108 年 國立成功大學製造資訊與系統研究所乙組《統計方法》

這題考驗對測量尺度（measurement scale）的理解。測量尺度主要分為名目尺度（nominal scale）、次序尺度（ordinal scale）、等距尺度（interval scale）和比例尺度（ratio scale）。

題目中，學生班級的分類（freshman, sophomore, junior, senior）具有以下特性：

1. 類別區分：這些類別是不同的，例如 freshman 和 sophomore 是不同的。
2. 順序關係：這些類別之間存在一個明確的順序，即 freshman < sophomore < junior < senior。

這題考驗處理資料中遺失值（missing value）的常見策略，以及哪種方法最不恰當。處理遺失值的方法有很多，一般原則是盡量保留資料並減少偏差。

讓我們逐一分析選項：
(A) delete the column (variable)：如果某個變數（欄位）有大量的遺失值，或者該變數對分析並不重要，則可以考慮刪除整個欄位。這是一種處理方法，雖然會損失資訊，但在某些情況下是可行的。
(B) replace by the mean of other values：這是一種常見的「填補」（imputation）方法，稱為均值填補（mean imputation）。用該變數的其他非遺失值的平均數來填補遺失值。雖然可能引入偏差，但保留了該觀察值。

這題考驗對偏態（skewness）分佈下，平均數（mean）、中位數（median）和眾數（mode）之間關係的理解。

偏態分佈是指分佈的尾部較長的一側。

• 負偏態（Negatively skewed）：分佈的左側尾部較長。這表示有少數幾個極小的數值將平均數拉向左邊（較小的值）。
• 正偏態（Positively skewed）：分佈的右側尾部較長。這表示有少數幾個極大的數值將平均數拉向右邊（較大的值）。
• 對稱分佈（Symmetric distribution）：平均數、中位數和眾數通常相等或非常接近。

在負偏態分佈中：

1. 眾數 (mode)：是出現頻率最高的值，通常位於分佈的峰頂。
2. 中位數 (median)：是將資料排序後位於中間的值，它將資料分成兩半。在偏態分佈中，中位數比平均數更能代表資料的中心趨勢，因為它不受極端值影響。
3. 平均數 (mean)：是所有數值的總和除以數值個數。在負偏態分佈中，左側的長尾巴（極小值）會將平均數向左拉，使其比中位數小。

因此，在負偏態分佈中，典型的關係是：
平均數 < 中位數 < 眾數
(mean < median < mode)

例如，考慮一組數據 {1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 100}。

• 眾數 = 5
• 中位數 = 5 (排序後，中間的值)
• 平均數 = (1+2+3+4+5+5+5+5+100) / 9 = 130 / 9 ≈ 14.44
  這裡的例子，100 這個極大值造成了正偏態。
  讓我們重新看一個負偏態的例子：{1, 1, 1, 1, 5, 6, 7, 8, 9}
• 眾數 = 1
• 中位數 = 5

這題考驗對不同統計圖表的適用性的理解，特別是在展示一組連續性數據（如考試分數）時。

• Bar chart (長條圖)：通常用於顯示類別資料（categorical data）的頻率或比例，或比較不同類別之間的數值。對於連續資料，如果將其離散化（分組），也可以使用長條圖，但直方圖是更標準的選擇。如果直接將每個學生的分數作為一個類別來畫長條圖，對於 50 個學生來說，圖形會非常擁擠且難以判讀。
• Q-Q plot (分位數-分位數圖)：用於比較兩組數據的分佈，或比較一組數據與理論分佈（如常態分佈）的分佈。它可以幫助判斷數據是否符合某種理論分佈。
• Histogram (直方圖)：用於顯示連續性數據的頻率分佈。它將數據範圍分成若干個區間（bins），然後計算每個區間內的數據點數量，並以長條圖的形式表示。這是展示連續數據分佈的標準方法。

這題考驗對統計量（statistic）在數據「移動」（data shift）下的行為的理解。數據移動是指將所有數據都加上或減去一個常數。例如，如果原始數據是 $x_1, x_2, ..., x_n$，移動後的數據是 $x_1+c, x_2+c, ..., x_n+c$。

我們來分析各選項：
(A) mean (平均數)：移動 $c$ 後，新的平均數會是 $\frac{\sum(x_i+c)}{n} = \frac{\sum x_i + nc}{n} = \frac{\sum x_i}{n} + c$。所以平均數會移動 $c$。

這題考驗對樣本標準差為零的意義以及其推論。

樣本標準差（sample standard deviation）$s$ 為零，表示樣本中的所有數值都完全相同。也就是說，樣本中的每一個數據點都等於樣本的平均數。
$s = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}} = 0$
這意味著 $\sum(x_i - \bar{x})^2 = 0$。由於平方項非負，這只有在所有 $(x_i - \bar{x})$ 都為零時才可能發生，即 $x_i = \bar{x}$ 對於所有的 $i$。

現在我們來分析選項：
(A) The population standard deviation is 0.：樣本標準差為零，這表示樣本數據沒有變異。這強烈暗示了母體數據可能也沒有變異（即母體中的所有值都相同）。然而，樣本標準差為零並不絕對保證母體標準差為零。母體標準差為零意味著母體中所有值都相同。如果樣本是從一個所有值都相同的母體中抽取，那麼樣本標準差一定是零。反之，如果樣本標準差為零，我們通常會推斷母體標準差也為零，但這是一個基於樣本的推論，嚴格來說並非絕對保證。不過，在選擇題中，這是最有可能的推論。
(B) The population median is 0.：樣本標準差為零，只說明樣本數據相同，但不能確定這個相同的值是多少，更不能確定母體中位數是零。例如，樣本可能是 {5, 5, 5}，此時樣本標準差為 0，但母體中位數不一定是 0。
(C) The sample median is 0.：如果樣本標準差為零，則樣本中的所有值都相同。假設樣本為 $\{x, x, ..., x\}$。那麼樣本中位數就是 $x$。除非這個共同的值恰好是 0，否則樣本中位數不一定是 0。
(D) The sample range is 0.：樣本範圍（range）是樣本中的最大值減去最小值。如果樣本中的所有值都相同（例如都是 $x$），那麼最大值是 $x$，最小值也是 $x$，所以樣本範圍是 $x - x = 0$。這是一個直接且必然的結論。

這題考驗機率和條件機率的計算，以及獨立性判斷。我們需要根據題目提供的數據建立一個表格或進行計算，然後逐一驗證每個選項。

總人數 = 100 人

數據整理如下：

• 有學生貸款 (Loan) = 40 人
• 沒有學生貸款 (No Loan) = 60 人
• 有學生貸款且在工作 (Loan and Working) = 24 人
• 沒有學生貸款且在工作 (No Loan and Working) = 24 人

我們可以進一步計算：

• 有學生貸款但不在工作 (Loan and Not Working) = 40 - 24 = 16 人
• 沒有學生貸款但不在工作 (No Loan and Not Working) = 60 - 24 = 36 人
• 總共在工作的人數 (Total Working) = 24 (有貸款) + 24 (無貸款) = 48 人
• 總共不在工作的人數 (Total Not Working) = 16 (有貸款) + 36 (無貸款) = 52 人

現在逐一驗證選項：

(A) The proportion of students who have a student loan is 0.6
有學生貸款的人數是 40 人。
總人數是 100 人。
比例 = 40 / 100 = 0.4。
所以，選項 (A) 是錯誤的。

(B) Among the students who have a student loan, the proportion of those who work is 0.4.
這是條件機率 P(Working | Loan)。
有學生貸款的人數是 40 人。
其中在工作的人數是 24 人。
比例 = 24 / 40 = 24/40 = 6/10 = 0.6。
所以，選項 (B) 是錯誤的。

這題考驗對經驗法則（Empirical Rule）和柴比雪夫定理（Chebyshev's Theorem）的理解與區別。

• 經驗法則 (Empirical Rule)：又稱 68-95-99.7 法則，它適用於近似常態分佈的數據。它指出，在常態分佈中，約有 68% 的數據落在平均數 $\pm 1$ 個標準差範圍內，約 95% 的數據落在平均數 $\pm 2$ 個標準差範圍內，約 99.7% 的數據落在平均數 $\pm 3$ 個標準差範圍內。
• 柴比雪夫定理 (Chebyshev's Theorem)：這是一個更普遍的定理，它適用於任何分佈的數據，不論其形狀如何。它給出了一個數據落在平均數 $\pm z$ 個標準差範圍內的最小比例。

讓我們逐一分析選項：

(A) The empirical rule must be applied to the data with normal distribution.
如上所述，經驗法則的適用前提是數據近似於常態分佈。因此，這個說法是正確的。

(B) The Chebyshev's Theorem must be applied to the data with normal distribution.
柴比雪夫定理的優勢在於它適用於任何分佈，包括非常態分佈。因此，它不一定必須應用於常態分佈數據。這個說法是錯誤的。

核心觀念

離散型隨機變數（discrete random variable）是指其可能取值為有限個或可數無限個數值，通常來自「計數」，例如人數、車輛數、產品瑕疵數。

連續型隨機變數（continuous random variable）則是在某個區間內可取任意實數，通常來自「測量」，例如時間、重量、溫度、長度與容量。

判斷重點是：

• 計數所得：離散型
• 測量所得：連續型

解題方法

逐一判斷各變數的本質：

1. 若數值是逐一計算物件或單位的數目，屬於離散型。
2. 若數值可包含任意小數，且由測量取得，屬於連續型。

本題將「gallons」視為以整加侖計算的銷售量，因此可能值可列為

$$0,1,2,3,\ldots$$

這是一組可數的數值，故屬於離散型隨機變數。

選項分析

(A) The number of gallons of milk sold at a grocery store last week

「上週售出的牛奶共有幾加侖」在本題中視為以整加侖計數，例如 $100$ 加侖、$101$ 加侖、$102$ 加侖等，可能值為可數集合。

因此它是離散型隨機變數。

這題考驗對統計學基本概念的理解，包括母體（population）、樣本（sample）、參數（parameter）、統計量（statistic）以及抽樣的描述。

題目給出：

• 母體通過考試的比例 P = 90% = 0.9。
• 隨機抽取 10 名學生進行研究（樣本大小 n = 10）。
• 目的是估計母體的通過比例。

讓我們逐一分析選項：

(A) The population is all the students of the examination.
題目說「90% of the students pass in an exam... 10 students are randomly selected to estimate the proportion of students passing the exam in the population」。這裡的「population」指的是所有參加該考試的學生群體。所以，這個說法是正確的。

(B) There are 9 students to pass the exam.
題目中提到「90% of the students pass」。這是關於母體的比例。
然後隨機抽取了 10 名學生。
我們知道母體的通過比例是 90%。這並不意味著從母體中抽取的任何一個樣本，其通過人數一定是 90% 的 10 人，也就是 9 人。
隨機抽樣的結果是變動的。

核心觀念

令每位學生是否通過考試為一次伯努利試驗：

• 通過：成功，機率 $p=0.9$
• 不通過：失敗，機率 $1-p=0.1$
• 共觀察 $n=10$ 位學生
• $X$ 表示通過考試的學生人數

若假設每位學生的通過結果彼此獨立，則：

$$X\sim \operatorname{Binomial}(10,0.9)$$

其機率質量函數為：

$$P(X=x)=\binom{10}{x}(0.9)^x(0.1)^{10-x}, \quad x=0,1,\ldots,10$$

解題方法

本題直接依照二項分配的成立條件判斷：

1. 試驗次數固定為 $10$ 次。
2. 每次試驗只有兩種結果：通過或不通過。
3. 每次成功機率相同，皆為 $0.9$。
4. 各次試驗彼此獨立。

因此，$X$ 是 $10$ 次伯努利試驗中成功的次數，符合二項分配。

此外，$X$ 只能取有限個整數值：

$$X\in\{0,1,2,\ldots,10\}$$

所以 $X$ 是離散型隨機變數。

選項分析

(A) $X$ is a binomial distribution

這題考驗對卜瓦松分佈（Poisson distribution）性質的理解。

卜瓦松分佈描述了在一個固定的時間或空間間隔內，隨機事件發生的次數。其機率質量函數（PMF）為：
$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
其中：

• $X$ 是事件發生的次數。
• $\lambda$ (lambda) 是平均發生率（rate parameter），也是該分佈的平均數（mean）和變異數（variance）。
• $k$ 是事件發生的次數， $k = 0, 1, 2, ...$。
• $e$ 是自然對數的底數，約為 2.71828。

題目給出：

• X 是每頁的打字錯誤數。
• X 服從卜瓦松分佈。
• 平均錯誤數 $\lambda = 3.0$。

現在我們來分析選項：

(A) The mean of X is 3.0
對於卜瓦松分佈，平均數（mean）等於參數 $\lambda$。
因此，Mean(X) = $\lambda = 3.0$。
這個說法是正確的。

這題考驗對點估計（point estimate）、常態分佈（normal distribution）性質以及經驗法則（empirical rule）的應用。

已知資訊：

• 樣本大小 $n = 30$。
• 樣本平均數 $\bar{x} = 50.5$ 天。
• 樣本標準差 $s = 15$ 天。
• 假設數據服從常態分佈。

我們逐一分析選項：

(A) The point estimate of the population mean is 50.5.
樣本平均數 $\bar{x}$ 是母體平均數 $\mu$ 的一個良好點估計量。因此，母體平均數的點估計是 50.5。這個說法是正確的。

(B) The point estimate of the population standard deviation is 15.
樣本標準差 $s$ 是母體標準差 $\sigma$ 的一個點估計量。雖然理論上，對於母體標準差的估計，更精確的估計量是使用 $n-1$ 作為分母的樣本標準差（即題目中給出的 $s=15$），但 $s=15$ 作為點估計是合理的。如果題目採用的是 $n$ 作為分母的樣本標準差（即 $\sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}}$），則可能需要調整。但通常情況下，給定的樣本標準差就作為母體標準差的點估計。因此，這個說法是正確的。

(C) The proportion of data falling into the interval (20.5, 80.5) is 75%.
因為數據服從常態分佈，我們可以考慮使用經驗法則或計算 Z 分數。
樣本平均數 $\bar{x} = 50.5$。
樣本標準差 $s = 15$。
我們需要將區間 (20.5, 80.5) 轉換為以平均數為中心，以標準差為單位的範圍。
計算區間的中心點：$(20.5 + 80.5) / 2 = 101 / 2 = 50.5$。這與樣本平均數相同。
計算區間的寬度：$80.5 - 20.5 = 60$。

這題考驗對統計假設檢定中兩類錯誤（Type I error 和 Type II error）的定義。

在假設檢定中，我們設定一個虛無假設（null hypothesis, $H_0$）和一個對立假設（alternative hypothesis, $H_a$ 或 $H_1$）。根據樣本數據，我們做出決策：拒絕 $H_0$ 或不拒絕 $H_0$。

真實情況與決策組合，可能產生以下四種結果：

1. $H_0$ 為真，且我們不拒絕 $H_0$。這是正確的決策。
2. $H_0$ 為真，但我們拒絕 $H_0$。這是第一類錯誤（Type I error）。
3. $H_0$ 為偽（即 $H_a$ 為真），且我們不拒絕 $H_0$。這是第二類錯誤（Type II error）。
4. $H_0$ 為偽（即 $H_a$ 為真），且我們拒絕 $H_0$。這是正確的決策（稱為檢定的效力，power）。

讓我們逐一分析選項：

(A) We do not reject the null hypothesis when the null hypothesis is true.
這是正確決策，不是錯誤。

這題考驗對顯著水準（significance level）的定義和理解。

顯著水準，通常用希臘字母 $\alpha$ (alpha) 表示，是在假設檢定中預先設定的一個機率值。它代表了我們願意承擔犯第一類錯誤（Type I error）的最大風險。

讓我們逐一分析選項：

(A) The significance level is also called the confidence level.
信賴水準（confidence level）通常與信賴區間（confidence interval）相關，表示區間包含母體參數的機率。顯著水準 $\alpha$ 與信賴水準 $(1-\alpha)$ 相關，但它們是不同的概念。信賴水準是 $1-\alpha$，而不是 $\alpha$ 本身。所以這個說法是錯誤的。

(B) It is the maximum probability of the allowable occurring type I error.
顯著水準 $\alpha$ 正是我們預先設定的，用來決定是否拒絕虛無假設的閾值。如果檢定統計量計算出的 P 值小於或等於 $\alpha$（$P \le \alpha$），我們就拒絕虛無假設。

這題考驗如何計算估計母體比例所需的樣本大小（sample size determination for estimating a proportion）。

估計母體比例的樣本大小公式為：
$n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \hat{p}(1-\hat{p})$
其中：

• $n$ 是所需的樣本大小。
• $z_{\alpha/2}$ 是與給定信賴水準（confidence level）相對應的 Z 分數。
• $E$ 是允許的最大誤差範圍（margin of error）。
• $\hat{p}$ 是預期的母體比例。如果沒有預期值，通常使用 $\hat{p} = 0.5$ 來獲得最大的樣本數，因為 $0.5 \times (1-0.5) = 0.25$ 是 $\hat{p}(1-\hat{p})$ 的最大值。

題目給出：

• 信賴水準 = 95%。
  這意味著 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
  $\alpha/2 = 0.025$。

核心觀念

本題評量統計學中變數型態（尺度）與統計分析方法之適配性，特別著重於：

1. 依變數（Dependent Variable, $Y$）與自變數（Independent Variables, $X$）的識別。
2. **預測導向模型（Prediction Model）**的選用準則。
3. 自變數同時包含**連續型變數（Continuous Variable）與類別型變數（Categorical/Dummy Variable）**時的適當分析工具。

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解題方法

1. 識別研究目的與變數角色：

   • 研究目的： 題目明確提及「predict how fast...」（預測找工作的速度），屬於因果探索與預測導向的統計建模。
   • 依變數 $Y$（Response/Dependent Variable）： 「How fast a student to find a job」（找到工作的速度/時間，如畢業後花費月數），為連續型定量變數（Continuous Quantitative Variable）。
   • 自變數 $X_1$： 「Student's grades」（在校成績/GPA），為連續型變數（Continuous Variable）。
   • 自變數 $X_2$： 「Whether he has completed a secondary or double major」（是否修畢輔系或雙主修），為二元類別型變數（Binary Categorical Variable），在模型中可設定為虛擬變數（Dummy Variable，例如：是 $= 1$，否 $= 0$）。

2. 配對合適的統計方法：

   • 當研究目的為「透過多個自變數（包含連續與類別型）來預測一個連續型依變數」時，最適當的統計方法為多元迴歸分析（Multiple Regression Analysis）。
   • 模型形式可表示為： $$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \varepsilon$$ 其中 $X_1$ 為連續變數，$X_2$ 為虛擬變數。

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選項分析

• (A) 變異數分析 (Variance analysis, ANOVA)：錯誤
  變異數分析主要用於比較「三個或三個以上獨立母體平均數是否有顯著差異」。

這題考驗對變異數分析（Analysis of Variance, ANOVA）的關鍵假設（assumptions）的理解。ANOVA 的目的是比較兩個或多個組的平均數。

ANOVA 的主要假設包括：

1. 獨立性 (Independence)：各組內的觀測值之間以及各組之間的觀測值都必須是獨立的。這意味著一個觀測值不應影響另一個觀測值。
2. 常態性 (Normality)：各組的數據（或殘差）應近似服從常態分佈。
3. 變異數同質性 (Homogeneity of variances) / 等分散性 (Homoscedasticity)：各組的母體變異數應該相等。

讓我們逐一分析選項：

(A) The data is normally distributed.
這是 ANOVA 的一個重要假設。各組的數據（或其殘差）應服從常態分佈。這個假設是必需的。

(B) The population means must be equal for all of the populations.

這題考驗對線性關係（linear relationship）和相關係數（correlation coefficient）的理解。

如果兩個變數 X 和 Y 之間沒有線性關係，這意味著它們之間的皮爾森相關係數（Pearson correlation coefficient, $\rho$）為 0。
相關係數 $\rho = 0$ 僅僅表示線性關係不存在，但並不意味著其他關係也不存在（例如，可能存在非線性的關聯）。

我們來分析選項：

(A) The intercept is 0.
截距（intercept）是當自變數（例如 X）為 0 時，應變數（例如 Y）的預期值。即使 X 和 Y 之間沒有線性關係，截距也不一定是 0。例如，在一個迴歸模型 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ 中，如果 $\beta_1 = 0$（表示 X 和 Y 無線性關係），則模型變成 $Y = \beta_0 + \epsilon$。此時，$\beta_0$（截距）的值不一定是 0。它代表了當 X 對 Y 沒有線性影響時，Y 的平均值。所以，這個說法不一定正確。

(B) The slope is 0.
在線性迴歸模型 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ 中，斜率 $\beta_1$ 代表 X 每增加一個單位

核心觀念

本題要比較「不同系所」在統計競賽考試中的平均分數。系所屬於類別型自變數，考試分數屬於數值型反應變數；當比較的群組超過兩組時，最適合使用單因子變異數分析（one-way ANOVA）。

設有 $k$ 個系所，第 $i$ 個系所的平均分數為 $\mu_i$，欲檢定：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k$$ $$H_1:\text{至少有兩個系所的平均分數不同}$$

變異數分析將總變異分解為：

$$\text{總變異}=\text{組間變異}+\text{組內變異}$$

其檢定統計量為：

$$F=\frac{\text{組間平均平方}}{\text{組內平均平方}} =\frac{MS_B}{MS_W}$$

若不同系所的平均分數確實不同，組間變異通常會相對較大，使 $F$ 值偏大，進而拒絕 $H_0$。

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解題方法

題目中的關鍵字是「different departments」，表示要同時比較多個系所的平均分數。

採用單因子變異數分析，將：

• 因子：系所
• 因子水準：各個不同系所
• 反應變數：統計競賽考試分數

若共有 $k$ 個系所，每個系所取得若干考生成績，先計算：

$$SS_B=\sum_{i=1}^{k} n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2$$

其中，$n_i$ 為第 $i$ 個系所的樣本數，$\bar{x}_i$ 為第 $i$ 個系所的樣本平均數，$\bar{x}$ 為全部樣本的總平均數。

組內平方和為：

$$SS_W=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\bar{x}_i)^2$$

再計算：

$$MS_B=\frac{SS_B}{k-1}$$ $$MS_W=\frac{SS_W}{n-k}$$

因此：

$$F=\frac{MS_B}{MS_W}$$

貝氏定理（Bayes' Theorem）是一個在機率論中，用來更新某個事件發生的機率的公式，基於新的證據或條件。它描述了在已知某些條件下，某個事件發生的條件機率，與該事件發生的先驗機率（prior probability）以及新證據的條件機率之間的關係。

假設我們有兩個事件 A 和 B。貝氏定理的數學表達式為：
$P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}$
其中：

• $P(A|B)$ 是事件 B 發生後，事件 A 發生的後驗機率（posterior probability）。
• $P(B|A)$ 是事件 A 發生後，事件 B 發生的條件機率。
• $P(A)$ 是事件 A 的先驗機率（prior probability），即在沒有 B 的資訊之前，A 發生的機率。
• $P(B)$ 是事件 B 發生的機率。

我們也可以將分母 $P(B)$ 展開，利用全機率法則（Law of Total Probability），尤其是在 B 可以由 A 或 A 的補集（$A^c$）來決定時：
$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c)$

二項分佈（Binomial Distribution）的機率質量函數為 $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$，其中 $n$ 是試驗次數，$p$ 是單次試驗成功的機率。當 $n$ 很大時，計算二項分佈的機率會變得複雜。

正態分佈（Normal Distribution）可以用來近似二項分佈，前提是滿足以下條件：

1. 試驗次數 $n$ 必須足夠大。
2. 成功的機率 $p$ 和失敗的機率 $1-p$ 都不能太接近於 0 或 1。具體來說，通常要求 $np \ge 5$ 且 $n(1-p) \ge 5$。有些地方也使用 $np \ge 10$ 和 $n(1-p) \ge 10$ 作為更嚴格的標準。

解釋：
當 $n$ 很大時，二項分佈的形狀會越來越接近對稱的鐘形曲線，這正是正態分佈的特徵。

迴歸分析（Regression Analysis）用於建立一個或多個自變數（independent variables）與一個應變數（dependent variable）之間的數學模型，以預測或解釋應變數的行為。最常見的是線性迴歸。

對於線性迴歸模型（例如 $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + ... + \beta_k X_k + \epsilon$），其主要的假設（assumptions）包括：

1. 線性關係 (Linearity)：應變數 $Y$ 與自變數 $X_i$ 之間存在線性關係。殘差（$\epsilon$）與自變數之間沒有明顯的線性關係。
2. 獨立性 (Independence)：殘差 $\epsilon$ 之間是相互獨立的。這意味著一個觀測值的殘差不影響另一個觀測值的殘差。對於時間序列數據，這尤其重要，需要檢查是否存在自相關。
3. 常態性 (Normality)：殘差 $\epsilon$ 服從均值為 0 的常態分佈。這保證了在給定自變數值下，應變數的條件機率分佈是常態的。

調整後複判定係數 (Adjusted Multiple Coefficient of Determination)，通常表示為 $R^2_{adj}$ 或 $\bar{R}^2$，是複判定係數 $R^2$ 的修正版本，用於評估多元線性迴歸模型的擬合優度（goodness of fit）。

定義：
複判定係數 $R^2$ 表示模型中自變數能解釋應變數變異的比例。其公式為：
$R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST} = 1 - \frac{\sum(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum(y_i - \bar{y})^2}$
其中 $SSE$ 是殘差平方和，$SST$ 是總平方和。

然而，$R^2$ 的一個缺點是，當模型中增加任何一個自變數時（即使該自變數對應的 F 檢定不顯著），$R^2$ 的值總是會增加或保持不變，絕不會減少。這會導致模型過度擬合（overfitting），即模型在訓練數據上表現很好，但在新數據上預測能力卻下降。

為了解決這個問題，引入了調整後複判定係數 $R^2_{adj}$。其公式為：
$R^2_{adj} = 1 - \left( \frac{1-R^2}{1} \right) \left( \frac{n-1}{n-k-1} \right) = 1 - \frac{SSE / (n-k-1)}{SST / (n-1)}$
其中：

• $n$ 是樣本大小。
• $k$ 是模型中自變數的數量（不包括截距項）。