本題主要探討需求規劃與庫存管理中的幾個重要概念，包含 DRP 的處理邏輯、與 MRP 及 ROP 的比較、供應鏈中的牛鞭效應及其成因與改善建議。

(a) DRP 處理邏輯的三個階段
DRP (Distribution Requirement Planning) 是一種規劃經銷商網絡中各層級庫存需求的技術。其處理邏輯主要可分為三個階段：

1. 需求彙總 (Demand Aggregation)：

   • 此階段首先彙總來自終端客戶或下一級經銷商的需求。
   • 將這些需求與安全庫存 (Safety Stock) 和預計的在途庫存 (Inventory in Transit) 結合，計算出總的淨需求。
   • 此階段的關鍵在於準確預測各個經銷點的實際需求。

2. 批次尺吋決定 (Lot Sizing)：

   • 根據計算出的總淨需求，決定每次訂購或生產的數量。
   • 這涉及到選擇合適的批次尺吋規則，例如 EOQ (Economic Order Quantity)、LFL (Lot-for-Lot)、POQ (Period Order Quantity) 等，以平衡訂購成本、持有成本和缺貨成本。
   • 批次尺吋的決定會影響訂購頻率和平均庫存水平。

3. 訂購/補貨時機與數量計算 (Order/Replenishment Timing and Quantity Calculation)：

   • 此階段基於批次尺吋的決定，計算出實際的訂購或補貨時間點和數量。
   • 考慮到訂單提前期 (Lead Time)，DRP 會預測何時需要發出訂單，以確保在預計需求發生前，貨物能夠到達。
   • DRP 會產生補貨訂單，這些訂單會傳遞給供應商或上一級倉庫。

(b) DRP 與 MRP 的比較表

特性	物料需求規劃 (MRP)	分銷需求規劃 (DRP)
規劃對象	生產製造體系中的零件、組件、原材料。	經銷體系中成品的庫存需求，通常是針對多級經銷網絡。
輸入	主生產計劃 (MPS)、物料清單 (BOM)、現有庫存、採購訂單、生產訂單。	來自下一級（如零售商、客戶）的需求預測、在途庫存、安全庫存目標。
輸出	採購訂單建議、生產訂單建議。	補貨訂單建議（發送給供應商或上一級倉庫）。
邏輯	從最終產品的需求反向推導出所需零件和原材料的需求。	從經銷網絡低層級的需求向上彙總，再向下分配（或稱為「推」模式）。
應用範圍	主要用於製造企業的內部生產和物料管理。	主要用於已完成產品的銷售、分銷和庫存管理。
時間視角	通常以生產線的生產週期和物料的採購週期為基礎。	通常以訂單週期、運輸週期和經銷商庫存週期為基礎。
目的	確保在正確的時間以正確的數量獲得正確的物料，以支持生產計劃。	確保在正確的時間以正確的數量將正確的產品補充到經銷網絡的各個節點，以滿足客戶需求。

(c) DRP 與 ROP 的比較表

特性	分銷需求規劃 (DRP)	再訂購點 (ROP)
規劃方法	是一個計劃系統，基於預測的需求，計算未來一段時間內的補貨需求。	是一個觸發點，當庫存水平下降到預設的水平時，觸發訂購。
需求類型	主要處理預測性需求，特別是多級經銷網絡中的需求。	主要處理獨立需求，通常用於單一庫存點或物料。
計算基礎	彙總下游需求，考慮安全庫存、在途庫存，並使用批次尺吋規則。	庫存水平 = 平均日需求 × 提前期 + 安全庫存。
訂購時機	計劃性訂購，基於對未來需求的預測和規劃。

核心觀念

本題考查生產計畫與控制（Production Planning and Control, PPC）的階層架構，以及進階規劃與排程（Advanced Planning and Scheduling, APS）相較於傳統方法的改善方向。

傳統生產規劃通常採用「由上而下、逐層展開」的邏輯：

$$需求預測與企業策略 \rightarrow 生產總計畫 \rightarrow 主生產排程 \rightarrow 物料需求規劃 \rightarrow 產能需求規劃 \rightarrow 現場排程與控制$$

APS 則將需求、物料、產能、設備、交期與限制條件放在同一個整合模型中，透過有限產能排程與最佳化方法，同時考慮「要生產什麼」以及「實際能否生產」。

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（a）傳統生產規劃的階層處理邏輯

傳統生產計畫與控制可分為以下階層。

1. 企業策略與需求管理

最上層根據市場需求、銷售預測、訂單、庫存政策、產品策略與企業目標，決定未來一段期間的生產方向。

此階段的規劃時間較長，通常以月、季或年為單位，重點是：

• 生產總量
• 產品群比例
• 產能擴充或外包
• 庫存水準
• 人力與設備資源配置

2. 生產總計畫（Aggregate Production Planning, APP）

生產總計畫將市場需求轉化為各期間的總體生產數量，並決定正常工時、加班、外包、庫存與缺貨等政策。

其規劃對象通常是產品族，而非單一產品。基本的庫存平衡關係可表示為：

$$I_t=I_{t-1}+P_t-D_t$$

其中：

• $I_t$：第 $t$ 期末庫存
• $P_t$：第 $t$ 期生產量
• $D_t$：第 $t$ 期需求量

若考慮加班、外包與缺貨，則可進一步加入相應成本與限制條件。

3. 主生產排程（Master Production Schedule, MPS）

MPS 將生產總計畫細分為具體產品與期間，回答：

哪一種最終產品，要在何時完成，以及完成多少數量？

MPS 通常以週或日為時間單位，並以最終產品或主要組件為規劃對象。MPS 必須同時參考：

• 客戶訂單
• 預測需求
• 現有庫存
• 已排定生產量
• 生產批量
• 交期與安全庫存

4. 物料需求規劃（Material Requirements Planning, MRP）

MRP 根據 MPS、物料清單（Bill of Materials, BOM）、庫存資料與採購／製造前置時間，將最終產品需求展開為零組件與原材料需求。

MRP 的基本邏輯為：

1. 由最終產品需求展開 BOM。
2. 扣除現有庫存與已下訂單。
3. 計算各階層物料的淨需求。
4. 依前置時間倒推開工或採購時間。

淨需求可概念化表示為：

$$\text{淨需求} = \text{毛需求} - \text{可用庫存} - \text{已排定到貨量}$$

MRP 的重點是「需要哪些物料、需要多少、何時需要」，但傳統 MRP 通常先假設產能足夠，再進行產能檢查。

5. 產能需求規劃（Capacity Requirements Planning, CRP）

CRP 將 MRP 所產生的製令與採購需求，轉換為各工作中心的產能需求，並與可用產能比較。

基本判斷為：

$$\text{負荷量} \leq \text{可用產能}$$

若負荷超過產能，傳統做法通常需要人工調整：

• 延後部分訂單
• 改變批量
• 增加加班
• 外包
• 調整製程路徑
• 修改 MPS 或 MRP 結果

6. 現場排程與生產控制

最後將製令安排至機台、人員與工作中心，決定實際加工順序，並追蹤：

• 工單進度
• 在製品數量
• 設備狀態
• 品質異常
• 物料短缺
• 交期達成率

因此，傳統階層式邏輯可整理如下：

階層	規劃工具	主要問題
長期／策略層	需求管理、生產總計畫	生產多少、資源如何配置
中期層	MPS	哪些產品何時生產
物料層	MRP	零組件與原料何時需要
產能層	CRP	各工作中心是否有足夠產能
短期執行層	現場排程與控制	實際加工順序與進度控制

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（b）傳統生產規劃的缺點

1. 物料規劃與產能規劃彼此分離

傳統 MRP 主要根據需求與 BOM 計算物料需求，通常先假設產能可以配合；CRP 則在後續階段才檢查產能。

因此可能出現：

• 物料已到貨，但機台沒有空檔。
• 製令已發出，但關鍵工作中心超載。
• 某些零件提前完成，另一些零件卻因瓶頸延遲。
• 計畫上的交期無法在現場實現。

2. 採用無限產能假設

傳統 MRP 常將製令依前置時間倒推，形成理論上的開工日期，但未充分考慮：

• 機台可用時間
• 人員技能
• 換模時間
• 設備維修
• 批次限制
• 瓶頸工作中心
• 製程替代路徑

因此排出的結果可能在數學上完整，實際上卻無法執行。

3. 階層之間反覆回饋，計畫容易不穩定

當 CRP 發現產能不足時，必須回頭修改 MPS 或 MRP；修改後又會影響採購、製令與現場排程，形成反覆調整。

此種現象常造成：

• 排程頻繁變動
• 工單取消或重排
• 採購日期不斷修改
• 現場人員無法依穩定計畫作業

4. 對突發事件反應速度不足

傳統規劃通常按照固定批次或週期執行，若發生下列事件，重新計算速度較慢：

• 急單插入
• 設備故障
• 原料延遲
• 良率下降
• 臨時缺工
• 客戶變更交期

計畫往往必須由規劃人員手動調整，難以即時產生新的可行方案。

5. 各部門資料與目標缺乏整合

銷售、生產、採購、庫存與物流可能各自使用不同資料與績效目標，導致：

• 銷售追求快速交貨
• 生產追求大批量與高稼動率
• 採購追求低單價與大量採購
• 庫存部門追求低庫存

若缺乏整體最佳化，局部最適可能造成全體績效下降。

6. 前置時間常被視為固定值

傳統 MRP 常使用固定且預先設定的製造或採購前置時間。但實際前置時間會受到排隊、設備故障、換線與批量變動影響。

當實際前置時間與設定值不同時，就容易產生：

• 交期延誤
• 零件過早到貨
• 在製品增加
• 排程失真

7. 難以同時最佳化多個目標

傳統方法通常是依照規則逐步計算，較難同時處理：

• 交期達成率
• 總成本
• 庫存成本
• 換線成本
• 機台利用率
• 加班成本
• 急單優先權

因此通常只能得到一個可計算的計畫，不一定是整體最有效率的計畫。

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（c）APS 中物料導向規劃與產能導向規劃的差異

APS 通常同時包含物料導向與產能導向兩種規劃觀點。

1. 物料導向規劃（Material-Oriented Planning）

物料導向規劃以需求與物料供應為核心，主要關心：

• 需要生產哪些產品
• 需要哪些零組件與原料
• 各項物料需要多少數量
• 何時需要物料
• 採購或製造前置時間是否足夠

其主要輸入包括：

核心觀念

本題考查庫存管理中的經濟生產批量模型（Economic Production Quantity, EPQ），亦稱非即時補貨模型（Gradual Delivery Model / Production Order Quantity, POQ）。

1. 基本假設：
   • 生產率為 $p$（產出速率），需求率為 $d$（消耗速率），且生產率大於需求率（$p > d$）。
   • 在生產期間（Uptime），生產與消耗同時進行，庫存以淨累積速率 $(p - d)$ 增加。
   • 在非生產期間（Downtime），僅進行消耗，庫存以速率 $d$ 遞減。
2. 關鍵公式：
   • 年需求量：$D = d \times N$（$N$ 為每年工作天數）
   • 最佳經濟生產批量：
     $Q^* = \sqrt{\frac{2DS}{H\left(1 - \frac{d}{p}\right)}}$
   • 最高庫存水準：
     $I_{\max} = Q\left(1 - \frac{d}{p}\right)$
   • 生產週期各階段佔比：
     • 生產期佔比（Uptime Proportion）：$\frac{t_p}{T} = \frac{d}{p}$
     • 停機期佔比（Downtime Proportion）：$\frac{t_d}{T} = 1 - \frac{d}{p}$
   • 年總持有與設置成本：
     $TC(Q^*) = \frac{D}{Q^*}S + \frac{I_{\max}}{2}H = \sqrt{2DSH\left(1 - \frac{d}{p}\right)}$
   • 年總利潤：
     $\text{Annual Profit} = \text{Total Revenue} - \text{Total Cost} = (r \times D) - (C \times D) - TC(Q^*)$

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題目參數整理與符號定義

題目將產品視為玻璃窗（以單位/磅計，1 window 視為 1 單位）：

• 日生產率：$p = 1,000\text{ 單位/天}$
• 日需求率：$d = 240\text{ 單位/天}$
• 每年工作天數：$N = 250\text{ 天}$
• 年需求量：$D = d \times N = 240 \times 250 = 60,000\text{ 單位/年}$
• 每次生產設置成本：$S =$$45,000
• 單位變動生產成本：$C =$$$100\text{ /單位}$
• 年持有成本率：$i = 10\%$
• 單位年持有成本：$H = i \times C = 10\% \times$$$100 =$$$10\text{ /單位}\cdot\text{年}$
• 單位售價：$r =$$$200\text{ /單位}$

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解題方法與步驟

(a) 最佳經濟生產批量 $Q^*$（Optimal EPQ Size）

將參數代入 EPQ 公式：

$Q^* = \sqrt{\frac{2DS}{H\left(1 - \frac{d}{p}\right)}} = \sqrt{\frac{2 \times 60,000 \times 45,000}{10 \times \left(1 - \frac{240}{1,000}\right)}}$

計算分母與分子：

• 生產消耗調整因子：$1 - \frac{d}{p} = 1 - 0.24 = 0.76$
• 分子：$2 \times 60,000 \times 45,000 = 5,400,000,000$
• 分母：$10 \times 0.76 = 7.6$

$Q^* = \sqrt{\frac{5,400,000,000}{7.6}} = \sqrt{710,526,315.79} \approx 26,655.70\text{ 單位（磅）}$

取整數約為 $26,656\text{ 單位}$。

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(b) 最高庫存水準 $I_{\max}$（Maximal Inventory Level）

在生產期 $t_p = \frac{Q^*}{p}$ 結束的瞬間，庫存達到最大值：

$I_{\max} = t_p \times (p - d) = \frac{Q^*}{p}(p - d) = Q^*\left(1 - \frac{d}{p}\right)$

代入 $Q^* \approx 26,655.70$ 與 $1 - \frac{d}{p} = 0.76$：

$I_{\max} = 26,655.70 \times 0.76 \approx 20,258.33\text{ 單位（磅）}$

取整數約為 $20,258\text{ 單位}$。

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(c) 生產期（Uptime）與停機期（Downtime）佔週期的比例

核心觀念

本題是平衡型運輸問題。令 $x_{ij}$ 表示每月由工廠 $i$ 運送至配銷中心 $j$ 的雨衣數量。

總供給量為

$$19+23+18=60$$

總需求量為

$$4(15)=60$$

供給等於需求，因此可使用標準運輸單純形法。共有 $3+4-1=6$ 個基本變數。

運輸單純形法使用位勢 $u_i,v_j$：

• 基本格滿足 $u_i+v_j=c_{ij}$。
• 非基本格的改進指標為 $$\Delta_{ij}=c_{ij}-(u_i+v_j)$$
• 最小化問題若所有非基本格皆有 $\Delta_{ij}\ge 0$，則目前解為最適解。
• 若有 $\Delta_{ij}<0$，選取負值格進入基底，沿封閉迴路正負交替調整。

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（a）線性規劃模型

單位運輸成本等於距離，因此目標函數為

$$\begin{aligned} \min Z={}&40x_{11}+24x_{12}+56x_{13}+44x_{14}\\ &+36x_{21}+32x_{22}+48x_{23}+24x_{24}\\ &+28x_{31}+16x_{32}+52x_{33}+32x_{34} \end{aligned}$$

供給限制：

$$x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{14}=19$$ $$x_{21}+x_{22}+x_{23}+x_{24}=23$$ $$x_{31}+x_{32}+x_{33}+x_{34}=18$$

需求限制：

$$x_{11}+x_{21}+x_{31}=15$$ $$x_{12}+x_{22}+x_{32}=15$$ $$x_{13}+x_{23}+x_{33}=15$$ $$x_{14}+x_{24}+x_{34}=15$$

且

$$x_{ij}\ge 0$$

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（b）參數表與運輸單純形法

1. 運輸參數表

工廠／配銷中心	DC1	DC2	DC3	DC4	供給量
Plant 1	40	24	56	44	19
Plant 2	36	32	48	24	23
Plant 3	28	16	52	32	18
需求量	15	15	15	15	60

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2. 西北角法求初始可行解

依序配置：

$$x_{11}=15,\quad x_{12}=4,\quad x_{22}=11,$$ $$x_{23}=12,\quad x_{33}=3,\quad x_{34}=15$$

初始配置如下：

	DC1	DC2	DC3	DC4	供給
Plant 1	$40\;(15)$	$24\;(4)$	56	44	19
Plant 2	36	$32\;(11)$	$48\;(12)$	24	23
Plant 3	28	16	$52\;(3)$	$32\;(15)$	18
需求	15	15	15	15

括號內為配置數量。初始運輸成本為

$$Z_0=15(40)+4(24)+11(32)+12(48)+3(52)+15(32)=2260$$

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3. 運輸單純形迭代

初始基底為

$$\{x_{11},x_{12},x_{22},x_{23},x_{33},x_{34}\}$$

令 $u_1=0$，由基本格求得

$$(u_1,u_2,u_3)=(0,8,12)$$ $$(v_1,v_2,v_3,v_4)=(40,24,40,20)$$

初始非基本格改進指標為：

非基本變數	$x_{13}$	$x_{14}$	$x_{21}$	$x_{24}$	$x_{31}$	$x_{32}$
$\Delta_{ij}$	16	24	$-12$	$-4$	$-24$	$-20$

選 $x_{31}$ 進入基底。封閉迴路為

$$x_{31}^{+}\to x_{33}^{-}\to x_{23}^{+}\to x_{22}^{-} \to x_{12}^{+}\to x_{11}^{-}\to x_{31}$$ $$\theta=\min(3,11,15)=3$$

調整後成本：

核心觀念

本題考查 Job Shop Scheduling（工件式排程）與兩種派工法則：

• EDD（Earliest Due Date）：在機器可排程的候選工作中，優先安排交期最早者。
• MST（Minimum Slack Time）：優先安排剩餘寬裕時間最小者。

每一工作的製程順序固定，且必須遵守：

1. 前一道作業完成後，才能開始下一道作業。
2. 同一時間一台機器只能加工一個作業。
3. 不可中斷加工。

工作資料如下：

工作	製程路線	交期
$J_1$	$A6\rightarrow B4\rightarrow C7\rightarrow B3$	25
$J_2$	$A7\rightarrow C6$	15
$J_3$	$C8\rightarrow A5\rightarrow B4\rightarrow A6$	21
$J_4$	$C6\rightarrow B3\rightarrow A8$	18

工作的完成時間記為 $C_j$。若

$$C_j>d_j$$

則工作 $J_j$ 為遲延工作。

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(a) 使用 EDD

解題方法

在每台機器空閒且有多個候選作業時，選擇交期最早的工作。

各工作的交期排序為：

$$J_2(15)\prec J_4(18)\prec J_3(21)\prec J_1(25)$$

但實際排程仍須遵守製程前後順序，因此不能單純把四個工作全部依序完成，而是要在各機器上依照「目前已可加工的作業」套用 EDD。

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EDD 排程過程

時間 $t=0$

• 機器 $A$：$J_1$、$J_2$ 可加工，選交期較早的 $J_2$。
• 機器 $C$：$J_3$、$J_4$ 可加工，選交期較早的 $J_4$。

因此：

• $A$：$J_2$，$0\sim7$
• $C$：$J_4$，$0\sim6$

後續排程

• $t=6$：$J_4$ 完成 $C$，進入 $B$，故 $B$ 加工 $J_4$：$6\sim9$。
• $t=7$：$J_2$ 完成 $A$，等待 $C$。
• $t=7$：$A$ 開始加工 $J_1$：$7\sim13$。
• $t=6$：$C$ 開始加工 $J_3$：$6\sim14$。
• $t=13$：$J_1$ 完成 $A$，$B$ 加工 $J_1$：$13\sim17$。
• $t=13$：$J_4$ 完成 $B$，$A$ 加工 $J_4$：$13\sim21$。
• $t=14$：$J_2$ 等待已久，$C$ 加工 $J_2$：$14\sim20$。
• $t=20$：$J_1$ 完成 $B$，$C$ 加工 $J_1$：$20\sim27$。
• $t=21$：$J_4$ 完成全部製程，$J_4$ 完工。
• $t=21$：$J_3$ 進入 $A$，加工：$21\sim26$。
• $t=26$：$J_3$ 進入 $B$，加工：$26\sim30$。
• $t=27$：$J_1$ 完成 $C$，進入 $B$，加工最後一道作業：$30\sim33$。

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EDD 甘特圖

時間區間採用「起始時間～結束時間」表示。

機器	排程
$A$	$J_2:0\sim7$；$J_1:7\sim13$；$J_4:13\sim21$；$J_3:21\sim26$
$B$	閒置 $0\sim6$；$J_4:6\sim9$；閒置 $9\sim13$；$J_1:13\sim17$；閒置 $17\sim26$；$J_3:26\sim30$；$J_1:30\sim33$
$C$	$J_4:0\sim6$；$J_3:6\sim14$；$J_2:14\sim20$；$J_1:20\sim27$

各工作的完成時間為：

工作	最後一道作業	完成時間 $C_j$	交期 $d_j$	是否遲延
$J_1$	$B:30\sim33$	33	25	是
$J_2$	$C:14\sim20$	20	15	是
$J_3$	$B:26\sim30$	30	21	是
$J_4$	$A:13\sim21$	21	18	是

因此：

$$C_{\max}=\max(33,20,30,21)=33$$

遲延工作數：

$$N_T=4$$

各工作的遲延時間為：

$$T_1=33-25=8$$ $$T_2=20-15=5$$ $$T_3=30-21=9$$ $$T_4=21-18=3$$

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(b) 使用 MST

MST 定義

MST 的寬裕時間定義為：

$$Slack=d_j-t-R_j$$

其中：

• $d_j$：工作 $J_j$ 的交期
• $t$：目前時間
• $R_j$：從目前作業開始，包含目前作業及後續所有作業的剩餘加工時間

寬裕時間越小，表示越緊急，優先加工。

例如，$J_1$ 的總加工時間為：

$$6+4+7+3=20$$

因此在 $t=0$ 等待第一道作業時：

$$Slack_{J_1}=25-0-20=5$$

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各工作剩餘加工時間

本題考驗統計製程管制 (Statistical Process Control, SPC) 的概念，特別是與常態分布相關的機率計算以及管制圖的應用。

基本參數：

• 製程平均值 (Process Mean, $\mu$) = 16 oz (目標值)
• 製程標準差 (Process Standard Deviation, $\sigma$) = 0.3 oz
• 最低要求 (Minimum Requirement) = 15 oz
• 抽樣子群體大小 (Subgroup size, $n$) = 5

(a) 計算低於 15.5 oz 的比例

題目要求計算在製程平均值為 16 oz，標準差為 0.3 oz 的情況下，罐裝產品的重量小於 15.5 oz 的比例。由於重量服從常態分布，我們可以將 15.5 oz 的值標準化為 Z 分數。

Z 分數的計算公式為：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
其中：

• $X$ = 我們感興趣的特定值 (15.5 oz)
• $\mu$ = 製程平均值 (16 oz)
• $\sigma$ = 製程標準差 (0.3 oz)

計算 Z 分數：
$Z = \frac{15.5 - 16}{0.3} = \frac{-0.5}{0.3} = -\frac{5}{3} \approx -1.67$

現在我們需要查找標準常態分布表中 Z = -1.67 對應的累積機率 $P(Z < -1.67)$。
從標準常態分布表（或使用計算機/軟體）查找 Z = -1.67 的機率值。
查找 Z = 1.67 的機率值，然後取其補值或直接查找負值。
查表可知，$P(Z < -1.67) \approx 0.0475$。

這表示大約有 4.75% 的罐裝產品重量會低於 15.5 oz。

【答案】: 約 4.75%。

(b) 計算 $\bar{X}$ 管制圖的 3-sigma 管制限