108 年 國立中央警察大學防災研究所《災害分析與統計》

此題考驗統計學中樣本數與抽樣誤差的關係。

在統計學中，當我們進行抽樣調查時，樣本數的增加通常會帶來以下影響：

1. 抽樣誤差 (Sampling Error)：抽樣誤差是指由於僅抽取部分母體作為樣本，而未能涵蓋所有母體單位所造成的誤差。根據中央極限定理 (Central Limit Theorem) 和抽樣分配的性質，當樣本數 $n$ 增加時，樣本統計量（如樣本平均數）的抽樣分配會變得更集中於母體參數，也就是說，抽樣誤差會 減小。因此，選項 (A) 誤差將增加是錯誤的。

2. 時間、人力、經費成本：進行研究、收集數據、處理和分析數據都需要花費時間、人力和金錢。樣本數越大，需要收集和處理的數據量就越多，因此研究所需的時間、人力、經費等成本通常會 增加。選項 (B) 研究所需的時間、人力、經費等成本將增加是正確的。

核心觀念

本題考查「隨機變數的線性轉換」及其對期望值、變異數與標準差的影響。

民國 108 年觀察年齡資料時，若以出生年 $YOB$ 表示出生的民國年份，則：

$$age=108-YOB$$

因此：

$$YOB=108-age$$

對隨機變數 $X$ 而言，若 $Z=aX+b$，則：

$$E(Z)=aE(X)+b$$ $$V(Z)=a^2V(X)$$ $$SD(Z)=|a|SD(X)$$

---

解題方法

由

$$YOB=108-age$$

直接套用線性轉換公式。

期望值：

$$E(YOB)=E(108-age) =108-E(age)$$

變異數：

$$V(YOB)=V(108-age) =(-1)^2V(age) =V(age)$$

標準差：

$$SD(YOB)=|-1|SD(age)=SD(age)$$

所以 $YOB$ 與 $age$ 的關係是「相差一個常數且方向相反」。相差常數會改變平均數，但不會改變變異數與標準差。

---

選項分析

(A) $E(YOB)=E(age)-1991$

錯誤。依推導結果：

$$E(YOB)=108-E(age)$$

此題考驗變異數分析 (ANOVA) 的基本概念與原理。

變異數分析 (ANOVA) 主要用於比較三個或更多組母體平均數是否相等。在此題目中，我們比較 5 個母體的平均數。

ANOVA 的基本模型是將總變異分解為組間變異 (Between-group variation) 和組內變異 (Within-group variation)。

• 組間變異 (Between-group variation) 衡量各組平均數之間的差異。
• 組內變異 (Within-group variation) 衡量各組內部數據的離散程度。

檢定統計量通常是組間均方 (Mean Square Between, MSB) 與組內均方 (Mean Square Within, MSW) 的比值，即 F = MSB / MSW。

我們來逐一分析選項：

(A) 總樣本數越多,其組間變異的自由度越大

• 組間變異的自由度 (df_between) 等於組數減一。在此題中，組數是 5，所以 df_between = 5 - 1 = 4。
• 組間變異的自由度 僅 取決於組數，與總樣本數無關。
• 組內變異的自由度 (df_within) 等於總樣本數減去組數。如果總樣本數增加，df_within 會增加。
• 因此，選項 (A) 是錯誤的。

(B) 進行統計檢定時,若來自 5 個母體的樣本均超過 30 個,則可運用 z 檢定

• 當我們比較 兩個 母體的平均數時，如果樣本數足夠大（通常 > 30），且母體變異數未知，可以使用 z 檢定或 t 檢定。
• 然而，此題是比較 五個 母體的平均數。

此題考驗信賴區間 (Confidence Interval) 和區間估計 (Interval Estimation) 的基本概念。

區間估計是利用樣本統計量來估計母體參數，但它給出的是一個範圍，而不是一個單一點。信賴區間是區間估計的一種。

我們來逐一分析選項：

(A) 信賴區間是在一個既定的信賴水準下所構成的一個區間

• 信賴區間 (Confidence Interval, CI) 是根據樣本數據計算出來的一個區間，用來估計母體參數。
• 信賴水準 (Confidence Level, $1-\alpha$) 是指在多次重複抽樣過程中，所計算出的信賴區間包含真實母體參數的比例。例如，95% 的信賴水準表示，如果我們重複抽樣並計算信賴區間很多次，其中大約 95% 的區間會包含真實的母體參數。
• 信賴區間是 基於 既定的信賴水準所構成的。這個敘述是正確的。

(B) 區間估計是指對樣本統計量估計出一個上下限的區間,指出其包含樣本統計量的可靠度

• 區間估計確實是給出一個包含母體參數的區間。
• 但是，這個區間 包含的是母體參數 (Population Parameter)，而不是樣本統計量 (Sample Statistic)。例如，我們計算樣本平均數 $\bar{x}$ 來估計母體平均數 $\mu$ 的信賴區間，這個區間是 $[\bar{x} - \text{margin of error}, \bar{x} + \text{margin of error}]$，它估計的是 $\mu$，而不是 $\bar{x}$。

此題考驗對簡單迴歸分析中判定係數 ($R^2$) 的理解。

判定係數 ($R^2$) 是衡量迴歸模型擬合優劣的重要指標，它表示自變數 (X) 可以解釋應變數 (Y) 總變異的比例。

我們來逐一分析選項：

(A) $R^2$ 等於 $X, Y$ 的相關係數 $r_{xy}$

• 在 簡單線性迴歸 (Simple Linear Regression) 中，判定係數 $R^2$ 等於 自變數和應變數之間的皮爾森相關係數 $r_{xy}$ 的平方，即 $R^2 = r_{xy}^2$。
• $R^2$ 總是正值（或零），而相關係數 $r_{xy}$ 可以是負值。
• 因此，選項 (A) 是錯誤的。

(B) $R^2$ 介於 -1 到 1 之間

• 判定係數 $R^2$ 代表變異的比例，其值介於 0 到 1 之間。
• $R^2 = 0$ 表示自變數對應變數的解釋力為零。
• $R^2 = 1$ 表示自變數完美地解釋了應變數的所有變異。
• 因此，選項 (B) 是錯誤的。

(C) $R^2$ 代表迴歸模型中 $X$ 所能解釋的變異

• $R^2$ 的定義就是應變數 (Y) 的總變異中，可以被自變數 (X) 的迴歸模型所解釋的部分所佔的比例。

此題考驗單一樣本 t 檢定 (One-sample t-test) 的應用，用於比較一個樣本的平均數是否顯著小於一個已知的母體平均數。

1. 問題核心觀念：
本題旨在檢定屏東縣霧臺鄉的家戶平均疏散避難準備時間是否顯著少於臺灣的平均值。由於母體標準差未知，且樣本數不大（$n=25$），我們應使用單一樣本 t 檢定。

2. 檢定步驟：

• 步驟一：確立虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)

  • 母體平均疏散準備時間的報告值為 $\mu_0 = 100$ 分鐘。
  • 霧臺鄉的樣本平均疏散準備時間為 $\bar{x} = 88$ 分鐘。
  • 樣本標準差為 $s = 20$ 分鐘。
  • 樣本數為 $n = 25$。
  • 顯著水準為 $\alpha = 0.01$。
  • 我們想檢定的是「霧臺鄉居民的疏散準備時間是否比臺灣的平均來得少」，這表示我們關心的是霧臺鄉的平均時間是否 小於 100 分鐘。
  • 因此，這是單尾檢定。
  • 虛無假設 $H_0$: $\mu \ge 100$ (霧臺鄉的平均準備時間不小於臺灣平均)
  • 對立假設 $H_1$: $\mu < 100$ (霧臺鄉的平均準備時間小於臺灣平均)

• 步驟二：選擇檢定方法與計算檢定統計量

  • 由於母體標準差未知，我們使用單一樣本 t 檢定。
  • 檢定統計量的計算公式為：
    $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
  • 代入數值：
    $t = \frac{88 - 100}{20/\sqrt{25}} = \frac{-12}{20/5} = \frac{-12}{4} = -3$

• 步驟三：決定自由度與臨界值

  • 自由度 (degrees of freedom, df) = $n - 1 = 25 - 1 = 24$。
  • 顯著水準 $\alpha = 0.01$，且為單尾檢定 (左尾，因為對立假設是 $\mu < 100$)。
  • 我們需要查找 t 分佈表中，自由度為 24，左尾機率為 0.01 的臨界值。

此題考驗隨機變數機率密度函數 (PDF) 的辨識、期望值 (E) 和變異數 (V) 的計算，以及線性組合隨機變數的期望值與變異數。

1. 辨識機率密度函數 (PDF)

• 隨機變數 X 的 PDF:
  $f(x) = \frac{1}{6\sqrt{\pi}} e^{-\frac{(x-3)^2}{36}}, -\infty < x < \infty$
  這看起來像是常態分佈 (Normal Distribution) 的形式，其一般形式為：
  $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
  比較 $f(x)$，我們可以識別出：

  • $\mu_X = 3$
  • $2\sigma_X^2 = 36 \implies \sigma_X^2 = 18 \implies \sigma_X = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
  • $\frac{1}{\sigma_X\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{3\sqrt{2}\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{3\sqrt{4\pi}} = \frac{1}{3 \cdot 2\sqrt{\pi}} = \frac{1}{6\sqrt{\pi}}$。這與給定的 $f(x)$ 的係數 $\frac{1}{6\sqrt{\pi}}$ 相符。
  • 因此，X 服從常態分佈，記為 $X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2) = N(3, 18)$。
  • E(X) = $\mu_X = 3$
  • V(X) = $\sigma_X^2 = 18$

• 隨機變數 Y 的 PDF:
  $f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, -\infty < y < \infty$
  這是一個標準常態分佈 (Standard Normal Distribution) 的形式，其一般形式為：
  $f(y) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
  比較 $f(y)$，我們可以識別出：

  • $\mu_Y = 0$
  • $\sigma_Y^2 = 1$ (因為 $2\sigma_Y^2 = 2 \implies \sigma_Y^2 = 1$)

此題為研究計畫撰寫題，要求以「調查研究法」為基礎，針對「災害分析」擬定一份研究計畫。計畫內容需包含研究題目、目的、發問、取樣方法、架構、步驟及預期成果。

以下提供一份範例研究計畫：

研究計畫範例

研究題目： 台灣地區大規模複合式災害下，社區自主防災韌性之調查研究——以〇〇縣〇〇鄉為例

研究目的：
本研究旨在透過調查研究法，探討台灣地區面對大規模複合式災害（如地震伴隨海嘯、颱風伴隨淹水等）時，社區層級的自主防災韌性（resilience）表現。具體而言，本研究期望：

1. 評估社區居民對於複合式災害的認知與準備程度。
2. 分析社區內現有的防災組織、資源與協調機制。
3. 識別影響社區自主防災韌性的關鍵因素（如居民參與度、社會資本、資訊傳播能力、疏散避難計畫的有效性等）。
4. 提出提升社區自主防災韌性的具體建議。

研究發問：

1. 社區居民對於大規模複合式災害（如地震引發的海嘯、颱風引發的淹水）的風險認知為何？他們認為哪些準備措施最為重要？
2. 社區目前是否存在正式或非正式的防災組織？這些組織的運作情況、成員組成與資源如何？
3. 社區居民參與防災工作的意願與實際參與程度為何？哪些因素（如年齡、教育程度、家庭結構、居住年限等）影響其參與意願？
4. 社區在過去的災害經驗中，其自主應變與恢復能力表現如何？主要的挑戰與成功經驗為何？
5. 社會網絡（如鄰里關係、志工網絡）在災害發生時，對社區防災韌性有何影響？
6. 社區是否有完善的疏散避難計畫？居民對計畫的了解程度與信心為何？
7. 透過哪些策略可以有效提升社區在面對大規模複合式災害時的自主防災韌性？

研究方法 (調查研究法)：

• 研究對象與取樣方法：
  • 母體： 台灣地區具有較高複合式災害風險的某縣某鄉（例如：東部沿海鄉鎮，可能面臨地震、海嘯、颱風、淹水等複合風險）。
  • 取樣方法： 採用分層隨機抽樣 (Stratified Random Sampling) 或叢集抽樣 (Cluster Sampling)。
    • 分層抽樣： 將鄉鎮內依地理區域（如沿海、內陸、山區）或人口組成（如年輕家庭、老年人口比例高區域）進行分層，然後從各層中隨機抽取樣本。
    • 叢集抽樣： 將鄉鎮劃分為若干鄰里（叢集），隨機抽取部分鄰里，然後對選定鄰里中的所有或部分住戶進行調查。
  • 樣本數： 根據研究的精度要求和資源情況，預計抽取約 300-500 戶家庭作為樣本。
  • 抽樣單位： 以家庭為單位，選擇一位具代表性的家庭成員（如戶長或主要決策者）進行問卷填答。

此題考驗對量化研究 (Quantitative Research) 與質性研究 (Qualitative Research) 的理解，以及它們在「災害分析」主題下的應用時機與方法。

1. 量化研究 (Quantitative Research)

• 定義： 量化研究是一種結構化、客觀的系統性調查，旨在測量變數之間的關係，並透過數學和統計方法來分析數據，以驗證理論、預測趨勢或量化現象。它關注「有多少」、「多大」、「多久」等問題。
• 特點：
  • 使用結構化工具（如問卷、量表）蒐集數值型數據。
  • 數據分析依賴統計方法（如描述統計、推論統計）。
  • 強調客觀性、可重複性與普遍性。
  • 樣本數通常較大，以確保統計推論的有效性。
  • 研究目的常為檢定假設、評估影響、預測結果。
• 在災害分析中的應用時機與範例：
  • 時機：
    • 當需要了解災害的規模、頻率、影響範圍、經濟損失等可測量的指標時。
    • 當需要評估某項防災政策或措施的成效時。
    • 當需要建立災害風險模型、預警系統時。
    • 當需要了解特定人口群體（如高齡者、兒童）在災害中的脆弱性程度時。
  • 範例：
    • 災害損失評估： 統計某次地震造成的建築物損毀數量、經濟損失總額、受災人數等，並分析不同地區的損失差異。
    • 風險評估模型： 建立數學模型，結合歷史災害數據、地理資訊、氣象預測等，量化特定區域遭受某類災害（如洪水、土石流）的機率與潛在衝擊。
    • 疏散避難行為研究： 設計問卷調查居民在接獲疏散命令後的行動、決策過程、所需時間，並分析影響疏散效率的因素（如資訊獲取管道、家庭成員組成）。
    • 政策成效評估： 比較實施某項防災計畫前後，居民的防災知識、準備行為或社區韌性的變化。

2. 質性研究 (Qualitative Research)

• 定義： 質性研究是一種探索性的、非結構化的調查，旨在深入理解現象背後的意義、經驗、觀點與過程。它關注「為什麼」、「如何」等問題，探索複雜的社會現象。
• 特點：
  • 使用非結構化或半結構化工具（如深度訪談、焦點團體、參與式觀察、案例研究）蒐集文字、圖像或聲音等非數值型數據。
  • 數據分析側重於對文本、語意、敘事進行解釋與歸納，尋找主題、模式與意義。
  • 強調主觀性、情境性與深度理解。
  • 樣本數通常較小，但對研究對象進行深入探究。
  • 研究目的常為探索新現象、產生理論、理解複雜經驗、挖掘深層原因。
• 在災害分析中的應用時機與範例：
  • 時機：
    • 當需要深入了解人們在災害中的主觀經驗、情感反應與應對策略時。
    • 當需要探索災害發生後，社區如何協調、恢復與重建社會網絡時。
    • 當需要理解不同文化背景或社會群體在災害中的獨特脆弱性與適應方式時。
    • 當需要挖掘導致某類災害（如人為疏失引發的災害）的深層原因或組織文化問題時。
    • 當需要發展新的研究問題或理論框架，為後續的量化研究奠定基礎時。
  • 範例：
    • 倖存者經驗研究： 透過深度訪談，了解災民在經歷極端災害（如 921 地震、莫拉克風災）時的求生過程、心理創傷、家庭互動與社區互助經驗。