113 年 國立成功大學製造資訊與系統研究所乙組《生產管理》

核心觀念

本題考查作業管理／生產管理中的服務業員工排程（Workforce Scheduling / Cyclic Staffing Problem），採用經典的「連續休假兩日啟發式排程法（Tibrewala, Philippe, and Browne 演算法，簡稱 TPB 啟發式演算法）」。

核心規則與限制如下：

1. 每位全職員工每週工作 5 天，必須連續排休 2 天（即工作 5 天、休息 2 天）。
2. 本題附加特殊限制：週四（Thur.）與週五（Fri.）不提供排休。因此，合法的休假組合（連續兩天）不可包含週四或週五。

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解題方法

步驟一：分析合法的連續休假兩天組合

正常情況下一週有 7 組連續休假組合：

• (Mon, Tue), (Tue, Wed), (Wed, Thur), (Thur, Fri), (Fri, Sat), (Sat, Sun), (Sun, Mon)

依題目規定「週四與週五不可排休」，故凡包含 Thur. 或 Fri. 的休假組合皆不可行：

• 排除 (Wed, Thur)、(Thur, Fri)、(Fri, Sat)。
• 合法的連續休假兩天組合僅剩 4 組：
  1. (Mon, Tue)
  2. (Tue, Wed)
  3. (Sat, Sun)
  4. (Sun, Mon)

步驟二：推導各天出勤與休假的數學關係

設各合法休假組合指派的員工人數分別為：

• $x_1$：休 (Mon, Tue) 的人數
• $x_2$：休 (Tue, Wed) 的人數
• $x_3$：休 (Sat, Sun) 的人數
• $x_4$：休 (Sun, Mon) 的人數

所有員工總數 $N = x_1 + x_2 + x_3 + x_4$。

由於週四與週五完全無人休假，所有被聘用的員工在週四與週五都必須上班。因此：

• 週四實際上班人數：$W_{\text{Thur}} = N$
• 週五實際上班人數：$W_{\text{Fri}} = N$

各天實際出勤人數（$W$）等於總人數 $N$ 扣除當天休假人數：

• 週一：$W_{\text{Mon}} = N - (x_1 + x_4) \ge 9$
• 週二：$W_{\text{Tue}} = N - (x_1 + x_2) \ge 2$
• 週三：$W_{\text{Wed}} = N - x_2 \ge 8$
• 週四：$W_{\text{Thur}} = N \ge 6$
• 週五：$W_{\text{Fri}} = N \ge 9$
• 週六：$W_{\text{Sat}} = N - x_3 \ge 1$
• 週日：$W_{\text{Sun}} = N - (x_3 + x_4) \ge 3$

步驟三：求解滿足所有人力需求的最小總人數 $N$

從出勤限制反推休假日數上限：

1. $x_1 + x_4 \le N - 9$
2. $x_1 + x_2 \le N - 2$
3. $x_2 \le N - 8$
4. $x_3 \le N - 1$
5. $x_3 + x_4 \le N - 3$

核心觀念

本題屬於作業研究與生產管理中的**等候理論（Queueing Theory）與帕松過程（Poisson Process）**的綜合應用題型。核心觀念包含：

1. $M/M/1$ 等候模型穩態分析：

   • 到達過程（Arrival process）服從到達率為 $\lambda$ 的帕松過程。
   • 服務時間（Service time）服從參數為 $\mu$ 的指數分配，單一跑道服務（單一服務台）。
   • 當系統處於穩態（Steady-State, $\rho = \frac{\lambda}{\mu} < 1$）時：
     • 系統內平均飛機數（含起飛中）： $$L = \frac{\lambda}{\mu - \lambda} = \frac{\rho}{1 - \rho}$$
     • 等候線中平均排隊飛機數（不含起飛中）： $$L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} = \frac{\rho^2}{1 - \rho} = L - \rho$$

2. 暴風雨期間的狀態變化與排隊定義：

   • 題意說明：「all airplanes which have not commenced take-off have just been grounded temporarily」，代表暴風雨開始瞬間，尚未開始起飛的飛機全部暫停起飛（留滯於等候線中）；而若已有飛機正在起飛，則該起飛程序需完成。
   • 在長達 30 分鐘（0.5 小時）的暴風雨期間，跑道關閉停止新的起飛作業，但飛機仍持續依照相同的帕松過程到達。
   • 長度為 $t$ 的時間區間內，帕松到達數量的期望值為 $E[\text{Arrivals in } t] = \lambda t$。
   • 暴風雨結束時「正在等待起飛（waiting to take off）」的飛機總期望數，等於「暴風雨開始時留下來排隊的飛機期望數」加上「暴風雨 30 分鐘期間新到達的飛機期望數」。

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解題方法

步驟一：單位統一與參數設定

• 到達率 $\lambda = 20\text{ 架/小時}$。
• 平均起飛服務時間 $E[S] = 2\text{ 分鐘} = \frac{1}{30}\text{ 小時}$。
• 服務率 $\mu = \frac{1}{E[S]} = 30\text{ 架/小時}$。
• 伺服器使用率（Traffic Intensity）： $$\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} < 1$$ 符合穩態條件。

步驟二：求暴風雨前夕留滯的排隊飛機期望數

在暴風雨來臨前，系統已達穩態。依題意「all airplanes which have not commenced take-off have just been grounded temporarily」，尚未開始起飛的飛機即為等候線中排隊的飛機（Queue）：

$$L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)} = \frac{\rho^2}{1 - \rho} = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^2}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}\text{ 架}$$

核心觀念

本題考查 PERT 三點估計法、關鍵路徑與完工機率。

對於每項工作，設：

• 樂觀時間：$a$
• 最可能時間：$m$
• 悲觀時間：$b$

PERT 的期望工作時間為：

$$t_e=\frac{a+4m+b}{6}$$

工作時間變異數為：

$$\sigma^2=\left(\frac{b-a}{6}\right)^2$$

專案期望工期取各條路徑期望工期中的最大值，該路徑即為「平均關鍵路徑」。完工機率則以平均關鍵路徑的總工期近似常態分配。

解題方法

一、計算各工作的期望時間與變異數

工作	期望時間 $t_e$	變異數 $\sigma^2$
A	$\frac{3+4(4)+5}{6}=4$	$\left(\frac{5-3}{6}\right)^2=\frac{1}{9}$
B	$\frac{2+4(2)+2}{6}=2$	$\left(\frac{2-2}{6}\right)^2=0$
C	$\frac{3+4(5)+6}{6}=\frac{29}{6}$	$\left(\frac{6-3}{6}\right)^2=\frac{1}{4}$
D	$\frac{1+4(3)+5}{6}=3$	$\left(\frac{5-1}{6}\right)^2=\frac{4}{9}$
E	$\frac{2+4(3)+5}{6}=\frac{19}{6}$	$\left(\frac{5-2}{6}\right)^2=\frac{1}{4}$

二、列出所有可能路徑

依照先後關係，可形成三條主要路徑：

1. $A\rightarrow B\rightarrow C$

$$\mu_{ABC}=4+2+\frac{29}{6} =\frac{65}{6} \approx 10.833\text{ 週}$$

2. $A\rightarrow B\rightarrow E$

$$\mu_{ABE}=4+2+\frac{19}{6} =\frac{55}{6} \approx 9.167\text{ 週}$$

3. $A\rightarrow D\rightarrow E$

$$\mu_{ADE}=4+3+\frac{19}{6} =\frac{61}{6} \approx 10.167\text{ 週}$$

其中，$E$ 必須等待 $B$ 與 $D$ 都完成，因此上述三條路徑均須納入比較。

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（a）找出平均關鍵路徑

比較各路徑的期望工期：

$$\frac{65}{6}>\frac{61}{6}>\frac{55}{6}$$

因此平均關鍵路徑為：

$$\boxed{A\rightarrow B\rightarrow C}$$

此題為典型的庫存管理問題，考察固定訂購量系統 (Fixed-Quantity System) 下的再訂購點 (Reorder Point, ROP) 計算。

核心觀念：

1. 固定訂購量系統 (Q system)： 當庫存量下降到某個預設的點（再訂購點 ROP）時，就訂購固定數量的產品 (Q)。
2. 再訂購點 (ROP)： ROP 的目的是確保在新的訂單送達之前，庫存量不會耗盡。它等於「預期在交期 (Lead Time) 內的總需求」加上「安全庫存 (Safety Stock)」。
   $ROP = \text{Demand during Lead Time} + \text{Safety Stock}$
3. 交期內的平均需求：
   平均需求率 (Demand Rate) $\times$ 交期 (Lead Time)
   在此題中，需求率是「平均每週需求」。
4. 安全庫存 (Safety Stock, SS)： 為了應對需求或交期的變異性，而額外持有的庫存。安全庫存的計算方式為：
   $SS = Z \times \sigma_{LT}$
   其中：
   • $Z$ 是為了達到目標服務水準 (Service Level) 所需的標準差倍數 (Number of standard deviations)。
   • $\sigma_{LT}$ 是交期內總需求的標準差。

解題步驟：

1. 識別已知參數：

   • 平均每週需求 ($D_{weekly}$) = 100 磅/週。
   • 每週需求的標準差 ($\sigma_{weekly}$) = 7 磅/週。
   • 交期 (Lead Time, LT) = 2 週。
   • 目標服務水準 (Service Level) = 95%。
   • 達成 95% 服務水準所需的 Z 值 = 1.645。

2. 計算交期內的平均需求：
   平均交期內需求 = 平均每週需求 $\times$ 交期
   $D_{LT} = D_{weekly} \times LT = 100 \text{ 磅/週} \times 2 \text{ 週} = 200$ 磅。

3. 計算交期內需求的標準差 ($\sigma_{LT}$)：
   由於需求是隨機變異的，且我們關心的是交期內的總需求標準差。
   假設每週的需求是獨立且同分佈的 (i.i.d.)。
   若交期為 $L$ 週，則交期內總需求的標準差為：
   $\sigma_{LT} = \sigma_{weekly} \times \sqrt{LT}$
   $\sigma_{LT} = 7 \text{ 磅/週} \times \sqrt{2 \text{ 週}} = 7 \sqrt{2}$ 磅。
   $\sqrt{2} \approx 1.414$
   $\sigma_{LT} \approx 7 \times 1.414 \approx 9.898$ 磅。

4. 計算安全庫存 (Safety Stock, SS)：
   $SS = Z \times \sigma_{LT}$
   $SS = 1.645 \times (7 \sqrt{2})$ 磅
   $SS \approx 1.645 \times 9.898 \approx 16.292$ 磅。

核心觀念

本題出自作業管理（Operations Management）中的長期產能規劃（Capacity Planning），原型為經典教材（如 Chase, Jacobs & Aquilano 或 Stevenson）中的產能需求估算問題。

評估未來特定時期的產能需求時，核心步驟與公式如下：

1. 總需求量（Total Forecast Demand）：

   $$D = \sum_{i} d_i$$

   其中 $d_i$ 為產品族群中各品項在該年度的預測需求量。

2. 設備產能需求量（Equipment / Machine Capacity Requirements）：
   計算滿足該需求所需的機台數量：

   $$N_{\text{machine}} = \frac{D}{C_{\text{unit}}}$$

   其中 $C_{\text{unit}}$ 為單一機台一年可生產的最大產能（產量上限）。

3. 人力產能需求量（Labor / Operator Capacity Requirements）：
   計算操作所需設備所需的作業員總人數：

   $$N_{\text{labor}} = N_{\text{machine}} \times (\text{每台機台所需之操作人數})$$

4. 產能缺口評估（Capacity Gap / Additional Capacity Needed）：
   比較「所需產能」與「現有可用產能（Available Capacity）」，以判定是否需要擴充設備與增聘人員。

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解題方法

題目要求計算**第四年（Year 4）**對於塑膠（Plastic）與青銅（Bronze）噴水頭的產能需求。已知各生產線能通用生產該材質的所有規格（90°、180°、360°），且無學習效應（No learning effect）。

步驟一：彙整第四年（Year 4）各產品線的總需求量（單位：千件）

1. 塑膠噴水頭（Plastic Sprinklers）第四年需求量：

   $$D_{\text{plastic, 4}} = 56 + 18 + 10 = 84\text{（千件）} = 84{,}000\text{ 件}$$

2. 青銅噴水頭（Bronze Sprinklers）第四年需求量：

   $$D_{\text{bronze, 4}} = 6 + 16 + 6 = 28\text{（千件）} = 28{,}000\text{ 件}$$

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步驟二：計算塑膠產能需求（Plastic Capacity Requirements）

• 單機年產能：1 台射出成型機（Injection molding machine）可產出 $200{,}000$ 件，需配置 $4$ 名操作員。
• 現有機台數：$1$ 台。

1. 機台需求量：

   $$N_{\text{plastic machines}} = \frac{84{,}000}{200{,}000} = 0.42\text{ 台}$$

   若不進行產能分割（整數機台），實體上需要 1 台 射出成型機即可應付需求。其第四年設備稼動率（Capacity Utilization）為：

   $$\text{Utilization} = \frac{84{,}000}{200{,}000} \times 100\% = 42\%$$

2. 操作員需求量：

   • 以名義機台比例需求計算：$0.42 \times 4 = 1.68$ 名操作員。
   • 若維持 1 台整機運轉（配置專屬人力），則需要 4 名 操作員（或依 42% 產能比例換算需 1.68 人年之工時）。