115 年 國立成功大學測量及空間資訊學系碩士班《測量學》

此題主要在考驗基本統計量在測量學上的應用，包含平均值、殘差與標準偏差的計算。

核心觀念：

1. 平均值 (Mean)：所有觀測值加總後除以觀測次數。
2. 殘差 (Residual)：任一觀測值與平均值之間的差異。
3. 標準偏差 (Standard Deviation)：衡量數據離散程度的指標，常用來評估觀測值的精度。

計算步驟：

首先，將所有觀測值轉換為度數，以便計算。
45°59′36″ = 45 + 59/60 + 36/3600 = 45.993333°
45°59′55″ = 45 + 59/60 + 55/3600 = 45.998611°
46°00′12″ = 46 + 0/60 + 12/3600 = 46.003333°
45°59′50″ = 45 + 59/60 + 50/3600 = 45.997222°
45°59′43″ = 45 + 59/60 + 43/3600 = 45.995278°
46°00′04″ = 46 + 0/60 + 4/3600 = 46.001111°
45°59′48″ = 45 + 59/60 + 48/3600 = 45.996667°

(1) 平均水平角度值

將所有度數加總後除以 7：
總和 = 45.993333 + 45.998611 + 46.003333 + 45.997222 + 45.995278 + 46.001111 + 45.996667 = 322.085555°
平均值 = 322.085555° / 7 = 46.012222°

將平均值轉換回度分秒制：
46.012222° = 46° + (0.012222 * 60)' = 46° + 0.73332'
0.73332' = 0.73332 * 60" = 43.9992" ≈ 44"
所以，平均水平角度值為 46°00′44″。

【答案】46°00′44″

(2) 各觀測數據之殘差

殘差 $v_i = x_i - \bar{x}$，其中 $x_i$ 是第 i 個觀測值，$\bar{x}$ 是平均值。
$v_1 = 45.993333° - 46.012222° = -0.018889°$
$v_2 = 45.998611° - 46.012222° = -0.013611°$
$v_3 = 46.003333° - 46.012222° = -0.008889°$
$v_4 = 45.997222° - 46.012222° = -0.015000°$
$v_5 = 45.995278° - 46.012222° = -0.016944°$
$v_6 = 46.001111° - 46.012222° = -0.011111°$
$v_7 = 45.996667° - 46.012222° = -0.015555°$

將殘差轉換回度分秒制：
$v_1 = -0.018889° = -(0.018889 * 60)' = -1.13334' = -(1.13334 * 60)" = -68.0004" \approx -1'08"$
$v_2 = -0.013611° = -(0.013611 * 60)' = -0.81666' = -(0.81666 * 60)" = -48.9996" \approx -49"$

此題是最小二乘法在觀測數據平差中的應用，特別是針對單一未知數（水平角度）的估計。

核心觀念：
最小二乘法 (Least Squares Method) 是一種數學優化方法，用於找到一組參數，使得觀測數據與模型預測之間的誤差平方和最小。對於單一未知數的觀測，其基本形式為：
$P x = L$
其中 $P$ 為權矩陣，通常是觀測值權的對角矩陣；$x$ 為未知數向量；$L$ 為觀測值與其預計值（或常數項）的差值向量。

(1) 以矩陣(包含向量)形式列出完整之觀測方程式

此問題是觀測一個水平角度，共有 $n=7$ 次觀測。我們假設每次觀測的權相等，或權為 1。
設水平角度的真實值為 $\theta$。
則第 $i$ 次觀測值為 $v_i$。
觀測方程式可以寫成：
$v_i = \theta - l_i$
其中 $l_i$ 是第 $i$ 次觀測值。

在最小二乘法中，我們通常將觀測方程式寫成：
$v + Bx = f$
其中 $v$ 是改正數向量， $B$ 是設計矩陣，$x$ 是未知數向量，$f$ 是觀測值與常數項的差值向量。

在此情況下，我們有 7 個觀測值，1 個未知數 (即最佳的水平角度值，我們稱之為 $\hat{\theta}$)。
觀測值向量 $l = \begin{bmatrix} l_1 \\ l_2 \\ \vdots \\ l_7 \end{bmatrix}$
未知數向量 $x = [\hat{\theta}]$
改正數向量 $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_7 \end{bmatrix}$

觀測方程式為：$l_i = \hat{\theta} - v_i$
整理為 $v_i = \hat{\theta} - l_i$

將其寫成矩陣形式：
$v = Bx - l$
在此，$B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$ (7x1 矩陣)，$x = [\hat{\theta}]$ (1x1 向量)，$l = \begin{bmatrix} 45.993333 \\ 45.998611 \\ 46.003333 \\ 45.997222 \\ 45.995278 \\ 46.001111 \\ 45.996667 \end{bmatrix}$ (7x1 向量)。

若假設權相等 (例如權為 1)，則權矩陣 $W = I$ (7x7 的單位矩陣)。
最小二乘法的法方程 (Normal Equations) 為：
$B^T W B x = B^T W l$

代入：

此題主要探討大地測量學中關於地球形狀模型的基本概念，包括參考橢球體、其幾何參數，以及大地坐標系與地心地固坐標系之間的關係。

核心觀念：

1. 參考橢球體 (Reference Ellipsoid)：為簡化地球的複雜形狀，通常使用一個旋轉橢球體來近似地球的形狀。這個橢球體稱為參考橢球體，其參數（如長半軸、扁率）是根據全球或區域性的測量數據來定義的。
2. 大地坐標系 (Geodetic Coordinate System)：基於參考橢球體定義，用經度 (longitude, $\lambda$)、緯度 (latitude, $\phi$) 和大地高 (ellipsoidal height, $h$) 來描述地球表面上任意一點的位置。
3. 地心地固坐標系 (Earth-Centered, Earth-Fixed, ECEF Coordinate System)：一個三維直角座標系，其原點位於地球的質心，Z軸指向北極，X軸通常指向本初子午線與赤道的交點，Y軸則構成右手系。

(1) 何謂參考橢球體?

參考橢球體是一個數學上定義的、規則的旋轉橢球體，用來近似地球的平均形狀。由於地球並非完美的橢球體，而是有起伏的山脈、海溝等，因此使用參考橢球體是為了建立一個統一、標準化的地理空間參考框架，以便進行大地測量、導航、地圖製作等應用。它通常由長半軸 ($a$) 和扁率 ($f$) 或短半軸 ($b$) 來定義。

【答案】參考橢球體是一個數學上定義的、規則的旋轉橢球體，用來近似地球的平均形狀，作為建立大地測量參考框架的基礎。

(2) 經過參考橢球體旋轉軸的縱切面是什麼形狀?而其赤道面又是什麼形狀?描述參考橢球體形狀之參數為何?

• 縱切面 (Meridional Section)：經過參考橢球體旋轉軸（通常是短半軸）的任何一個平面切面，其形狀是一個橢圓。
• 赤道面 (Equatorial Plane)：垂直於旋轉軸且通過橢球體中心的平面，其與橢球體的交集是一個圓。
• 參考橢球體形狀之參數：
  • 長半軸 (Semi-major Axis, $a$): 橢球體赤道半徑，即橢球體在赤道方向上的半徑。
  • 短半軸 (Semi-minor Axis, $b$): 橢球體極半徑，即沿著旋轉軸方向的半徑。
  • 扁率 (Flattening, $f$): 描述橢球體扁平程度的參數，定義為 $f = \frac{a-b}{a}$。有時也用第二扁率 $e'^2 = \frac{a^2-b^2}{b^2}$ 或第一偏心率 $e^2 = \frac{a^2-b^2}{a^2}$。

【答案】縱切面是橢圓，赤道面是圓。參數包括長半軸 ($a$)、短半軸 ($b$) 和扁率 ($f$)。

(3) 請繪圖並加註記說明大地坐標與參考橢球體的關係,以及與地心地固坐標系的關係,並於圖上標示並說明某一點位之大地經緯度(φ,入)及橢球高h,及其地心地固坐標(X, Y, Z)。

繪圖說明：

請繪製一個橢球體。

1. 橢球體: 畫出一個旋轉橢球體。
2. 地心地固坐標系 (ECEF):
   • 標示原點 O (地球質心)。

此題主要探討台灣地區現行高程基準的定義、其高程控制點的性質，以及橢球高、正高、大地起伏之間的關係。

核心觀念：

1. 高程基準 (Vertical Datum)：用於確定地面點高程的參考面。
2. 正高 (Orthometric Height, $H$): 點到大地水準面的垂直距離。
3. 橢球高 (Ellipsoidal Height, $h$): 點到參考橢球體表面的距離（沿法線方向）。
4. 大地水準面 (Geoid)：一個與平均海平面重合的、不受人為影響的假想水準面，其上各點的重力位相等。
5. 大地起伏 (Geoid Undulation, $N$): 參考橢球體表面與大地水準面之間的垂直距離。
6. 正常高 (Normal Height): 在某些定義中，正常高是基於正常重力場計算的，它與正高非常接近，但在實際應用中，正高是更常用且有物理意義的。

(1) 國內現行之高程基準的中英文名稱為何?

台灣地區現行的高程基準是採用「台灣地區大地基準 2020」(TWVD2020)。
英文名稱為 "Taiwan Vertical Datum 2020"。
在此之前，常用的是「台灣地區高程基準 1997」(TWVD1997)。
但題目問的是「現行」，一般指的是最新的官方基準。

【答案】中文：台灣地區大地基準 2020；英文：Taiwan Vertical Datum 2020。

(2) 此系統中所建置之高程控制點的高程公告值,屬正高、橢球高、或正常高?

在高程測量中，高程控制點（例如水準點）所公告的「高程值」通常是指正高 (Orthometric Height, $H$)。這是因為正高具有實際的物理意義，與水的流動方向（重力方向）相關，並且是進行工程設計和水文分析的基礎。
雖然 GNSS 測量直接提供的是橢球高 ($h$)，但透過大地水準面的模型，可以將橢球高轉換為正高。

【答案】正高。

(3) 請繪圖及數學關係式說明橢球高、正高、高程基準差異與大地起伏的關係。

此題主要探討 GNSS 測量中「基線」的概念，以及其數學定義。

核心觀念：

1. GNSS 靜態測量 (GNSS Static Surveying)：長時間在測站架設 GNSS 接收機進行觀測，以獲取高精度定位資訊。
2. 基線 (Baseline)：在 GNSS 測量中，連接兩個 GNSS 接收機（測站）的空間向量，其起點和終點分別是兩個測站的中心點。基線的計算是 GNSS 差分定位的核心。
3. 地心地固坐標系 (Earth-Centered, Earth-Fixed, ECEF)：GNSS 觀測數據通常在 ECEF 坐標系下進行處理和計算。

繪圖說明：
請繪製一個示意圖，包含：

1. 地球質心 O。
2. 地心地固坐標系 (ECEF): 標示 X, Y, Z 軸。
3. 測站 A: 標示一個點 A，代表 GNSS 接收機的中心點。
4. 測站 B: 標示另一個點 B，代表另一個 GNSS 接收機的中心點。
5. 向量 $\vec{OA}$: 從地心 O 到點 A 的向量，代表 A 點的 ECEF 座標 $(X_A, Y_A, Z_A)$。
6. 向量 $\vec{OB}$: 從地心 O 到點 B 的向量，代表 B 點的 ECEF 座標 $(X_B, Y_B, Z_B)$。
7. 向量 $\vec{AB}$: 從點 A 到點 B 的向量，這就是基線向量。

此題探討全站儀（Total Station）在使用前進行的「半半改正」的意義、誤差來源及其改正步驟。

核心觀念：

1. 全站儀 (Total Station)：一種整合了電子測距儀 (EDM) 和電子測角儀 (Theodolite) 的大地測量儀器，能夠同時測量水平角、垂直角和斜距。
2. 半半改正 (Centering Correction)：一種儀器常數改正，用於消除儀器架設時，儀器中心與測站點中心未精確重合所引入的誤差。
3. 儀器中心與測站點中心重合 (Centering)：這是精密測量的重要前提。

誤差來源成因 (5%)

全站儀的半半改正是為了補償儀器中心與測站點中心未精確對準所造成的誤差。這種誤差的產生是因為：

• 儀器架設不精確: 在架設全站儀時，即使使用了對中器（例如光學對中器或雷射對中器），也很難保證儀器底座的中心與測站點（地面上的標記）完全重合。
• 儀器本身的高度: 儀器本身有一定的高度，如果儀器中心與測站點之間存在水平偏差，則在測量不同目標時，這個偏差會導致測量角度和距離的系統性誤差。
• 目標點的中心性: 同樣，目標點（如棱鏡或反射片）的中心也需要精確對準。

簡單來說，當儀器中心不在測站點時，儀器測量到的角度和距離，實際上是從儀器中心點指向目標點，而不是從測站點指向目標點。這個差異會引入一個系統性的定位誤差，特別是在測量較遠的目標或需要高精度定位的場合。

改正步驟 (10%)

半半改正通常在施測前或施測過程中進行，其基本原理是利用儀器自身的高度差來進行改正。有幾種常見的方法，最常用的是「儀器對準法 (Instrument Centering Method)」，也稱為「儀器架設法」或「儀器高度法」。

以下為一種常見的改正步驟（以儀器對準法為例）：

1. 粗略對中: 首先，將全站儀架設在測站點上方，使用對中器進行粗略的對中。
2. 精確對準 (第一次):
   • 將儀器架設好後，不要移動儀器的底座，僅調整儀器本身的高度（如果儀器有可調高度的功能），或者記錄儀器底座到測站點的偏差。
   • 將儀器設定為零點（例如，將水平角盤設為 0 度）。

核心觀念

本題考查全站儀自由測站法與平面四參數相似轉換。測站 $S$ 所量得的是局部坐標，須利用已知控制點 $A、B、C$，求出局部坐標系至國家坐標系 $EN$ 的轉換參數。

採用四參數轉換式：

$$\begin{aligned} E&=ax-by+c,\\ N&=bx+ay+d, \end{aligned}$$

其中：

• $a,b$：旋轉與尺度參數；
• $c,d$：平移參數；
• $(x,y)$：測站局部坐標；
• $(E,N)$：已知控制點之國家坐標。

由題圖角度係以 $SC$ 為起始方向，定義局部坐標為：

$$x_i=\rho_i\sin\theta_i,\qquad y_i=\rho_i\cos\theta_i,$$

其中 $\rho_i$ 為水平距離，$\theta_i$ 為自後視點 $C$ 起算之水平角。

---

解題方法

一、控制點局部坐標

由題目資料：

$$\begin{array}{c|c|c} \text{點號} & \rho\ (\mathrm{m}) & \theta\\ \hline A&405.926&141^\circ43'47''\\ B&441.907&254^\circ29'27''\\ C&337.061&0^\circ00'00'' \end{array}$$

因此：

$$\begin{aligned} x_A&=405.926\sin(141^\circ43'47''),& y_A&=405.926\cos(141^\circ43'47''),\\ x_B&=441.907\sin(254^\circ29'27''),& y_B&=441.907\cos(254^\circ29'27''),\\ x_C&=337.061\sin0^\circ=0,& y_C&=337.061\cos0^\circ=337.061. \end{aligned}$$

已知控制點坐標為：

$$\begin{array}{c|c|c} \text{點號}&E&N\\ \hline A&24149.30175&8276.99375\\ B&24021.49250&7582.53225\\ C&23523.95425&7957.75825 \end{array}$$

---

二、觀測方程式

對每一個控制點建立兩個坐標方程：

$$E_i=ax_i-by_i+c+v_{E_i},$$ $$N_i=bx_i+ay_i+d+v_{N_i}.$$

依未知參數順序

$$\mathbf{X}= \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d \end{bmatrix},$$

觀測向量為：

$$\mathbf{l}= \begin{bmatrix} E_A\\N_A\\E_B\\N_B\\E_C\\N_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24149.30175\\ 8276.99375\\ 24021.49250\\ 7582.53225\\ 23523.95425\\ 7957.75825 \end{bmatrix}.$$

改正數向量為：

$$\mathbf{v}= \begin{bmatrix} v_{E_A}\\v_{N_A}\\ v_{E_B}\\v_{N_B}\\ v_{E_C}\\v_{N_C} \end{bmatrix}.$$

完整矩陣觀測方程式為：

$$\mathbf{l}=\mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{v},$$

其中設計矩陣為：

$$\mathbf{A}= \begin{bmatrix} x_A&-y_A&1&0\\ y_A& x_A&0&1\\ x_B&-y_B&1&0\\ y_B& x_B&0&1\\ x_C&-y_C&1&0\\ y_C& x_C&0&1 \end{bmatrix}.$$

代入 $x_C=0,\ y_C=337.061$ 後，矩陣最後兩列為：

$$\begin{bmatrix} 0&-337.061&1&0\\ 337.061&0&0&1 \end{bmatrix}.$$

---

三、權矩陣

若題目未提供各觀測量的精度，可採等權：