113 年 國立成功大學製造資訊與系統研究所乙組《統計方法》

本題考驗中央極限定理的應用，以及常態分配機率的計算。

題目給定旅客平均重量 $\mu = 163$ 磅，標準差 $\sigma = 18$ 磅。
抽取樣本數 $n = 36$ 人。
我們想計算旅客總重量超過 6000 磅的機率。

首先，我們需要計算樣本平均重量的平均值和標準差。
根據中央極限定理，樣本平均重量的平均值等於母體平均值：
$\mu_{\bar{x}} = \mu = 163$ 磅

樣本平均重量的標準差（標準誤）為：
$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{18}{\sqrt{36}} = \frac{18}{6} = 3$ 磅

旅客總重量超過 6000 磅，相當於樣本平均重量超過 $\frac{6000}{36}$ 磅。
$\frac{6000}{36} = \frac{1000}{6} = \frac{500}{3} \approx 166.67$ 磅

現在我們需要計算樣本平均重量 $\bar{x}$ 大於 166.67 磅的機率 $P(\bar{x} > 166.67)$。
我們將 $\bar{x} = 166.67$ 標準化為 z 值：

本題考驗貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用。

我們定義以下事件：
A：車床刀具調整得當
A'：車床刀具調整失當
B：產品通過檢驗 (合格)
B'：產品未通過檢驗 (不合格)

根據題目給定的資訊，我們有：
$P(A) = 0.85$ (調整得當的機率)
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.85 = 0.15$ (調整失當的機率)

$P(B|A) = 0.95$ (調整得當時，產品通過檢驗的機率)
$P(B'|A) = 1 - P(B|A) = 1 - 0.95 = 0.05$ (調整得當時，產品不合格的機率)

$P(B|A') = 0.25$ (調整失當時，產品通過檢驗的機率)
$P(B'|A') = 1 - P(B|A') = 1 - 0.25 = 0.75$ (調整失當時，產品不合格的機率)

題目要求計算：若吾人隨機選取一樣本發現其為不合格 (事件 B')，則此時車床刀具調整失當 (事件 A') 的機率，即 $P(A'|B')$。

本題考驗兩個獨立隨機變數線性組合的變異數性質。

已知 $X$ 和 $Y$ 是獨立的隨機變數，且它們都服從常態分配。
假設 $X$ 的變異數為 $\sigma_x^2$， $Y$ 的變異數為 $\sigma_y^2$。
我們要求的是隨機變數 $Z = X - Y$ 的變異數，記為 $\text{Var}(Z)$ 或 $\sigma_z^2$。

對於兩個獨立隨機變數 $X$ 和 $Y$，它們的差的變異數公式為：
$\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

這是因為變異數的定義是隨機變數與其期望值之差的平方的期望值。
$\text{Var}(X-Y) = E[(X-Y - E[X-Y])^2]$
由於 $X$ 和 $Y$ 是獨立的，且 $E[X-Y] = E[X] - E[Y]$，
$\text{Var}(X-Y) = E[((X-E[X]) - (Y-E[Y]))^2]$

本題考驗製程能力指數 Cpk 的計算。

首先，我們需要理解 Cpk 的定義。Cpk 是製程能力指數，衡量製程實際輸出能力與規格限制之間的關係。它考慮了製程的中心位置（平均值）和分散程度（標準差）。
Cpk 的公式為：
$C_{pk} = \min(C_{pu}, C_{pl})$
其中：
$C_{pu} = \frac{USL - \mu}{\text{3}\sigma}$ (製程能力指數，考慮上限)
$C_{pl} = \frac{\mu - LSL}{\text{3}\sigma}$ (製程能力指數，考慮下限)

USL (Upper Specification Limit)：規格上限
LSL (Lower Specification Limit)：規格下限
$\mu$：製程平均值
$\sigma$：製程標準差

題目給定的資訊：
規格要求為 $200 \pm 5g$。
所以，規格上限 $USL = 200 + 5 = 205g$。
規格下限 $LSL = 200 - 5 = 195g$。

抽樣資訊：
樣本數 $N = 25$ 組。
每組樣本數 $n = 4$ 個。
總樣本數 $N \times n = 25 \times 4 = 100$ 個。
樣本平均數 $\bar{x} = 201g$。
樣本標準差 $s = 2.5g$。

在計算 Cpk 時，我們通常使用樣本平均數 $\bar{x}$ 作為製程平均值 $\mu$ 的估計，以及樣本標準差 $s$ 作為製程標準差 $\sigma$ 的估計。
然而，題目中提到「每組 4 個」，並且給出「樣本標準差為 2.5g」。這需要釐清這個標準差是指「組內標準差」還是「所有 100 個數據的標準差」。
通常在這種情況下，如果沒有特別說明，樣本標準差 $s$ 指的是所有觀測值的標準差，或者是指組內標準差的平均值。

如果 $s = 2.5g$ 是所有 100 個數據的標準差，那麼我們直接使用它。
如果 $s = 2.5g$ 是每組 4 個數據的標準差，那麼我們需要計算整個製程的標準差。
通常，當我們有 $k$ 個組，每組 $n$ 個樣本，且每組的標準差為 $s_i$，則樣本標準差 $s$ 可以估計為：
$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k} (n-1)s_i^2}{(k \cdot n - 1)}}$
或者，如果每組標準差相同，則 $s$ 就是該標準差。

另一種情況是，題目給的「樣本標準差為 2.5g」是指「樣本平均數的標準差」，即標準誤 $\sigma_{\bar{x}}$。但這不太可能，因為標準誤通常比標準差小，而 2.5g 相對於 201g 已經很小了。

最常見的理解是，$s = 2.5g$ 是所有 $100$ 個數據的標準差。
然而，題目描述「隨機抽取 25 組樣本,每組 4 個」，這暗示著我們可能需要考慮組的結構。
如果 $s=2.5g$ 是組內標準差，那麼整個製程的標準差 $\sigma$ 可以由這些組內標準差估計。
一般而言，如果我們有 $k$ 組，每組 $n$ 個觀測值，則整個製程的標準差 $\sigma$ 的估計值是：
$\hat{\sigma} = \frac{\bar{s}}{\sqrt{n}}$
其中 $\bar{s}$ 是所有組內標準差的平均值。
如果題目給的 $s = 2.5g$ 是所有 25 個組的標準差的平均值 ($\bar{s}$)，那麼：
$\sigma \approx \frac{2.5}{\sqrt{4}} = \frac{2.5}{2} = 1.25g$

我們假設題目給的 $s=2.5g$ 是指所有 100 個觀測值的標準差，因為這在題目描述中比較常見。
如果 $s = 2.5g$ 是所有 100 個觀測值的標準差，則 $\sigma \approx 2.5g$。
製程平均值 $\mu \approx \bar{x} = 201g$。

現在計算 $C_{pu}$ 和 $C_{pl}$：
$C_{pu} = \frac{USL - \mu}{3\sigma} = \frac{205 - 201}{3 \times 2.5} = \frac{4}{7.5} \approx 0.5333$
$C_{pl} = \frac{\mu - LSL}{3\sigma} = \frac{201 - 195}{3 \times 2.5} = \frac{6}{7.5} = 0.8$

$C_{pk} = \min(C_{pu}, C_{pl}) = \min(0.5333, 0.8) = 0.5333$

這個值 $0.5333$ 落在選項 b 的範圍 $0.20 \le C_{pk} < 0.60$。

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重新思考題目的標準差的解釋

題目描述「隨機抽取 25 組樣本,每組 4 個,經測重得樣本平均數為 $201g$、樣本標準差為 $2.5g$」。
這裡的「樣本標準差」有兩種可能解釋：

1. 所有 $25 \times 4 = 100$ 個觀測值的標準差。
2. 這 25 組樣本的「組內」標準差（平均值）。

如果題目是來自製程管制圖的脈絡，通常會區分「組內變異」和「組間變異」。
如果 $s = 2.5g$ 是組內標準差的平均值，那麼製程的標準差 $\sigma$ 的估計是 $\hat{\sigma} = s / \sqrt{n}$，其中 $n$ 是每組的樣本數。
在此情況下，$\hat{\sigma} = 2.5 / \sqrt{4} = 2.5 / 2 = 1.25g$。
此時：
$C_{pu} = \frac{USL - \mu}{3\sigma} = \frac{205 - 201}{3 \times 1.25} = \frac{4}{3.75} \approx 1.0667$
$C_{pl} = \frac{\mu - LSL}{3\sigma} = \frac{201 - 195}{3 \times 1.25} = \frac{6}{3.75} = 1.6$
$C_{pk} = \min(1.0667, 1.6) = 1.0667$

這個值 $1.0667$ 落在選項 d 的範圍 $0.80 \le C_{pk}$。

哪種解釋更合理？
題目說「樣本標準差為 2.5g」。通常在沒有特別說明的情況下，指的就是所有觀測值的標準差。
但是，題目結構「25 組樣本，每組 4 個」又強烈暗示了分組的結構。
在製程能力分析中，Cpk 的計算通常是基於製程的總體標準差，而不是每組的標準差。
如果 $s=2.5g$ 是所有 100 個數據的標準差，那麼 Cpk 約為 0.5333，落在 b。
如果 $s=2.5g$ 是組內標準差的平均值，那麼 Cpk 約為 1.0667，落在 d。

我們再仔細看題目敘述。
「隨機抽取 25 組樣本,每組 4 個,經測重得樣本平均數為 $201g$、樣本標準差為 $2.5g$」
這裡的「樣本標準差」通常是指所有觀測值的標準差。
如果題目想表達的是組內標準差，會更明確的說「組內標準差」或「平均組內標準差」。

本題考驗常態分配下，獨立隨機變數和的變異數與期望值的計算，以及機率的求解。

我們有三個承軸，其長度分別為隨機變數 $X_1, X_2, X_3$。
已知它們的分配：
承軸一 ($X_1$): 平均數 $\mu_1 = 75$ cm, 變異數 $\sigma_1^2 = 0.09$ cm$^2$
承軸二 ($X_2$): 平均數 $\mu_2 = 60$ cm, 變異數 $\sigma_2^2 = 0.16$ cm$^2$
承軸三 ($X_3$): 平均數 $\mu_3 = 25$ cm, 變異數 $\sigma_3^2 = 0.25$ cm$^2$

組裝後的總長度為 $Y = X_1 + X_2 + X_3$。
由於 $X_1, X_2, X_3$ 都是獨立的常態分配隨機變數，它們的和 $Y$ 也服從常態分配。

首先，計算總長度 $Y$ 的平均數：
$\mu_Y = E[Y] = E[X_1 + X_2 + X_3] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3]$
$\mu_Y = \mu_1 + \mu_2 + \mu_3 = 75 + 60 + 25 = 160$ cm

接著，計算總長度 $Y$ 的變異數：
$\sigma_Y^2 = \text{Var}(Y) = \text{Var}(X_1 + X_2 + X_3)$
由於 $X_1, X_2, X_3$ 是獨立的，
$\sigma_Y^2 = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + \text{Var}(X_3)$
$\sigma_Y^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 = 0.09 + 0.16 + 0.25 = 0.50$ cm$^2$

所以，總長度 $Y$ 的分配為 $N(160, 0.50)$。
總長度的標準差為 $\sigma_Y = \sqrt{0.50} \approx 0.7071$ cm。

題目要求計算組裝後之長度超過 160.5 公分之機率，即 $P(Y > 160.5)$。
我們將 $Y = 160.5$ 標準化為 z 值：

核心觀念

本題考查**變異數分析（Analysis of Variance, ANOVA）的基本定義與推論統計（Inferential Statistics）**的核心本質。統計假設檢定（Hypothesis Testing）的最終目標永遠是針對未知的「母體參數（Population parameters）」進行推論，而非針對已由抽樣資料計算出來的「樣本統計量（Sample statistics）」。此外，變異數分析適用於檢定「兩個或兩個以上」母體平均數（Population means）是否相等。

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解題過程與選項分析

在進行假設檢定與 ANOVA 程序時，需釐清以下兩個關鍵觀念：

1. 推論對象為「母體均值」而非「樣本均值」：
   • 樣本平均數（$\bar{X}_1, \bar{X}_2, \dots, \bar{X}_k$）是已知且可直接計算出來的數據。欲判斷兩個樣本平均數是否相等，只需觀察計算出的數值即可，完全不需要使用 ANOVA 或任何統計檢定程序。
   • 變異數分析（ANOVA）屬於推論統計工具，其目的在於利用樣本資料所提供的資訊，去推論未知的**母體平均數（Population Means, $\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_k$）**是否全相等。

本題考查統計學與實驗設計法（Design of Experiments, DOE）中最基礎的實驗設計類型定義。核心在於區分不同實驗設計的隨機化機制，特別是當實驗單位（experimental units）直接且完全無約束地隨機分配至各個處理組（treatments）時所對應的設計名稱。

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解題過程與觀念分析

1. 完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）的定義
   在實驗設計中，當所有實驗單位具有高度同質性（homogeneity），且研究者沒有考慮或不需要對任何幹擾因子（nuisance factors）進行分組（blocking）時，將總共 $N$ 個實驗單位「完全隨機地」指派（randomly assigned）給不同的處理組（treatments），這種設計方式即稱為完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）。

2. 為什麼是完全隨機設計（CRD）？

   • 隨機分配原則：隨機指派可有效消除潛在混淆變數（confounding variables）對實驗結果的系統性偏差，確保各處理組之間的比較具有統計有效性。

本題核心考驗單因子變異數分析（One-Way ANOVA）表格中各統計量的定義與恆等式關係。解題關鍵在於熟練運用「變異數平方和的可加性（$SS_{Total}=SS_{Between}+SS_{Within}$）」、「均方的定義（$MS=SS/df$）」以及「$F$ 檢定統計量的定義（$F=MS_{Between}/MS_{Within}$）」，即可將表格中缺失的自由度與平方和資訊精確還原。

1. 表格數據結構與對齊

依據標準單因子變異數分析表格之定義，對應題目數據可整理如下：

• 組間平方和（Between Treatments Sum of Squares）：$SS_{Between}=64$
• 總平方和（Total Sum of Squares）：$SS_{Total}=100$
• 組內均方（Within Treatments Mean Square）：$MS_{Within}=2$
• $F$ 檢定統計量：$F=8$

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2. 完整解題過程

Step 1：求組內平方和 $SS_{Within}$

【原因說明】 在單因子變異數分析中，總變異平方和（$SS_{Total}$）由「組間變異平方和（$SS_{Between}$）」與「組內變異平方和（$SS_{Within}$）」相加而成，具備可加性。
$SS_{Total}=SS_{Between}+SS_{Within}$

將已知數值代入：
$100=64+SS_{Within} \implies SS_{Within}=100-64=36$

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Step 2：求組內自由度 $df_{Within}$

【原因說明】 均方（Mean Square）的定義為變異數平方和除以其對應的自由度，即 $MS=\frac{SS}{df}$。

核心觀念

本題考查機率論中的樣本空間（Sample Space）與計數原理（Counting Principles），核心在於**乘法原理（Multiplication Principle）**的應用。在隨機實驗中，若一個觀察過程可拆解為多個連續且獨立的步驟，則總樣本點數量即為各步驟可能結果數的連乘積。

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完整解題過程

1. 確定單一觀測單位的結果數：
   根據題目設定，每位顧客進入百貨公司後只有兩種互斥的可能結果：

   • 購買商品（Purchaser，可記為 $P$）
   • 不購買商品（Non-purchaser，可記為 $N$）

   因此，針對單一顧客的觀察，可能結果數為 $2$。

2. 分析複合實驗的結構與步驟：
   本實驗為連續追蹤並記錄 $4$ 位顧客的行為。這可以看作由 $4$ 個相繼進行的試驗所組成的複合實驗。

3. 運用乘法原理進行計算：
   為什麼要使用乘法原理？因為第 $1$ 位顧客有 $2$ 種可能結果，無論第 $1$ 位顧客是否購買，第 $2$ 位顧客同樣有 $2$ 種可能結果，依此類推至第 $4$ 位顧客。每一個顧客行為的組合均代表樣本空間中的一個獨立樣本點（Sample Point）。

核心觀念

本題的核心考點為機率論中事件關係的基本定義，主要著重於區分「互斥事件（Mutually Exclusive Events）」與「獨立事件（Independent Events）」，並探討事件交集機率 $P(A \cap B) = 0$ 所代表的幾何與幾率意義。

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解題過程與選項詳細分析

根據題目給定條件：

• $P(A) = 0.7$
• $P(B) = 0.6$
• $P(A \cap B) = 0$

我們依據機率公理與事件定義逐一檢驗各選項：

1. 檢驗「互斥事件（Mutually Exclusive）」

• 定義與判定：兩事件 $A$ 與 $B$ 若無法同時發生，亦即兩者的交集為空集合（$A \cap B = \emptyset$），則稱兩事件為「互斥事件」。在機率上的表現為兩者同時發生的機率等於零：
  $P(A \cap B) = 0$
• 解析：題目已直接給出 $P(A \cap B) = 0$，完全符合互斥事件的判定條件。
• 結論：選項 (b) 正確，選項 (a) 錯誤。

2. 檢驗「獨立事件（Independent Events）」

• 定義與判定：兩事件 $A$ 與 $B$ 互相獨立的充要條件為兩者交集機率等於各自邊際機率之乘積：
  $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
• 計算與解析：

核心觀念

本題考查的核心觀念為離散型機率分佈中的二項機率分佈（Binomial Probability Distribution）之定義與適用條件。關鍵在於識別「伯努利試驗」（Bernoulli Trial）的四大基本假設：固定試驗次數、結果僅兩種、各次試驗互相獨立，以及每次試驗成功的機率恆定不變。

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解題過程

1. 二項機率分佈（Binomial Probability Distribution）的條件與定義：
   隨機變數 $X$ 表示在固定次數 $n$ 的重複試驗中成功的次數。若該試驗滿足以下四個伯努利過程（Bernoulli Process）條件：

   • 試驗由固定次數 $n$ 的獨立試驗組成。
   • 每次試驗的結果只有兩種可能的對立情況：成功（Success）或失敗（Failure）。
   • 每次試驗成功的機率恆定不變，記為 $p$（即每次試驗 $P(\text{Success}) = p$）。
   • 各次試驗之間彼此相互獨立（Independent）。

   則隨機變數 $X$ 服從參數為 $n$ 與 $p$ 的二項分佈，記為 $X \sim B(n, p)$，其機率質量函數（PMF）為：
   $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0, 1, 2, \dots, n$

2. 題目條件比對分析：
   題目敘述「A probability distribution showing the probability of $x$

核心觀念

本題的核心考點為單變數離散型隨機變數（Discrete Random Variable）的機率分佈特性，重點檢驗考生能否熟練運用**期望值（Expectation / Mean, $\mu$）與標準差（Standard Deviation, $\sigma$）**的基本公式。在統計學中，期望值代表隨機變數長期下的加權平均表現，而標準差則代表隨機變數相對於平均值的離散程度（波動度）。

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解題過程

第一步：計算平均數（期望值 $\mu$）

離散型隨機變數 $X$ 的期望值定義為各可能取值乘以其相對應機率的總和，即：
$\mu = E[X] = \sum x \cdot f(x)$

為何這樣算？
機率 $f(x)$ 可視為權重，期望值即為停電次數 $x$ 依據機率所進行的「加權平均值」，代表該城市每日平均的停電次數。

代入題目資料：
$E[X] = (0 \times 0.80) + (1 \times 0.15) + (2 \times 0.04) + (3 \times 0.01)$
$E[X] = 0 + 0.15 + 0.08 + 0.03 = 0.26$

故平均數 $\mu = 0.26$。

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第二步：計算變異數（Variance, $\sigma^2$）

計算離散型變數的變異數時，一般定義式為 $\sum (x-\mu)^2 f(x)$，但在實務計算上，通常使用變異數的簡化計算公式（Shortcut Formula）：
$\sigma^2 = Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$

核心觀念

本題考查的核心觀念為二項分布（Binomial Distribution）的期望值（Expected Value）計算及其統計意義。二項分布用於描述在 $n$ 次獨立且成功機率均為 $p$ 的伯努利試驗中，「成功」總次數的機率分布。其期望值代表長期大量重複進行此實驗時，預期發生的平均成功次數。

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解題過程

1. 定義隨機變數與分布參數
   依題意，本實驗為二項實驗（Binomial experiment），其中：

   • 試驗總次數（樣本數）：$n = 100$
   • 單次試驗成功機率：$p = 0.5$

   設隨機變數 $X$ 表示 100 次試驗中的成功次數，則 $X$ 服從二項分布，記為：
   $X \sim B(100, 0.5)$

2. 導出期望值計算公式
   為什麼二項分布的期望值公式為 $E(X) = n \cdot p$？
   因為隨機變數 $X$ 可拆解為 $n$ 個獨立的伯努利隨機變數之和，即 $X = \sum_{i=1}^{n} X_i$。

觀念重點

本題的核心觀念為**卜瓦松分配（Poisson Distribution）**的識別與機率計算。當我們研究「在固定時間或空間區間內，某隨機事件發生的次數」，且事件發生具備平穩性（相同長度區間發生機率相同）與獨立性（各區間發生次數互相獨立）時，該隨機變數即服從卜瓦松分配。

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詳細解題過程

第一步：建立隨機變數與分配類型

設隨機變數 $x$ 表示 10 分鐘內該事件發生的次數。
根據題意，事件在任何等長的時間區間內發生的機率皆相同，且已知 10 分鐘內平均發生次數（期望值）為 $\mu = \lambda = 5.3$。
因此隨機變數 $x$ 服從參數為 $\lambda = 5.3$ 的卜瓦松分配：
$x \sim \text{Poisson}(\lambda = 5.3)$

第二步：寫出卜瓦松分配的機率質量函數（PMF）

卜瓦松分配的機率質量函數公式為：
$P(x = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$
將已知參數 $\lambda = 5.3$ 代入，得：
$P(x = k) = \frac{e^{-5.3} (5.3)^k}{k!}$

第三步：明確題目要求之機率事件範圍

題目欲求「10 分鐘內發生次數少於 3 次」的機率，即 $P(x < 3)$。

本題的核心觀念在於**樣本平均數的標準誤（Standard Error of the Mean, $SE$）與樣本標準差（Sample Standard Deviation, $s$）**的區別與計算。標準差衡量的是母體中單一觀察值相對於平均數的分散程度；而標準誤則用以衡量「樣本平均數估計值」本身的抽樣變異程度，其數值會隨著樣本數 $n$ 的增加而依 $\sqrt{n}$ 的比例縮小。

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完整解題過程

步驟一：整理題目給定之已知條件

• 樣本數 $n = 144$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 1,234$
• 樣本標準差 $s = 120$

步驟二：理解標準誤（Standard Error）的定義與推導
樣本平均數的標準誤（Standard Error of the Mean）是指樣本平均數統計量在多次抽樣下的標準差。由於母體標準差未知，以樣本標準差 $s$ 作為不偏估計量，其估計公式為：
$SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$

本題考驗的核心觀念為母體參數（Population Parameter）與樣本統計量（Sample Statistic）的本質差異、抽樣隨機性（Sampling Variability），以及樣本平均數作為不偏估計量（Unbiased Estimator）的點估計特性。

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解題過程與觀念說明

1. 母體平均數與樣本平均數的定義
   假設母體資料的大小為 $N$，母體平均數標示為 $\mu$；若從母體中隨機抽出樣本數為 $n$（其中 $n < N$）的樣本，則樣本平均數定義為：
   $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$

2. 抽樣隨機性（Sampling Variability）
   樣本平均數 $\bar{X}$ 是一個隨機變數（Random Variable），其數值完全取決於具體抽到哪些母體個體：

核心觀念

本題考查統計學中抽樣分配（Sampling Distribution）的基本性質以及樣本平均數的不偏性（Unbiasedness of Sample Mean）。當我們從一個母體中抽取隨機樣本時，無論母體分配為何種形式、亦無論樣本數 $n$ 為多少，樣本平均數 $\bar{X}$ 的期望值（Expected Value）永遠等於母體平均數 $\mu$。

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解題過程

1. 題目已知條件整理：

   • 母體平均數（Population Mean）：$\mu = 75$
   • 母體標準差（Population Standard Deviation）：$\sigma = 8$
   • 抽樣樣本數（Sample Size）：$n = 800$

2. 抽樣分配性質分析與數學證明：
   設 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 為來自母體平均數為 $\mu$、標準差為 $\sigma$ 之母體的隨機樣本（Random Sample），則每一個觀測值 $X_i$ 的期望值皆為：
   $E(X_i) = \mu \quad (\forall i = 1, 2, \dots, n)$

   樣本平均數 $\bar{X}$ 之定義為：
   $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$

核心觀念解析

本題的核心觀念為樣本平均數 $\bar{x}$ 的抽樣分配（Sampling Distribution of $\bar{x}$）之常態性判斷。

決定樣本平均數 $\bar{x}$ 是否服從常態分配主要有兩種途徑：

1. 母體分配為常態分配：無論樣本數 $n$ 為何（即使是小樣本），$\bar{x}$ 的抽樣分配皆為精確常態分配（Exact Normal Distribution）。
2. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）：若母體分配非常態，則需要樣本數足夠大（統計學經驗法則通常要求 $n \ge 30$），$\bar{x}$ 的抽樣分配才會近似常態分配（Approximately Normal Distribution）。

本題中樣本數 $n = 24 < 30$，未達中央極限定理適用的大樣本門檻，因此無法憑藉 CLT 宣稱其為近似常態，必須依賴「母體本身為常態分配」的前提條件。

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解題過程與選項剖析

題目給定母體個數 $N = 150$，抽取樣本數 $n = 24$。

針對各選項進行詳細觀念剖析：

本題考查的核心觀念為**抽樣分布（Sampling Distribution）中樣本平均數的標準誤（Standard Error of the Mean, $SE$）與樣本數（Sample Size, $n$）**之間的平方根反比關係。當樣本大小增加時，估計量的抽樣變異性會隨之下降，代表對母體平均數估計的精確度提升。

完整解題過程與觀念說明

1. 標準誤的公式定義

根據抽樣分布理論，設母體標準差為 $\sigma$，當從該母體中隨機抽取大小為 $n$ 的獨立樣本時，樣本平均數 $\bar{X}$ 的標準誤（Standard Error, $SE$）定義為樣本平均數抽樣分布的標準差，公式為：
$SE = \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

關鍵步驟說明：為什麼樣本數會影響標準誤？
標準誤的計算公式中，分母為樣本數的算術平方根 $\sqrt{n}$。這意味著標準誤與樣本數的平方根成反比關係（即 $SE \propto \frac{1}{\sqrt{n}}$）。當樣本數增大，分母變大，整體標準誤便會隨之縮小。

2. 樣本數加倍後的比例計算

設原本的樣本數為 $n$，對應的標準誤為 $SE$。當樣本數加倍變為原本的 $2$ 倍（即新的樣本數 $n' = 2n$）時，新的標準誤 $SE'$ 表示為：
$SE' = \frac{\sigma}{\sqrt{2n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot SE$

核心觀念

本題考驗的核心觀念為母體平均數 $\mu$ 的信賴區間估計以及抽樣分配（Sampling Distribution）的常態性條件。重點在於釐清「小樣本（Small Sample）」與「大樣本（Large Sample）」下，統計量服從常態分配的前提差異，特別是劃分中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）與母體本身常態性的適用時機。

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完整解題過程與觀念推導

Step 1：建立母體平均數估計的標準化統計量

當母體標準差 $\sigma$ 已知（Known）時，我們使用樣本平均數 $\bar{X}$ 作為母體平均數 $\mu$ 的點估計量。為了建構 $\mu$ 的區間估計（信賴區間），必須利用標準化樞紐變量（Pivot Quantity）$Z$：

$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$

要能使用標準常態分配表來查出對應的臨界值（例如 $Z_{\alpha/2}$），該統計量 $Z$ 必須精確或近似地服從標準常態分配 $N(0,1)$。這要求樣本平均數 $\bar{X}$ 本身必須服從常態分配 $N(\mu, \sigma^2/n)$。

Step 2：分析使 $\bar{X}$ 服從常態分配的兩種情境

統計學中，確保 $\bar{X}$ 服從常態分配的管道有以下兩種：

1. 中央極限定理（CLT）：若樣本數足夠大（一般慣例為 $n\ge 30$），無論母體原本服從何種分配，$\bar{X}$ 的抽樣分配皆會依機率收斂並近似於常態分配。

核心觀念

本題的核心考點在於**母體平均數的區間估計（Confidence Interval Estimation for Population Mean）**中，信心係數（Confidence Coefficient / Confidence Level, $1-\alpha$）、**臨界值（Critical Value）與邊際誤差（Margin of Error, $ME$）**之間的動態變動關係。理解信心係數如何透過臨界值進而控制信賴區間的寬度（Width），是解答此題的關鍵。

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完整解題過程

母體平均數 $\mu$ 的雙尾信賴區間（Confidence Interval）通用公式可表示為：
$\text{CI} = \bar{x} \pm ME = \bar{x} \pm \left(\text{Critical Value} \times SE\right)$

其中：

• $\bar{x}$ 為樣本平均數（Point Estimate）。
• $SE$ 為標準誤差（Standard Error），當母體標準差已知時為 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，未知時為 $\frac{s}{\sqrt{n}}$。
• $ME$ 為邊際誤差（Margin of Error），計算公式為 $ME = \text{Critical Value} \times SE$。
• 信賴區間的總寬度（Width）為 $W = 2 \times ME = 2 \times \text{Critical Value} \times SE$。

本題的核心觀念為**中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）與母體平均數估計中的邊際誤差（Margin of Error, ME）**計算。當樣本數足夠大時，樣本平均數的抽樣分配會趨近於常態分配。題目提及「有 0.95 的機率樣本平均數會提供某數值的邊際誤差」，意即求在 95% 信心水準（或 0.95 雙尾機率）下，樣本平均數估計母體平均數時最大允許誤差值。

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完整解題過程

步驟一：整理已知條件

• 母體變異數 $\sigma^2 = 1936$
• 母體標準差 $\sigma = \sqrt{1936} = 44$
• 樣本數 $n = 121$
• 機率（信心水準）$1 - \alpha = 0.95$

步驟二：確定樣本平均數的抽樣分配
根據中央極限定理（Central Limit Theorem），因為樣本數 $n = 121 \ge 30$，屬於大樣本抽樣，無論母體原本的分配型態為何，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配皆會近似於常態分配，即：
$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

本題考查統計假設檢定（Hypothesis Testing）中「決策矩陣」（Decision Matrix）的核心概念。主要在測試考生是否清楚掌握虛無假設 $H_0$ 與對立假設 $H_1$ 的真實狀態，與統計決策（拒絕 $H_0$ 或不拒絕 $H_0$）之間的對應關係，特別是型一錯誤（Type I error）、型二錯誤（Type II error）以及正確決策（Correct Decision）與檢定力（Power）的定義。

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解題過程與觀念推導

在假設檢定的架構下，將真實的母體狀態與統計檢定所作出的決策進行交叉比對，可構建出如下的決策對照表：

真實狀態 \ 檢定決策	拒絕 $H_0$（Reject $H_0$）	不拒絕 $H_0$（Fail to reject $H_0$）
虛無假設 $H_0$ 為真（$H_1$ 為假）	型一錯誤（Type I Error）<br>發生機率 $= \alpha$（顯著水準）	正確決策（Correct Decision）<br>發生機率 $= 1 - \alpha$（信心水準）
對立假設 $H_1$ 為真（$H_0$ 為假）	正確決策（Correct Decision）<br>發生機率 $= 1 - \beta$（檢定力 Power）	型二錯誤（Type II Error）<br>發生機率 $= \beta$

針對本題題意進行分析：

1. 前提條件：「對立假設為真」（when the alternative hypothesis has been true），代表真實狀態下 $H_1$ 為真（即 $H_0$ 不成立/為假）。

核心觀念

本題考驗假設檢定中下界單尾檢定（左尾檢定，Lower-tailed / Left-tailed test）之 $p$ 值（p-value）定義以及標準常態分配（Standard Normal Distribution）的對稱性質。解題關鍵在於明確掌握 $p$ 值為「在虛無假設成立下，觀察到比實測統計量更偏向對立假設方向（即更極端）的機率」，並利用標準常態分配以 $z=0$ 為中心對稱的特性求得累積機率。

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解題過程

1. 定義單尾檢定與假設結構：
   對於下界單尾檢定（Lower bounds one-tailed test），虛無假設 $H_0$ 與對立假設 $H_1$ 設定如下：
   $H_0: \mu \ge \mu_0 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu < \mu_0$
   這意味著極端值（拒絕域）位於常態分配的左側尾部。

2. 寫出 $p$ 值（p-value）的機率表達式：
   依據 $p$ 值的定義，在 $H_0$ 為真的前提下，檢定統計量 $Z$ 落在比實測統計量 $z$ 更偏向對立假設 $H_1$（即小於或等於 $z$）的機率為：

核心觀念

本題考驗假設檢定（Hypothesis Testing）中**顯著水準（Level of Significance, $\alpha$；即第一型錯誤機率）與第二型錯誤機率（Type II Error Rate, $\beta$）**之間的權衡/折衷關係（Trade-off Relationship）。在樣本數 $n$ 與真實母數固定的情況下，第一型錯誤機率 $\alpha$ 與第二型錯誤機率 $\beta$ 呈現反向消長關係。

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解題過程與詳細說明

1. 第一型錯誤與第二型錯誤之定義

• 第一型錯誤機率（$\alpha$）：當虛無假設 $H_0$ 為真時，錯誤地拒絕 $H_0$ 的機率，亦即顯著水準（Level of Significance）。
  $\alpha = P(\text{拒絕 } H_0 \mid H_0 \text{ 為真})$
• 第二型錯誤機率（$\beta$）：當虛無假設 $H_0$ 為偽（即對立假設 $H_1$ 為真）時，錯誤地未拒絕 $H_0$ 的機率。
  $\beta = P(\text{未拒絕 } H_0 \mid H_1 \text{ 為真})$

2. 顯著水準提高對臨界值與拒絕域的影響

當顯著水準從 $\alpha = 0.01$ 提高至 $\alpha = 0.05$ 時：

• 拒絕域（Rejection Region）擴大：拒絕虛無假設 $H_0$ 的標準放寬（更容易拒絕 $H_0$），檢定臨界值向虛無假設的分配中心靠攏。

核心觀念

本題考查**單母體均值的假設檢定（Hypothesis Testing for Population Mean）**中，虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$）與對立假設（Alternative Hypothesis, $H_a$）的設立原則。解題關鍵在於理解研究者欲尋找數據支持的懷疑或主張必須放在對立假設 $H_a$，且虛無假設 $H_0$ 必須包含等號（代表維持現狀或對立假設的補集），進而確定本題屬於單尾檢定中的左尾檢定（Left-tailed test）。

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解題過程

1. 定義母體參數與基準值：
   設 $\mu$ 為目前休士頓一房型公寓的真實平均月租金（美元）。
   題目指出過去的歷史平均租金為 $700$ 美元，因此檢定的基準值（Baseline value）為 $700$。

2. 設立對立假設（Alternative Hypothesis, $H_a$）：

   • 為什麼放在 $H_a$？ 在統計假設檢定中，$H_a$ 代表研究者想要收集樣本證據來證實的新主張、變動或懷疑。

核心觀念

本題旨在考驗雙母體均值差（Difference Between Two Population Means）的區間估計中，學生 $t$ 分配（Student's $t$ Distribution）的適用條件與理論性質。核心觀念在於：當母體標準差 $\sigma_1, \sigma_2$ 未知時，無論樣本數是大是小，皆使用樣本標準差 $s_1, s_2$ 與 $t$ 分配來建構信賴區間；且當自由度趨近於無窮大時，$t$ 分配極限即為標準常態分配 $Z$。因此，$t$ 分配的應用絕非僅限於小樣本。

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解題過程與詳細分析

在估計兩獨立母體均值之差 $\mu_1 - \mu_2$ 的區間估計時，主要分為以下兩種情境：

1. 母體標準差 $\sigma_1, \sigma_2$ 已知：
   樞紐變量（Pivotal Quantity）服從標準常態分配 $Z$：
   $Z = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0, 1)$

2. 母體標準差 $\sigma_1, \sigma_2$ 未知（實際應用最常見）：
   必須以樣本標準差 $s_1, s_2$ 來估計母體標準差，此時標準誤改以估計值代替，樞紐變量改服從 $t$ 分配：
   $t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\text{SE}(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)} \sim t(df)$

本題的核心觀念在於考驗「簡單線性迴歸（Simple Linear Regression）」中**決定係數（Coefficient of Determination, $R^2$）與皮爾森相關係數（Pearson Correlation Coefficient, $r$）**之間的數學關係與幾何意義。學生需要掌握兩者的平方轉換關係，並理解相關係數的正負號取決於變數間的線性同向或反向關係（即迴歸斜率的正負）。

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解題過程

1. 觀念定義與關係式
   在簡單線性迴歸中，決定係數 $R^2$ 表示應變數（$Y$）的總變異中能被自變數（$X$）所解釋的比例，其值必定非負，範圍落在 $0 \le R^2 \le 1$。
   皮爾森相關係數 $r$ 則用於衡量兩變數間線性相關的方向與強度，範圍落在 $-1 \le r \le 1$。
   在單自變數的簡單線性迴歸模型中，決定係數與相關係數存在以下恆等關係：
   $R^2 = r^2$

2. 數學推導與符號判定
   若題目給定決定係數為正值（即 $R^2 > 0$），對兩邊開平方根可得：
   $r = \pm\sqrt{R^2}$

本題的核心考點為簡單線性回歸（Simple Linear Regression）中「判定係數」（Coefficient of Determination, $R^2$）與「Pearson 相關係數」（Coefficient of Correlation, $r$）之間的數學轉換關係與統計性質。判定係數用於衡量因變數總變異中可由自變數線性回歸解釋的比例，範圍在 $0$ 到 $1$ 之間；相關係數則衡量兩變數間線性關係的方向與強度，範圍在 $-1$ 到 $+1$ 之間。在單變數線性回歸模型下，判定係數等於相關係數的平方（$R^2 = r^2$），因此相關係數的絕對值可由判定係數開平方根求得（$|r| = \sqrt{R^2}$），而其正負號則完全取決於回歸直線斜率的正負方向。

解題過程

1. 相關係數與判定係數的定義與數學關係

在簡單線性回歸模型 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ 中：

• 判定係數（$R^2$）定義為回歸平方和（SSR）佔總平方和（SST）的比例：
  $R^2 = \frac{\text{SSR}}{\text{SST}}$
• Pearson 相關係數（$r$）定義為自變數與因變數之共變異數除以兩者標準差之乘積：