112 年 國立成功大學測量及空間資訊學系碩士班《統計學》

本題主要考驗樣本平均值的標準差（Standard Error of the Mean, SEM）在不同母體情況下的計算公式。

(a) 當母體大小為無限時，樣本平均值的標準差公式為：
$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
其中 $\sigma$ 為母體標準差， $n$ 為樣本數。
代入題目給定的數值：
$\sigma = 5$ mm
$n = 25$
$\sigma_{\bar{x}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1 \text{ mm}$
【答案】1 mm

(b) 當母體大小為有限且為不返還抽樣時，樣本平均值的標準差公式需加上有限母體校正因子（Finite Population Correction Factor, FPC）：

本題考驗兩個獨立樣本變異數比值的信賴區間計算，需要用到 F 分配。

兩個獨立樣本變異數比值的信賴區間公式為：
$\frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{\alpha/2, n_1-1, n_2-1}} \le \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \le \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{\alpha/2, n_2-1, n_1-1}$
題目要求的是變異數比值 $\frac{S_1^2}{S_2^2}$ 的信賴區間，但通常我們討論的是母體變異數比值 $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ 的信賴區間。若題目意指「樣本變異數比值 3.2 在此信賴區間內」，則我們應該計算的是母體變異數比值的信賴區間。假設題目是要求母體變異數比值的 95% 信賴區間。

給定：
樣本數 $n_1 = 5$，自由度 $df_1 = n_1 - 1 = 4$
樣本數 $n_2 = 10$，自由度 $df_2 = n_2 - 1 = 9$
樣本變異數比值 $\frac{S_1^2}{S_2^2} = 3.2$
信賴水準為 95%，故 $\alpha = 0.05$， $\alpha/2 = 0.025$。

本題考驗對統計估計中 BLUE（最佳線性無偏估計）概念的理解。

最佳線性無偏估計 (Best Linear Unbiased Estimator, BLUE) 是指在所有線性無偏估計中，具有最小變異數的估計量。
分解來看：

1. 無偏估計 (Unbiased Estimator)：一個估計量 $\hat{\theta}$ 被稱為是參數 $\theta$ 的無偏估計，如果其期望值等於該參數本身，即 $E(\hat{\theta}) = \theta$。這表示從長期來看，估計量的平均值不會系統性地高估或低估真實參數值。
2. 線性估計 (Linear Estimator)：一個估計量被稱為是線性的，如果它是觀測樣本值的線性組合。

核心觀念

本題考查：

1. 觀測精度與公里數 $K$ 的關係。
2. 往返測閉合差的變異數。
3. 兩個獨立等權觀測值平均後的標準誤。
4. 常態分配下的雙側顯著水準檢定與 $95\%$ 信賴區間。

觀測精度 $10\sqrt{K}$ mm 視為單一路線高程差觀測值的標準差：

$$\sigma=10\sqrt{K}\text{ mm}$$

本題 $K=9$，因此

$$\sigma=10\sqrt{9}=30\text{ mm}=0.030\text{ m}$$

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一、往返測閉合差限制值

設順測與返測換算至同一方向的高程差分別為 $X_1$、$X_2$，則：

$$X_1=\Delta+e_1,\qquad X_2=\Delta+e_2$$

其中 $\Delta$ 為真實高程差，且

$$\operatorname{Var}(e_1)=\operatorname{Var}(e_2)=\sigma^2$$

由於兩次觀測獨立，往返測閉合差為

$$C=X_1-X_2$$

其變異數為

$$\operatorname{Var}(C) =\operatorname{Var}(X_1-X_2) =\sigma^2+\sigma^2 =2\sigma^2$$

所以閉合差標準差為

$$\sigma_C=\sqrt{2}\sigma =\sqrt{2}(30) =42.43\text{ mm}$$

顯著水準 $\alpha=5\%$ 採雙側判定，因此使用

$$Z_{\alpha/2}=Z_{0.025}=1.96$$

閉合差限制值為

$$|C|\leq 1.96\sigma_C$$

代入得

$$|C|\leq 1.96(\sqrt{2})(30) =83.16\text{ mm}$$

因此往返測閉合差限制值為

$$\boxed{\pm 83.2\text{ mm}}$$

亦可寫成

$$\boxed{\pm 0.0832\text{ m}}$$

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二、往返測高程差平均值的 $95\%$ 信賴區間

本題考驗統計檢定的應用，特別是在監測系統中如何設計檢定方法來偵測微小的變化，並解釋可監測性與檢定能力的關係。

統計檢定方法的設計：

1. 確立虛無假設與對立假設：

   • 虛無假設 ($H_0$)：點位沒有發生位移（或位移量在可接受的誤差範圍內）。例如，$H_0: \mu = \mu_0$，其中 $\mu_0$ 是點位原先的平均位置或基準位置。
   • 對立假設 ($H_1$)：點位發生了真實的位移。這可以是單邊檢定（例如，只關心向某一方位移）或雙邊檢定（關心任何方向的位移）。假設我們關心任何方向的位移，則為雙邊檢定：$H_1: \mu \ne \mu_0$。

2. 選擇統計量：
   根據監測數據的性質，選擇合適的統計量。

   • 若監測數據為單點的多次測量值：可以計算樣本平均值 $\bar{x}$。如果我們知道母體標準差 $\sigma$，則使用 Z 統計量。如果母體標準差未知，則使用樣本標準差 $s$ 並計算 t 統計量：
     $Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \quad \text{or} \quad t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$
     其中 $n$ 是測量次數。
   • 若監測數據為時間序列：可以考慮時間序列分析方法，例如 ARIMA 模型，檢定模型的殘差是否為零，或者檢定模型的參數是否發生顯著變化。
   • 若監測數據為空間網格點上的值：可以考慮空間統計方法，例如空間自相關分析 (Moran's I)，檢定空間模式是否發生改變。
   • 在最簡單的情況下，假設我們有基準位置 $\mu_0$，並且我們進行了 $n$ 次測量，得到樣本平均值 $\bar{x}$，且我們知道單次測量的標準差 $\sigma$（或可以從歷史數據估計）。

3. 設定顯著水準 ($\alpha$)：
   顯著水準 $\alpha$ 代表拒絕虛無假設（認為發生位移）時犯第一類錯誤（誤判為有位移，但實際上無位移）的最大機率。一般常取 $\alpha = 0.05$ 或 $0.01$。

4. 計算統計量的值與決定區域：
   根據測量數據計算出統計量的值。
   根據顯著水準 $\alpha$ 和統計量的分佈，確定拒絕域（Rejection Region）。

   • 對於雙邊檢定，若 $|Z| > Z_{\alpha/2}$ 或 $|t| > t_{\alpha/2, n-1}$，則拒絕 $H_0$。

5. 做出結論：
   如果計算出的統計量值落在拒絕域內，則拒絕虛無假設，認為點位發生了顯著的位移。
   如果計算出的統計量值未落在拒絕域內，則無法拒絕虛無假設，認為沒有足夠證據顯示點位發生了顯著位移。

點位移的可監測性與統計檢定的關係：

• 可監測性 (Detectability)：可監測性是指我們的監測系統和統計檢定方法能夠偵測出多小的位移量。這個「最小可偵測位移量」受到幾個因素影響：

  • 測量精度 ($\sigma$)：測量精度越高（標準差 $\sigma$ 越小），我們就能夠偵測出越小的位移。
  • 樣本數 ($n$)：增加測量次數（樣本數 $n$）可以降低樣本平均值的標準誤 $\sigma/\sqrt{n}$，從而提高偵測能力。
  • 顯著水準 ($\alpha$)：較小的 $\alpha$ 值（例如 0.01 而非 0.05）意味著需要更強的證據才能拒絕虛無假設，這會提高第一類錯誤的機率，但同時也意味著更小的位移可能不足以被偵測出來，從而降低了可監測性（需要更大的位移才能被偵測）。
  • 統計檢定的功效 (Power of the Test)：功效是正確地拒絕虛無假設（即真實發生位移時，我們能偵測出來）的機率，等於 $1 - \beta$，其中 $\beta$ 是第二類錯誤（未能拒絕虛無假設，但真實發生了位移）的機率。功效越高，表示檢定方法越能偵測出真實存在的位移。

• 關係說明：
  統計檢定方法的選擇和參數設定（如 $\alpha$ 和 $n$）直接決定了點位移的可監測性。

  • 最小可偵測位移量 (Minimum Detectable Displacement, MDD)：在給定的顯著水準 $\alpha$ 和期望的功效 $1-\beta$ 下，能夠被統計檢定成功偵測出來的最小位移量。