

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(b) U3、$R_2、R_3、R_5、R_6$ 的部分

電路名稱與功能

U3 及四個電阻所構成的是：

差動放大器（difference amplifier）

其功能為：

• 將第一級兩個輸出電壓相減。
• 放大差動訊號。
• 抑制同時出現在兩個輸入端的共模訊號。
• 將差動訊號送至輸出端 $V_{OUT}$。

為了使差動放大器具有良好的共模抑制，電阻比必須匹配：

$$\frac{R_3}{R_2}=\frac{R_6}{R_5}$$

若進一步有 $R_2=R_5$ 且 $R_3=R_6$，則電路具有對稱的差動放大特性。

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(c) $V_{IN,1}$、$V_{IN,2}$ 與 $V_{OUT}$ 的關係

第一步：求第一級兩個輸出

令 U1、U2 的輸出分別為 $V_{O1}$ 與 $V_{O2}$。

由於運算放大器工作在線性區，且輸入電流為零，U1 反相端電壓等於 $V_{IN,1}$，U2 反相端電壓等於 $V_{IN,2}$。

對 U1 反相端套用 KCL：

$$\frac{V_{IN,1}-V_{O1}}{R_1} + \frac{V_{IN,1}-V_{IN,2}}{R_G}=0$$

因此：

$$V_{O1} = V_{IN,1} + \frac{R_1}{R_G} \left(V_{IN,1}-V_{IN,2}\right)$$

對 U2 反相端套用 KCL：

$$\frac{V_{IN,2}-V_{O2}}{R_4} + \frac{V_{IN,2}-V_{IN,1}}{R_G}=0$$

因此：

$$V_{O2} = V_{IN,2} + \frac{R_4}{R_G} \left(V_{IN,2}-V_{IN,1}\right)$$

兩輸出相減：

$$V_{O2}-V_{O1} = \left[ 1+\frac{R_1+R_4}{R_G} \right] \left(V_{IN,2}-V_{IN,1}\right)$$