111 年 國立成功大學測量及空間資訊學系碩士班《測量學》

本題主要在考驗觀測數據的基本統計分析，包括觀測誤差、平均誤差、均方根誤差、平均值、殘差、樣本標準偏差，以及對數據品質的判斷。

核心概念：

• 觀測誤差 (Observed Error)：指單一觀測值與真實值之間的差異。在實際測量中，真實值通常未知，我們常用平均值來近似真實值。
• 平均誤差 (Mean Error, ME)：觀測誤差的平均值。理論上，平均誤差應趨近於零。
• 均方根誤差 (Root Mean Square Error, RMSE)：也稱為標準差 (Standard Deviation)，是衡量觀測值離散程度的指標。
• 平均值 (Mean)：所有觀測值的總和除以觀測次數。
• 殘差 (Residual)：觀測值與其平均值之間的差異。
• 樣本標準偏差 (Sample Standard Deviation)：用來估計母體標準差的統計量，計算公式為 $s = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$。
• 精密度 (Precision)：指觀測值之間的一致性或分散程度。精密度越高，觀測值越接近彼此。
• 精確度 (Accuracy)：指觀測值與真實值之間的接近程度。精確度越高，觀測值越接近真實值。

解題步驟：

首先，我們將觀測值整理如下：
$x_1 = 995$ g
$x_2 = 991$ g
$x_3 = 992$ g
$x_4 = 994$ g
$x_5 = 990$ g
$x_6 = 992$ g
觀測次數 $n = 6$。

(1). 計算觀測誤差、平均誤差及均方根誤差

由於真實值未知，我們通常以平均值來近似真實值。

計算平均值 ($\bar{x}$):
$\bar{x} = \frac{995 + 991 + 992 + 994 + 990 + 992}{6} = \frac{5954}{6} \approx 992.333$ g

計算殘差 ($v_i = x_i - \bar{x}$):
$v_1 = 995 - 992.333 = 2.667$
$v_2 = 991 - 992.333 = -1.333$
$v_3 = 992 - 992.333 = -0.333$
$v_4 = 994 - 992.333 = 1.667$
$v_5 = 990 - 992.333 = -2.333$
$v_6 = 992 - 992.333 = -0.333$

觀測誤差 (Error)：在實際情況下，我們無法直接得知真實值，因此無法計算精確的觀測誤差。我們通常用殘差來近似觀測誤差。
例如，第一個觀測值的近似觀測誤差為 $v_1 = 2.667$ g。

平均誤差 (Mean Error, ME)：理論上，平均誤差是所有觀測誤差的平均值。在實際應用中，我們計算殘差的平均值，它應該趨近於零。
$\sum v_i = 2.667 - 1.333 - 0.333 + 1.667 - 2.333 - 0.333 = 0$
ME = $\frac{\sum v_i}{n} = \frac{0}{6} = 0$ g。
這表示在這一組數據中，觀測值的偏差是相互抵銷的。

均方根誤差 (RMSE)：這是衡量數據分散程度的重要指標，通常就是樣本標準偏差。
首先計算殘差平方和：
$\sum v_i^2 = (2.667)^2 + (-1.333)^2 + (-0.333)^2 + (1.667)^2 + (-2.333)^2 + (-0.333)^2$

本題考驗如何使用統計方法來檢核觀測數據中是否存在異常值 (outlier)，並應用品管中的容許誤差概念。

核心概念：

• 信心水準 (Confidence Level)：表示我們對觀測結果的信賴程度。
• 容許誤差 (Allowable Error)：在給定的信心水準下，允許觀測值與真實值之間的 maximum 差異。
• 異常值 (Outlier)：顯著偏離其他觀測值的數據點，可能由儀器故障、人為錯誤或特殊現象引起。
• 標準差 (Standard Deviation, σ)：衡量數據分散程度的指標。
• E99：在 99% 信心水準下的容許誤差。題目中給定 E99 = 2.5σ。

解題步驟：

首先，我們需要計算這組觀測數據的平均值和標準偏差。

觀測值 ($x_i$)：45.120, 45.118, 45.121, 45.126, 45.222, 45.129 (m)
觀測次數 ($n$) = 6

1. 計算平均值 ($\bar{x}$):
$\bar{x} = \frac{45.120 + 45.118 + 45.121 + 45.126 + 45.222 + 45.129}{6}$
$\bar{x} = \frac{270.836}{6} \approx 45.13933$ m

2. 計算殘差 ($v_i = x_i - \bar{x}$):
$v_1 = 45.120 - 45.13933 = -0.01933$
$v_2 = 45.118 - 45.13933 = -0.02133$
$v_3 = 45.121 - 45.13933 = -0.01833$
$v_4 = 45.126 - 45.13933 = -0.01333$
$v_5 = 45.222 - 45.13933 = 0.08267$
$v_6 = 45.129 - 45.13933 = -0.01033$

本題考驗如何利用三角學關係以及誤差傳播定律來計算邊長的中誤差。

核心概念：

• 三角學關係：在直角三角形中，邊長與角度之間的關係。
• 誤差傳播定律 (Law of Propagation of Errors)：當一個量是其他幾個量的函數時，這些量的誤差如何影響該量的誤差。
• 中誤差 (Mean Error, ME)：一般情況下，我們用標準差 (σ) 來表示中誤差。
• 角度單位轉換：將度分秒轉換為十進位度或弧度，以便於計算。

解題步驟：

首先，我們需要將給定的角度轉換為十進位度或弧度。題目中的角度誤差是 ±30”，通常在誤差傳播中，角度誤差是以弧度為單位。

1. 角度單位轉換:
$\theta = 24^\circ 20' 35''$
$\theta$ 的誤差 $\sigma_\theta = 30''$

將角度誤差轉換為弧度：
$30'' = \frac{30}{3600} \text{ degrees} = \frac{1}{120} \text{ degrees}$
$\sigma_\theta (\text{radians}) = \frac{1}{120} \times \frac{\pi}{180} \text{ radians} \approx \frac{1}{120} \times \frac{3.14159}{180} \approx 0.00014544$ radians

將角度 $\theta$ 轉換為十進位度：
$24^\circ 20' 35'' = 24 + \frac{20}{60} + \frac{35}{3600} = 24 + 0.33333 + 0.00972 \approx 24.34306^\circ$
轉換為弧度：
$\theta (\text{radians}) = 24.34306 \times \frac{\pi}{180} \approx 0.42489$ radians

2. 三角學關係:
從圖中可知，直角三角形的邊長與角度關係為：
$a = c \cos \theta$
$b = c \sin \theta$

3. 誤差傳播定律應用:
計算邊長 a 的中誤差 $\sigma_a$：
$a = f(c, \theta) = c \cos \theta$
$\sigma_a^2 = (\frac{\partial a}{\partial c})^2 \sigma_c^2 + (\frac{\partial a}{\partial \theta})^2 \sigma_\theta^2$

計算偏導數：
$\frac{\partial a}{\partial c} = \cos \theta$
$\frac{\partial a}{\partial \theta} = -c \sin \theta$

代入誤差傳播公式：
$\sigma_a^2 = (\cos \theta)^2 \sigma_c^2 + (-c \sin \theta)^2 \sigma_\theta^2$
$\sigma_a^2 = \cos^2 \theta \sigma_c^2 + c^2 \sin^2 \theta \sigma_\theta^2$

計算邊長 b 的中誤差 $\sigma_b$：
$b = g(c, \theta) = c \sin \theta$
$\sigma_b^2 = (\frac{\partial b}{\partial c})^2 \sigma_c^2 + (\frac{\partial b}{\partial \theta})^2 \sigma_\theta^2$

計算偏導數：
$\frac{\partial b}{\partial c} = \sin \theta$
$\frac{\partial b}{\partial \theta} = c \cos \theta$

代入誤差傳播公式：
$\sigma_b^2 = (\sin \theta)^2 \sigma_c^2 + (c \cos \theta)^2 \sigma_\theta^2$
$\sigma_b^2 = \sin^2 \theta \sigma_c^2 + c^2 \cos^2 \theta \sigma_\theta^2$

4. 代入數值計算:
已知：
$c = 35.623$ m, $\sigma_c = 0.012$ m
$\theta \approx 24.34306^\circ$ (或 0.42489 radians)
$\sigma_\theta \approx 0.00014544$ radians

本題考驗最小二乘平差法的基本應用，特別是針對單一未知數（此處為土地面積）的觀測情況。

核心概念：

• 最小二乘法 (Least Squares Method)：一種統計方法，用於找到最佳擬合模型，使得觀測值與模型預測值之間的殘差平方和最小。
• 觀測方程式 (Observation Equation)：描述觀測值與未知數之間的數學關係。
• 解算條件式 (Condition Equation)：最小二乘法的核心，即最小化殘差平方和。
• 最或然值 (Most Probable Value, MPV)：在最小二乘法中，指對未知數的最佳估計值。

解題步驟：

已知觀測了某筆土地面積 4 次，得到四個觀測值。我們假設土地面積為一個單一未知數 $X$。

觀測值 ($L_i$)：2.5531, 2.5523, 2.5549, 2.5566 (公頃)
觀測次數 ($n$) = 4

(1). 列出所有的觀測方程式

觀測方程式描述觀測值與未知數之間的關係。在此情況下，我們假設每一次的觀測都試圖測量同一個未知數 $X$。
若設 $X$ 為土地面積的最或然值，則觀測方程式可以寫成：
$L_i = X + v_i$
其中 $L_i$ 是第 $i$ 次的觀測值，$X$ 是我們要求的最或然值，而 $v_i$ 是第 $i$ 次觀測的殘差。

所以，四個觀測方程式為：
$2.5531 = X + v_1$
$2.5523 = X + v_2$
$2.5549 = X + v_3$
$2.5566 = X + v_4$

(2). 列出最小二乘之解算條件式(即殘差之平方合為最小)

根據最小二乘法的原理，我們需要最小化所有殘差的平方和，即 $P = \sum v_i^2$。
$P = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + v_4^2$

從觀測方程式，我們可以得到殘差的表示式：
$v_1 = 2.5531 - X$
$v_2 = 2.5523 - X$
$v_3 = 2.5549 - X$
$v_4 = 2.5566 - X$

核心觀念

本題考查加權間接觀測平差（Weighted Observation Equation Adjustment）或多組不等精度觀測值之加權平均值解算。核心概念與公式包含：

1. 權（Weight）與中誤差（Standard Error）之關係：
   $P_i = \frac{\sigma_0^2}{\sigma_i^2}$
   其中 $\sigma_0$ 為任選之先驗單位權中誤差，$\sigma_i$ 為各觀測群之先驗中誤差。權與誤差平方（變異數）成反比。
2. 觀測方程式（Observation Equations）：
   設單一未知數（面積最或是值）為 $\hat{x}$，各項觀測值為 $L_i$，殘差為 $v_i$，則觀測方程式為：
   $v_i = \hat{x} - L_i$
3. 加權最或是值（Weighted Mean）：
   $\hat{x} = \frac{\sum P_i L_i}{\sum P_i}$
4. 殘差與後驗單位權中誤差（Posterior Reference Standard Error）：
   $\hat{\sigma}_0 = \pm \sqrt{\frac{\sum P_i v_i^2}{n - u}}$
   其中 $n$ 為總觀測數，$u$ 為獨立未知數個數（本題 $u = 1$），$r = n - u$ 為多餘觀測數（自由度）。
5. 最或是值中誤差（Standard Error of the Weighted Mean）：
   $\hat{\sigma}_{\hat{x}} = \frac{\hat{\sigma}_0}{\sqrt{\sum P_i}}$

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前題（第 4 題）觀測資料回顧

本題題幹標明「續上題」，成大測量所 111 年第 4 題中，A 方法對該筆土地進行了 4 次獨立觀測，觀測值分別為：
$L_{A1} = 2.5573\text{ 公頃},\quad L_{A2} = 2.5568\text{ 公頃},\quad L_{A3} = 2.5577\text{ 公頃},\quad L_{A4} = 2.5570\text{ 公頃}$
結合第 5 題 B 方法的 3 次觀測值：
$L_{B1} = 2.5561\text{ 公頃},\quad L_{B2} = 2.5569\text{ 公頃},\quad L_{B3} = 2.5563\text{ 公頃}$
總觀測個數 $n = 4 + 3 = 7$。

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解題方法與詳細計算

(1) 釐定權值與列出觀測方程式

1. 依據先驗中誤差釐定權值：
   已知 A 方法先驗中誤差 $\sigma_A = \pm 0.0015\text{ 公頃}$，B 方法先驗中誤差 $\sigma_B = \pm 0.0006\text{ 公頃}$。
   選取 $\sigma_0 = 0.0030\text{ 公頃}$（或任意便利常數，亦可取 $\sigma_B$ 之公倍數）：
   $P_A = \frac{\sigma_0^2}{\sigma_A^2} = \left(\frac{0.0030}{0.0015}\right)^2 = 2^2 = 4$
   $P_B = \frac{\sigma_0^2}{\sigma_B^2} = \left(\frac{0.0030}{0.0006}\right)^2 = 5^2 = 25$
   即 A 方法每測次之權 $P_A = 4$，B 方法每測次之權 $P_B = 25$（兩者權之比值為 $P_A : P_B = 4 : 25$）。

2. 列出觀測方程式：
   設該筆土地面積之最或是值為 $\hat{x}$（公頃）。
   為計算簡潔，取概略值 $x_0 = 2.5560\text{ 公頃}$，設改正數為 $\hat{d}x = \hat{x} - x_0$。各觀測值減去 $x_0$ 後化為以 $10^{-4}\text{ 公頃}$ 為單位的常數項 $l_i = L_i - x_0$：

   • A 方法觀測方程式：
     $v_1 = \hat{x} - 2.5573 \quad (P_1 = 4)$
     $v_2 = \hat{x} - 2.5568 \quad (P_2 = 4)$
     $v_3 = \hat{x} - 2.5577 \quad (P_3 = 4)$
     $v_4 = \hat{x} - 2.5570 \quad (P_4 = 4)$
   • B 方法觀測方程式：
     $v_5 = \hat{x} - 2.5561 \quad (P_5 = 25)$
     $v_6 = \hat{x} - 2.5569 \quad (P_6 = 25)$
     $v_7 = \hat{x} - 2.5563 \quad (P_7 = 25)$

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(2) 整合 A 及 B 方法觀測值解算最或是值

總權值 $\sum P$：
$\sum P = 4 \times P_A + 3 \times P_B = 4 \times 4 + 3 \times 25 = 16 + 75 = 91$

採用相對概略值 $x_0 = 2.5560\text{ 公頃}$ 之化簡數值 $l_i = (L_i - 2.5560) \times 10^4$：

• $l_1 = 13,\quad l_2 = 8,\quad l_3 = 17,\quad l_4 = 10$
• $l_5 = 1,\quad l_6 = 9,\quad l_7 = 3$

計算加權和 $\sum P_i l_i$：
$\sum_{i=1}^4 P_A l_i = 4 \times (13 + 8 + 17 + 10) = 4 \times 48 = 192$
$\sum_{i=5}^7 P_B l_i = 25 \times (1 + 9 + 3) = 25 \times 13 = 325$
$\sum_{i=1}^7 P_i l_i = 192 + 325 = 517$

解算改正數 $\hat{d}x$：
$\hat{d}x = \frac{\sum P_i l_i}{\sum P} = \frac{517}{91} \approx 5.6813 \times 10^{-4}\text{ 公頃}$

故面積最或是值 $\hat{x}$ 為：
$\hat{x} = x_0 + \hat{d}x = 2.5560 + 0.00056813 = 2.556568\text{ 公頃} \approx 2.5566\text{ 公頃}$

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(3) 計算殘差、後驗單位權中誤差及最或是值中誤差

核心觀念

本題利用三角形 $ABP$ 的幾何關係：

• $A、B$ 坐標已知，可求 $AB$ 長度及方位角。
• 已知 $AP$ 與 $\angle APB$，利用正弦定理求 $\angle BAP$。
• 由 $AB$ 方位角及 $\angle BAP$，求 $AP$ 方位角。
• 以極坐標轉換計算 $P$ 點坐標。
• 坐標中誤差則利用距離與方向角誤差傳播公式計算。

題目中的「$\angle OBAP$」依幾何敘述解讀為 $\angle BAP$。

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(1) 點位及觀測量關係圖

已知：

$$A(168500.123,\ 2545003.361)$$ $$B(168534.981,\ 2545123.334)$$ $$AP=120.534\text{ m}$$ $$\angle APB=63^\circ45'22''$$

關係圖如下：

                         B
                        ●
                       / \
                      /   \
                 AB  /     \ BP
                    /       \
                   ●---------●
                   A    AP    P

                         ∠APB

其中：

• $AB$ 為已知基線；
• $AP$ 為全站儀觀測之水平距離；
• $\angle APB$ 為在 $P$ 點觀測之水平角；
• $P$ 為待求點。

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(2) 計算 $\angle BAP$

先求 $AB$

坐標差為：

$$\Delta E_{AB}=168534.981-168500.123=34.858\text{ m}$$ $$\Delta N_{AB}=2545123.334-2545003.361=119.973\text{ m}$$

因此：

$$AB=\sqrt{(\Delta E)^2+(\Delta N)^2}$$ $$AB=\sqrt{34.858^2+119.973^2} =124.934\text{ m}$$

在三角形 $ABP$ 中，$AB$ 對應角 $\angle APB$，$AP$ 對應角 $\angle ABP$。依正弦定理：

$$\frac{AP}{\sin\angle ABP} = \frac{AB}{\sin\angle APB}$$

因此：

$$\sin\angle ABP = \frac{AP\sin\angle APB}{AB}$$

代入：

$$\sin\angle ABP = \frac{120.534\sin63^\circ45'22''}{124.934} =0.86533$$

得到：

$$\angle ABP=59^\circ55'13''$$

所以：

$$\angle BAP = 180^\circ-\angle APB-\angle ABP$$ $$\angle BAP = 180^\circ-63^\circ45'22''-59^\circ55'13''$$ $$\boxed{\angle BAP=56^\circ19'25''}$$

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(3) 計算方位角 $Q_{AB}$ 及 $\Phi_{AP}$

$AB$ 方位角

方位角以北方向為 $0^\circ$，順時針增加，因此：

$$Q_{AB} = \tan^{-1}\left(\frac{\Delta E}{\Delta N}\right)$$ $$Q_{AB} = \tan^{-1}\left(\frac{34.858}{119.973}\right) = 16^\circ12'04''$$

故：

$$\boxed{Q_{AB}=16^\circ12'04''}$$

$AP$ 方位角

由幾何關係，$AP$ 與 $AB$ 的夾角為 $\angle BAP$。

若依關係圖取 $P$ 位於 $AB$ 的右側，則：

$$\Phi_{AP}=Q_{AB}+\angle BAP$$ $$\Phi_{AP} = 16^\circ12'04''+56^\circ19'25''$$ $$\boxed{\Phi_{AP}=72^\circ31'29''}$$

由於題目文字沒有明確指定 $P$ 位於 $AB$ 哪一側，幾何上另有鏡射解：

$$\Phi_{AP}=Q_{AB}-\angle BAP =-40^\circ07'21''$$

換算為 $0^\circ\sim360^\circ$：

$$\boxed{\Phi_{AP}=319^\circ52'39''}$$

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(4) 計算 $P$ 點坐標

方位角以北為基準時，坐標增量公式為：

$$\Delta E_{AP}=AP\sin\Phi_{AP}$$ $$\Delta N_{AP}=AP\cos\Phi_{AP}$$

採用關係圖所示的 $\Phi_{AP}=72^\circ31'29''$：

$$\Delta E_{AP} = 120.534\sin72^\circ31'29'' \approx114.970\text{ m}$$ $$\Delta N_{AP} = 120.534\cos72^\circ31'29'' \approx36.196\text{ m}$$

因此：

$$E_P=E_A+\Delta E_{AP}$$ $$E_P=168500.123+114.970 =168615.093\text{ m}$$

本題考驗誤差橢圓的計算與應用，涉及到協方差矩陣、特徵值與特徵向量的計算，以及誤差傳播定律在多變量情況下的應用。

核心概念：

• 誤差橢圓 (Error Ellipse)：在二維坐標系統中，表示一個點位置誤差的統計分佈。橢圓的形狀和方向反映了誤差的大小和相關性。
• 協方差矩陣 (Covariance Matrix)：描述多個隨機變量之間協方差的矩陣。對於坐標誤差 (E, N)，其協方差矩陣為 $\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_E^2 & \sigma_{EN} \\ \sigma_{NE} & \sigma_N^2 \end{pmatrix}$。
• 長短軸 (Semi-major and Semi-minor Axes)：誤差橢圓的半徑，分別代表最大和最小的標準差。
• 長軸傾角 (Orientation Angle)：誤差橢圓長軸與坐標軸的夾角。
• 特徵值與特徵向量 (Eigenvalues and Eigenvectors)：協方差矩陣的特徵值對應於誤差橢圓長短軸的平方，特徵向量對應於長短軸的方向。

解題步驟：

已知 $\sigma_E = \pm 18$ mm, $\sigma_N = \pm 12$ mm。
注意單位：mm。

(1). 假設兩坐標誤差不相關(即σEN = 0)

協方差矩陣 (Covariance Matrix):
當誤差不相關時，協方差 $\sigma_{EN} = \sigma_{NE} = 0$。
$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_E^2 & 0 \\ 0 & \sigma_N^2 \end{pmatrix}$
$\sigma_E^2 = (18 \text{ mm})^2 = 324 \text{ mm}^2$
$\sigma_N^2 = (12 \text{ mm})^2 = 144 \text{ mm}^2$
$\Sigma = \begin{pmatrix} 324 & 0 \\ 0 & 144 \end{pmatrix} \text{ mm}^2$

誤差橢圓的長短軸及長軸傾角:
對於對角協方差矩陣，誤差橢圓的長短軸與坐標軸平行。
長軸的平方是較大的特徵值，短軸的平方是較小的特徵值。
在此情況下，特徵值直接就是對角線上的元素。
長軸的平方 $a^2 = \sigma_E^2 = 324 \text{ mm}^2$ (因為 $\sigma_E > \sigma_N$)
短軸的平方 $b^2 = \sigma_N^2 = 144 \text{ mm}^2$

長軸 $a = \sqrt{324} = 18$ mm
短軸 $b = \sqrt{144} = 12$ mm

長軸傾角：
當 $\sigma_{EN} = 0$ 時，長軸與坐標軸平行。
長軸沿著 E 軸（如果 $\sigma_E > \sigma_N$）或 N 軸（如果 $\sigma_N > \sigma_E$）。
在此情況下，長軸沿著 E 軸，短軸沿著 N 軸。
所以，長軸傾角為 0°。

繪圖表示:
繪製一個坐標系，標示 E 和 N 軸。
以原點為中心，繪製一個橢圓。
長軸沿 E 軸，長度為 2a = 36 mm。
短軸沿 N 軸，長度為 2b = 24 mm。
橢圓外框應標示長軸 (36 mm) 和短軸 (24 mm)，以及長軸傾角 (0°)。

【答案】
協方差矩陣：$\Sigma = \begin{pmatrix} 324 & 0 \\ 0 & 144 \end{pmatrix} \text{ mm}^2$。
誤差橢圓長軸 $a = 18$ mm，短軸 $b = 12$ mm。
長軸傾角為 0°。

(2). 兩坐標誤差之協變方為σEN = -120mm²

協方差矩陣 (Covariance Matrix):
$\sigma_E^2 = 324 \text{ mm}^2$
$\sigma_N^2 = 144 \text{ mm}^2$
$\sigma_{EN} = \sigma_{NE} = -120 \text{ mm}^2$
$\Sigma = \begin{pmatrix} 324 & -120 \\ -120 & 144 \end{pmatrix} \text{ mm}^2$

點位誤差相關性:
由於 $\sigma_{EN}$ 是負值，表示 E 和 N 坐標誤差之間存在負相關性。
當 E 坐標的誤差偏向正值時，N 坐標的誤差傾向於偏向負值，反之亦然。

誤差橢圓的長短軸及長軸傾角:
長短軸的平方是協方差矩陣的特徵值。
特徵值 $\lambda$ 滿足 $\det(\Sigma - \lambda I) = 0$。
$\det \begin{pmatrix} 324 - \lambda & -120 \\ -120 & 144 - \lambda \end{pmatrix} = 0$
$(324 - \lambda)(144 - \lambda) - (-120)^2 = 0$
$324 \times 144 - 324\lambda - 144\lambda + \lambda^2 - 14400 = 0$
$46656 - 468\lambda + \lambda^2 - 14400 = 0$
$\lambda^2 - 468\lambda + 32256 = 0$

本題考驗對衛星靜態基線測量的理解，包括基線分量的定義、計算方法以及應用於未知點坐標確定。

核心概念：

• 衛星靜態基線測量 (Satellite Static Baseline Measurement)：使用兩台或多台 GNSS 接收機在固定點位上長時間連續接收衛星信號，用於測量兩個點位之間的高精度相對位置（基線向量）。
• 基線向量 (Baseline Vector)：連接兩個測量點的向量，其分量表示兩個點在三維空間中的相對位置差。
• 基線分量 (Baseline Components)：基線向量在不同坐標系下的分量（例如，當地水平坐標系或大地坐標系）。
• 地心坐標系 (Geocentric Coordinate System)：以地球質心為原點，X 軸指向本初子午線與赤道的交點，Z 軸指向北極，Y 軸垂直於 XZ 平面構成右手系。
• 地固坐標系 (Earth-Fixed Coordinate System)：與地球剛體一起旋轉的坐標系，通常與地心坐標系相同。
• 大地坐標系 (Geodetic Coordinate System)：以大地水準面為參考橢球體的坐標系，通常用經度 (λ)、緯度 (φ) 和大地高 (h) 表示。
• 相對定位 (Relative Positioning)：利用兩個接收機之間的觀測數據來確定它們之間的相對位置。

解題步驟：

(1). 何謂衛星靜態基線測量?

衛星靜態基線測量是指，在測量過程中，兩台或多台 GNSS 接收機的天線被固定在地面上的已知或未知點位上，並進行長時間（通常為數小時或數天）連續的衛星信號觀測。這種測量方法主要用於獲取兩個點位之間的相對高精度位置信息，即基線向量。由於接收機是靜止的，可以積累大量的觀測數據，通過後處理軟件進行數據解算，消除或減弱隨機誤差和部分系統誤差，從而獲得非常精確的基線結果。這種方法是大地測量、工程測量和科學研究中測量遠距離高精度基線的標準方法。

(2). 請說明此基線分量之定義(請繪圖並以文字描述之)。

基線向量 $\vec{B}$ 表示從點 A 到點 B 的相對位置向量。
$\vec{B} = \vec{P}_B - \vec{P}_A$
其中 $\vec{P}_A$ 和 $\vec{P}_B$ 分別是點 A 和點 B 的位置向量。

基線分量是指這個基線向量在某個特定坐標系下的投影。最常見的是在大地坐標系（經度 λ, 緯度 φ, 大地高 h）或地心直角坐標系 (X, Y, Z) 下表示。

• 在地心直角坐標系 (X, Y, Z) 下的基線分量：
  設點 A 的地心坐標為 $(X_A, Y_A, Z_A)$，點 B 的地心坐標為 $(X_B, Y_B, Z_B)$。
  則基線向量在 X, Y, Z 方向的分量為：
  $\Delta X = X_B - X_A$
  $\Delta Y = Y_B - Y_A$
  $\Delta Z = Z_B - Z_A$
  基線向量 $\vec{B} = (\Delta X, \Delta Y, \Delta Z)$。

• 在大地坐標系 (λ, φ, h) 下的基線分量：
  這種表示方式更直觀。基線向量可以分解為三個方向：
  a. 徑向方向 (Radial direction)：垂直於參考橢球面的法線方向。
  b. 經向方向 (Meridional direction)：沿著參考橢球面的子午線方向。
  c. 緯向方向 (Latitudinal direction)：沿著參考橢球面的卯酉圈方向。

  然而，更常用的是將基線向量分解為：

  1. 東西方向 (East, dE)：與當地經線垂直，指向東方的方向。
  2. 南北方向 (North, dN)：沿著當地經線方向，指向北方的方向。
  3. 天頂方向 (Up, dU)：垂直於當地水平面，指向天頂的方向。

  如果點 A 的大地坐標為 $(\lambda_A, \phi_A, h_A)$，點 B 的大地坐標為 $(\lambda_B, \phi_B, h_B)$。
  則基線分量 (近似值，對於短基線) 可以表示為：
  $dE = (B \cos\phi_A \Delta\lambda - A \sin\phi_A \Delta\phi) \times \text{scale factor}$ (需要嚴謹的轉換公式)
  $dN = (A \Delta\phi) \times \text{scale factor}$
  $dU = \Delta h$

本題考驗對我國基本地形圖圖幅分幅系統、投影方式以及圖幅編號規則的掌握。

核心概念：

• 基本地形圖 (Basic Topographic Map)：國家統一編制，反映地表自然與人文要素的比例尺地圖。
• 圖幅分幅方式 (Map Sheet Division System)：將大範圍區域劃分為若干圖幅的規則。
• 投影方式 (Map Projection)：將地球表面曲面信息轉換到平面地圖上的數學方法。
• TM2 投影 (Transverse Mercator Projection, Zone 2)：一種橫軸墨卡托投影，台灣地區常用的投影方式。
• 圖幅編號 (Map Sheet Numbering)：用來識別和定位特定圖幅的代碼。

解題步驟：

(1). 我國基本地形圖的圖幅分幅方式為何?

我國基本地形圖主要採用 經緯度分幅 和 方里網分幅 相結合的方式。

• 經緯度分幅：以經緯度線為界，將全國劃分為不同大小的圖幅。
• 方里網分幅：基於經緯度分幅的基礎上，再細分為更小的圖幅，並採用方里網（例如 10 公里 x 10 公里）進行標示。

最常見的分幅系統是基於 1:25,000 的基本地形圖，其圖幅範圍約為 7.5 分鐘經度 x 5 分鐘緯度。
更大比例尺的地圖（如 1:5,000, 1:10,000）則基於 1:25,000 的圖幅進一步細分。
更小比例尺的地圖（如 1:50,000, 1:100,000, 1:250,000, 1:500,000, 1:1,000,000）則是由 1:25,000 的圖幅合併而成。

目前我國基本地形圖的主體是 1:25,000 的圖幅。
其分幅規則通常是：

• 1:1,000,000 地圖：劃分為 100 張圖幅。
• 1:500,000 地圖：由 1:1,000,000 圖幅細分。
• 1:250,000 地圖：由 1:500,000 圖幅細分。
• 1:100,000 地圖：由 1:250,000 圖幅細分。
• 1:50,000 地圖：由 1:25,000 圖幅細分。
• 1:25,000 地圖：作為基本圖幅，通常是 7.5' 經度 x 5' 緯度。

【答案】
我國基本地形圖採用經緯度分幅與方里網細分結合的方式。以 1:25,000 圖幅為基本單元，其範圍約為 7.5 分鐘經度 x 5 分鐘緯度。

(2). 此種圖幅經台灣TM2投影後之圖面圖幅框線之形狀為何?

台灣 TM2 投影 (Transverse Mercator Projection, Zone 2)：
台灣地區的 TM2 投影採用 橫軸墨卡托投影。
橫軸墨卡托投影的基本特徵是：

• 將地球投影到一個與其赤道面相切的圓柱面上，然後將圓柱面展開成平面。
• 對於橫軸墨卡托投影，圓柱體的軸與地球的自轉軸垂直，圓柱體的母線與地球的自轉軸平行。
• 它能保持投影帶內的形變最小，特別是對於長度、面積和角度的變形。

圖幅框線形狀：
經過橫軸墨卡托投影後，由於投影方式的特性，圖幅的邊界（框線）在投影後的平面上通常是 矩形。
然而，由於地球是球體（或橢球體），而地圖是平面，即使是橫軸墨卡托投影，其投影帶外的圖幅邊緣也會有一定程度的變形。但對於標準的投影帶內的圖幅，其邊緣（經緯線）在展開後會近似於矩形。
更精確地說，由於投影帶的邊界是經線，而圖幅的頂部和底部邊界是緯線，在展開成平面時，經線變為平行線，緯線也變為平行線，但經線之間的距離在緯線上會隨緯度變化，緯線之間的距離在經線上也會隨經度變化。
在 TM2 投影帶內，經線投影後是平行直線，緯線投影後也是平行直線。因此，圖幅的框線（由經緯線構成）在投影後近似為 矩形。
在實際的地圖上，圖幅的邊緣通常會被繪製成矩形。