111 年 國立政治大學財政學系碩士班《統計學》

核心觀念

本題考查二維連續型隨機變數的聯合機率密度函數，以及利用積分計算事件機率。

若事件區域為 $A$，則

$$P\big((X,Y)\in A\big) = \iint_A f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.$$

已知聯合密度為

$$f_{X,Y}(x,y)=2e^{-(x+y)}, \qquad 0<x<y.$$

因此，除了題目指定的條件 $0<x<y$ 外，其他區域的密度皆為 $0$。

解題方法

要求

$$P(Y<3X).$$

題目原本的支持區域為

$$0<x<y.$$

事件 $Y<3X$ 可改寫為

$$X>\frac{Y}{3}.$$

合併兩個條件：

$$\frac{Y}{3}<X<Y, \qquad Y>0.$$

因此，可先固定 $Y=y$，再讓 $X$ 從 $y/3$ 積分至 $y$：

$$P(Y<3X) = \int_0^\infty\int_{y/3}^{y} 2e^{-(x+y)}\,dx\,dy.$$

先對 $x$ 積分：

本題考驗估計量（Estimator）的性質，特別是無偏性（Unbiasedness）和變異數（Variance）的計算與比較。

核心觀念：

• 無偏性 (Unbiasedness)：一個估計量 $\hat{\theta}$ 對參數 $\theta$ 是無偏的，如果其期望值等於 $\theta$，即 $E(\hat{\theta}) = \theta$。
• 變異數 (Variance)：衡量估計量離散程度的指標，即 $Var(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta} - E(\hat{\theta}))^2]$。對於無偏估計量，$Var(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}^2] - (E(\hat{\theta}))^2 = E[\hat{\theta}^2] - \theta^2$。
• 獨立伯努利試驗 (Independent Bernoulli Trials)：$X_i$ 服從參數為 $p$ 的伯努利分佈，即 $E(X_i) = p$ 且 $Var(X_i) = p(1-p)$。
• 獨立同分佈 (i.i.d.)：$X_1, \ldots, X_n$ 是獨立且具有相同分佈的隨機變數。
• 二項分佈 (Binomial Distribution)：$Y = \sum_{i=1}^n X_i$ 服從參數為 $n$ 和 $p$ 的二項分佈，即 $Y \sim Bin(n, p)$。因此，$E(Y) = np$ 且 $Var(Y) = np(1-p)$。

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(1) 證明 $\hat{p}_1 = X_1$ 和 $\hat{p}_2 = \frac{Y}{n}$ 的無偏性

• 證明 $\hat{p}_1 = X_1$ 是 $p$ 的無偏估計量：
  根據伯努利試驗的定義，我們知道 $X_i$ 的期望值是 $E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$。
  因此，對於 $\hat{p}_1 = X_1$，其期望值為：
  $E(\hat{p}_1) = E(X_1) = p$。
  由於 $E(\hat{p}_1) = p$，所以 $\hat{p}_1 = X_1$ 是 $p$ 的一個無偏估計量。

• 證明 $\hat{p}_2 = \frac{Y}{n}$ 是 $p$ 的無偏估計量：
  我們知道 $Y = X_1 + X_2 + \ldots + X_n$。由於 $X_i$ 是獨立且同分佈的隨機變數，它們的期望值都是 $p$。
  利用期望值的線性性質：
  $E(Y) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n)$
  $E(Y) = p + p + \ldots + p$ (共 $n$ 項)
  $E(Y) = np$

  現在計算 $\hat{p}_2$ 的期望值：
  $E(\hat{p}_2) = E\left(\frac{Y}{n}\right) = \frac{1}{n} E(Y)$
  $E(\hat{p}_2) = \frac{1}{n} (np) = p$

本題考驗兩個獨立樣本的分類資料分析，包含齊一性檢定（Homogeneity Test）與比例檢定（Test for Proportions）。

核心觀念：

• 齊一性檢定 (Homogeneity Test)：用於檢定兩個或多個群體（在此為職業婦女與全職主婦）在某個分類變數（在此為做家事時間少於/超過30小時）上的分佈是否相同。這實際上是獨立性檢定（Test of Independence）的一種應用，卡方檢定 (Chi-squared test) 是常用方法。
• 比例檢定 (Test for Proportions)：用於比較兩個或多個群體在某個二元結果上的比例是否相同。
• 顯著水準 (Significance Level, $\alpha$)：拒絕虛無假說 H0 的機率上限。
• 卡方統計量 (Chi-squared Statistic)：用於衡量觀察頻率與期望頻率之間的差異。
• 自由度 (Degrees of Freedom, df)：決定卡方分佈形狀的參數。

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資料整理：
總樣本數 $N = 200$。
職業婦女總數 $n_1 = 46 + 34 = 80$。
全職主婦總數 $n_2 = 54 + 66 = 120$。

	少於30小時 (A)	超過30小時 (B)	合計
職業婦女 (G1)	46	34	80
全職主婦 (G2)	54	66	120
合計	100	100	200

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(1) 齊一性檢定 (Homogeneity Test)

• 虛無假說 H0：職業婦女與全職主婦每週做家事的時間分佈是相同的（即兩群體在做家事時間上的分佈沒有差異）。

• 對立假說 H1：職業婦女與全職主婦每週做家事的時間分佈是不同的（即兩群體在做家事時間上的分佈有差異）。

• 計算期望頻率 (Expected Frequencies)：
  在 H0 為真的情況下，各類別的期望頻率 $E_{ij}$ 可以通過以下公式計算：
  $E_{ij} = \frac{(\text{第 } i \text{ 行總計}) \times (\text{第 } j \text{ 列總計})}{\text{總計}}$

  • $E_{11}$ (職業婦女, 少於30小時) = $\frac{80 \times 100}{200} = 40$
  • $E_{12}$ (職業婦女, 超過30小時) = $\frac{80 \times 100}{200} = 40$
  • $E_{21}$ (全職主婦, 少於30小時) = $\frac{120 \times 100}{200} = 60$
  • $E_{22}$ (全職主婦, 超過30小時) = $\frac{120 \times 100}{200} = 60$

• 計算卡方統計量 ($\chi^2$)：
  $\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
  其中 $O_{ij}$ 是觀察頻率，$E_{ij}$ 是期望頻率。

  • $\frac{(46 - 40)^2}{40} = \frac{6^2}{40} = \frac{36}{40} = 0.9$
  • $\frac{(34 - 40)^2}{40} = \frac{(-6)^2}{40} = \frac{36}{40} = 0.9$
  • $\frac{(54 - 60)^2}{60} = \frac{(-6)^2}{60} = \frac{36}{60} = 0.6$
  • $\frac{(66 - 60)^2}{60} = \frac{6^2}{60} = \frac{36}{60} = 0.6$

  $\chi^2 = 0.9 + 0.9 + 0.6 + 0.6 = 3.0$

• 確定自由度 (df)：
  對於 $r \times c$ 的列聯表，自由度為 $df = (r-1)(c-1)$。
  在此，$r=2$ (兩類婦女), $c=2$ (兩類時間)。
  $df = (2-1)(2-1) = 1 \times 1 = 1$。

• 決定臨界值或計算 P 值：
  顯著水準 $\alpha = 0.05$，自由度 $df = 1$。
  查卡方分佈表，當 $\alpha = 0.05$ 且 $df = 1$ 時，臨界值 $\chi^2_{0.05, 1} = 3.841$。

• 做出決策：
  計算出的卡方統計量 $\chi^2 = 3.0$。
  因為 $3.0 < 3.841$，所以我們不拒絕虛無假說 H0。

核心觀念

本題要比較男、女生「畢業後找到第一份工作的平均時間」是否相同，屬於兩個獨立母體平均數的假設檢定。

由於題目假設：

• 男、女生為兩個獨立樣本；
• 母體變異數未知；
• 但假設兩母體變異數相等；

因此採用「合併變異數的兩獨立樣本 $t$ 檢定」。

令：

• $\mu_m$：男生畢業後找到第一份工作的平均時間；
• $\mu_f$：女生畢業後找到第一份工作的平均時間。

檢定假設為：

$$H_0:\mu_m-\mu_f=0$$ $$H_1:\mu_m-\mu_f\neq 0$$

這是雙尾檢定，顯著水準為 $\alpha=0.05$。

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解題方法與資料整理

題目提供的是分組資料，因此以各組的組中點代表該組觀察值。以「週」為單位，採用下列合理近似：

找到工作時間	代表值
畢業前已找到工作	$0$
畢業後 1–2 週	$1.5$
畢業後 3–4 週	$3.5$
畢業後 5–6 週	$5.5$
畢業後 7–8 週	$7.5$
畢業後 2–3 個月	$10$
畢業後 4–5 個月	$18$
畢業後 5 個月以上	$24$

其中以 $1$ 個月約 $4$ 週計算，最後一組開放區間以約 $6$ 個月，即 $24$ 週作為代表值。

男生樣本數為：

$$n_m=8+33+146+15+12+26+4+6=250$$

女生樣本數為：

$$n_f=33+89+223+32+34+26+7+12=456$$

男生的加權總和為：

$$\sum f_mx=33(1.5)+146(3.5)+15(5.5)+12(7.5) +26(10)+4(18)+6(24)$$ $$\sum f_mx=1209$$

因此男生平均數為：

$$\bar{x}_m=\frac{1209}{250}=4.836$$

女生的加權總和為：

$$\sum f_fx=89(1.5)+223(3.5)+32(5.5)+34(7.5) +26(10)+7(18)+12(24)$$ $$\sum f_fx=2019$$

因此女生平均數為：

$$\bar{x}_f=\frac{2019}{456}\approx4.428$$

男生平均找到工作的時間約為 $4.836$ 週，女生約為 $4.428$ 週。

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計算樣本變異數

先計算男生的平方和：

$$\sum f_mx^2 =33(1.5^2)+146(3.5^2)+15(5.5^2)+12(7.5^2) +26(10^2)+4(18^2)+6(24^2)$$ $$\sum f_mx^2=10343.5$$

男生的離均差平方和為：

$$SS_m=\sum f_mx^2-\frac{(\sum f_mx)^2}{n_m}$$ $$SS_m=10343.5-\frac{1209^2}{250} =4496.776$$

本題考驗單因子變異數分析 (One-way ANOVA)，用於比較三個或以上群體的平均數是否存在顯著差異，並在發現差異後進行事後比較 (Post-hoc analysis)。

核心觀念：

• 單因子變異數分析 (One-way ANOVA)：用於檢定一個分類自變數（因子，在此為入學管道）對一個連續應變數（在此為學業表現分數）的影響，比較三個或以上群體平均數的差異。
• 變異數的分解 (Partitioning of Variance)：總變異數 (Total Variation, SST) 分解為組間變異數 (Between-group Variation, SSB) 和組內變異數 (Within-group Variation, SSW)。
• 組間變異數 (SSB)：反映不同組別平均數之間的差異。
• 組內變異數 (SSW)：反映各組內部數據的離散程度，代表隨機誤差。
• 均方 (Mean Square)：變異數的估計，即平方和除以自由度。組間均方 (MSB) 和組內均方 (MSW)。
• F 統計量 (F-statistic)：$F = \frac{MSB}{MSW}$。用於檢定各組平均數是否相等。
• 自由度 (Degrees of Freedom, df)：組間自由度 $df_B = k-1$ (k 為組數)，組內自由度 $df_W = N-k$ (N 為總樣本數)。
• 事後比較 (Post-hoc Tests)：若 ANOVA 檢定結果顯著，則需要進行事後比較，找出具體是哪些組別之間存在差異。常用的方法有 Tukey's HSD, Bonferroni, Scheffé 等。

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資料整理：

• 組數 $k = 3$ (考試分發, 個人申請, 學校推薦)。
• 各組樣本數：$n_1 = 400$, $n_2 = 61$, $n_3 = 10$。
• 總樣本數 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 400 + 61 + 10 = 471$。
• 各組樣本平均數：$\bar{x}_1 = 77.61$, $\bar{x}_2 = 80.34$, $\bar{x}_3 = 81.29$。
• 各組樣本變異數：$s_1^2 = 6.98$, $s_2^2 = 7.16$, $s_3^2 = 6.65$。

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(1) 完成完整的 ANOVA表

ANOVA 表的結構：

變異來源	平方和 (SS)	自由度 (df)	均方 (MS)	F 統計量	P 值
組間 (Between)	SSB	$k-1$	MSB	F
組內 (Within)	SSW	$N-k$	MSW
總計 (Total)	SST	$N-1$

• 計算 SSB (Sum of Squares Between)：
  $SSB = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{x}_i - \bar{x}_{grand})^2$
  首先，計算總平均數 $\bar{x}_{grand}$：
  $\bar{x}_{grand} = \frac{\sum n_i \bar{x}_i}{N} = \frac{400(77.61) + 61(80.34) + 10(81.29)}{471}$
  $\bar{x}_{grand} = \frac{31044 + 4900.74 + 812.9}{471} = \frac{36757.64}{471} \approx 78.0417$

  $SSB = 400(77.61 - 78.0417)^2 + 61(80.34 - 78.0417)^2 + 10(81.29 - 78.0417)^2$
  $SSB = 400(-0.4317)^2 + 61(2.2983)^2 + 10(3.2483)^2$
  $SSB = 400(0.1864) + 61(5.2822) + 10(10.5515)$
  $SSB \approx 74.56 + 322.21 + 105.51 \approx 502.28$

• 計算 SSW (Sum of Squares Within)：
  $SSW = \sum_{i=1}^k (n_i - 1)s_i^2$
  $SSW = (400-1)(6.98) + (61-1)(7.16) + (10-1)(6.65)$
  $SSW = 399(6.98) + 60(7.16) + 9(6.65)$
  $SSW = 2785.02 + 429.6 + 59.85 = 3274.47$

• 計算 SST (Total Sum of Squares)：
  $SST = SSB + SSW = 502.28 + 3274.47 = 3776.75$
  (也可通過 $SST = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{x}_i - \bar{x}_{grand})^2 + \sum_{i=1}^k (n_i-1)s_i^2$ 計算，或直接計算所有數據點的總變異)

• 計算自由度 (df)：
  $df_B = k-1 = 3-1 = 2$
  $df_W = N-k = 471-3 = 468$
  $df_T = N-1 = 471-1 = 470$

• 計算均方 (MS)：
  $MSB = \frac{SSB}{df_B} = \frac{502.28}{2} = 251.14$
  $MSW = \frac{SSW}{df_W} = \frac{3274.47}{468} \approx 7.00$

• 計算 F 統計量：
  $F = \frac{MSB}{MSW} = \frac{251.14}{7.00} \approx 35.88$

• 填充 ANOVA 表：

變異來源	平方和 (SS)	自由度 (df)	均方 (MS)	F 統計量	P 值
組間 (Between)	502.28	2	251.14	35.88
組內 (Within)	3274.47	468	7.00

本題考驗對簡單線性迴歸 (Simple Linear Regression) 中判定係數 (Coefficient of Determination, $R^2$) 的理解，以及它與相關係數 (Correlation Coefficient, $r$) 和迴歸係數 (Regression Coefficient, $\beta$) 的關係。

核心觀念：

• 簡單線性迴歸模型 (Simple Linear Regression Model)：描述一個應變數 $Y$ 與一個自變數 $X$ 之間線性關係的模型，通常表示為 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$，其中 $\beta_0$ 是截距項，$\beta_1$ 是斜率（迴歸係數），$\epsilon$ 是誤差項。
• 樣本迴歸線 (Sample Regression Line)：由樣本數據估計出來的迴歸直線，表示為 $\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X$。
• 判定係數 ($R^2$)：衡量迴歸模型對應變數變異的解釋能力。
• 相關係數 ($r$)：衡量兩個連續變數之間線性關係的強度和方向。
• 迴歸係數 ($\beta_1$)：表示自變數 $X$ 每改變一個單位，應變數 $Y$ 平均改變的量。

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1. 樣本判定係數 ($R^2$) 的意義：

在簡單線性迴歸中，判定係數 $R^2$ 的意義是：

• 解釋變異的比例：$R^2$ 是應變數 $Y$ 的總變異數 (SST) 中，能被自變數 $X$ 的線性模型所解釋的比例。
• 衡量模型擬合優度：$R^2$ 的值介於 0 和 1 之間。
  • $R^2 = 0$ 表示自變數 $X$ 無法解釋應變數 $Y$ 的任何變異。
  • $R^2 = 1$ 表示自變數 $X$ 的線性模型完美地解釋了應變數 $Y$ 的所有變異。
  • $R^2$ 值越高，表示迴歸線對數據點的擬合越好，模型的解釋力越強。

數學定義：
$R^2 = \frac{\text{SSR}}{\text{SST}} = 1 - \frac{\text{SSE}}{\text{SST}}$
其中：

• SST (Total Sum of Squares): 總平方和，衡量 $Y$ 的總變異。$SST = \sum (Y_i - \bar{Y})^2$。
• SSR (Sum of Squares for Regression): 迴歸平方和，衡量由迴歸線解釋的 $Y$ 的變異。$SSR = \sum (\hat{Y}_i - \bar{Y})^2$。
• SSE (Sum of Squares for Error): 殘差平方和，衡量模型未能解釋的 $Y$ 的變異（誤差）。$SSE = \sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2$。

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2. 若判定係數 ($R^2$) 為 0，其意義為何？

如果 $R^2 = 0$，這表示：

• 模型解釋力為零：自變數 $X$ 的線性組合無法解釋應變數 $Y$ 的任何變異。