109 年 國立成功大學製造資訊與系統研究所乙組《統計方法》

本題在考量量尺的種類。量尺可分為四種：

1. 名目量尺 (Nominal Scale)：用於分類，類別之間沒有順序關係，例如性別（男/女）、血型（A/B/AB/O）。
2. 順序量尺 (Ordinal Scale)：用於分類，類別之間有順序關係，但類別之間的差距無法量化或不均等，例如學歷（國中/高中/大學/碩士）、滿意度（非常滿意/滿意/普通/不滿意）。

本題在考量統計學中不同概念的應用。

• 普查 (Census)：對母體中的每一個成員進行資料收集。
• 敘述統計 (Descriptive Statistics)：用圖表或數字摘要來描述資料的特性，例如平均數、標準差、頻率分配。
• 實驗 (Experiment)：研究者主動操縱一個或多個變數，以觀察其對另一變數的影響。

本題在考量數據的眾數 (Mode)。眾數是指在一個數據集中出現頻率最高的數值。

本題在考量數據的百分位數 (Percentile)。第 75 百分位數 (P75) 是指有 75% 的資料值小於或等於該數值。

首先，將給定的樣本資料排序：
資料：5, 12, 6, 8, 5, 6, 7, 5, 12, 4
排序後：4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 12, 12
共有 $n=10$ 個數據點。

計算第 $k$ 百分位數的位置 $L$ 的公式為：
$L = \frac{k}{100} \times n$

在這裡，我們要找第 75 百分位數，所以 $k=75$。
$L = \frac{75}{100} \times 10 = 0.75 \times 10 = 7.5$

本題在考量母體平均數 $\mu$ 的區間估計時所應使用的機率分配。

題目條件是：

1. 母體標準差 $\sigma$ 是已知的。
2. 樣本量 $n$ 是大的 (通常指 $n \ge 30$)。

當母體標準差 $\sigma$ 已知時，樣本平均數 $\bar{x}$ 的抽樣分配會服從常態分配（或近似常態分配），其平均值為 $\mu$，標準差為 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
因此，在進行母體平均數 $\mu$ 的區間估計時，我們可以使用標準常態分配 (Z 分配) 來建構信賴區間。

核心觀念

區間估計中，母體平均數 $\mu$ 的信賴區間取決於母體標準差 $\sigma$ 是否已知。

當母體為常態分配，且母體標準差未知，必須以樣本標準差 $S$ 估計 $\sigma$，統計量

服從自由度為 $n-1$ 的 $t$ 分配：

因此，母體標準差未知、改用樣本標準差估計時，平均數的區間估計使用 $t$ 分配。

相對地，若母體標準差 $\sigma$ 已知，則使用

並採用標準常態分配。此時平均數的信賴區間為

若 $\sigma$ 未知，則改為

解題方法

判斷本題的關鍵，在於確認區間估計中使用的是母體標準差 $\sigma$，還是樣本標準差 $S$：

• 使用已知的 $\sigma$：採標準常態分配 $Z$。
• 使用 $S$ 估計未知的 $\sigma$：採 $t$ 分配。

題目問：「在區間估計中，$t$ 分配只有在何種情況下適用？」符合條件的是「以樣本標準差估計母體標準差」，故選擇 (B)。

選項分析

(A) the population has a mean of less than 30

本題在探討顯著水準 $\alpha$ 與信賴區間寬度之間的關係。

信賴區間的寬度通常與 $Z_{\alpha/2}$ (或 $t_{\alpha/2}$) 和抽樣標準誤有關。對於比例的信賴區間，其形式大致為：
$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

其中 $\hat{p}$ 是樣本比例， $n$ 是樣本大小，$Z_{\alpha/2}$ 是與信賴水準 $(1-\alpha)$ 相關的標準常態分配的值。
信賴區間的寬度是 $2 \times Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。

題目提到，當 $\alpha = 0.04$ 時，信賴區間為 (0.65, 0.75)。
信賴水準為 $1 - \alpha = 1 - 0.04 = 0.96$ (96% 信賴區間)。
在此情況下，$Z_{\alpha/2} = Z_{0.04/2} = Z_{0.02}$。

本題在定義 P 值 (p-value) 的意義。

P 值是在「假設虛無假設 (null hypothesis, $H_0$) 為真」的前提下，觀察到目前樣本結果或比目前樣本結果更極端的結果的機率。

• P 值越小：表示目前觀察到的樣本結果（或更極端的結果）在虛無假設為真的情況下發生的機率很低，因此我們有強烈的證據去拒絕虛無假設。
• P 值越大：表示目前觀察到的樣本結果（或更極端的結果）在虛無假設為真的情況下發生的機率較高，因此我們沒有足夠的證據去拒絕虛無假設。

核心觀念

假設檢定包含：

• 虛無假設：$H_0$
• 對立假設：$H_1$

兩類錯誤定義如下：

型二錯誤的發生機率記為

其互補概念為檢定力（power）：

解題方法

題目詢問 Type II error 的意義。判斷步驟如下：

1. Type II error 發生在對立假設 $H_1$ 實際為真時。
2. 此時檢定卻沒有支持 $H_1$，而是錯誤地拒絕真實的對立假設，等價於未能拒絕 $H_0$。
3. 因此，符合「真實的對立假設被錯誤拒絕」的選項即為型二錯誤。

選項分析

• (A) a true alternative hypothesis is mistakenly rejected

本題在探討第一類錯誤 ($\alpha$) 與第二類錯誤 ($\beta$) 之間的關係。

第一類錯誤 ($\alpha$) 是指虛無假設 $H_0$ 為真時，我們卻拒絕了它。
第二類錯誤 ($\beta$) 是指虛無假設 $H_0$ 為偽時，我們卻沒有拒絕它。

$\alpha$ 和 $\beta$ 之間存在一種權衡關係。通常，在樣本大小固定以及母體變異數已知的情況下，當我們試圖降低 $\alpha$ 時（例如，從 0.05 降低到 0.01），$\beta$ 就會增加。反之，當我們試圖降低 $\beta$ 時（例如，通過增加樣本大小或提高檢定水準），$\alpha$ 就會增加。

然而，$\alpha$ 和 $\beta$ 之間並沒有一個固定的數學關係式，使得知道 $\alpha$ 就可以直接算出 $\beta$（除非有其他資訊，例如樣

本題在考量如何計算估計比例所需的最小樣本大小。

我們希望估計母體比例 (population proportion)，並設定了以下條件：

• 誤差範圍 (Margin of Error, MOE)：不超過 4%，即 $MOE \le 0.04$。
• 信賴水準 (Confidence Level)：95%。

估計比例的信賴區間公式為：
$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
其中 $\hat{p}$ 是樣本比例，$n$ 是樣本大小，$Z_{\alpha/2}$ 是與信賴水準相關的標準常態分配臨界值。
誤差範圍 (MOE) 就是信賴區間的「加減」部分：
$MOE = Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

我們需要計算最小樣本大小 $n$。
首先，找出 95% 信賴水準對應的 $Z_{\alpha/2}$ 值。
信賴水準為 95%，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
$\alpha/2 = 0.025$。
查標準常態分配表，與 0.025 尾機率對應的 $Z$ 值是 $Z_{0.025} = 1.96$。

現在，我們有：
$0.04 \ge 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

本題在考量比較兩個獨立母體平均數時，應使用的機率分配及其自由度。

題目條件：

1. 測試兩個母體平均數的差異。
2. 樣本是獨立的簡單隨機樣本。
3. 母體變異數未知 (variances are not known)。
4. 母體變異數假設相等 (assumed to be equal)。
5. 樣本大小分別為 $n_1 = 32$ 和 $n_2 = 40$。

本題在考量適合進行「適合度檢定 (Goodness of Fit Test)」的抽樣分配。

適合度檢定常用於檢定一個類別變數的實際頻率分佈是否與某個理論上的預期頻率分佈（例如，均勻分佈、常態分佈、或指定的比例）相符。
例如，擲骰子 60 次，觀察出現 1 到 6 點的次數，是否符合各點出現機率為 1/6 的理論期望。

進行適合度檢定時，我們計算一個檢定統計量，該統計量在虛無假設為真時，會近似服從 卡方分配 (chi-square distribution, $\chi^2$)。
檢定統計量的形式通常是：
$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

本題在考量適合度檢定 (Goodness of Fit Test) 的檢定方向。

適合度檢定的檢定統計量為卡方統計量 $\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$。
這個統計量衡量觀察頻率與期望頻率之間的差異。
由於 $(O_i - E_i)^2$ 總是正的（或零），所以 $\chi^2$ 統計量的值永遠是非負的。

• 當觀察頻率 $O_i$ 與期望頻率 $E_i$ 非常接近時，$\chi^2$ 的值會很小（接近 0）。

本題屬於條件機率問題，要求計算在已知某事件發生的情況下，另一事件發生的機率。

題幹提供了一個交叉表，顯示了員工對工作週偏好的分佈，並按性別分類。
總員工人數為 6,000 人。

小題 (a) 要求計算：如果一個隨機選出的員工是女性，那麼她偏好彈性工時 (flexible hours) 的機率是多少？
這是一個條件機率問題，表示為 $P(\text{Flexible} | \text{Female})$。

本題同樣是條件機率問題。

小題 (b) 要求計算：如果一個隨機選出的人偏好彈性工時 (flexible time)，那麼這個人是女性的機率是多少？
這表示為 $P(\text{Female} | \text{Flexible})$。

根據條件機率的定義：
$P(\text{Female} | \text{Flexible}) = \frac{\text{偏好彈性工時且是女性的人數}}{\text{偏好彈性工時的總人數}}$

本題考量二項分配 (Binomial Distribution)。

題目條件：

• 母體中女性選民的比例 $p = 0.40$。
• 樣本大小 $n = 5$ (隨機選取的 5 位選民)。
• 每次選取都是獨立的。
• 我們關心的是樣本中包含多少女性選民。

這符合二項分配的條件：

1. 試驗次數固定 ($n=5$)。
2. 每次試驗只有兩種結果：成功（選到女性）或失敗（選到男性）。
3. 成功的機率 $p=0.4$ 在每次試驗中是相同的。
4. 各次試驗之間是獨立的。

我們要求的是樣本中恰好有 2 位女性選民的機率，即 $P(X=2)$，其中 $X$ 是樣本中女性選民的數量。
二項分配的機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

本題同樣考量二項分配。

我們使用與小題 (a) 相同的參數：

• 樣本大小 $n = 5$。
• 女性選民的機率 $p = 0.4$。
• 男性選民的機率 $1-p = 0.6$。

小題 (b) 要求計算樣本中沒有女性選民的機率，即 $P(X=0)$，其中 $X$ 是樣本中女性選民的數量。
使用二項分配的機率質量函數 (PMF)：
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

在此題中，$n=5$, $k=0$, $p=0.4$, $1-p=0.6$。

本題考量均勻分佈 (Uniform Distribution)。

題目條件：

• 旅行時間 $X$ 服從在區間 $[40, 90]$ 上的均勻分佈。
• 區間的長度 $b-a = 90 - 40 = 50$ 分鐘。
• 均勻分佈的機率密度函數 (PDF) 為 $f(x) = \frac{1}{b-a}$，對於 $a \le x \le b$，否則為 0。
  所以，在本題中，$f(x) = \frac{1}{50}$，對於 $40 \le x \le 90$，否則為 0。

小題 (a) 要求計算：旅行時間在 80 分鐘或更少，即 $P(X \le 80)$ 的機率。

對於連續型分佈，機率是機率密度函數在某個區間上的積分。
$P(X \le 80) = \int_{40}^{80} f(x) dx$

本題同樣考量均勻分佈。

題目條件與小題 (a) 相同：

• 旅行時間 $X$ 服從在區間 $[40, 90]$ 上的均勻分佈。
• 區間長度 $b-a = 50$ 分鐘。
• 機率密度函數 $f(x) = \frac{1}{50}$，對於 $40 \le x \le 90$。

小題 (b) 要求計算：旅行時間超過 60 分鐘的機率，即 $P(X > 60)$。

由於旅行時間是連續的，所以 $P(X > 60) = P(X \ge 60)$。
我們關心的區間是 $(60, 90]$。

本題考量樣本比例的標準誤 (Standard Error of the Proportion)。

題目條件：

• 母體中居住在宿舍的學生比例 $p = 0.40$。
• 樣本大小 $n = 80$。

我們需要計算樣本比例 $\hat{p}$ 的標準差，這被稱為樣本比例的標準誤 (SE)。
標準誤的公式為：
$SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

這裡的 $p$ 是母體比例。由於我們知道母體比例 $p=0.4$，我們可以直接使用它來計算標準誤。

本題考量樣本比例的抽樣分佈，並計算機率。

題目條件：

• 母體比例 $p = 0.40$。
• 樣本大小 $n = 80$。
• 我們計算了樣本比例的標準誤 $SE(\hat{p}) \approx 0.05477$ (來自小題 4a)。

根據中央極限定理 (Central Limit Theorem)，當樣本大小足夠大時（通常 $np \ge 10$ 且 $n(1-p) \ge 10$），樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分佈近似於常態分佈，其平均值為 $p$ 且標準差為 $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$。

驗證條件：
$np = 80 \times 0.40 = 32 \ge 10$
$n(1-p) = 80 \times 0.60 = 48 \ge 10$
條件滿足，所以 $\hat{p}$ 近似服從常態分配。

我們需要計算機率 $P(0.30 < \hat{p} < 0.50)$。
為了計算這個機率，我們需要將 $\hat{p}$ 的值標準化為 Z 分數：
$Z = \frac{\hat{p} - p}{SE(\hat{p})}$

計算 Z 分數：
對於 $\hat{p} = 0.30$:
$Z_1 = \frac{0.30 - 0.40}{0.05477} = \frac{-0.10}{0.05477} \approx -1.8256$

對於 $\hat{p} = 0.50$:
$Z_2 = \frac{0.50 - 0.40}{0.05477} = \frac{0.10}{0.05477} \approx 1.8256$

現在我們需要計算 $P(-1.8256 < Z < 1.8256)$。
這可以通過查標準常態分配表來獲得。

本題要求計算離散型隨機變數的期望值 (平均數 $\mu$) 和標準差 $\sigma$。

給定的隨機變數 $X$ 的機率分佈如下：

• $X = -1$ 的機率 $P(X=-1) = P_1 = 1/8$
• $X = 0$ 的機率 $P(X=0) = P_2 = 3/4$
• $X = +1$ 的機率 $P(X=+1) = P_3 = 1/8$

首先，檢查機率總和是否為 1：
$P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{8} + \frac{3}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1}{8} + \frac{6}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1$
機率總和為 1，分佈是有效的。

1. 計算期望值 $\mu$ (Mean)
期望值 $\mu$ 的計算公式為：
$\mu = E(X) = \sum x P(X=x)$

$\mu = (-1) \times P(X=-1) + (0) \times P(X=0) + (1) \times P(X=+1)$
$\mu = (-1) \times \frac{1}{8} + (0) \times \frac{3}{4} + (1) \times \frac{1}{8}$
$\mu = -\frac{1}{8} + 0 + \frac{1}{8}$
$\mu = 0$

本題在考量統計檢定中如何設定虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_a$)。

題目背景：

• 汽車經理考慮新的獎勵計畫以增加銷售。
• 目前，每位銷售人員的平均銷售率是每月 5 輛汽車。
• 我們需要為測試獎勵計畫的效果設定正確的假設。

統計檢定的目的是判斷某個措施（在此是獎勵計畫）是否對某個指標（在此是銷售率）產生了顯著影響。

虛無假設 ($H_0$)：通常代表「沒有改變」、「沒有效果」或「現狀」。它假設獎勵計畫對銷售率沒有影響。
對立假設 ($H_a$ 或 $H_1$)：代表我們希望證明的事情，即獎勵計畫確實有效果。

在此情境下，獎勵計畫的目標是「增加銷售」。因此，我們希望檢定的是銷售率是否「大於」目前的平均值。