109 年 國立中央警察大學犯罪防治研究所《犯罪統計與資料分析》

本題主要在考驗迴歸分析中的預測與信賴區間的計算。

首先，我們需要釐清變數之間的關係。
令 $X$ 代表「犯罪統計與資料分析」的成績，$Y$ 代表「高等統計學」的成績。
已知：
$n = 36$ (樣本數)
$\bar{X} = 72$ (犯罪統計與資料分析的平均數)
$s_X = 6$ (犯罪統計與資料分析的標準差)
$r_{XY} = 0.60$ (兩科成績的積差相關係數)
$\bar{Y} = 70$ (高等統計學的平均數)
$s_Y = 5$ (高等統計學的標準差)
小明的犯罪統計與資料分析成績為 $X_{小明} = 60$。

(一) 預測小明研一「高等統計學」的成績

我們可以使用簡單線性迴歸模型來預測：$\hat{Y} = a + bX$。
其中，迴歸斜率 $b = r_{XY} \frac{s_Y}{s_X}$，迴歸截距 $a = \bar{Y} - b\bar{X}$。

計算迴歸斜率 $b$:
$b = 0.60 \times \frac{5}{6} = 0.60 \times 0.8333... = 0.5$

計算迴歸截距 $a$:
$a = 70 - 0.5 \times 72 = 70 - 36 = 34$

因此，迴歸方程式為 $\hat{Y} = 34 + 0.5X$。

現在，我們將小明的成績 $X_{小明} = 60$ 代入迴歸方程式，預測他研一「高等統計學」的成績：
$\hat{Y}_{小明} = 34 + 0.5 \times 60 = 34 + 30 = 64$

【答案】預測小明研一「高等統計學」的成績為 64 分。

(二) 估計標準誤 (Standard Error of Estimate)

標準誤是衡量預測值與實際值之間平均差異的指標。對於簡單線性迴歸，標準誤 $s_e$ 的計算公式為：
$s_e = s_Y \sqrt{1 - r_{XY}^2}$
或者，也可以使用殘差平方和 (SSE) 來計算：$s_e = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}}$。
由於我們有 $r_{XY}$ 和 $s_Y$，使用第一個公式較為方便。

$s_e = 5 \times \sqrt{1 - (0.60)^2}$
$s_e = 5 \times \sqrt{1 - 0.36}$
$s_e = 5 \times \sqrt{0.64}$
$s_e = 5 \times 0.8$
$s_e = 4$

【答案】估計的標準誤為 4。

(三) 95% 信賴水準下的推估範圍

在 95% 的信賴水準下，推估小明研一「高等統計學」分數的可能範圍，我們需要計算預測區間 (Prediction Interval)。對於單一預測點，其預測區間為：
$\hat{Y}_{小明} \pm t_{\alpha/2, n-2} \times s_e$

本題主要在探討母數統計與無母數統計的差異，以及它們與資料量尺等級的關聯性。

母數統計 (Parametric Statistics)

1. 假設條件: 母數統計方法通常建立在對母體分佈的特定假設之上，最常見的假設是母體資料符合常態分佈，且各組的變異數相等（同質性）。
2. 資料類型: 主要適用於 Interval (區間) 和 Ratio (比例) 等量的資料 (metric data)。這些資料具有數值意義，可以進行加減乘除等運算。
3. 檢定統計量: 使用的檢定統計量 (test statistics) 是基於母體參數 (parameters) 的估計，例如平均數 ($\mu$)、標準差 ($\sigma$) 等。
4. 統計效率: 在假設條件滿足的情況下，母數檢定通常比無母數檢定更具統計效率 (statistical power)，意味著在拒絕虛無假設時，有較高的機率偵測到真實存在的差異或關係。
5. 範例: $t$-檢定、$F$-檢定 (ANOVA)、皮爾森相關係數 ($r$)。

無母數統計 (Non-parametric Statistics)

1. 假設條件: 無母數統計方法對母體分佈的假設較少或完全沒有假設。它不要求母體資料服從常態分佈，也不要求變異數相等。因此，也常被稱為「自由分佈」(distribution-free) 的方法。
2. 資料類型: 適用於 Nominal (名目) 和 Ordinal (順序) 等類別資料 (categorical data)，但也可以處理 Interval 和 Ratio 資料，特別是在這些資料不符合母數統計假設時。
3. 檢定統計量: 使用的檢定統計量是基於資料的排序、頻率或位置，而非母體的參數。例如，計算排序總和、中位數、百分位數等。
4. 統計效率: 在母數統計的假設不滿足時，無母數檢定可能比母數檢定更有效。但在母數統計的假設滿足時，無母數檢定的效率通常較低。
5. 範例: 卡方檢定 ($\chi^2$ test)、曼-惠特尼 U 檢定 (Mann-Whitney U test)、費雪精確檢定 (Fisher's exact test)、斯皮爾曼等級相關係數 ($\rho$)。

與量尺等級的關係

量尺等級 (Levels of Measurement) 是指資料的屬性，主要有四種：

1. 名目尺度 (Nominal Scale): 資料僅用於分類，沒有順序或數值意義。例如：性別 (男/女)、血型 (A/B/AB/O)、犯罪類型 (竊盜/詐欺/傷害)。

本題考驗複迴歸分析中的 $R^2$ 值的解釋以及 $F$ 檢定的應用，用來評估整體迴歸模型的顯著性。

已知：
樣本數 $n = 30$
解釋變數個數 $k = 4$ (即 $X_1, X_2, X_3, X_4$)
殘差平方和 $SSE = 0.25$
決定係數 $R^2 = 0.80$

(一) $R^2$ 值代表的意涵

$R^2$ (決定係數) 是衡量迴歸模型對應變數變異數解釋能力的指標。
其值介於 0 與 1 之間。
$R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$
其中：
$SSR$ (迴歸平方和) = 應變數的總變異中，由迴歸模型解釋的部分。
$SSE$ (殘差平方和) = 應變數的總變異中，未能由迴歸模型解釋的部分。
$SST$ (總平方和) = 應變數的總變異，即 $SST = SSR + SSE$。

$R^2 = 0.80$ 的意涵是：在所蒐集的 30 位樣本中，解釋變數 ($X_1, X_2, X_3, X_4$) 整體解釋了應變數 ($Y$) 總變異的 80%。 換句話說，有 80% 的犯罪發生原因的變異，可以透過此迴歸模型中的四個解釋變數來解釋，而另外 20% 的變異則是由模型外的其他因素（誤差項 $\varepsilon$）所造成。

【答案】$R^2$ 值代表迴歸模型中，解釋變數能解釋應變數總變異的比例。在此案例中，$R^2 = 0.80$ 表示該迴歸模型能解釋 80% 的犯罪發生原因的變異。

(二) $F$ 值計算與模型顯著性檢定

$F$ 檢定用於檢定迴歸模型中所有解釋變數是否整體上顯著。
$F$ 值的計算公式為：
$F = \frac{MSR}{MSE} = \frac{SSR/k}{SSE/(n-k-1)}$
其中：
$MSR$ (迴歸均方) = $SSR/k$
$MSE$ (殘差均方) = $SSE/(n-k-1)$

首先，我們需要計算 $SST$ 和 $SSR$。
我們知道 $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST}$。
$0.80 = 1 - \frac{0.25}{SST}$

本題主要考驗對二項分佈及其近似的理解，包括如何判斷分佈類型、計算期望值與標準差，以及利用常態近似計算機率。

題目給定：
從矯正單位隨機抽出 $n=100$ 個受刑人。
每個受刑人在少年時期有中輟經驗的機率為 $p=0.50$ (因為假設犯罪人中有 50% 有此經驗)。
$X$ 表示在少年時期有中輟經驗的受刑人人數。

(一) 試問 X 為何種分配?

這個情境符合 二項分佈 (Binomial Distribution) 的條件：

1. 固定試驗次數: 抽出 100 個受刑人，試驗次數 $n=100$ 是固定的。
2. 兩兩互斥的結果: 每個受刑人不是有中輟經驗 (成功)，就是沒有中輟經驗 (失敗)。
3. 獨立性: 假設每個受刑人的中輟經驗是獨立的 (從隨機抽樣可以合理假設)。
4. 固定成功機率: 每次試驗成功的機率 $p=0.50$ 是固定的。

因此，$X$ 服從參數為 $n=100$ 和 $p=0.50$ 的二項分佈，記作 $X \sim B(n=100, p=0.50)$。

【答案】X 服從二項分佈。

(二) 試求 X 的期望值與標準差

對於二項分佈 $X \sim B(n, p)$，其期望值 (平均數) 和標準差的計算公式如下：
期望值 $E(X) = \mu = np$
標準差 $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

計算期望值：
$E(X) = 100 \times 0.50 = 50$