109 年 國立成功大學測量及空間資訊學系碩士班《線性代數》

這題主要考查矩陣的基本運算，包含行列式、秩、高斯消去法求解線性方程組以及高斯-約旦消去法求逆矩陣。

(1a) 計算行列式 $\det A$
我們可以使用降階公式或薩路斯法則來計算 $3 \times 3$ 矩陣的行列式。
$\det A = 6 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}$
$\det A = 6(1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 2(2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) - 1(2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1))$
$\det A = 6(2 - 1) - 2(4 + 1) - 1(2 + 1)$
$\det A = 6(1) - 2(5) - 1(3)$
$\det A = 6 - 10 - 3 = -7$
【答案】$-7$

(1b) 計算矩陣 $A$ 的秩 (rank)
矩陣的秩是其行空間或列空間的維度，也等於其最大非零子行列式的階數。由於我們已經計算出 $\det A = -7 \neq 0$，這表示 $3 \times 3$ 矩陣 $A$ 是滿秩的，其秩為 3。
另外，我們也可以透過高斯消去法將矩陣化為階梯形矩陣，非零行的個數即為秩。
$A = \begin{bmatrix} 6 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
交換 $R_1$ 和 $R_3$:
$\begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 6 & 2 & -1 \end{bmatrix}$
$R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1$, $R_3 \leftarrow R_3 + 6R_1$:
$\begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 8 & 11 \end{bmatrix}$
$R_3 \leftarrow 3R_3 - 8R_2$:
$\begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 33 - 40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -7 \end{bmatrix}$
此階梯形矩陣有 3 個非零行，因此 $\text{rank } A = 3$。
【答案】$3$

(1c) 使用高斯消去法計算解向量
將增廣矩陣寫出：
$[A | b] = \begin{bmatrix} 6 & 2 & -1 & | & 5 \\ 2 & 1 & 1 & | & 3 \\ -1 & 1 & 2 & | & 1 \end{bmatrix}$
進行列運算，目標是將左側矩陣化為上三角矩陣。
交換 $R_1$ 和 $R_3$:
$\begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 & | & 1 \\ 2 & 1 & 1 & | & 3 \\ 6 & 2 & -1 & | & 5 \end{bmatrix}$
$R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1$, $R_3 \leftarrow R_3 + 6R_1$:
$\begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & 3 & 5 & | & 5 \\ 0 & 8 & 11 & | & 11 \end{bmatrix}$
$R_3 \leftarrow 3R_3 - 8R_2$:
$\begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & 3 & 5 & | & 5 \\ 0 & 0 & 33 - 40 & | & 33 - 40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & 3 & 5 & | & 5 \\ 0 & 0 & -7 & | & -7 \end{bmatrix}$
現在我們得到一個上三角矩陣，可以進行反代入 (back substitution) 來求解。
由最後一行得到：$-7z = -7 \implies z = 1$。
由第二行得到：$3y + 5z = 5 \implies 3y + 5(1) = 5 \implies 3y = 0 \implies y = 0$。
由第一行得到：$-x + y + 2z = 1 \implies -x + 0 + 2(1) = 1 \implies -x = -1 \implies x = 1$。
所以解向量為 $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。
【答案】$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

本題考查矩陣的特徵值 (eigenvalues) 與特徵向量 (eigenvectors) 的計算。

首先，計算特徵值 $\lambda$。特徵值是滿足特徵方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ 的值。
$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2-\lambda & 2 \\ 2 & -1-\lambda \end{bmatrix}$
特徵方程為：
$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(-1-\lambda) - (2)(2) = 0$
$(-2 - 2\lambda + \lambda + \lambda^2) - 4 = 0$
$\lambda^2 - \lambda - 2 - 4 = 0$
$\lambda^2 - \lambda - 6 = 0$
因式分解得到：
$(\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0$
所以特徵值為 $\lambda_1 = 3$ 和 $\lambda_2 = -2$。

接著，計算對應於每個特徵值的特徵向量。

對於 $\lambda_1 = 3$:
我們需要解方程 $(A - 3I) \mathbf{v} = \mathbf{0}$。
$A - 3I = \begin{bmatrix} 2-3 & 2 \\ 2 & -1-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$
方程組為：
$\begin{cases} -x + 2y &= 0 \\ 2x - 4y &= 0 \end{cases}$
兩方程是線性相關的。從第一個方程，我們得到 $x = 2y$。
令 $y = t$ (其中 $t \neq 0$)，則 $x = 2t$。

本題要求證明向量內積 (點積) 的計算公式，這通常是基於向量的幾何定義和餘弦定理。

向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的內積的幾何定義為：
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \cos \theta$
其中 $|\mathbf{u}|$ 和 $|\mathbf{v}|$ 分別是向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的長度，$\theta$ 是兩個向量之間的夾角。

考慮向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，它們可以表示為：
$\mathbf{u} = [u_1, u_2, u_3]$
$\mathbf{v} = [v_1, v_2, v_3]$

我們也可以定義一個向量 $\mathbf{w} = \mathbf{u} - \mathbf{v}$。
$\mathbf{w} = [u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3]$
向量 $\mathbf{w}$ 的長度平方 $|\mathbf{w}|^2$ 可以通過勾股定理（歐幾里得範數）計算：
$|\mathbf{w}|^2 = (u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2$
$|\mathbf{w}|^2 = (u_1^2 - 2u_1 v_1 + v_1^2) + (u_2^2 - 2u_2 v_2 + v_2^2) + (u_3^2 - 2u_3 v_3 + v_3^2)$
$|\mathbf{w}|^2 = (u_1^2 + u_2^2 + u_3^2) + (v_1^2 + v_2^2 + v_3^2) - 2(u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3)$

我們知道，向量的長度平方等於它與自己的內積，即 $|\mathbf{u}|^2 = \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2$，$|\mathbf{v}|^2 = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2$。
因此，
$|\mathbf{w}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2(u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3)$

現在，我們將向量 $\mathbf{w} = \mathbf{u} - \mathbf{v}$ 的長度平方寫成 $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2$。
根據內積的幾何定義，我們有：
$|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$

本題要求計算一個向量場在圓弧上的線積分。這是一個二維向量場，積分路徑是第一象限的圓弧。

給定的向量場為 $\vec{F}(\vec{r}) = [-y, -xy]$，在直角座標系中表示為 $F_1 = -y$，$F_2 = -xy$。
曲線 $C$ 是從點 $A(1,0)$ 到點 $B(0,1)$ 的圓弧。這段圓弧是單位圓在第一象限的一部分。
圓的參數方程為 $x = \cos t$, $y = \sin t$。
當點在 $A(1,0)$ 時，$x=1, y=0$，所以 $\cos t = 1, \sin t = 0$，這對應於 $t=0$。
當點在 $B(0,1)$ 時，$x=0, y=1$，所以 $\cos t = 0, \sin t = 1$，這對應於 $t=\frac{\pi}{2}$。
因此，曲線 $C$ 的參數方程為 $\vec{r}(t) = [\cos t, \sin t]$，其中 $t$ 的範圍是 $[0, \frac{\pi}{2}]$。

現在我們需要計算 $d\vec{r}$ 和 $\frac{d\vec{r}}{dt}$。
$d\vec{r} = [dx, dy]$
$\vec{r}(t) = [\cos t, \sin t]$
$\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}[\cos t, \sin t] = [-\sin t, \cos t]$
所以，$dx = -\sin t \, dt$，$dy = \cos t \, dt$。

將曲線參數方程代入向量場 $\vec{F}$：
$F_1 = -y = -\sin t$
$F_2 = -xy = -(\cos t)(\sin t)$

現在計算線積分 $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_a^b (F_1 \frac{dx}{dt} + F_2 \frac{dy}{dt}) dt$。
$\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_0^{\pi/2} ((-\sin t)(-\sin t) + (-\cos t \sin t)(\cos t)) dt$

本題首先給出計算平面區域面積的格林公式形式，然後要求利用極座標推導出另一種面積計算公式，並應用該公式計算特定曲線的面積。

(5a) 從格林公式 $A = \frac{1}{2} \oint_C (xdy - ydx)$ 推導 $A = \frac{1}{2} \int r^2 d\theta$。

格林公式是：
$A = \frac{1}{2} \oint_C (xdy - ydx)$
給定極座標轉換關係：$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$。
我們需要計算 $dx$ 和 $dy$。
$dx = \frac{\partial x}{\partial r} dr + \frac{\partial x}{\partial \theta} d\theta = \cos\theta \, dr - r\sin\theta \, d\theta$
$dy = \frac{\partial y}{\partial r} dr + \frac{\partial y}{\partial \theta} d\theta = \sin\theta \, dr + r\cos\theta \, d\theta$
將 $x, y, dx, dy$ 代入格林公式的積分式 $xdy - ydx$：
$xdy - ydx = (r\cos\theta)( \sin\theta \, dr + r\cos\theta \, d\theta ) - (r\sin\theta)( \cos\theta \, dr - r\sin\theta \, d\theta )$
$= r\cos\theta\sin\theta \, dr + r^2\cos^2\theta \, d\theta - r\sin\theta\cos\theta \, dr + r^2\sin^2\theta \, d\theta$
合併同類項：
$= (r\cos\theta\sin\theta - r\sin\theta\cos\theta) dr + (r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta) d\theta$
$= 0 \cdot dr + r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) d\theta$
$= r^2 d\theta$
所以，格林公式變為：
$A = \frac{1}{2} \oint_C r^2 d\theta$
對於封閉曲線 $C$（例如，由 $\theta$ 從 $\alpha$ 到 $\beta$ 掃過的區域），積分變為：
$A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$
如果封閉曲線是從 $\theta=0$ 到 $\theta=2\pi$ 掃過的區域，則：
$A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} r^2 d\theta$
題目中要求推導 $A = \frac{1}{2} \int r^2 d\theta$，表示積分範圍是某個區間，通常是指由極座標曲線 $r=f(\theta)$ 在 $\theta$ 從 $\alpha$ 到 $\beta$ 所圍成的區域。

【答案】推導過程如上。