108 年 國立中央警察大學碩士班共同科目《統計學》

本題主要考驗對二項分配及其近似的理解。

(一) 考驗對二項分配的定義與參數理解。
當我們隨機抽選 $n$ 名警察人員，且每位警察人員習慣用左手的機率為 $p$ 時，習慣用左手的人數 $X$ 服從二項分配 $B(n, p)$。
在此題中，$n=15$，習慣用左手的機率 $p=0.3$。
因此，習慣用左手的人數 $X$ 服從二項分配 $B(15, 0.3)$。
題目要求的是「習慣用左手人的比例的分佈」，這其實是指習慣用左手的人數 $X$ 的分佈。
【答案】習慣用左手的人數比例的分佈為二項分配 $B(15, 0.3)$。

(二) 考驗對二項分配中央極限定理的近似應用。
當二項分配的樣本數 $n$ 很大時，可以用常態分配來近似。一般而言，若 $np \ge 5$ 且 $n(1-p) \ge 5$，則二項分配 $B(n, p)$ 可近似為常態分配 $N(np, np(1-p))$。
在此題中，$n=200$，$p=0.3$。
$np = 200 \times 0.3 = 60 \ge 5$
$n(1-p) = 200 \times (1-0.3) = 200 \times 0.7 = 140 \ge 5$
因此，習慣用左手的人數 $X$ 服從二項分配 $B(200, 0.3)$，可用常態分配近似。
題目問的是「習慣用左手人的比例的趨近」。若習慣用左手的人數為 $X$，則比例為 $\hat{p} = X/n$。
當 $n$ 很大時，比例 $\hat{p}$ 的分佈趨近於常態分配。
更精確地說，樣本比例 $\hat{p}$ 的分佈趨近於一個平均值為 $p$、標準差為 $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ 的常態分配。
【答案】習慣用左手人的比例趨近於常態分配。

本題考驗對卡方獨立性檢定 (Chi-squared test of independence) 的應用。我們想檢定「服務項目」與「滿意程度」這兩個類別變數之間是否存在關聯性，也就是檢定不同服務項目的民眾滿意度比例是否相同。

檢定步驟如下：

1. 建立虛無假說 ($H_0$) 與對立假說 ($H_1$)
   $H_0$: 民眾對交通疏導、受理報案和社區治安的滿意度比例是相同的。 (服務項目與滿意程度無關)
   $H_1$: 民眾對交通疏導、受理報案和社區治安的滿意度比例至少有一個是不同的。 (服務項目與滿意程度有關)

2. 計算期望次數 (Expected Frequencies)
   在虛無假說成立的情況下，我們預期各格子的次數。期望次數的計算公式為：
   $E_{ij} = \frac{(Row \ Total)_i \times (Column \ Total)_j}{Grand \ Total}$
   其中 $i$ 代表列 (滿意/不滿意)，$j$ 代表行 (交通疏導/受理報案/社區治安)。

   • 交通疏導 - 滿意: $E_{11} = \frac{150 \times 100}{300} = 50$
   • 交通疏導 - 不滿意: $E_{21} = \frac{150 \times 100}{300} = 50$
   • 受理報案 - 滿意: $E_{12} = \frac{150 \times 100}{300} = 50$
   • 受理報案 - 不滿意: $E_{22} = \frac{150 \times 100}{300} = 50$
   • 社區治安 - 滿意: $E_{13} = \frac{150 \times 100}{300} = 50$
   • 社區治安 - 不滿意: $E_{23} = \frac{150 \times 100}{300} = 50$

   注意：在這個例子中，由於各服務項目的總人數和總體滿意/不滿意人數的比例恰好相同，所以期望次數都等於 50。

3. 計算卡方檢定統計量 ($\chi^2$)
   卡方檢定統計量的計算公式為：
   $\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
   其中 $O_{ij}$ 是觀察到的次數，$E_{ij}$ 是期望的次數。

本題考驗對常態分配的應用，特別是將問題轉換為標準常態分配進行機率計算。

1. 確定常態分配參數
   題目告知，搭乘客運所需時間 $T$ 服從常態分配，其平均值 $\mu = 1$ 小時，標準差 $\sigma = 10$ 分鐘。
   為了方便計算，我們將所有時間單位統一為分鐘。
   $\mu = 1$ 小時 $= 60$ 分鐘。
   $\sigma = 10$ 分鐘。
   所以，$T \sim N(60, 10^2)$。

2. 確定目標時間
   王先生需要在早上 8 點 00 分前抵達公司。
   他從新竹出發的時間是早上 6 點 49 分。
   所以，他能夠用於通勤的時間上限為：
   8:00 - 6:49 = 1 小時 11 分鐘 = 71 分鐘。
   王先生需要通勤時間 $T$ 小於或等於 71 分鐘，才能準時到達。

本題包含兩部分：一是計算樣本的平均數與標準差；二是解釋抽樣誤差與非抽樣誤差。

第一部分：計算平均數與標準差

給定的 10 輛警用機車的汽油量數據為：
$X = \{25, 31, 18, 40, 33, 27, 19, 24, 35, 29\}$

1. 計算平均數 ($\bar{x}$)
   平均數是所有數據的總和除以數據的個數。
   $\sum X = 25 + 31 + 18 + 40 + 33 + 27 + 19 + 24 + 35 + 29 = 281$
   樣本數 $n = 10$。
   $\bar{x} = \frac{\sum X}{n} = \frac{281}{10} = 28.1$ 公升。

2. 計算標準差 ($s$)
   標準差衡量數據離散程度。我們計算的是樣本標準差，公式為：
   $s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$

   首先計算每個數據點與平均數的差的平方：

   • $(25 - 28.1)^2 = (-3.1)^2 = 9.61$
   • $(31 - 28.1)^2 = (2.9)^2 = 8.41$
   • $(18 - 28.1)^2 = (-10.1)^2 = 102.01$
   • $(40 - 28.1)^2 = (11.9)^2 = 141.61$
   • $(33 - 28.1)^2 = (4.9)^2 = 24.01$
   • $(27 - 28.1)^2 = (-1.1)^2 = 1.21$
   • $(19 - 28.1)^2 = (-9.1)^2 = 82.81$
   • $(24 - 28.1)^2 = (-4.1)^2 = 16.81$
   • $(35 - 28.1)^2 = (6.9)^2 = 47.61$
   • $(29 - 28.1)^2 = (0.9)^2 = 0.81$

   將這些平方差加總：
   $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 9.61 + 8.41 + 102.01 + 141.61 + 24.01 + 1.21 + 82.81 + 16.81 + 47.61 + 0.81 = 434.9$

   計算變異數 $s^2$:
   $s^2 = \frac{434.9}{10-1} = \frac{434.9}{9} \approx 48.322$

   計算標準差 $s$:
   $s = \sqrt{48.322} \approx 6.951$ 公升。

   【答案】平均數為 $28.1$ 公升，標準差約為 $6.951$ 公升。

第二部分：解釋抽樣誤差與非抽樣誤差

題目給了一個隨機抽取的 4 輛車樣本：(31, 35, 40, 25)。
並指出其中第 3 個樣本 (40) 被誤登錄為 49。

1. 抽樣誤差 (Sampling Error)
   • 定義: 抽樣誤差是指由於僅抽取樣本而非普查總體，導致樣本統計量（如樣本平均數、樣本比例）與總體參數（如總體平均數、總體比例）