111 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班丙組《電子學（B）》

核心觀念

此電路是由 $Q_1$ 下拉、$Q_2$ 上拉的 BJT 輸出級：

• $Q_1$ 為 NPN，集極接輸出端，發射極接地。
• $Q_2$ 為 NPN emitter follower，集極接 $V_{CC}$，發射極接輸出端。
• $R_2$ 將輸出端上拉至 $V_{CC}$，$R_1$ 將輸出端下拉至地。
• 穩態時電容 $C_L$ 不承擔直流電流，因此不影響 $V_O$。

採用常見近似：

$$V_{BE}\approx 0.7\text{ V},\qquad V_{CE(\text{sat})}\approx 0.2\text{ V}$$

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(a) $V_{I1}=0\text{ V}$、$V_{I2}=5\text{ V}$

$Q_2$ 狀態

$Q_2$ 的基極由 $V_{I1}=0\text{ V}$ 驅動，而其發射極位於輸出端，因此 $Q_2$ 截止。

$Q_1$ 基極電流

$$I_{B1}=\frac{V_{I2}-V_{BE}}{R_3} =\frac{5-0.7}{100} =43\text{ mA}$$

若假設 $Q_1$ 工作於主動區，則

$$I_{C1}=\beta I_{B1} =100(43\text{ mA}) =4.3\text{ A}$$

此電流遠大於由 $R_2$ 所能提供的數 mA 級電流，因此 $Q_1$ 必然進入飽和區。

故輸出電壓約為

$$V_O\approx V_{CE(\text{sat})}\approx 0.2\text{ V}$$

驗算飽和時，$Q_1$ 所需吸收的集極電流為

$$I_{C1}\approx \frac{5-0.2}{1\,\text{k}\Omega} -\frac{0.2}{1\,\text{k}\Omega} =4.6\text{ mA}$$

而基極電流高達 $43\text{ mA}$，強迫電流增益僅約

$$\frac{4.6\text{ mA}}{43\text{ mA}}\approx 0.107$$

因此確實是深度飽和。

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(b) $V_{I1}=5\text{ V}$、$V_{I2}=0\text{ V}$

$Q_1$ 狀態

核心觀念

題目要求以互補式 CMOS 實現：

$$Y=\overline{A}(B+C)$$

靜態 CMOS 電路由兩個互補網路構成：

• NMOS 下拉網路（PDN）：輸出為 $0$ 時導通，因此實現 $\overline{Y}$。
• PMOS 上拉網路（PUN）：為 NMOS 網路的對偶電路，實現 $Y$。

由德摩根定律：

$$\overline{Y} =\overline{\overline{A}(B+C)} =A+\overline{B}\,\overline{C}$$

因此 NMOS 下拉網路必須實現 $A+\overline{B}\,\overline{C}$。

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解題方法

因為需要 $\overline{B}$ 與 $\overline{C}$，先各使用一個 CMOS 反相器產生：

$$\overline{B},\qquad \overline{C}$$

1. NMOS 下拉網路

根據：

$$\overline{Y}=A+\overline{B}\,\overline{C}$$

• $A$ 為 OR 項，因此使用一顆由 $A$ 控制的 NMOS，與另一支路並聯。
• $\overline{B}\,\overline{C}$ 為 AND 項，因此使用兩顆分別由 $\overline{B}$、$\overline{C}$ 控制的 NMOS 串聯。

文字表示如下：

                 Y
                 |
        +--------+--------+
        |                 |
     NMOS(A)       NMOS(B̄)-NMOS(C̄)
        |                 |
       GND               GND

當 $A=1$，或當 $\overline{B}=\overline{C}=1$（即 $B=C=0$）時，輸出被下拉至 $0$。

2. PMOS 上拉網路

將 NMOS 網路作串並聯對偶：

• 原本 NMOS 的並聯改為 PMOS 串聯。
• 原本 NMOS 的串聯改為 PMOS 並聯。

因此，PMOS 網路為：

核心觀念

本題考查 NMOS source follower（源極跟隨器） 的電路設計與小訊號特性。其主要特性為：

• 輸入訊號加在閘極，輸出由源極取出。
• 電壓增益接近但小於 $1$。
• 輸入電阻很高。
• 輸出電阻低，具有緩衝器功能。
• 以 constant-current source 固定 NMOS 的偏壓電流，可使工作點較穩定。

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(a) NMOS source follower 設計

基本電路如下：

             VDD
              │
              D
          M1  │
Vin ──────── G
              S────── Vo
              │
          定電流源 IBIAS
              │
             GND

M1 為主要的 NMOS source follower，汲極接 $V_{DD}$，閘極接輸入 $V_i$，源極為輸出 $v_o$。下方以定電流源提供偏壓電流 $I_{BIAS}$。

直流工作點近似為

$$V_{OQ}=V_{GQ}-V_{TH}$$

且

$$I_{DQ}=I_{BIAS}$$

為使 M1 工作於飽和區，必須滿足

$$V_{DS1}\geq V_{GS1}-V_{TH}$$

由於 $V_{D1}=V_{DD}$、$V_{S1}=V_{OQ}$，因此設計時需選擇足夠大的 $V_{DD}$，使 M1 保持飽和。

若暫時使用電阻偏壓，也可將定電流源替換成源極電阻 $R_S$：

             VDD
              │
              D
          M1  │
Vin ──────── G
              S────── Vo
              │
             RS
              │
             GND

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(b) 輸入電阻與輸出電阻

輸入電阻

MOSFET 閘極在低頻小訊號下幾乎沒有電流，因此

$$R_{in,M1}\approx \infty$$

若閘極使用分壓偏壓電阻 $R_{G1}$、$R_{G2}$，則整體輸入電阻為

$$R_{in}\approx R_{G1}\parallel R_{G2}$$

若偏壓電路視為理想電壓源，則

$$\boxed{R_{in}\approx \infty}$$

輸出電阻

將輸入訊號設為交流接地，從源極看入 M1，其小訊號輸出電阻約為

$$r_{out,M1}\approx \frac{1}{g_m}\parallel r_o$$

若源極接有電阻 $R_S$，則

$$\boxed{R_{out}\approx \frac{1}{g_m}\parallel r_o\parallel R_S}$$

其中

• $g_m$：M1 的跨導；
• $r_o$：M1 的輸出電阻；
• $R_S$：源極偏壓電阻。

若以定電流源取代 $R_S$，定電流源的小訊號輸出電阻為 $r_{o,CS}$，則

$$\boxed{R_{out}\approx \frac{1}{g_m}\parallel r_o\parallel r_{o,CS}}$$

因為通常 $g_m r_o\gg 1$，所以常用近似為

$$R_{out}\approx \frac{1}{g_m}$$

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(c) 電壓增益

忽略 body effect，且源極接負載 $R_L$ 時，對源極節點作小訊號分析：

$$g_m v_{gs} = \frac{v_o}{r_o} + \frac{v_o}{R_S} + \frac{v_o}{R_L}$$

由於輸入加在閘極，

$$v_{gs}=v_i-v_o$$

代入後可得

$$g_m(v_i-v_o) = v_o \left( \frac{1}{r_o}+\frac{1}{R_S}+\frac{1}{R_L} \right)$$

整理得到

$$\boxed{ A_v=\frac{v_o}{v_i} = \frac{g_m} {g_m+\dfrac{1}{r_o}+\dfrac{1}{R_S}+\dfrac{1}{R_L}} }$$

若以定電流源取代 $R_S$，則將 $1/R_S$ 改為 $1/r_{o,CS}$：

$$\boxed{ A_v= \frac{g_m} {g_m+\dfrac{1}{r_o}+\dfrac{1}{r_{o,CS}}+\dfrac{1}{R_L}} }$$

若忽略 $r_o$、定電流源輸出電阻及負載效應，則

$$A_v\approx \frac{g_m}{g_m}=1$$

因此 source follower 的電壓增益為

$$\boxed{A_v<1,\qquad A_v\approx 1}$$

若考慮 body effect，應將 $g_m$ 改為 $g_m+g_{mb}$：

$$A_v= \frac{g_m} {g_m+g_{mb}+\dfrac{1}{r_o}+\dfrac{1}{r_{o,CS}}+\dfrac{1}{R_L}}$$

body effect 會使電壓增益進一步降低。

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(d) 使用 constant-current source 進行偏壓

將源極電阻 $R_S$ 改為 NMOS 定電流源 M2，使 M2 從 M1 的源極吸取固定電流：

核心觀念

此題考查齊納二極體並聯穩壓電路。齊納二極體工作於崩潰區時，兩端電壓約固定為齊納電壓：

$V_Z=6\text{ V}$

串聯電阻 $40\,\Omega$ 的電流分流為負載電流與齊納電流：

$I_R=I_L+I_Z$

解題方法

齊納二極體與 $100\,\Omega$ 負載並聯，因此負載兩端電壓也是 $6\text{ V}$。

先求串聯 $40\,\Omega$ 電阻的總電流：

$$I_R=\frac{10-6}{40} =\frac{4}{40} =0.1\text{ A}$$

再求負載電流：

$$I_L=\frac{6}{100} =0.06\text{ A}$$

因此流過齊納二極體的電流為：

核心觀念

本題考查理想運算放大器的「虛短路」與「虛斷路」：

• 運算放大器輸入端電流為 $0$。
• 非反相端接地，因此反相端為虛擬接地，電壓皆為 $0\text{ V}$。
• 對兩個反相輸入節點分別套用基爾霍夫電流定律。

設第一級運算放大器輸出電壓為 $V_x$。

解題方法

第一級運算放大器

第一級的反相端電壓為 $0$，該節點連接：

• $V_1$ 經 $10\,\text{k}\Omega$
• $V_2$ 經上方 $10\,\text{k}\Omega$
• $V_x$ 經回授電阻 $5\,\text{k}\Omega$

對反相端套用 KCL：

$$\frac{0-V_1}{10\,\text{k}\Omega} +\frac{0-V_2}{10\,\text{k}\Omega} +\frac{0-V_x}{5\,\text{k}\Omega}=0$$

整理得：

$$\frac{V_1}{10\,\text{k}\Omega} +\frac{V_2}{10\,\text{k}\Omega} +\frac{V_x}{5\,\text{k}\Omega}=0$$

因此：

$$V_x=-\frac{V_1+V_2}{2}$$