108 年 國立中央警察大學犯罪防治研究所《犯罪統計與資料分析》

本題主要在測試考生對基本敘述統計概念的理解，包含總平均的計算、標準差的意義，以及標準化分數 (z-score) 的應用。

(一) A、B 和 C 三個科系統計學成績的總平均 $\mu$

總平均 $\mu$ 是所有學生成績的加權平均，權重為各班的人數。計算公式如下：
$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i \mu_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$
其中 $n_i$ 為第 $i$ 個科系的人數，$\mu_i$ 為第 $i$ 個科系的平均成績。

將題目給定的數值代入：
$\mu = \frac{(45 \times 78) + (48 \times 75) + (50 \times 70)}{45 + 48 + 50}$
$\mu = \frac{3510 + 3600 + 3500}{143}$
$\mu = \frac{10610}{143}$
$\mu \approx 74.1958$

【答案】總平均約為 74.20。

(二) 哪一個系程度較「整齊」，學生差距較小？請說明理由。

程度「整齊」或學生差距較小，通常是指班級內學生的成績分布較為集中，也就是標準差較小。標準差是衡量數據離散程度的指標，標準差越小，表示數據點越接近平均值，因此學生的成績差異越小，程度越整齊。

根據表格數據：

• 系別 A 的標準差為 5.5
• 系別 B 的標準差為 5.7
• 系別 C 的標準差為 5.4

比較這三個標準差，系別 C 的標準差最小 (5.4)，其次是系別 A (5.5)，最後是系別 B (5.7)。

【答案】系別 C 的程度較「整齊」，學生差距較小，因為其標準差 (5.4) 是三個科系中最小的。

(三) 王家有三胞胎兄弟：王一、王二和王三，分別在 A、B、C 三個科系，成績分別為 80、77、72，試問三兄弟何者在班上表現較為優秀？請說明理由。

本題主要考查統計推論中的基本概念，包括假設檢定的核心要素、兩種常見的卡方檢定及其區別，以及兩種描述數據離散程度的指標。

(一) 何謂虛無假設 ($H_0$)？為何 p-value < $\alpha$ 時，要拒絕 $H_0$。

• 虛無假設 ($H_0$)：在統計檢定中，虛無假設是研究者欲反駁或證明其不成立的命題。它通常陳述兩個或多個變數之間沒有關係，或兩個母體參數之間沒有差異。例如，「某藥物無療效」、「兩組學生的平均分數沒有差異」等。虛無假設總是假設「無顯著差異」或「無關聯」。

• 為何 p-value < $\alpha$ 時，要拒絕 $H_0$：

  • p-value：p-value 是在虛無假設為真的前提下，觀察到當前樣本結果或比當前樣本結果更極端的結果的機率。p-value 越小，表示在 $H_0$ 為真時，觀察到目前樣本數據的可能性越低，因此越有理由懷疑 $H_0$ 的真實性。
  • $\alpha$ (顯著水準)：$\alpha$ 是預先設定的決策門檻，代表我們願意承擔的犯第一型錯誤（即虛無假設為真卻拒絕它）的最大機率。
  • 決策規則：當 p-value 小於或等於顯著水準 $\alpha$ (p-value $\le \alpha$) 時，表示觀察到的樣本數據在虛無假設為真時是非常不可能發生的。因此，我們有足夠的統計證據來拒絕虛無假設，並接受對立假設 ($H_1$)。如果 p-value 大於 $\alpha$ (p-value $> \alpha$)，則表示樣本數據與虛無假設並不矛盾，我們未能找到足夠證據拒絕 $H_0$。

【答案】虛無假設 ($H_0$) 是統計檢定中用來假設母體參數無差異或無關聯的命題。當 p-value 小於預設的顯著水準 $\alpha$ 時，表示在 $H_0$ 為真的情況下，觀察到當前樣本數據的機率極低，因此我們有足夠的證據拒絕 $H_0$。

(二) $\chi^2$ 獨立性檢定 (Chi-square test of independence) 與 $\chi^2$ 同質性檢定 (Test of Homogeneity) 的適用時機為何？二者有何不同？

這兩種檢定都使用卡方統計量，但它們的應用情境和研究目的不同。

• $\chi^2$ 獨立性檢定 (Chi-square test of independence)

  • 適用時機：用於檢定兩個類別變數之間是否相互獨立。也就是說，一個變數的分布是否會受到另一個變數的影響。
  • 研究目的：判斷「變數 A 的分布」與「變數 B 的分布」是否獨立。
  • 樣本設計：通常是從一個單一的母體中抽取一個樣本，然後同時測量兩個類別變數，並將樣本分成不同的組別。

• $\chi^2$ 同質性檢定 (Test of Homogeneity)

  • 適用時機：用於檢定來自不同母體 (或不同處理條件) 的樣本，在某一個類別變數上的分布比例是否相同。

本題考查對點估計、信賴區間的計算，特別是針對母體平均數與母體變異數的信賴區間。由於樣本數較小 ($n=10$) 且母體標準差未知，因此在計算平均數信賴區間時需使用 t 分配，而計算變異數信賴區間則使用卡方分配。

給定樣本數據：$x = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 9, 10\}$
樣本數 $n = 10$。

首先計算樣本平均數 $\bar{x}$ 和樣本標準差 $s$。
$\sum x = 1+2+3+4+5+6+7+7+9+10 = 54$
$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{54}{10} = 5.4$

計算樣本變異數 $s^2$：
$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = (1-5.4)^2 + (2-5.4)^2 + (3-5.4)^2 + (4-5.4)^2 + (5-5.4)^2 + (6-5.4)^2 + (7-5.4)^2 + (7-5.4)^2 + (9-5.4)^2 + (10-5.4)^2$
$= (-4.4)^2 + (-3.4)^2 + (-2.4)^2 + (-1.4)^2 + (-0.4)^2 + (0.6)^2 + (1.6)^2 + (1.6)^2 + (3.6)^2 + (4.6)^2$
$= 19.36 + 11.56 + 5.76 + 1.96 + 0.16 + 0.36 + 2.56 + 2.56 + 12.96 + 21.16$
$= 78.4$
$s^2 = \frac{78.4}{10-1} = \frac{78.4}{9} \approx 8.7111$

樣本標準差 $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{8.7111} \approx 2.9515$

(一) 該單位職員請假時間平均數的點估計值？

點估計值是指用樣本統計量來估計母體參數。對於母體平均數 $\mu$，其最佳點估計值是樣本平均數 $\bar{x}$。

【答案】平均數的點估計值為 5.4 天。

(二) 該單位職員請假時間平均數的 95% 信賴區間？

由於母體標準差未知且樣本數較小 ($n=10 < 30$)，我們使用 t 分配來建構母體平均數 $\mu$ 的信賴區間。
自由度 $df = n-1 = 10-1 = 9$。
95% 信賴區間的公式為：
$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$
對於 95% 信賴水準，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
$\alpha/2 = 0.025$。
查表或由題目給定，對於 $df=9$， $t_{0.025(9)} = 2.262$。

本題主要考查單一樣本平均數的統計檢定，特別是假設檢定的設定、檢定類型的判斷，以及在特定顯著水準下進行檢定並得出結論。由於樣本數夠大 ($n=81 \ge 30$)，母體標準差未知但可由樣本標準差估計，因此我們可以使用 Z 檢定。

已知資訊：

• 臺灣地區平均濃度 (母體平均值，我們欲比較的對象)：$\mu_0 = 20.0 \text{ ug/m}^3$
• A 觀測站樣本大小：$n = 81$ 天
• A 觀測站樣本平均值：$\bar{x} = 18.6 \text{ ug/m}^3$
• A 觀測站樣本標準差：$s = 6.3 \text{ ug/m}^3$
• 顯著水準：$\alpha = 1\% = 0.01$

(一) 試依題旨提出統計假設？

研究目的是了解 A 觀測站空氣品質是否「顯著優於」其他地區。題目中的「優於」通常意味著污染物濃度較低。因此，我們要檢定 A 觀測站的平均濃度是否顯著低於臺灣地區的平均濃度。

• 虛無假設 ($H_0$)：A 觀測站的平均細懸浮微粒濃度等於或高於臺灣地區的平均濃度。
  $H_0: \mu \ge 20.0 \text{ ug/m}^3$
  （或者，更嚴謹地說，虛無假設為「無差異」或「優於」反面，可以寫成 $H_0: \mu = 20.0$。在實際檢定中，通常會使用等號，因為檢定是基於 $H_0$ 為真來計算 p-value。如果我們能夠拒絕 $\mu = 20.0$，也就能拒絕 $\mu > 20.0$。）
  我們採用標準的寫法：$H_0: \mu = 20.0 \text{ ug/m}^3$

• 對立假設 ($H_1$)：A 觀測站的平均細懸浮微粒濃度顯著低於臺灣地區的平均濃度。
  $H_1: \mu < 20.0 \text{ ug/m}^3$

【答案】統計假設為：虛無假設 $H_0: \mu = 20.0 \text{ ug/m}^3$，對立假設 $H_1: \mu < 20.0 \text{ ug/m}^3$。

(二) 依題旨，應採右尾、左尾或雙尾檢定？

檢定的類型取決於對立假設 ($H_1$) 的方向。

• 如果 $H_1$ 是 $\mu > \mu_0$，則為右尾檢定。
• 如果 $H_1$ 是 $\mu < \mu_0$，則為左尾檢定。
• 如果 $H_1$ 是 $\mu \ne \mu_0$，則為雙尾檢定。

在本題中，對立假設是 $H_1: \mu < 20.0 \text{ ug/m}^3$，表示我們想檢定 A 觀測站的平均濃度是否「較低」。因此，這是一個左尾檢定。

【答案】應採左尾檢定。

(三) 試在 1% 顯著水準下，檢定 A 觀測站細懸浮微粒平均濃度是否較臺灣地區為低？