112 年 國立成功大學測量及空間資訊學系碩士班《線性代數》

核心觀念

將聯立方程式寫成矩陣形式 $Ax=b$。若係數矩陣 $A$ 可逆，則解唯一，且可由

$$x=A^{-1}b$$

求得。判斷 $A$ 可逆的一個方法是檢查 $\det(A)\ne 0$；計算 $A^{-1}$ 則可對增廣矩陣 $[A\mid I]$ 作 Gauss–Jordan 消去。

解題方法

題目的係數矩陣與常數向量為

$$A= \begin{bmatrix} 3&1&1&2\\ 1&3&2&3\\ 2&1&3&3\\ 1&2&1&2 \end{bmatrix}, \qquad b= \begin{bmatrix} 1\\4\\3\\2 \end{bmatrix}.$$

先交換 $A$ 的前兩列，再用第一列消去其餘各列的第一個元素，左下角可得到

$$\begin{bmatrix} -8&-5&-7\\ -5&-1&-3\\ -1&-1&-1 \end{bmatrix}.$$

這個 $3\times3$ 矩陣的行列式為 $-2$。由於交換兩列會使行列式變號，因此 $\det(A)=2\ne0$，$A$ 可逆。

將增廣矩陣 $[A\mid I]$ 作 Gauss–Jordan 消去，化為左側為單位矩陣的形式：

核心觀念

本題考查 $4\times 4$ 矩陣的行列式計算，主要使用：

1. 列運算對行列式的影響
   對某一列加上另一列的倍數，行列式值不變：
   $R_i\leftarrow R_i+cR_j.$

2. 餘因子展開
   若沿第 $i$ 列、第 $j$ 欄展開，則
   $\det(A)=\sum_j a_{ij}C_{ij},$
   其中
   $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$

本題可利用列運算製造大量零元素，再進行餘因子展開，以降低計算量。

解題方法

原矩陣為

$$A= \begin{bmatrix} 0&1&2&-1\\ 2&5&-7&3\\ 0&3&6&2\\ 1&-2&-5&4 \end{bmatrix}.$$

先進行不改變行列式值的列運算：

$$R_2\leftarrow R_2-5R_1,$$ $$R_3\leftarrow R_3-3R_1,$$ $$R_4\leftarrow R_4+2R_1.$$

因此

$$\det(A)= \det \begin{bmatrix} 0&1&2&-1\\ 2&0&-17&8\\ 0&0&0&5\\ 1&0&-1&2 \end{bmatrix}.$$

沿著第三列展開。第三列只有第四個元素非零，因此

$$\det(A) = 5(-1)^{3+4} \det \begin{bmatrix} 0&1&2\\ 2&0&-17\\ 1&0&-1 \end{bmatrix}.$$

由於 $(-1)^{3+4}=-1$，故

核心觀念

本題評量線性代數中解線性方程組與矩陣四大基本子空間的核心概念：

1. 高斯消去法與列簡梯形式（RREF）：利用基本列運算將矩陣化簡，藉以找出主元位置（pivot positions）與自由變數（free variables）。
2. 零空間（Null Space, $\text{Null}(A)$）：方程式 $Ax = 0$ 的所有解所形成的向量空間。自由變數的個數即為零空間的維度（Nullity）。
3. 行空間（Column Space, $\text{Col}(A)$）與秩（Rank）：矩陣各行向量（column vectors）所張成的子空間，其維度即為矩陣的秩 $\text{rank}(A)$。RREF 中主元所在的行，對應原矩陣的行向量即構成行空間的一組基底。
4. 維度定理（Rank-Nullity Theorem）：若 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣，則 $\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$。
5. Rouché-Capelli 定理（線性系統可解性判定）：利用係數矩陣 $A$ 與增廣矩陣 $[A \mid b]$ 的秩，判定線性方程組 $Ax = b$ 是無解（inconsistent）、唯一解（unique solution）或無限多解（infinitely many solutions）。

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解題方法

步驟一：對矩陣 $A$ 進行列化簡求 RREF

將矩陣 $A$ 進行高斯—約當消去法：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 16 & 15 & 14 & 13 \end{bmatrix}$$

執行列運算：

1. $R_2 - 8R_1 \to R_2$
2. $R_3 - 9R_1 \to R_3$
3. $R_4 - 16R_1 \to R_4$

得到：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -9 & -18 & -27 \\ 0 & -8 & -16 & -24 \\ 0 & -17 & -34 & -51 \end{bmatrix}$$

將第二列除以 $-9$（$R_2 \div (-9) \to R_2$）：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -8 & -16 & -24 \\ 0 & -17 & -34 & -51 \end{bmatrix}$$

利用第二列消除其他列：

1. $R_1 - 2R_2 \to R_1$
2. $R_3 + 8R_2 \to R_3$
3. $R_4 + 17R_2 \to R_4$

化簡為簡約列梯形矩陣（RREF）：

$$\text{RREF}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

由此可知：

• 主元（pivots）位於第 1、2 行，對應變數 $x_1, x_2$ 為基本變數（leading variables）。
• 第 3、4 行無主元，對應變數 $x_3, x_4$ 為自由變數（free variables）。

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(a) 求零空間 $\text{Null}(A)$ 的基底與維度

求解齊次方程式 $Ax = 0$，其對應關係為：

$$\begin{cases} x_1 - x_3 - 2x_4 = 0 \implies x_1 = x_3 + 2x_4 \\ x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 0 \implies x_2 = -2x_3 - 3x_4 \end{cases}$$

令自由變數 $x_3 = s$，$x_4 = t$（其中 $s, t \in \mathbb{R}$），解向量可表示為：

$$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s + 2t \\ -2s - 3t \\ s \\ t \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

因此：

• 零空間的維度 $\dim(\text{Null}(A)) = \text{nullity}(A) = 2$。
• 零空間的一組基底（basis）為：

$$\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$$

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(b) 求行空間 $\text{Col}(A)$ 與矩陣的秩 $\text{rank}(A)$

因為 $\text{RREF}(A)$ 的主元位於第 1 行與第 2 行，原矩陣 $A$ 的第 1、2 行向量即為行空間的一組基底：

• 矩陣的秩 $\text{rank}(A) = \text{主元個數} = 2$。
• 行空間 $\text{Col}(A)$ 為其行向量所張成的子空間，即：

$$\text{Col}(A) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 9 \\ 16 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 7 \\ 10 \\ 15 \end{bmatrix} \right\}$$

或以基底表示為：

$$\text{Basis of } \text{Col}(A) = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 9 \\ 16 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 7 \\ 10 \\ 15 \end{bmatrix} \right\}$$

核心觀念

本題考查 Gram–Schmidt 正交化法。

若 $\{X_1,X_2,X_3\}$ 是子空間 $W$ 的一組基底，可依序構造互相正交的向量：

$$U_1=X_1,$$ $$U_2=X_2-\operatorname{proj}_{U_1}X_2,$$ $$U_3=X_3-\operatorname{proj}_{U_1}X_3-\operatorname{proj}_{U_2}X_3,$$

其中投影公式為

$$\operatorname{proj}_{U}X=\frac{X\cdot U}{U\cdot U}U.$$

只要 $\{U_1,U_2,U_3\}$ 兩兩正交，且各向量皆非零，即為 $W$ 的一組正交基底。向量乘上非零常數不會改變其所張成的方向，因此可適度放大以去除分數。

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解題方法

已知

$$X_1= \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{bmatrix}, \quad X_2= \begin{bmatrix} 1\\1\\0\\1 \end{bmatrix}, \quad X_3= \begin{bmatrix} 1\\0\\1\\1 \end{bmatrix}.$$

第一步：取第一個正交向量

令

$$U_1=X_1= \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{bmatrix}.$$

其平方長度為

$$U_1\cdot U_1=1^2+1^2+1^2=3.$$

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第二步：處理 $X_2$

先計算內積：

$$X_2\cdot U_1 = 1(1)+1(1)+0(1)+1(0)=2.$$

因此

$$\operatorname{proj}_{U_1}X_2 = \frac{X_2\cdot U_1}{U_1\cdot U_1}U_1 = \frac{2}{3}U_1.$$

故

$$\begin{aligned} U_2 &=X_2-\frac{2}{3}U_1\\ &= \begin{bmatrix} 1\\1\\0\\1 \end{bmatrix} - \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \frac13\\[2pt] \frac13\\[2pt] -\frac23\\[2pt] 1 \end{bmatrix}. \end{aligned}$$

將 $U_2$ 乘以 $3$，可取

$$U_2= \begin{bmatrix} 1\\1\\-2\\3 \end{bmatrix}.$$

此縮放不影響正交性。

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第三步：處理 $X_3$

先計算 $X_3$ 在 $U_1$ 方向上的投影：

$$X_3\cdot U_1 = 1(1)+0(1)+1(1)+1(0)=2,$$

所以

核心觀念

正交對角化是尋找正交矩陣 $Q$ 與對角矩陣 $D$，使得

$$Q^T A Q=D,$$

其中 $Q^TQ=I$。

實對稱矩陣必可正交對角化，且其不同特徵值所對應的特徵向量彼此正交。本題中的矩陣

$$A= \begin{bmatrix} -2&4\\ 4&1 \end{bmatrix}$$

滿足 $A^T=A$，因此必可正交對角化。

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解題方法

1. 求特徵值

計算特徵方程：

$$\det(A-\lambda I) = \det \begin{bmatrix} -2-\lambda&4\\ 4&1-\lambda \end{bmatrix}.$$

因此

$$\det(A-\lambda I) =(-2-\lambda)(1-\lambda)-16.$$

整理得

$$\lambda^2+\lambda-18=0.$$

解此二次方程：

$$\lambda = \frac{-1\pm\sqrt{1+72}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{73}}{2}.$$

令

$$\lambda_1=\frac{-1+\sqrt{73}}{2}, \qquad \lambda_2=\frac{-1-\sqrt{73}}{2}.$$

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2. 求對應的特徵向量

由

$$(A-\lambda I) \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix},$$

取第一列方程：

$$(-2-\lambda)x+4y=0.$$

故

$$4y=(\lambda+2)x.$$

為避免分數，取 $x=8$，則可令

$$y=2(\lambda+2).$$

對應 $\lambda_1$

因為

$$2(\lambda_1+2) = 2\left(\frac{-1+\sqrt{73}}2+2\right) = 3+\sqrt{73},$$

可取特徵向量

$$v_1= \begin{bmatrix} 8\\ 3+\sqrt{73} \end{bmatrix}.$$

其長度平方為

$$\|v_1\|^2 = 8^2+(3+\sqrt{73})^2 = 146+6\sqrt{73}.$$

因此單位特徵向量為

$$u_1= \frac{1}{\sqrt{146+6\sqrt{73}}} \begin{bmatrix} 8\\ 3+\sqrt{73} \end{bmatrix}.$$

對應 $\lambda_2$

同理，

$$2(\lambda_2+2)=3-\sqrt{73},$$

可取特徵向量

核心觀念

奇異值分解（SVD）將矩陣寫成

$$A=U\Sigma V^{T},$$

其中 $U$、$V$ 為正交矩陣，$\Sigma$ 的對角元素為 $A$ 的奇異值。奇異值是 $A^{T}A$ 特徵值的非負平方根。

解題方法

先計算 $A^{T}A$：

$$A^{T}A = \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} =I.$$

因此 $A^{T}A$ 的兩個特徵值皆為 $1$，所以兩個奇異值皆為 $1$，可取

$$\Sigma= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}.$$