115 年 國立政治大學財政學系碩士班《統計學》

核心觀念

皮爾森相關係數衡量兩個變數的線性關聯方向與強度，定義為共變異數除以兩變數標準差的乘積：

$$r_{XY}=\frac{S_{XY}}{S_XS_Y}$$

線性轉換後的共變異數遵循以下性質：若 $W=aX+b$、$Z=cY+d$，則

$$S_{WZ}=acS_{XY}$$

其中，常數項 $b$ 與 $d$ 不影響共變異數；共變異數只會乘上兩個變數的縮放係數 $a$ 與 $c$。

解題方法

（a）計算皮爾森相關係數

由題目給定的變異數可得標準差：

$$S_X=\sqrt{S_X^2}=\sqrt{4}=2,\qquad S_Y=\sqrt{S_Y^2}=\sqrt{9}=3$$

代入相關係數公式：

本題考驗貝氏定理在實際情境中的應用，特別是關於更新機率（後驗機率）的計算，以及決策理論中關於成本效益分析的應用。

核心觀念：

1. 貝氏定理 (Bayes' Theorem)：用於更新條件機率。
2. 聯合機率與邊際機率的計算。
3. 決策樹或期望值分析，用於判斷是否進行干預。

符號定義：

• I: 銀行為 Insolvent (不 પ્રુધ)
• S: 銀行為 Solvent ( પ્રુધ)
• A+: Audit A 標記為 Positive (高度懷疑不 પ્રુધ)
• A-: Audit A 標記為 Negative
• B+: Audit B 標記為 Positive (高度懷疑不 પ્રુધ)
• B-: Audit B 標記為 Negative
• $\pi^*$：銀行為 Insolvent 的後驗機率 (posterior probability)

已知條件：

• 先驗機率 $P(I) = 0.05$。
• 由於 I 與 S 是互斥且窮盡的事件，$P(S) = 1 - P(I) = 1 - 0.05 = 0.95$。
• Audit A 的條件機率：
  • $P(A+|I) = 0.90$ (若銀行不 પ્રુધ, Audit A 標記 Positive 的機率)
  • $P(A+|S) = 0.10$ (若銀行 પ્રુધ, Audit A 標記 Positive 的機率)
• Audit B 的條件機率：
  • $P(B+|I) = 0.80$ (若銀行不 પ્રુધ, Audit B 標記 Positive 的機率)
  • $P(B+|S) = 0.05$ (若銀行 પ્રુધ, Audit B 標記 Positive 的機率)
• Audit A 和 Audit B 是條件獨立的 (conditionally independent)。

解題過程：

a) 計算在 Audit A 回報 A+ 的情況下，銀行為 Insolvent 的後驗機率 $P(I|A+)$。

我們使用貝氏定理：
$P(I|A+) = \frac{P(A+|I) P(I)}{P(A+)}$

首先，計算邊際機率 $P(A+)$：
$P(A+) = P(A+|I) P(I) + P(A+|S) P(S)$
$P(A+) = (0.90)(0.05) + (0.10)(0.95)$
$P(A+) = 0.045 + 0.095 = 0.140$

現在，將值代入貝氏定理：
$P(I|A+) = \frac{(0.90)(0.05)}{0.140} = \frac{0.045}{0.140} = \frac{45}{140} = \frac{9}{28} \approx 0.3214$

因此，在 Audit A 回報 A+ 的情況下，銀行為 Insolvent 的後驗機率約為 0.3214。

【答案】 $P(I|A+) = \frac{9}{28} \approx 0.3214$

b) 在 Audit A 回報 A+ 後，又觀察到 Audit B 回報 B+ 的情況下，更新銀行為 Insolvent 的後驗機率 $P(I|A+, B+)$。

由於 Audit A 和 Audit B 是條件獨立的，給定銀行狀態 (I 或 S) 的情況下，它們的結果是獨立的。因此，我們可以將聯合後驗機率分解：
$P(I|A+, B+) = \frac{P(A+, B+|I) P(I)}{P(A+, B+)}$

由於條件獨立性，$P(A+, B+|I) = P(A+|I) P(B+|I)$。
同理，$P(A+, B+|S) = P(A+|S) P(B+|S)$。

核心觀念

每家零售商是否違規可視為一次伯努利試驗：違規機率為 $p=0.2$，抽查 $n=100$ 家，且假設各家是否違規彼此獨立。因此違規家數服從二項分配：

$$X\sim\operatorname{Binomial}(100,0.2)$$

二項分配的期望值與變異數分別為 $E(X)=np$、$\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$。

解題方法

a）期望值與變異數

代入 $n=100$、$p=0.2$：

$$E(X)=np=100(0.2)=20$$ $$\operatorname{Var}(X)=np(1-p)=100(0.2)(0.8)=16$$

因此，期望違規家數為 $20$ 家，變異數為 $16$；標準差為 $\sqrt{16}=4$ 家。

b）恰有 25 家違規的機率

二項分配機率質量函數為：

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

令 $k=25$，得到：

$$P(X=25)=\binom{100}{25}(0.2)^{25}(0.8)^{75}$$

c）常態近似估計 $P(X>25)$

二項分配可用平均數相同、變異數相同的常態分配近似：

$$Y\sim N\bigl(np,\ np(1-p)\bigr)=N(20,16)$$

由於 $X>25$ 等同於 $X\geq 26$，使用連續性修正後，將邊界調整為 $25.5$：

本題考驗單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的應用，包括構建 ANOVA 表、進行 F 檢定以比較多組樣本的平均數，並根據結果得出結論。

核心觀念：

1. 單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的原理。
2. 變異數的分割：總變異數 (Total Variation) 分割為組間變異數 (Between-group Variation, Treatment Variation) 和組內變異數 (Within-group Variation, Error Variation)。
3. ANOVA 表的構成要素：自由度 (df)、平方和 (SS)、均方 (MS)、F 值。
4. F 檢定：用於檢定各組平均數是否相等。
5. 統計顯著性的判斷：與臨界值比較或計算 p 值。
6. 統計結果的解釋：在實際情境中的含義。

已知條件：

• 三個獨立樣本，代表三個訓練計畫 A, B, C。
• 各組樣本大小 $n_A=n_B=n_C=4$。
• 各組樣本平均數 $\bar{X}_A=2.1$, $\bar{X}_B=2.6$, $\bar{X}_C=1.9$。
• 各組樣本變異數 $S_A^2=0.36$, $S_B^2=0.49$, $S_C^2=0.25$。
• 總樣本大小 $N = n_A + n_B + n_C = 4 + 4 + 4 = 12$。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。

解題過程：

a) 建構 ANOVA 表

ANOVA 的基本思想是將總變異數分解為組間變異數和組內變異數。

• 總平方和 (SST - Total Sum of Squares): 衡量所有數據點與總平均數之間的差異。
• 組間平方和 (SSB - Sum of Squares Between Groups / Treatment Sum of Squares): 衡量各組平均數與總平均數之間的差異，反映處理效果。
• 組內平方和 (SSW - Sum of Squares Within Groups / Error Sum of Squares): 衡量各組內部數據點與該組平均數之間的差異，反映隨機誤差。
  $SST = SSB + SSW$

步驟 1：計算總平均數 ($\bar{\bar{X}}$)
首先，我們需要所有樣本數據的總平均數。由於樣本大小相等，可以直接對樣本平均數取平均：
$\bar{\bar{X}} = \frac{\bar{X}_A + \bar{X}_B + \bar{X}_C}{3} = \frac{2.1 + 2.6 + 1.9}{3} = \frac{6.6}{3} = 2.2$

步驟 2：計算 SSB (組間平方和)
$SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{X}_i - \bar{\bar{X}})^2$, 其中 $k$ 是組數。
$SSB = n_A(\bar{X}_A - \bar{\bar{X}})^2 + n_B(\bar{X}_B - \bar{\bar{X}})^2 + n_C(\bar{X}_C - \bar{\bar{X}})^2$
$SSB = 4(2.1 - 2.2)^2 + 4(2.6 - 2.2)^2 + 4(1.9 - 2.2)^2$
$SSB = 4(-0.1)^2 + 4(0.4)^2 + 4(-0.3)^2$
$SSB = 4(0.01) + 4(0.16) + 4(0.09)$
$SSB = 0.04 + 0.64 + 0.36 = 1.04$

步驟 3：計算 SSW (組內平方和)
SSW 是所有組內平方和的總和。對於每一組，組內平方和是 $S_i^2 (n_i - 1)$。
$SSW = \sum_{i=1}^{k} S_i^2 (n_i - 1)$
$SSW = S_A^2 (n_A - 1) + S_B^2 (n_B - 1) + S_C^2 (n_C - 1)$
$SSW = (0.36)(4 - 1) + (0.49)(4 - 1) + (0.25)(4 - 1)$

本題考驗對普通最小平方法 (OLS) 迴歸分析的理解，包括 $R^2$ 的解釋、迴歸係數的計算與標準誤的計算，以及迴歸係數的顯著性檢定。

核心觀念：

1. $R^2$ 的解釋：決定係數，衡量自變數解釋應變數變異的比例。
2. OLS 估計式：特別是斜率係數 $\hat{\beta}_1$ 的計算公式。
3. 迴歸係數標準誤的計算。
4. 迴歸係數的 t 檢定：用於檢定斜率係數是否顯著不為零。

已知條件：

• 樣本大小 $n = 50$。
• $R^2 = 0.36$。
• 自變數 X 的樣本標準差 $s_X = 2$。
• 應變數 Y 的樣本標準差 $s_Y = 3$。
• 迴歸模型：$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$。
• 假設誤差項同質變異且呈常態分佈。
• X 和 Y 是正相關。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。

解題過程：

a) 解釋 $R^2$ 的值。

$R^2$ (決定係數) 代表模型中自變數 (在此為 $X$) 解釋了應變數 (在此為 $Y$) 總變異的比例。
$R^2 = 0.36$ 表示，在我們的迴歸模型中，Household Disposable Income ($X$) 解釋了 Household Annual Consumption Expenditure ($Y$) 總變異的 36%。
換句話說，有 36% 的消費支出變異可以由可支配所得的變異來解釋，而其餘 64% 的變異則歸因於模型未包含的其他因素 (即誤差項 $u_i$)。

【答案】 $R^2 = 0.36$ 表示，Household Disposable Income 解釋了 Household Annual Consumption Expenditure 總變異的 36%。

b) 計算 OLS 估計量 $\hat{\beta}_1$。

OLS 斜率係數 $\hat{\beta}_1$ 的計算公式與相關係數 ($r_{XY}$) 和樣本標準差有關：
$\hat{\beta}_1 = r_{XY} \frac{s_Y}{s_X}$

我們知道 $R^2 = r_{XY}^2$ (如果模型只有一個自變數且包含截距項)。
因此，$r_{XY}^2 = 0.36$。
由於題目說明 X 和 Y 是正相關，所以 $r_{XY}$ 必須是正值。
$r_{XY} = \sqrt{0.36} = 0.6$。

現在，將 $r_{XY}$, $s_Y$, $s_X$ 代入 $\hat{\beta}_1$ 的公式：
$\hat{\beta}_1 = (0.6) \frac{3}{2} = 0.6 \times 1.5 = 0.9$

因此，OLS 估計的斜率係數 $\hat{\beta}_1$ 為 0.9。

【答案】 $\hat{\beta}_1 = 0.9$

c) 計算 $\hat{\beta}_1$ 的標準誤 ($SE(\hat{\beta}_1)$)。

OLS 斜率係數的標準誤公式為：
$SE(\hat{\beta}_1) = \frac{s_u}{s_X \sqrt{n-1} \sqrt{1-R^2}}$ (這個公式是針對 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$ 且 $X_i$ 已經中心化)
更常見且通用的公式是：
$SE(\hat{\beta}_1) = \frac{s_u}{\sqrt{\sum (X_i - \bar{X})^2}}$
其中，$\sum (X_i - \bar{X})^2 = (n-1)s_X^2$。
所以，$SE(\hat{\beta}_1) = \frac{s_u}{s_X \sqrt{n-1}}$。

我們需要先估計誤差項的標準差 $s_u$。
$s_u^2 = \frac{SSE}{n-k}$，其中 $SSE$ 是殘差平方和， $k$ 是迴歸參數的數量 (在這裡是 $\beta_0$ 和 $\beta_1$，所以 $k=2$)。