109 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班丙組《電子學（B）》

核心觀念

本題考查兩部分：

1. 741 運算放大器的雙電源供應與接腳功能。
2. 反相放大器的閉迴路增益公式：

$$A_v=\frac{v_o}{v_i}=-\frac{R_f}{R_{in}}$$

741 的主要電源接腳為：

• 第 7 腳：$V^+$，正電源
• 第 4 腳：$V^-$，負電源
• 第 2 腳：反相輸入端
• 第 3 腳：非反相輸入端
• 第 6 腳：輸出端
• 第 1、5 腳：Offset Null
• 第 8 腳：NC，不連接

---

(a) 實驗室直流電源供應器接法

741 通常使用雙電源，例如：

$$V^+=+15\text{ V},\qquad V^-=-15\text{ V}$$

電源供應器應設定為雙電源串聯或追蹤模式，使兩組輸出共用中點接地。

接線方式

電源供應器正端（+15 V） ───── 741 第 7 腳 V+

電源供應器中點（0 V） ─────── 電路接地
                              └── 輸入訊號接地參考

電源供應器負端（−15 V） ───── 741 第 4 腳 V−

若使用兩組獨立電源，接法為：

第一組正端       → 741 第 7 腳
第一組負端與第二組正端相接 → 電路接地
第二組負端       → 741 第 4 腳

此時需確認兩組輸出電壓大小相等，形成對稱雙電源。

建議設定

• 正電源：$+15\text{ V}$
• 負電源：$-15\text{ V}$
• 中點：$0\text{ V}$，接電路共同地
• 電源供應器的輸出模式：雙電源串聯或追蹤模式
• 電流限制：設定為較低且安全的值，例如數十 mA，避免接錯時造成損壞

741 的典型工作電源可使用約 $\pm 12\text{ V}$ 至 $\pm 15\text{ V}$；使用 $\pm15\text{ V}$ 可提供足夠輸出擺幅。第 1、5、8 腳在本題不使用，保持不接。

---

(b) 增益為 $-100$ 的反相放大器

解題方法

反相放大器將輸入訊號經由 $R_{in}$ 接到第 2 腳，輸出端經由回授電阻 $R_f$ 接回第 2 腳。第 3 腳接地。

理想運算放大器具有：

• 輸入端電流近似為零
• 負回授下，$v_-\approx v_+=0$
• 因此第 2 腳形成虛接地

在第 2 腳套用 KCL：

$$\frac{v_i-0}{R_{in}}=\frac{0-v_o}{R_f}$$

因此：

$$\frac{v_o}{v_i}=-\frac{R_f}{R_{in}}$$

題目要求：

$$A_v=-100$$

所以：

$$-\frac{R_f}{R_{in}}=-100$$ $$R_f=100R_{in}$$

元件選擇

可選用：

核心觀念

二極體導通時，可用小訊號電阻表示：

$$r_d=\frac{nV_T}{I}$$

其中 $V_T\approx 25\,\text{mV}$（室溫），題目給定 $n=1$。分析交流訊號時，直流電流源視為開路，因此電路是 $r_d$ 與電容 $C=10\,\text{nF}$ 串接，輸出 $v_o$ 取在電容兩端。

解題方法

電容阻抗為 $Z_C=1/(j\omega C)$，所以由分壓可得：

$$\frac{v_o}{v_i} =\frac{Z_C}{r_d+Z_C} =\frac{1}{1+j\omega r_d C}$$

因此相位差為：

$$\phi=\angle v_o-\angle v_i =-\tan^{-1}(\omega r_d C) =-\tan^{-1}\left(\frac{\omega nV_T C}{I}\right)$$

(a) 二極體導通時，$v_o$ 相對於 $v_i$ 的相位落後，落後角度為：

$$\boxed{\phi=-\tan^{-1}\left(\frac{\omega nV_T C}{I}\right)}$$

(b) 要使相位差為 $-45^\circ$，需滿足 $\omega r_d C=1$，因此：

$$r_d=\frac{1}{\omega C}$$ $$I=\frac{nV_T}{r_d} =\omega C nV_T =2\pi f C nV_T$$

核心觀念

本題考查 MOSFET **源極隨耦器（source follower，又稱 common-drain amplifier）**的設計與偏壓分析。

源極隨耦器具有下列特性：

• 輸入端為 MOSFET 的閘極，輸入電阻很高，適合連接高電阻訊號源。
• 輸出端由源極取出，輸出電壓隨閘極電壓變化。
• 電壓增益略小於 1，但輸出電阻低，適合驅動 $2~\text{k}\Omega$ 負載。
• 對 NMOS 而言，直流工作點滿足
  $V_{OQ}=V_{SQ}=V_{GQ}-V_{GSQ}.$

若忽略通道長度調變，MOSFET 在飽和區的關係式為

$$I_D=\frac{1}{2}k_nV_{OV}^{2},$$

其中

$$V_{OV}=V_{GS}-V_{TH},$$

因此

$$V_{GS}=V_{TH}+\sqrt{\frac{2I_D}{k_n}}.$$

---

解題方法與電路設計

1. 源極隨耦器電路

可採用下列 NMOS 電路：

• NMOS 的汲極接至正電源 $V_{DD}$。
• 輸入訊號加在閘極。
• 閘極以高阻值偏壓網路設定直流電壓 $V_{GQ}$。
• 源極接至負載 $R_L=2~\text{k}\Omega$，負載另一端接地。
• 輸出取自源極。

電路概念如下：

$$V_{DD}\rightarrow D$$ $$v_i\rightarrow G,\qquad S\rightarrow v_o\rightarrow R_L=2~\text{k}\Omega\rightarrow \text{ground}.$$

由於 MOSFET 閘極幾乎不取直流電流，偏壓電阻可以選得很大，以免降低高電阻訊號源所看到的輸入電阻。例如可用數百 $\text{k}\Omega$ 至數 $\text{M}\Omega$ 的分壓器設定 $V_{GQ}$。

---

2. 選擇偏壓電流

負載上的直流輸出電壓為

$$V_{OQ}=I_QR_L.$$

其中 $I_Q$ 是 MOSFET 的靜態偏壓電流。因此，若希望設定某一個直流輸出電壓 $V_{OQ}$，應選擇

$$I_Q=\frac{V_{OQ}}{R_L} =\frac{V_{OQ}}{2~\text{k}\Omega}.$$

例如，若電源與輸入偏壓允許，選擇

$$I_Q=0.5~\text{mA},$$

則

$$V_{OQ}=I_QR_L =(0.5~\text{mA})(2~\text{k}\Omega) =1~\text{V}.$$

此時 MOSFET 所需的閘極偏壓為

$$V_{GQ}=V_{OQ}+V_{GSQ},$$

而

$$V_{GSQ}=V_{TH}+\sqrt{\frac{2I_Q}{k_n}}.$$

因此設計流程為：

1. 先由所需輸出直流電壓選擇 $I_Q$。
2. 利用 $V_{OQ}=I_QR_L$ 求源極電壓。
3. 利用 MOSFET 方程式求 $V_{GSQ}$。
4. 設定
   $V_{GQ}=V_{OQ}+V_{GSQ}.$
5. 檢查 MOSFET 是否工作在飽和區。

---

飽和區條件

NMOS 工作於飽和區須滿足

$$V_{DSQ}\geq V_{GSQ}-V_{TH}=V_{OVQ}.$$

由於

$$V_{DSQ}=V_{DD}-V_{OQ},$$

所以必須檢查

$$V_{DD}-V_{OQ}\geq V_{OVQ}.$$

若此條件不成立，MOSFET 會進入三極區，源極隨耦器的增益與輸出特性將不符合上述公式。

---

電壓增益與負載能力

在小訊號下，源極隨耦器的電壓增益約為

$$A_v=\frac{v_o}{v_i} \simeq \frac{g_mR_L}{1+g_mR_L},$$

其中

$$g_m=\frac{2I_Q}{V_{OVQ}} =\sqrt{2k_nI_Q}.$$

因為 $g_mR_L$ 通常大於 1，所以

$$A_v<1,\qquad A_v\approx 1.$$

核心觀念

本題要求由指定的小訊號等效電路，反推出 NMOS 共源級的直流偏壓電路。關鍵條件為：

• 汲極電阻：$R_D=10\,\text{k}\Omega$
• 小訊號跨導：$g_m=100\,\text{mA/V}=0.1\,\text{S}$
• $K=10\,\text{mA/V}^2=0.01\,\text{A/V}^2$
• 臨界電壓：$V_{th}=1\,\text{V}$
• 輸出耦合電容：$C_2=100\,\text{nF}$
• 負載：$R_L=20\,\text{k}\Omega$

NMOS 飽和區公式為

$$I_D=K(V_{GS}-V_{th})^2$$

且

$$g_m=2K(V_{GS}-V_{th})$$

---

解題方法：先由 $g_m$ 求直流工作點

令過驅電壓

$$V_{OV}=V_{GS}-V_{th}$$

由跨導條件：

$$g_m=2KV_{OV}$$

因此

$$V_{OV}=\frac{g_m}{2K} =\frac{0.1}{2(0.01)} =5\,\text{V}$$

所以

$$V_{GS}=V_{th}+V_{OV}=1+5=6\,\text{V}$$

再求汲極電流：

$$I_D=K V_{OV}^2 =0.01(5)^2 =0.25\,\text{A}$$

故 NMOS 必須偏壓在

$$V_{GS}=6\,\text{V},\qquad I_D=250\,\text{mA}$$

---

設計直流偏壓電路

採用源極接地的共源級：

• 源極：接地，故 $V_S=0$
• 閘極：偏壓為 $V_G=6\,\text{V}$
• 汲極電阻：$R_D=10\,\text{k}\Omega$
• 汲極電源：選擇 $V_{DD}=3000\,\text{V}$
• 輸出端：經 $C_2=100\,\text{nF}$ 接至 $R_L=20\,\text{k}\Omega$

選擇 $V_{DD}=3000\,\text{V}$ 時，汲極電壓為

$$V_D=V_{DD}-I_D R_D$$ $$V_D=3000-(0.25)(10\,000) =500\,\text{V}$$

由於源極接地，

$$V_{DS}=V_D-V_S=500\,\text{V}$$

NMOS 飽和區條件為

$$V_{DS}\geq V_{GS}-V_{th}=5\,\text{V}$$

而

$$500\,\text{V}>5\,\text{V}$$

因此確實工作於飽和區。

核心觀念

本題考查 Darlington Pair 的電流增益。兩顆 NPN 電晶體連接時：

• 第一顆電晶體的射極電流，成為第二顆的基極電流。
• 總集極電流為兩顆電晶體集極電流之和。
• 單顆電晶體皆滿足
  $I_C=\beta I_B$

設第一顆、第二顆電晶體的電流增益分別為 $\beta_1$、$\beta_2$。

(a) 集極電流、基極電流與增益關係

第一顆電晶體：

$I_{C1}=\beta_1 I_B$

其射極電流為：

$I_{E1}=I_{C1}+I_B=(\beta_1+1)I_B$

由 Darlington 連接方式，第一顆的射極電流即為第二顆的基極電流：

$I_{B2}=I_{E1}=(\beta_1+1)I_B$

因此第二顆的集極電流為：

$$I_{C2}=\beta_2 I_{B2} =\beta_2(\beta_1+1)I_B$$

總集極電流：

$$\begin{aligned} I_C&=I_{C1}+I_{C2}\\ &=\beta_1I_B+\beta_2(\beta_1+1)I_B\\ &=(\beta_1\beta_2+\beta_1+\beta_2)I_B \end{aligned}$$

所以 Darlington Pair 的等效電流增益為：

$$\beta_D=\frac{I_C}{I_B} =\beta_1\beta_2+\beta_1+\beta_2$$

代入 $\beta_1=25$、$\beta_2=80$：