108 年 國立成功大學測量及空間資訊學系碩士班《線性代數》

核心觀念

本題探討數值線性代數（Numerical Linear Algebra）中極為核心的課題：矩陣的條件數（Condition Number） 與 線性系統的數值穩定性（Numerical Stability / Sensitivity Analysis）。涉及的重點數學定義與公式包括：

1. 二階方陣的反矩陣公式：
   對於二階方陣 $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，若 $\det(M) = ad - bc \neq 0$，則其反矩陣為：

   $$M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

2. 誘導矩陣 $1$-範數（Induced Matrix $1$-Norm，又稱最大行絕對值和範數，Maximum Absolute Column Sum Norm）：

   $$\|M\|_1 = \max_{1 \le j \le n} \sum_{i=1}^m |m_{ij}|$$

   即取每一行（column）元素之絕對值總和的最大值。

3. 矩陣條件數（Condition Number）：
   相對於 $1$-範數，非奇異方陣 $C$ 的條件數定義為：

   $$\kappa(C) = \|C\|_1 \|C^{-1}\|_1$$
   • 條件數恆滿足 $\kappa(C) \ge 1$。
   • 若 $\kappa(C) \approx 1$（量級較小），稱為良態矩陣（Well-conditioned），代表輸入端或係數矩陣微小的擾動（Perturbation）只會對解產生微小的影響。
   • 若 $\kappa(C) \gg 1$（量級很大），稱為病態矩陣（Ill-conditioned），代表係數微小擾動會被放大，導致解產生劇烈變化。幾何上，二維空間中兩直線夾角極小（接近平行）的交點求解即為典型的病態問題。

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解題方法與詳細計算步驟

(1a) 求反矩陣 $A^{-1}$ 與 $B^{-1}$

1. 計算矩陣 $A$ 的行列式與反矩陣：
   矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$。

   $$\det(A) = (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2$$

   代入伴隨矩陣公式：

   $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & -0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

2. 計算矩陣 $B$ 的行列式與反矩陣：
   矩陣 $B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1.001 \end{bmatrix}$。

   $$\det(B) = (1)(1.001) - (1)(1) = 0.001 = 10^{-3}$$

   代入伴隨矩陣公式：

   $$B^{-1} = \frac{1}{0.001} \begin{bmatrix} 1.001 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = 1000 \begin{bmatrix} 1.001 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1001 & -1000 \\ -1000 & 1000 \end{bmatrix}$$

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(1b) 計算各矩陣的 $1$-範數

依據 $1$-範數定義（各行絕對值和的最大值）：

1. 計算 $\|A\|_1$：

   • 第 1 行絕對值和：$|1| + |1| = 2$
   • 第 2 行絕對值和：$|1| + |-1| = 2$
   $$\|A\|_1 = \max(2, 2) = 2$$

2. 計算 $\|B\|_1$：

   • 第 1 行絕對值和：$|1| + |1| = 2$
   • 第 2 行絕對值和：$|1| + |1.001| = 2.001$
   $$\|B\|_1 = \max(2, 2.001) = 2.001$$

3. 計算 $\|A^{-1}\|_1$：

   • 第 1 行絕對值和：$|0.5| + |0.5| = 1$
   • 第 2 行絕對值和：$|0.5| + |-0.5| = 1$
   $$\|A^{-1}\|_1 = \max(1, 1) = 1$$

4. 計算 $\|B^{-1}\|_1$：

   • 第 1 行絕對值和：$|1001| + |-1000| = 2001$
   • 第 2 行絕對值和：$|-1000| + |1000| = 2000$
   $$\|B^{-1}\|_1 = \max(2001, 2000) = 2001$$

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(1c) 計算條件數 $\kappa(A)$ 與 $\kappa(B)$

由定義 $\kappa(C) = \|C\|_1 \|C^{-1}\|_1$：

1. 矩陣 $A$ 的條件數：

   $$\kappa(A) = \|A\|_1 \|A^{-1}\|_1 = 2 \times 1 = 2$$

2. 矩陣 $B$ 的條件數：

   $$\kappa(B) = \|B\|_1 \|B^{-1}\|_1 = 2.001 \times 2001 = 4004.001$$

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(1d) 判斷良態／病態性質與原因說明

• 結論：矩陣 $A$ 遠比矩陣 $B$ 更良態（Matrix $A$ is much more well-conditioned than matrix $B$），矩陣 $B$ 屬於病態矩陣（Ill-conditioned）。
• 數值原因：
  $\kappa(A) = 2$ 接近理論最小值 $1$；而 $\kappa(B) = 4004.001 \gg 1$。條件數越小，表示系統受微小擾動影響越小，數值穩定性越高。
• 幾何原因：
  • 系統 (A) 的兩條直線法向量分別為 $(1, 1)$ 與 $(1, -1)$，內積為 $1 - 1 = 0$，夾角為 $90^\circ$（正交），交點定位極為銳利明確。
  • 系統 (B) 的兩條直線法向量為 $(1, 1)$ 與 $(1, 1.001)$，斜率幾乎相同（夾角約 $0^\circ$），直線接近平行，係數的微小晃動會導致交點沿著直線延伸方向發生劇烈位移。

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(1e) 擾動後的新解計算

題目指明對 $A$ 與 $B$ 的第 1 列第 2 行元素（1st row and 2nd column entry）加入誤差 $\varepsilon = 0.0001$。

題目印製勘誤說明：題幹引文中印出的 $B'$ 誤印為原始矩陣 $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1.001 \end{bmatrix}$，但文字敘述明確要求「add a small error term $\varepsilon=0.0001$ to the 1st row and 2nd column entry in A and B」。因此 $B'$ 的 (1,2) 項應加上 $0.0001$，即：

$$B' = \begin{bmatrix} 1 & 1 + 0.0001 \\ 1 & 1.001 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1.0001 \\ 1 & 1.001 \end{bmatrix}$$

1. 求解系統 (A')：$A' \mathbf{x}' = \mathbf{b}$

核心觀念

本題主要考查：

1. 未知數向量重新排列時，係數矩陣欄向量必須同步重新排列。
2. 以高斯消去法（Gauss elimination）求解線性方程組。
3. 利用消去過程中的主元素與列交換計算行列式。
4. 由行列式判斷矩陣是否滿秩：

$$\det(A)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{rank}(A)=6.$$

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（2a）重新排列未知數向量

原方程組的未知數排列為

$$\begin{bmatrix} x_6&x_4&x_5&x_3&x_1&x_2 \end{bmatrix}^{T}.$$

題目要求改為

$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6 \end{bmatrix}.$$

因此，新矩陣 $A$ 的欄順序，應依序取原矩陣的第 $5,6,4,2,3,1$ 欄。得到

$$A= \begin{bmatrix} -2 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 2 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & -2 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix}.$$

所以線性系統為

$$\begin{bmatrix} -2 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 2 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & -2 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\6\\3\\-3\\4\\-3 \end{bmatrix}.$$

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（2b）以高斯消去法求解

直接利用原題未知數排列，令

$$\mathbf{z} = \begin{bmatrix} x_6\\x_4\\x_5\\x_3\\x_1\\x_2 \end{bmatrix}.$$

增廣矩陣為

$$\left[ \begin{array}{rrrrrr|r} 1&0&0&2&-2&1&4\\ -1&2&0&1&-1&1&6\\ 0&1&2&-2&3&-1&3\\ 2&2&-1&0&1&2&-3\\ 1&-1&1&0&2&0&4\\ 4&2&1&1&0&-1&-3 \end{array} \right].$$

以第一列為主列消去第一欄：

$$R_2\leftarrow R_2+R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-2R_1,$$ $$R_5\leftarrow R_5-R_1,\qquad R_6\leftarrow R_6-4R_1.$$

再以第二欄消去，並將第二主列除以 $2$，可得等價方程組：

$$\begin{aligned} x_6+2x_3-2x_1+x_2&=4,\\ x_4+\frac32x_3-\frac32x_1+x_2&=5,\\ 2x_5-\frac72x_3+\frac92x_1-2x_2&=-2,\\ -x_5-7x_3+8x_1-2x_2&=-21,\\ x_5-\frac12x_3+\frac52x_1&=5,\\ x_5-10x_3+11x_1-7x_2&=-29. \end{aligned}$$

以第五式消去其他含 $x_5$ 的方程，得到

$$\begin{aligned} 5x_3+x_1+4x_2&=24,\\ -15x_3+21x_1-4x_2&=-32,\\ -19x_3+17x_1-14x_2&=-68. \end{aligned}$$

由第一式得

$$x_1=24-5x_3-4x_2.$$

代入另外兩式：

$$15x_3+11x_2=67,$$ $$52x_3+41x_2=238.$$

解此二元一次方程組：

$$x_3=3,\qquad x_2=2.$$

接著

$$x_1=24-5(3)-4(2)=1.$$

由

本題考驗學生對直線方程式的理解，特別是點斜式、斜率關係以及垂直線的性質。

題目要求找出直線 $L_1$ 的方程式。已知條件如下：

1. 直線 $L_1$ 通過點 $P(1,2)$。
2. 直線 $L_1$ 垂直於直線 $L_2: 3x-2y+2=0$。

首先，我們需要找出直線 $L_2$ 的斜率。
直線 $L_2$ 的方程式為 $3x-2y+2=0$。
我們可以將其改寫成斜截式 $y = mx+c$ 的形式，以便找出斜率 $m$。
$-2y = -3x - 2$
$y = \frac{-3}{-2}x + \frac{-2}{-2}$
$y = \frac{3}{2}x + 1$
所以，直線 $L_2$ 的斜率為 $m_2 = \frac{3}{2}$。

接著，我們利用垂直線的性質。兩條直線垂直的條件是它們的斜率乘積為 -1 (假設兩條直線都不是水平線或垂直線)。
設直線 $L_1$ 的斜率為 $m_1$。
則 $m_1 \times m_2 = -1$。
$m_1 \times \frac{3}{2} = -1$
$m_1 = -1 \times \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$。

本題考驗學生對向量函數求導，以求得速度向量和加速度向量。

給定的向量函數為 $\vec{r}(t) = R\cos\omega t \hat{i} + R\sin\omega t \hat{j}$。
其中 $R$ 是圓的半徑，$\omega$ 是角速度，$t$ 是時間。

速度向量 $\vec{v}(t)$ 是位置向量 $\vec{r}(t)$ 對時間 $t$ 的一階導數。
$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}$

對 $\vec{r}(t)$ 的每個分量分別求導：
$\frac{d}{dt}(R\cos\omega t) = R \times (-\sin\omega t) \times \omega = -R\omega\sin\omega t$
$\frac{d}{dt}(R\sin\omega t) = R \times (\cos\omega t) \times \omega = R\omega\cos\omega t$

所以，速度向量為：
$\vec{v}(t) = -R\omega\sin\omega t \hat{i} + R\omega\cos\omega t \hat{j}$

加速度向量 $\vec{a}(t)$ 是速度向量 $\vec{v}(t)$ 對時間 $t$ 的一階導數（也是位置向量的二階導數）。
$\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt}$

核心觀念

1. 橢圓的參數式（Parametric Representation of an Ellipse）：
   標準位置的橢圓方程式為 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。利用三角恆等式 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$，可設定參數 $t \in [0, 2\pi)$，表示為位置向量形式：

   $$\mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\cos t \\ b\sin t \end{bmatrix}$$

2. 切線的切向量與參數式（Tangent Vector & Parametric Line）：

   • 曲線 $\mathbf{r}(t)$ 在參數 $t = t_0$ 處的切向量（方向向量）為速度向量 $\mathbf{r}'(t_0) = \begin{bmatrix} x'(t_0) \\ y'(t_0) \end{bmatrix}$。
   • 通過一點 $P_0$ 且具方向向量 $\mathbf{v}$ 的直線參數式可表示為： $$\mathbf{L}(s) = \mathbf{r}(t_0) + s \mathbf{r}'(t_0), \quad s \in \mathbb{R}$$

3. 原題題目數據說明（Typo Analysis）：
   題目中給定點 $P$ 的座標為 $(x, y) = (1/\sqrt{2}, \sqrt{2})$。若將該座標代入橢圓方程式 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$，得 $\frac{(1/\sqrt{2})^2}{4} + (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{8} + 2 = \frac{17}{8} \neq 1$。
   此為研究所考試偶見之題目筆誤。就幾何意義與考試命題意圖分析，該點應為橢圓上的點 $(\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$（此點滿足 $\frac{2}{4} + \frac{1}{2} = 1$）。
   為維持解答的嚴謹性與應試完整度，本詳解提供：

   • 解法一（依命題原意校正）：將點視為橢圓上的正確點 $P\left(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 進行正規切線求解。
   • 解法二（依字面原題條件）：將 $P\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}\right)$ 視為橢圓外一點，求解「過該點且與橢圓相切」的切線參數式。

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解題方法

(5a) 橢圓的參數式

橢圓方程式為：

$$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1 \implies \left(\frac{x}{2}\right)^2 + y^2 = 1$$

對應半長軸 $a = 2$，半短軸 $b = 1$。
引入參數 $t \in [0, 2\pi)$，令：

$$\begin{cases} \frac{x}{2} = \cos t \implies x(t) = 2\cos t \\ y = \sin t \implies y(t) = \sin t \end{cases}$$

以向量形式表示為：

$$\mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} 2\cos t \\ \sin t \end{bmatrix}, \quad 0 \le t < 2\pi$$

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(5b) 切線的參數式

【解法一：命題原意校正版——切點為 $P\left(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$】

1. 求切點對應的參數值 $t_0$：
   將切點座標代入參數式：

   $$\begin{cases} 2\cos t_0 = \sqrt{2} \implies \cos t_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin t_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$$

   由此解得 $t_0 = \frac{\pi}{4}$。

2. 求切向量（方向向量）：
   對位置向量微分可得切向量：

   $$\mathbf{r}'(t) = \begin{bmatrix} -2\sin t \\ \cos t \end{bmatrix}$$

   代入 $t_0 = \frac{\pi}{4}$：

   $$\mathbf{r}'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \begin{bmatrix} -2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\sqrt{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$$

   可取同方向之等價向量（乘上常數 $\sqrt{2}$ 簡化計算）作為方向向量 $\mathbf{v}$：

   $$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \left(\text{亦可直接使用 } \begin{bmatrix} -\sqrt{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\right)$$

3. 寫出切線參數式：
   切線通過點 $P\left(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$，令直線參數為 $s \in \mathbb{R}$：

   $$\begin{bmatrix} x(s) \\ y(s) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -\sqrt{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}$$

   或簡化分母形式：