109 年 國立成功大學測量及空間資訊學系碩士班《統計學》

核心觀念

本題評量機率論與貝氏推論（Bayesian Inference）的基礎核心觀念，主要包含以下定理與定義：

1. 機率乘法法則（Multiplication Rule）： $$P(A \cap B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)$$
2. 互補事件與差集性質（Complement and Set Difference）： $$P(A^c \cap B) = P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B)$$ 若事件集合 $\{U, V, W\}$ 構成樣本空間的分割（Partition），則 $U^c \cap T = (V \cap T) \cup (W \cap T)$。
3. 全機率定理（Law of Total Probability）：
   若事件 $U, V, W$ 構成樣本空間的一組分割，則對任意事件 $T$ 之邊際機率為： $$P(T) = P(T \cap U) + P(T \cap V) + P(T \cap W) = P(T|U)P(U) + P(T|V)P(V) + P(T|W)P(W)$$
4. 貝氏定理（Bayes' Theorem）：
   在已知事件 $T^c$ 發生的條件下，求狀態 $W$ 的後驗機率（Posterior Probability）： $$P(W|T^c) = \frac{P(W \cap T^c)}{P(T^c)} = \frac{P(T^c|W) P(W)}{1 - P(T)} = \frac{[1 - P(T|W)] P(W)}{1 - P(T)}$$

---

解題方法

第一部分：計算 $P(T \cap V)$

直接利用條件機率的乘法法則展開：

$$P(T \cap V) = P(T|V) \cdot P(V)$$

代入已知數據：

$$P(T \cap V) = 0.6 \times 0.45 = 0.27$$

---

第二部分：計算 $P(U^c \cap T)$

根據集合論與差集性質，$U^c \cap T$ 代表「事件 $T$ 發生且事件 $U$ 不發生」的機率：

$$P(U^c \cap T) = P(T) - P(U \cap T)$$

其中，事件 $U$ 與 $T$ 同時發生的交集機率為：

$$P(U \cap T) = P(T|U) \cdot P(U) = 0.5 \times 0.35 = 0.175$$

依貝氏架構，由全機率定理計算事件 $T$ 的全機率 $P(T)$：

本題包含兩個部分，第一部分是關於隨機向量的共變異數性質的證明，第二部分是關於估計量的均方誤差矩陣的證明。

(1) 證明 $Cov(AX + a, BY +b) = A Cov(X,Y) B^T$

證明共變異數矩陣的性質。
令 $X$ 和 $Y$ 為隨機向量。
我們有 $Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])^T]$。
令 $U = AX + a$ 和 $V = BY + b$。
我們需要計算 $Cov(U, V) = E[(U - E[U])(V - E[V])^T]$。

首先，計算 $E[U]$ 和 $E[V]$：
$E[U] = E[AX + a] = A E[X] + a$ (線性性質)。
$E[V] = E[BY + b] = B E[Y] + b$ (線性性質)。

接著，計算 $U - E[U]$ 和 $V - E[V]$：
$U - E[U] = (AX + a) - (A E[X] + a) = AX - A E[X] = A(X - E[X])$。
$V - E[V] = (BY + b) - (B E[Y] + b) = BY - B E[Y] = B(Y - E[Y])$。

現在，計算共變異數矩陣：
$Cov(U, V) = E[(U - E[U])(V - E[V])^T]$
$Cov(U, V) = E[A(X - E[X]) (B(Y - E[Y]))^T]$
利用矩陣轉置的性質 $(BC)^T = C^T B^T$：
$Cov(U, V) = E[A(X - E[X]) (Y - E[Y])^T B^T]$
由於 A 和 $B^T$ 是常數矩陣，可以移到期望值外面：
$Cov(U, V) = A \left( E[(X - E[X])(Y - E[Y])^T] \right) B^T$
根據共變異數的定義，$E[(X - E[X])(Y - E[Y])^T] = Cov(X, Y)$。
所以，$Cov(U, V) = A Cov(X, Y) B^T$。
即 $Cov(AX + a, BY +b) = A Cov(X,Y) B^T$。
證明完畢。

(2) 證明 $MSE(X, \mu) = \Sigma_{WW} + \delta \delta^T$

這裡的符號有些混亂。題目要求證明 $MSE(X, \mu)$，但後面又說 $\Sigma_{WW}$ 是隨機向量 W 的變方-協變方矩陣。
一般來說，如果 $\hat{\theta}$ 是參數 $\theta$ 的估計量，則其均方誤差矩陣定義為：
$MSE(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta} - \theta)(\hat{\theta} - \theta)^T]$。
$MSE(\hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + Bias(\hat{\theta}) Bias(\hat{\theta})^T$。
其中 $Bias(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta$。

本題考驗統計檢定在測量精度檢核中的應用，特別是關於兩個獨立測量精度的比較。

核心觀念：
本題的本質是檢定一個新的測量系統（精度為 $\sigma_2$）是否能「通過檢核」，這意味著新的測量結果與原始測量結果（精度為 $\sigma_1$）之間不存在顯著差異，或者說，新的測量系統的精度與原始系統的精度是相當的，或者至少能接受。

檢核通過的標準：
統計檢核通過的標準通常是基於顯著水準 $\alpha$ 來設定的。
在這裡，我們需要比較兩個測量結果之間的差異。假設原始測量得到的距離為 $S_1$，其精度為 $\sigma_1$。新的測量得到的距離為 $S_2$，其精度為 $\sigma_2$。

首先，我們需要一個關於「標準」的定義。通常，「檢核通過」意味著新的測量結果與原始結果的差異在統計上是可以接受的。這個差異可能來自於：
a) 兩個測量系統的真值不同（偏差）。
b) 兩個測量系統的隨機誤差不同。

題目中提到「精度為 $\sigma_2$ 檢核此距離」，這暗示我們關注的是這兩個測量結果的隨機誤差。
如果我們假設兩個測量系統的真值是相同的（即沒有系統性偏差），那麼我們只需要比較它們的隨機誤差。

統計原理與程序：

步驟 1：定義假設
我們需要設定虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_1$)。
通常，檢核通過的標準是檢定新的測量系統的精度是否「差於」或「顯著不同於」原始系統。
在這裡，我們可以考慮以下幾種情況：

情況 A：檢定新的測量系統精度是否「差於」原始系統。
$H_0: \sigma_2 \ge \sigma_1$ (新的測量精度較差或相同，不通過檢核)
$H_1: \sigma_2 < \sigma_1$ (新的測量精度較好，通過檢核)
這種情況下，我們希望證明新的測量精度比原來好。

情況 B：檢定新的測量系統精度是否「顯著不同於」原始系統。
$H_0: \sigma_2 = \sigma_1$ (新的測量精度與原始系統相同，通過檢核)
$H_1: \sigma_2 \neq \sigma_1$ (新的測量精度與原始系統不同，可能較差或較好，需要進一步分析)
這種情況下，我們希望證明新的測量精度與原來沒有顯著差異。

情況 C：檢定新的測量系統的誤差是否「大於」某個可接受的標準 $\sigma_{max}$。
$H_0: \sigma_2 \le \sigma_{max}$ (新的測量精度在可接受範圍內，通過檢核)
$H_1: \sigma_2 > \sigma_{max}$ (新的測量精度太差，不通過檢核)
這裡的 $\sigma_{max}$ 可能與 $\sigma_1$ 有關，例如 $\sigma_{max} = k \sigma_1$，其中 k 是一個容忍因子。

題目中提到「檢核此距離」，並且給了 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$，這更傾向於比較兩個系統的精度。
最常見的檢核是檢定兩個變異數（或標準差）是否相等。
我們採用 情況 B 作為主要檢核目標，即檢定 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 是否顯著不同。

步驟 2：收集數據
要檢定精度，我們需要對同一個距離進行多次測量。
假設我們對同一兩點間距離進行了 $n_1$ 次測量，得到樣本標準差為 $s_1$ (題目給的是 $\sigma_1$，這通常是已知母體標準差。但實際操作中，我們通常是從樣本數據計算樣本標準差來估計母體標準差。這裡我們假設 $\sigma_1$ 是原始系統的「已知」精度，而 $\sigma_2$ 是新的系統的「已知」精度。如果 $\sigma_1, \sigma_2$ 是已知的母體標準差，則直接比較 $\sigma_1, \sigma_2$ 的關係。但題目要求「依統計原理訂定」，這暗示需要進行統計檢定。因此，更合理的解釋是 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 是通過樣本數據估計出來的精度指標，或者它們代表了各自系統的理論精度，我們需要通過樣本來驗證。

我們假設：

• 原始測量系統的精度為 $\sigma_1$。
• 新的測量系統的精度為 $\sigma_2$。
• 我們對同一兩點間距離進行了 $n_1$ 次測量，得到樣本標準差 $s_1$ (或者我們就直接使用 $\sigma_1$ 作為已知母體標準差)。
• 我們對同一兩點間距離進行了 $n_2$ 次測量，得到樣本標準差 $s_2$ (或者我們就直接使用 $\sigma_2$ 作為已知母體標準差)。

最常見的檢定是關於兩個獨立樣本的變異數是否相等。
若 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 是已知的母體標準差，則直接比較 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$。
如果 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 是樣本標準差，則需要檢定。

假設題目給的 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 是「理論精度」，而我們需要通過樣本來驗證。
此時，我們需要知道樣本大小。題目中未給出樣本大小。

另一種解釋：
題目給的 $\sigma_1$ 是原始系統的精度，而 $\sigma_2$ 是新的系統的精度。
「檢核此距離」可能意味著，用精度為 $\sigma_2$ 的方法測量某距離，並與原始精度 $\sigma_1$ 所能達到的結果進行比較。

如果我們假設 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 是兩個獨立測量系統的「標準差」，且我們對同一距離進行了足夠多的測量，以至於我們可以使用這些標準差來進行檢定。

最合理的解釋是，我們需要檢定兩個獨立樣本的變異數（或標準差）是否相等。
這種檢定通常使用 F 檢定。

步驟 2（修訂）：收集數據並計算統計量
假設我們從原始系統（精度 $\sigma_1$）和新系統（精度 $\sigma_2$）分別抽取了獨立樣本。

• 原始系統：樣本大小 $n_1$，樣本變異數 $s_1^2$。
• 新系統：樣本大小 $n_2$，樣本變異數 $s_2^2$。

檢核通過的標準（基於 F 檢定）：
我們採用雙尾檢定，檢定兩個變異數是否相等。
顯著水準設為 $\alpha$ (例如 $\alpha = 0.05$)。
$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$
$H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$

檢定統計量為 F 統計量：
$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$ (如果 $s_1^2 > s_2^2$) 或 $F = \frac{s_2^2}{s_1^2}$ (如果 $s_2^2 > s_1^2$)。
通常，我們將較大的樣本變異數放在分子。
自由度為：分子自由度 $df_1 = n_1 - 1$，分母自由度 $df_2 = n_2 - 1$。

檢核通過的標準：
如果計算出的 F 值落在拒絕域之外，則我們不能拒絕 $H_0$，認為兩個系統的精度沒有顯著差異，檢核通過。
拒絕域為：$F > F_{\alpha/2, df_1, df_2}$ 或 $F < F_{1-\alpha/2, df_1, df_2}$。
如果 $F_{calc} \le F_{\alpha/2, df_1, df_2}$ 且 $F_{calc} \ge F_{1-\alpha/2, df_1, df_2}$，則檢核通過。
或者，更簡單地，如果 p-value $> \alpha$，則檢核通過。

步驟 3：擬定程序

1. 明確目標： 確定檢核的目的。是希望證明新系統的精度「不差於」舊系統，還是「與舊系統無顯著差異」？

   • 目標 1 (無顯著差異)： 檢定 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ vs $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$。
   • 目標 2 (新系統不差)： 檢定 $H_0: \sigma_2^2 \ge \sigma_1^2$ vs $H_1: \sigma_2^2 < \sigma_1^2$。
   • 目標 3 (新系統可接受)： 檢定 $H_0: \sigma_2^2 \le \sigma_{max}^2$ vs $H_1: \sigma_2^2 > \sigma_{max}^2$。

   題目中的「檢核此距離」和「精度為 $\sigma_2$ 檢核」，暗示我們關注的是新系統的表現。最常見的是檢定新系統是否「與舊系統有顯著差異」。我們以 目標 1 為主。

2. 設定顯著水準 $\alpha$： 通常選擇 $\alpha = 0.05$ 或 $\alpha = 0.01$。

3. 收集數據：

   • 使用原始測量系統對同一距離進行 $n_1$ 次獨立測量，計算樣本標準差 $s_1$（或使用已知的母體精度 $\sigma_1$）。
   • 使用新的測量系統對同一距離進行 $n_2$ 次獨立測量，計算樣本標準差 $s_2$（或使用已知的母體精度 $\sigma_2$）。

本題考驗如何使用統計檢定來比較兩個獨立樣本的變異數（或標準差），以判斷兩個儀器的測角精度是否相等。這與上一題的原理相同，只是具體數據不同。

核心觀念：
比較兩個獨立樣本的變異數是否相等，通常使用 F 檢定。

步驟：

1. 設定假設：

   • 虛無假設 ($H_0$)：兩個全測站儀器的測角精度相等。這意味著它們的變異數相等。
     $H_0: \sigma_A^2 = \sigma_B^2$
   • 對立假設 ($H_1$)：兩個全測站儀器的測角精度不相等。這意味著它們的變異數不相等。
     $H_1: \sigma_A^2 \neq \sigma_B^2$
     我們採用雙尾檢定，因為題目沒有指明哪一個儀器精度應該更好，只是問是否相等。

2. 設定顯著水準：
   題目已給定 $\alpha = 0.05$。

3. 收集數據並計算檢定統計量：

   • 儀器 A：樣本大小 $n_A = 26$，樣本標準差 $s_A = 6.5''$。樣本變異數 $s_A^2 = (6.5'')^2 = 42.25$。
   • 儀器 B：樣本大小 $n_B = 26$，樣本標準差 $s_B = 7.8''$。樣本變異數 $s_B^2 = (7.8'')^2 = 60.84$。

   計算 F 統計量。我們將較大的樣本變異數放在分子，以簡化臨界值的查找。
   $F_{obs} = \frac{s_B^2}{s_A^2} = \frac{60.84}{42.25} \approx 1.4399$。

4. 確定自由度：

   • 分子自由度：$df_1 = n_B - 1 = 26 - 1 = 25$。
   • 分母自由度：$df_2 = n_A - 1 = 26 - 1 = 25$。

5. 確定臨界值並做出決策：

   • 我們需要查找 F 分配表中，對於 $\alpha = 0.05$ (雙尾檢定，所以 $\alpha/2 = 0.025$)，自由度為 $df_1 = 25$ 和 $df_2 = 25$ 的臨界值。
   • 查找 F 表 (通常在講義最後面)，我們找到 $F_{\alpha/2, df_1, df_2} = F_{0.025, 25, 25}$。

本題考驗對測量平差模型進行統計檢定的理解，特別是關於迴歸模型的假設檢定。

核心觀念：
測量平差模型本質上是一個線性迴歸模型，其中 $Y_i$ 是應變數（觀測量），$X_{i1}, X_{i2}, X_{i3}$ 是自變數（已知量），$a, b, c$ 是待定參數（迴歸係數），$\epsilon_i$ 是隨機誤差項。
進行統計檢定是為了評估模型的適配程度以及參數估計的顯著性。

要進行的檢定：

1. 參數估計的顯著性檢定 (t-檢定)：

   • 目的： 檢定每個迴歸係數（$a, b, c$）是否顯著異於零。這有助於確定哪些自變數對應變數有顯著的影響。
   • 如何進行：
     • 首先，需要對模型進行普通最小平方法 (OLS) 估計，得到參數的估計值 $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$。
     • 同時，OLS 估計也會得到參數估計值的標準誤（standard error），記為 $SE(\hat{a}), SE(\hat{b}), SE(\hat{c})$。
     • 對於每個參數，設定假設檢定：
       • 檢定 $a$：$H_0: a = 0$ vs $H_1: a \neq 0$。
       • 檢定 $b$：$H_0: b = 0$ vs $H_1: b \neq 0$。
       • 檢定 $c$：$H_0: c = 0$ vs $H_1: c \neq 0$。
     • 計算 t 統計量：$t_a = \frac{\hat{a}}{SE(\hat{a})}$, $t_b = \frac{\hat{b}}{SE(\hat{b})}$, $t_c = \frac{\hat{c}}{SE(\hat{c})}$。
     • 將計算出的 t 值與相應的自由度（通常是 $n-k$，其中 $k$ 是參數的數量，這裡 $k=3$）下的 t 分配臨界值進行比較。如果 $|t_{obs}| > t_{\alpha/2, n-3}$，則拒絕 $H_0$，認為該參數顯著異於零。
     • 也可以計算 p-value，如果 p-value $<\alpha$，則拒絕 $H_0$。

2. 整體模型的顯著性檢定 (F-檢定)：

   • 目的： 檢定整個迴歸模型是否顯著。也就是說，是否至少有一個自變數對應變數有顯著的影響。
   • 如何進行：
     • 設定假設檢定：
       • 虛無假設 ($H_0$)：所有迴歸係數都等於零 ($a=b=c=0$)。這意味著自變數對應變數沒有任何線性解釋力。
       • 對立假設 ($H_1$)：至少有一個迴歸係數不等於零。
     • 計算 F 統計量。F 統計量是基於總平方和 (SST)、迴歸平方和 (SSR) 和殘差平方和 (SSE) 來計算的。
       $F = \frac{SSR/k}{SSE/(n-k-1)}$，其中 $k$ 是自變數的數量（這裡 $k=3$），$n$ 是樣本大小。
     • 將計算出的 F 值與相應的自由度 ($df_{num}=k$, $df_{den}=n-k-1$) 下的 F 分配臨界值進行比較。如果 $F_{obs} > F_{\alpha, k, n-k-1}$，則拒絕 $H_0$，認為模型整體顯著。
     • 也可以計算 p-value，如果 p-value $<\alpha$，則拒絕 $H_0$。

3. 殘差分析 (Residual Analysis)：

   • 目的： 檢驗迴歸模型的關鍵假設是否成立，包括：
     • 誤差項的期望值為零 ($E[\epsilon_i] = 0$)。
     • 誤差項的方差恆定 ($\text{Var}(\epsilon_i) = \sigma^2$)，即同質性 (Homoscedasticity)。
     • 誤差項之間相互獨立，無自相關性 (Independence)。
     • 誤差項服從常態分配 ($\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2)$)。
   • 如何進行：

本題考驗單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)，用於檢定多個群體（因子水準）的平均值是否存在顯著差異。

核心觀念：
單因子變異數分析 (ANOVA) 的目的是比較兩個或多個獨立群體的平均值。它將總變異分解為組間變異 (Between-group variation) 和組內變異 (Within-group variation)。

步驟：

1. 設定假設：

   • 虛無假設 ($H_0$)：所有因子水準的平均值都相等。
     $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4$
   • 對立假設 ($H_1$)：至少有一個因子水準的平均值與其他不同。
     $H_1: \text{Not all } \mu_i \text{ are equal}$

2. 設定顯著水準：
   題目中未明確給出顯著水準 $\alpha$，但通常在 ANOVA 中，若未給定，則預設為 $\alpha = 0.05$。

3. 計算各項平方和：
   ANOVA 的核心是計算總平方和 (SST)、組間平方和 (SSB, Between-group Sum of Squares) 和組內平方和 (SSW, Within-group Sum of Squares)。
   $SST = SSB + SSW$

   • 組間平方和 (SSB)： 衡量各組平均值與總平均值之間的差異。
     $SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{y}_i - \bar{y}_{grand})^2$
     其中：

     • $k$ 是因子水準的數量 (這裡 $k=4$)。
     • $n_i$ 是第 $i$ 組的樣本大小。
     • $\bar{y}_i$ 是第 $i$ 組的樣本平均值。
     • $\bar{y}_{grand}$ 是所有觀測值的總平均值 (題目已給出為 9.34)。

     計算 SSB：
     $n_1=6, \bar{y}_1=9.62$
     $n_2=5, \bar{y}_2=9.22$
     $n_3=8, \bar{y}_3=9.13$
     $n_4=9, \bar{y}_4=9.40$
     $\bar{y}_{grand} = 9.34$

     $SSB = 6 \times (9.62 - 9.34)^2 + 5 \times (9.22 - 9.34)^2 + 8 \times (9.13 - 9.34)^2 + 9 \times (9.40 - 9.34)^2$
     $SSB = 6 \times (0.28)^2 + 5 \times (-0.12)^2 + 8 \times (-0.21)^2 + 9 \times (0.06)^2$
     $SSB = 6 \times 0.0784 + 5 \times 0.0144 + 8 \times 0.0441 + 9 \times 0.0036$
     $SSB = 0.4704 + 0.0720 + 0.3528 + 0.0324$
     $SSB = 0.9276$

   • 組內平方和 (SSW)： 衡量各組內部觀測值與其組平均值之間的差異。
     SSW 可以通過樣本標準差計算。對於第 $i$ 組，樣本標準差 $s_i$ 和樣本大小 $n_i$，樣本變異數 $s_i^2$。
     $SSW = \sum_{i=1}^{k} (n_i - 1) s_i^2$
     其中 $s_i^2$ 是第 $i$ 組的樣本變異數。