112 年 國立成功大學製造資訊與系統研究所乙組《生產管理》

核心觀念

本題考查簡單指數平滑法（Simple Exponential Smoothing, SES）。

SES 的預測公式為：

$$F_{t+1}=\alpha A_t+(1-\alpha)F_t$$

其中：

• $F_{t+1}$：下一期的預測值
• $A_t$：本期實際銷售量
• $F_t$：本期預測值
• $\alpha$：平滑常數，本題為 $0.40$

因此，本期實際值會以權重 $\alpha$ 影響下一期預測，而前一期預測值則以權重 $1-\alpha$ 延續。

解題方法

題目已知五月預測值：

$$F_{\text{May}}=36.25$$

第一步：計算六月預測值

五月實際銷售量為 $51$，因此：

$$F_{\text{Jun}} =0.40(51)+0.60(36.25)$$ $$F_{\text{Jun}} =20.4+21.75=42.15$$

第二步：計算七月預測值

六月實際銷售量為 $56$，以六月預測值 $42.15$ 計算七月預測：

$$F_{\text{Jul}} =0.40(56)+0.60(42.15)$$ $$F_{\text{Jul}} =22.4+25.29=47.69$$

因此，七月銷售預測為：

$$F_{\text{Jul}}=47.69$$

選項分析

本題考驗學生對田口品質損失函數 (Taguchi Loss Function) 的應用。

田口品質損失函數的公式為：
$L(x) = k (x - T)^2$
其中：
$L(x)$ 是與目標值 T 偏差 x 所造成的損失
$k$ 是損失係數
$x$ 是實際測量值 (quality characteristic)
$T$ 是目標值 (target value)

題目中給定的資訊：
規格 (Specification): 5.00 ± 0.10 cm
這表示目標值 $T = 5.00$ cm。
規格的上限為 $5.00 + 0.10 = 5.10$ cm。
規格的下限為 $5.00 - 0.10 = 4.90$ cm。
實際測量值 $x = 4.91$ cm。
損失函數 $L(x) = 5,500 (x - T)^2$。

首先，我們需要確定損失係數 $k$。
田口方法中的損失係數 $k$ 通常是根據允許的最大偏差所造成的損失來計算的。
題目沒有直接給出 $k$，但是給了一個標準的損失函數形式 $L(x) = 5,500 (x - T)^2$。
這意味著 $k = 5,500$。
然而，這個 $k$ 的單位和計算方式需要釐清。通常，損失函數的單位是貨幣單位（例如美元）。
如果 $L(x)$ 是每單位的損失，那麼 $k$ 的單位是 貨幣單位 / (單位長度)^2。

我們來驗證一下。
田口損失函數的意義是，即使產品在規格範圍內，只要不等於目標值，也會產生損失。
題目問的是 "estimated loss per part"。

本題考驗學生對中心點法 (Center-of-Gravity Method) 的應用，此方法常用於決定設施（如倉庫、服務中心）的最佳地理位置。

中心點法的計算公式如下：
$X = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$
$Y = \frac{\sum_{i=1}^{n} y_i w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$
其中：
$X, Y$ 是新設施的坐標。
$x_i, y_i$ 是現有地點的坐標。
$w_i$ 是與地點 i 相關的權重（在此題中為服務合約數量）。
$n$ 是地點的數量。

根據題目提供的數據：

Section	No. of Contracts ($w_i$)	Coordinates ($x_i, y_i$)	$x_i w_i$	$y_i w_i$
Parkview	90	(8.0, 10.5)	$8.0 \times 90 = 720$	$10.5 \times 90 = 945$
Mt. Airy	220	(6.7, 5.9)	$6.7 \times 220 = 1474$	$5.9 \times 220 = 1298$
Valley	50	(12.0, 5.2)	$12.0 \times 50 = 600$	$5.2 \times 50 = 260$
Norwood	300	(15.0, 6.3)	$15.0 \times 300 = 4500$	$6.3 \times 300 = 1890$
Southgate	170	(11.7, 8.3)	$11.7 \times 170 = 1989$	$8.3 \times 170 = 1411$
總計	$\sum w_i = 90 + 220 + 50 + 300 + 170 = 830$		$\sum x_i w_i = 720 + 1474 + 600 + 4500 + 1989 = 9283$	$\sum y_i w_i = 945 + 1298 + 260 + 1890 + 1411 = 5804$

核心觀念：利用平均流量公式

本題考查生產與服務系統中的「平均流量」概念。已知：

• 平均使用中的車輛數：$70\%$ 的車隊
• 車隊總數：$200$ 輛
• 每次租車的平均期間：$4$ 天

可使用下列關係：

$$\text{平均流量}=\frac{\text{平均在系統中的數量}}{\text{平均停留時間}}$$

此公式也可視為 Little’s Law：

$$L=\lambda W$$

其中：

• $L$：平均在系統中的數量
• $\lambda$：平均流量，即每日處理的租車數
• $W$：平均停留時間

解題方法

1. 計算平均租出車輛數

公司平均租出車隊的 $70\%$，因此平均同時在外租用的車輛數為：

$$L=200\times 70\%=200\times 0.7=140\text{ 輛}$$

這代表平均每天有 $140$ 輛車處於租用狀態。

2. 以平均租期換算每日租車筆數

每次租車平均使用 $4$ 天，因此平均每日完成的租車筆數為：

$$\lambda=\frac{L}{W} =\frac{140\text{ 輛}}{4\text{ 天}} =35\text{ 輛／天}$$

所以，該公司平均每天處理 $35$ 次租車。

選項分析

• a. More than 10 but less than or equal to 50 cars per day

本題考驗學生對服務系統中資源配置、服務率與利用率之間關係的理解。

核心觀念：
利用率 (Utilization) = 實際服務量 / 總服務能力
總服務能力 = 服務器數量 × 單個服務器的服務率

題目給定的資訊：
服務器數量 (Number of servers) = 3 位檢查員 (inspectors)
目前每小時測試的車輛數 (Current throughput) = 35 輛/小時
目標利用率 (Target utilization) = 95% = 0.95

我們需要計算「應有的服務率」 (service rate)，這裡的服務率是指「每個檢查員每小時應能處理的車輛數」。
假設每個檢查員的服務率為 $\mu$ (vehicles per hour per inspector)。
那麼，總服務能力 (Total service capacity) = 3 × $\mu$ 輛/小時。

根據利用率的定義：
利用率 = 總服務能力 / 總服務能力
這裡的「總服務能力」應該是「系統的總容量」，而「實際服務量」是「系統實際處理的量」。
然而，題目給的「tests 35 vehicles per hour」是「實際處理量」。
所以，我們可以這樣理解：
利用率 = 實際處理量 / 總服務能力

我們已知：
實際處理量 = 35 輛/小時
目標利用率 = 0.95
總服務能力 = 3 × $\mu$ 輛/小時

將這些代入公式：
$0.95 = \frac{35}{3 \times \mu}$

本題考驗學生對固定週期檢視系統 (Fixed-Period System, FPS) 中經濟檢視週期 (Economic Review Period, R) 的計算。

在固定週期檢視系統中，我們每隔一個固定的時間間隔 T 進行一次庫存盤點和訂貨。訂貨量是為了將庫存補充到目標庫存水準 (Order-up-to Level, M)。
目標庫存水準 M 的計算公式為：
$M = d(T + L) + Z \sigma_{T+L}$
其中：
$d$ 是平均日需求量 (average daily demand)。
$T$ 是檢視週期 (review period)。
$L$ 是前置時間 (lead time)。
$Z$ 是服務水準對應的標準分數 (Z-score for service level)。
$\sigma_{T+L}$ 是在 T+L 時間內的平均需求標準差。

本題要求的是「經濟檢視週期」，這通常是指使總庫存成本（持有成本 + 訂貨成本）最小化的檢視週期。
經濟檢視週期 R (或 T) 的計算公式為：
$R = \sqrt{\frac{2 D S}{H}}$
其中：
$D$ 是年總需求量 (annual demand)。
$S$ 是每次訂貨成本 (order cost)。
$H$ 是單位持有成本 (holding cost per unit per year)。

然而，題目給的資訊中，我們有 $D$, $S$, $H$，可以計算出經濟訂貨量 EOQ。
$EOQ = \sqrt{\frac{2 D S}{H}}$
$EOQ = \sqrt{\frac{2 \times 12000 \times 50}{0.5}} = \sqrt{\frac{1,200,000}{0.5}} = \sqrt{2,400,000} = \sqrt{240 \times 10^4} = 100 \sqrt{240} = 100 \sqrt{16 \times 15} = 100 \times 4 \sqrt{15} = 400 \sqrt{15}$
$\sqrt{15}$ 約為 3.87。
$EOQ \approx 400 \times 3.87 = 1548$ units。

在固定週期檢視系統中，經濟檢視週期 $R$ (即 $T$) 與 EOQ 的關係是：
$R = \frac{EOQ}{D}$
這裡的 $R$ 就是我們尋找的經濟檢視週期。

首先，我們需要確保單位一致。
$D = 12000$ units/year
$S = 50$ $/order$H = 0.5$$/unit/year

計算 EOQ：
$EOQ = \sqrt{\frac{2 \times 12000 \times 50}{0.5}} = \sqrt{\frac{1,200,000}{0.5}} = \sqrt{2,400,000} = 1549.19$ units.

現在計算經濟檢視週期 $R$：
$R = \frac{EOQ}{D} = \frac{1549.19 \text{ units}}{12000 \text{ units/year}}$
$R \approx 0.1291$ years.

核心觀念

本題考查固定訂購量系統（FQS）下的經濟訂購量（EOQ），並比較：

• 傳統每次訂購量 $Q=180$ 公噸的年度庫存相關成本
• 採用 EOQ $Q=235$ 公噸的年度庫存相關成本

年度採購成本在兩種方案下相同，因此計算節省金額時，只需比較：

1. 年訂購成本
2. 年持有成本

EOQ 相關成本公式為：

$$TC(Q)=\frac{D}{Q}S+\frac{Q}{2}H$$

其中：

• $D=11{,}000$：年需求量
• $Q$：每次訂購量
• $S=18{,}000$：每次訂購成本
• $H$：每公噸每年的持有成本

每公噸持有成本為：

$$H=36{,}000\times 20\%=7{,}200$$

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解題方法

一、計算傳統訂購量 $Q=180$ 的年度成本

年訂購成本：

$$\frac{D}{Q}S =\frac{11{,}000}{180}\times18{,}000 =1{,}100{,}000$$

平均庫存量：

$$\frac{Q}{2}=\frac{180}{2}=90$$

年持有成本：

$$\frac{Q}{2}H =90\times7{,}200 =648{,}000$$

因此，傳統訂購方式的年度庫存相關成本為：

$$TC(180)=1{,}100{,}000+648{,}000 =1{,}748{,}000$$

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二、計算 EOQ $Q=235$ 的年度成本

年訂購成本：

$$\frac{D}{Q}S =\frac{11{,}000}{235}\times18{,}000 \approx842{,}553$$

平均庫存量：

$$\frac{Q}{2}=\frac{235}{2}=117.5$$

年持有成本：

$$\frac{Q}{2}H =117.5\times7{,}200 =846{,}000$$

因此，採用 EOQ 的年度庫存相關成本為：

$$TC(235)=842{,}553+846{,}000 \approx1{,}688{,}553$$

本題考驗學生對生產規劃中「水平策略」(Level Strategy) 的理解與應用。水平策略是指在整個規劃期間內，維持固定的生產率，並透過庫存來應對需求的變動。

目標：在第四個月結束時，庫存量為 400 單位。
策略：採用水平策略，即每月生產率固定。

已知資訊：
期初庫存 (Beginning Inventory) = 100 單位
未來四個月的需求量：
Month 1: 500 單位
Month 2: 800 單位
Month 3: 900 單位
Month 4: 300 單位
期末庫存 (Ending Inventory) = 400 單位

首先，計算四個月的總需求量：
總需求量 = 500 + 800 + 900 + 300 = 2500 單位

接下來，計算四個月的總產出量（生產量）。
總產出量 = 總需求量 + 期末庫存 - 期初庫存
總產出量 = 2500 + 400 - 100 = 2800 單位

本題考驗學生對強森法則 (Johnson's Rule) 的應用，用於解決兩站式流水生產線的排序問題，以最小化總完工時間 (makespan)。

強森法則的步驟：

1. 將所有工作依據其在第一個工作站 (Workstation #1) 和第二個工作站 (Workstation #2) 的加工時間進行分類：

   • 若工作站 1 的時間較短，則將該工作排在序列的「前面」。
   • 若工作站 2 的時間較短，則將該工作排在序列的「後面」。
   • 若兩站時間相等，則可以任意安排，但通常將工作站 1 時間短的排前面，工作站 2 時間短的排後面。

2. 找出所有工作中，在工作站 1 時間最短的那個，將它排在序列的最前面。

3. 找出所有工作中，在工作站 2 時間最短的那個，將它排在序列的最後面。

4. 重複步驟 2 和 3，直到所有工作都已排序。

數據：

Job	W1 (min)	W2 (min)
A	50	50
B	20	8
C	25	50
D	30	12
E	11	22
F	11	19

步驟 1：找出最短時間。
最短時間是 B 在 W2 的 8 分鐘。
因為這是 W2 的最短時間，所以將 B 排在序列的最後面。
序列： _ _ _ _ _ B

步驟 2：從剩餘工作中找出最短時間。
剩餘工作：A (50, 50), C (25, 50), D (30, 12), E (11, 22), F (11, 19)
最短時間是 E 在 W1 的 11 分鐘。
因為這是 W1 的最短時間，所以將 E 排在序列的最前面。
序列： E _ _ _ _ B

步驟 3：從剩餘工作中找出最短時間。
剩餘工作：A (50, 50), C (25, 50), D (30, 12), F (11, 19)
最短時間是 F 在 W1 的 11 分鐘。
因為這是 W1 的最短時間，所以將 F 排在序列的最前面 (緊接 E)。
序列： E F _ _ _ B

步驟 4：從剩餘工作中找出最短時間。
剩餘工作：A (50, 50), C (25, 50), D (30, 12)
最短時間是 D 在 W2 的 12 分鐘。
因為這是 W2 的最短時間，所以將 D 排在序列的最後面 (緊接 B)。
序列： E F _ _ D B

本題考驗學生對「最早到期日法則」(Earliest Due Date, EDD) 的應用，以及計算平均遲延時間 (average lateness)。

EDD 法則是一種簡單的調度規則，用於確定任務的執行順序，以最小化最大遲延時間 (maximum lateness) 或其他遲延相關的指標。該法則的原則是：優先處理到期日最早的任務。

首先，我們根據 EDD 法則對任務進行排序：

Job	Processing Time (days)	Due Date
E	2	9
D	4	10
A	5	11
B	6	16
C	3	19

排序後的順序為： E, D, A, B, C

現在，我們計算每個任務的完成時間 (Completion Time, $C_i$)，以及遲延時間 (Lateness, $L_i$)。
遲延時間的計算公式為： $L_i = C_i - D_i$
如果 $L_i$ 是負數，表示任務提前完成。

Job	Processing Time ($P_i$)	Due Date ($D_i$)	Start Time	Completion Time ($C_i$)	Lateness ($L_i = C_i - D_i$)
E	2	9	0	0 + 2 = 2	2 - 9 = -7