108 年 國立成功大學測量及空間資訊學系碩士班《測量學》

本題考查測量學中基本的數據處理與統計概念，包括平均值、殘差、樣本標準偏差及平均值標準偏差的計算。

首先，我們將觀測數據記為 $x_1, x_2, ..., x_7$：
$x_1 = 45.110$
$x_2 = 45.118$
$x_3 = 45.121$
$x_4 = 45.116$
$x_5 = 45.122$
$x_6 = 45.129$
$x_7 = 45.119$

(1) 此組數據之平均值
平均值 ($\bar{x}$) 的計算公式為所有觀測值之和除以觀測次數：
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
其中 $n=7$。

計算過程：
$\sum_{i=1}^{7} x_i = 45.110 + 45.118 + 45.121 + 45.116 + 45.122 + 45.129 + 45.119 = 315.835$
$\bar{x} = \frac{315.835}{7} \approx 45.1192857$
我們通常會保留比原始數據多一至兩位有效數字，因此保留到小數點後五位：
$\bar{x} \approx 45.11929 \text{ m}$

【答案】平均值約為 45.11929 m。

(2) 各觀測數據之殘差
殘差 ($v_i$) 是指個別觀測值與平均值之間的差值：
$v_i = x_i - \bar{x}$

計算過程：
$v_1 = 45.110 - 45.11929 = -0.00929$
$v_2 = 45.118 - 45.11929 = -0.00129$
$v_3 = 45.121 - 45.11929 = +0.00171$
$v_4 = 45.116 - 45.11929 = -0.00329$
$v_5 = 45.122 - 45.11929 = +0.00271$
$v_6 = 45.129 - 45.11929 = +0.00971$
$v_7 = 45.119 - 45.11929 = -0.00029$

為了驗證計算，殘差的總和應接近於零：
$\sum v_i = -0.00929 - 0.00129 + 0.00171 - 0.00329 + 0.00271 + 0.00971 - 0.00029 = -0.00001 \approx 0$

【答案】殘差分別為 -0.00929 m, -0.00129 m, +0.00171 m, -0.00329 m, +0.00271 m, +0.00971 m, -0.00

本題考查最小二乘平差法在觀測數據處理中的應用，要求推導觀測方程式、建立平差條件式，並求解最佳估值。

核心觀念： 最小二乘法是一種數學方法，用於在存在觀測誤差的情況下，找到最能擬合數據的模型參數。在測量學中，它被用來求得觀測量的「最佳估計值」，使得觀測值與估計值之間的殘差平方和最小。

已知數據：
觀測值 (m): $x_1 = 45.110, x_2 = 45.118, x_3 = 45.121, x_4 = 45.116, x_5 = 45.122, x_6 = 45.129, x_7 = 45.119$
觀測次數 $n = 7$。

我們的目標是求解水平距離的最佳估值，設此最佳估值為 $X$。

(1) 請列出所有的觀測方程式
對於每一次的觀測，我們可以建立一個觀測方程式。在這種情況下，觀測值直接就是我們想要求的量，因此觀測方程式的形式非常簡單。

設 $L_i$ 為第 $i$ 次觀測的觀測值，$X$ 為待求的最佳估值。
觀測方程式的通用形式為： $L_i = f(X) + v_i$，其中 $v_i$ 是第 $i$ 次觀測的改正數。
在此問題中，$f(X) = X$。

因此，觀測方程式為：
$L_1 = X + v_1 \implies 45.110 = X + v_1$
$L_2 = X + v_2 \implies 45.118 = X + v_2$
$L_3 = X + v_3 \implies 45.121 = X + v_3$
$L_4 = X + v_4 \implies 45.116 = X + v_4$
$L_5 = X + v_5 \implies 45.122 = X + v_5$
$L_6 = X + v_6 \implies 45.129 = X + v_6$
$L_7 = X + v_7 \implies 45.119 = X + v_7$

【答案】觀測方程式為 $45.110 = X + v_1$, $45.118 = X + v_2$, $45.121 = X + v_3$, $45.116 = X + v_4$, $45.122 = X + v_5$, $45.129 = X + v_6$, $45.119 = X + v_7$。

核心觀念

兩個半圓合併後是一個直徑等於矩形寬度的圓。設矩形直線段長為 $L=100.031\text{ m}$、寬為 $W=63.662\text{ m}$，其標準差分別為 $\sigma_L=0.023\text{ m}$、$\sigma_W=0.008\text{ m}$。

幾何量的中誤差以誤差傳播定律計算；假設長、寬觀測值互相獨立，函數 $f(L,W)$ 的中誤差為

$$\sigma_f=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial L}\sigma_L\right)^2+ \left(\frac{\partial f}{\partial W}\sigma_W\right)^2}$$

解題方法

周長由兩段直線和兩個半圓組成；兩個半圓合成一個直徑為 $W$ 的圓，因此

$$P=2L+\pi W$$

代入觀測值：

$$P=2(100.031)+\pi(63.662)=400.062\text{ m}$$

對 $L$、$W$ 分別取偏導數，得 $\frac{\partial P}{\partial L}=2$、$\frac{\partial P}{\partial W}=\pi$。因此周長中誤差為

核心觀念

本題考查全測站儀的極座標測量：先由已知點 $A$、$R$ 求出後視方向方位角，再將水平角 $\theta$ 加到後視方位角，得到 $AP$ 的方位角；接著把斜距分解為水平分量與高程分量，換算成 $P$ 的三維坐標。

但題目給的是「$R$ 點天頂距 $\alpha$」，不是「$P$ 點天頂距」。因此資料不足以唯一求出 $P$ 的三維坐標。水平角只決定 $P$ 的水平方向，斜距 $S$ 只限定 $P$ 到儀器的空間距離；缺少 $AP$ 的垂直角度，就無法確定水平距離與高程差。

解題方法

先計算後視方向 $AR$ 的方位角。方位角自北方向起順時針量，故：

$$\varphi_{AR} = \operatorname{atan2}(E_R-E_A,\;N_R-N_A)$$

題目所給 $\theta$ 是由 $AR$ 順時針轉至 $AP$ 的水平角，因此：

$$\varphi_{AP} = \varphi_{AR}+\theta \pmod{2\pi}$$

若已知 $AP$ 的天頂距 $\beta$，則斜距 $S$ 的水平分量 $D_{AP}$ 與垂直分量分別為：

$$D_{AP}=S\sin\beta$$ $$\Delta h=S\cos\beta$$

以方位角分解水平位移，並修正儀器高 $i$ 與稜鏡高 $z$，得：

$$E_P=E_A+D_{AP}\sin\varphi_{AP}$$

核心觀念

全站儀縱角度盤採「天頂距全圓周式」讀數：

• 天頂方向：$0^\circ$
• 水平方向：$90^\circ$
• 反天頂方向：$180^\circ$
• 倒鏡觀測同一目標時，正、倒鏡天頂距的理想讀數和應為 $360^\circ$。

設縱角度盤指標差為 $i$，則正鏡與倒鏡讀數滿足：

$$Z_{\text{正}}+Z_{\text{倒}}=360^\circ+2i$$

因此：

$$i=\frac{Z_{\text{正}}+Z_{\text{倒}}-360^\circ}{2}$$

指標差改正數為 $-i$。

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解題方法

（1）求縱角度盤指標差

正鏡讀數：

$$Z_{\text{正}}=92^\circ 50'54''$$

倒鏡讀數：

$$Z_{\text{倒}}=267^\circ 08'38''$$

兩讀數相加：

$$\begin{aligned} Z_{\text{正}}+Z_{\text{倒}} &=92^\circ50'54''+267^\circ08'38''\\ &=359^\circ59'32'' \end{aligned}$$

與理想值 $360^\circ$ 的差為：

$$359^\circ59'32''-360^\circ=-28''$$

故指標差：

$$i=\frac{-28''}{2}=-14''$$

所以縱角度盤的指標差為：

$$\boxed{i=-14''}$$

亦即指標差改正數為：

$$\boxed{+14''}$$

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（2）求指標差改正後的天頂距

正鏡讀數經改正：

$$Z_{\text{正，改正}}=92^\circ50'54''+14''$$

因此：

$$Z_{\text{正，改正}}=92^\circ51'08''$$

也可利用正、倒鏡平均值計算。倒鏡讀數換算為正鏡方向的天頂距：

$$360^\circ-267^\circ08'38'' =92^\circ51'22''$$

取正、倒鏡換算值的平均：

核心觀念

地球表面起伏不規則，測量計算需以規則的數學曲面作為基準。參考橢球體是用來近似地球形狀的旋轉橢球；它是計算用的基準曲面，不等同於地形表面或大地水準面。

決定參考橢球體時，先選定橢球的大小與扁率，再依採用的大地基準（datum）決定橢球相對於地球的定位與定向。橢球的形狀可由下列參數表示：

• 長半徑 $a$：赤道半徑。
• 短半徑 $b$：極半徑。
• 扁率 $f$：表示橢球的扁平程度。

$$f=\frac{a-b}{a}$$

形狀也常以第一偏心率 $e$ 或第二偏心率 $e'$ 表示：

$$e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}=2f-f^2$$ $$e'^2=\frac{a^2-b^2}{b^2}$$

其中 $a$、$f$（或 $a$、$b$）足以決定橢球的幾何形狀。實際建立大地基準時，還須指定橢球的原點、方向，以及它與地球的關係。

解題方法與坐標定義

先以橢球中心作為大地坐標系統原點，說明三個直角坐標軸，再在橢球子午面上標出地表點與橢球面的相對位置。大地緯度要由橢球面的法線定義；橢球高則沿該法線量取。

作圖要點（題目要求繪圖，考場上依下列元素畫出並標註）：

1. 畫一個扁的橢圓代表參考橢球的子午截面，中心標 $O$（原點）。
2. 由 $O$ 向上畫 $Z$ 軸（沿自轉軸指向北極），水平畫出赤道面與 $X$ 軸（指向本初子午面與赤道的交點），並以透視畫出赤道面內指向東經 $90^\circ$ 的 $Y$ 軸。
3. 在橢球面外取地表點 $P$，由 $P$ 作垂直於橢球面的法線，交橢球面於 $Q$；線段 $QP$ 的長度就是橢球高 $h$。
4. 延長這條法線與赤道面相交，法線與赤道面的夾角標為大地緯度 $\phi$（法線一般不通過中心 $O$）。
5. 畫出本初子午面（含 $Z$、$X$ 軸）與通過 $P$ 的子午面，兩面之間的夾角標為大地經度 $\Lambda$。

核心觀念

GNSS 靜態測量中的基線，是兩個測站在同一地心地固直角坐標系（ECEF）中的三維坐標差向量。本題以 A 點為已知點、B 點為未知點，基線方向由 A 指向 B。

解題方法

設 A、B 點的 ECEF 坐標分別為 $(X_A,Y_A,Z_A)$ 與 $(X_B,Y_B,Z_B)$，則由 A 指向 B 的基線向量為

$$\boldsymbol{b}_{AB} = \begin{bmatrix} \Delta X\\ \Delta Y\\ \Delta Z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_B-X_A\\ Y_B-Y_A\\ Z_B-Z_A \end{bmatrix}$$

可用下圖表示：

A（已知） ───────→ B（未知）
          基線向量 b_AB

靜態測量時，接收儀在 A、B 兩站同步觀測衛星訊號，利用觀測資料求得基線的三個坐標分量 $\Delta X,\Delta Y,\Delta Z$。已知 A 點坐標後，即可計算 B 點的 ECEF 坐標：

核心觀念

本題考臺灣現行高程基準的名稱與起算依據，以及正高的幾何、物理意義。臺灣水準點公告的是正高，不是橢球高。

正高 $H$ 是地面點沿鉛垂線至大地水準面的距離。大地水準面是與平均海水面相應的重力等位面；正高反映地面點相對於這個基準面的高低。

解題方法

先分清楚兩種「基準」：

1. 高程基準面：臺灣採用基隆潮位站的平均海水面作為依據。高程基準使用該站 1957 至 1991 年的潮汐資料，並定義於 1990 年 1 月 1 日標準大氣環境下。
2. 水準原點：實際供水準網起算與聯測使用的地面控制點。水準原點曾由基隆海門公園遷至國立海洋科技博物館對面的公園綠地；現址採主點 K997、副點 K996 的雙原點設計。K997 公告高程為 4.80638 公尺。水準原點是地面標誌，其高程不必等於零；零值由高程基準面定義。 國土測繪中心：高程控制 內政部：111 年臺灣一等水準網水準測量成果說明

正高可用重力位差表示：

$$H=\frac{C}{\bar g} =\frac{W_0-W_P}{\bar g}$$

其中 $C$ 是地面點與基準大地水準面之間的位能差，$\bar g$ 是該段鉛垂線上的平均重力。由此可知，正高是以重力場與大地水準面為基準的高程。

核心觀念

本題分為平面位置與高程兩部分：

1. 平面樁位：利用已知點 $A、B$ 的坐標，計算 $A$ 至 $C$ 的方位角與距離，再以 $A$ 為測站、$B$ 為定向點，採極坐標放樣。
2. 高程放樣：利用水準測量的高程差公式，由已知高程點 $B$ 測設出 $C$ 點高程。

坐標方位角採「自北方向順時針量測」：

$$\Delta E=E_2-E_1,\qquad \Delta N=N_2-N_1$$ $$S_{12}=\sqrt{(\Delta E)^2+(\Delta N)^2}$$

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（1）以極坐標法測設 $C$ 點平面樁位

1. 計算 $A、B$ 間方位角

$$\Delta E_{AB}=175080.62-175001.24=79.38\text{ m}$$ $$\Delta N_{AB}=2540012.74-2539983.91=28.83\text{ m}$$

$A$ 至 $B$ 位於東北象限，因此：

$$\alpha_{AB} =\tan^{-1}\left(\frac{79.38}{28.83}\right) =70.0395^\circ$$ $$\boxed{\alpha_{AB}=70^\circ02'22''}$$

2. 計算 $A$ 至 $C$ 的方位角與距離

$$\Delta E_{AC}=174030.86-175001.24=-970.38\text{ m}$$ $$\Delta N_{AC}=2540090.18-2539983.91=106.27\text{ m}$$

$A$ 至 $C$ 位於西北象限：

$$\alpha_{AC} =270^\circ+\tan^{-1}\left(\frac{106.27}{970.38}\right)$$ $$\alpha_{AC}=276.2502^\circ$$ $$\boxed{\alpha_{AC}=276^\circ15'01''}$$

水平距離為：

$$S_{AC} =\sqrt{(-970.38)^2+(106.27)^2}$$ $$\boxed{S_{AC}=976.182\text{ m}}$$

3. 計算放樣水平角

儀器架設於 $A$ 點，後視 $B$ 點，再由 $AB$ 方向順時針轉至 $AC$ 方向：

$$\angle BAC =\alpha_{AC}-\alpha_{AB}$$ $$\angle BAC =276.2502^\circ-70.0395^\circ =206.2107^\circ$$

因此放樣資料為：

$$\boxed{\angle BAC=206^\circ12'39''}$$

亦可採逆時針轉角：

$$360^\circ-206.2107^\circ=153.7893^\circ$$ $$\boxed{153^\circ47'21''\text{（逆時針）}}$$

4. 測設方法示意

                         C
                        ●
                       /
                      /  AC = 976.182 m
                     /
                    /
                   ● A
                    \
                     \  AB：後視定向
                      \
                       ● B

實地操作如下：

1. 將全站儀架設於已知點 $A$。
2. 輸入或設定 $A$ 點坐標及儀器高。
3. 後視已知點 $B$，定向至 $AB$ 方位。
4. 順時針轉角 $206^\circ12'39''$。
5. 沿該方向量測水平距離 $976.182$ m。
6. 在棱鏡位置標定樁位，即為遺失的 $C$ 點平面位置。
7. 可再於 $B$ 點架站，以 $BC$ 方位與距離進行檢核。