108 年 國立臺北大學財政學系碩士班《微積分》

本題主要考驗學生對極限的計算能力，包含無窮遠極限與絕對值函數極限的處理。

(a) 處理無窮遠極限時，若遇到 $\frac{\infty}{\infty}$ 的不定型，可考慮使用羅必達法則。
我們注意到當 $x \to \infty$ 時，$\ln x \to \infty$ 且 $\ln \sqrt{x} + 10 = \frac{1}{2}\ln x + 10 \to \infty$。
因此，我們可以對分子和分母同時取微分：
$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{\ln \sqrt{x} + 10} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(\ln \sqrt{x} + 10)}$
$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$
$\frac{d}{dx}(\ln \sqrt{x} + 10) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}\ln x + 10) = \frac{1}{2x}$
所以，

本題考驗學生對微分定義的理解及其應用。

(a) 函數 $f$ 在點 $x_0$ 的導數 (derivative) 的定義為：
$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$
或者，等價的定義為：
$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
這個極限值代表函數圖形在點 $(x_0, f(x_0))$ 處的瞬時變化率，也就是該點切線的斜率。
【答案】$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

(b) 我們使用導數的定義來計算 $f(x) = \sqrt{2x+1}$ 在任意點 $x$ 的導數。
令 $f(x) = \sqrt{2x+1}$。我們需要計算 $\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$。
$f(x+h) = \sqrt{2(x+h)+1} = \sqrt{2x+2h+1}$
$f(x+h) - f(x) = \sqrt{2x+2h+1} - \sqrt{2x+1}$

本題考驗學生對函數在某點可微的條件的理解。一個函數在某點可微，必須先滿足在此點連續，然後其左右導數必須相等。

首先，函數在 $x=1$ 處連續的條件是：
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$
計算左極限：
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 - 2x) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$
計算右極限：
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (ax + b) = a(1) + b = a + b$
函數值：
$f(1) = 1^2 - 2(1) = -1$
為了使函數在 $x=1$ 處連續，我們必須有：
$-1 = a + b$
這是第一個方程式。

其次，函數在 $x=1$ 處可微的條件是其左右導數相等。
首先，我們計算 $x < 1$ 時的導數：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2$
所以，左導數為：
$f'_{-}(1) = \lim_{x \to 1^-} f'(x) = 2(1) - 2 = 0$
然後，我們計算 $x > 1$ 時的導數：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(ax + b) = a$
所以，右導數為：
$f'_{+}(1) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) = a$
為了使函數在 $x=1$ 處可微，左右導數必須相等：
$f'_{-}(1) = f'_{+}(1)$
$0 = a$
這是第二個方程式。

將 $a=0$ 代入第一個方程式 $-1 = a + b$：
$-1 = 0 + b$
$b = -1$
因此，常數 $a$ 和 $b$ 分別為 $0$ 和 $-1$。

本題考驗學生對不定積分的計算，特別是對數函數的積分。對數函數 $\ln x$ 的積分通常使用分部積分法來求解。

分部積分法的公式為：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
我們選擇 $u = \ln x$ 和 $dv = dx$。
然後，我們需要計算 $du$ 和 $v$：
$du = \frac{1}{x} \, dx$
$v = \int dv = \int dx = x$

本題考驗學生對微分法則，特別是商法則的應用，以及對給定條件的代入計算。

我們需要計算函數 $f(x)$ 的導數 $f'(x)$，然後將 $x=1$ 代入。
$f(x)$ 是兩個函數的商，所以我們使用商法則：
$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
在這裡，$u = g(x)$ 且 $v = 1 + x^2 e^x$。
首先，我們需要計算 $u'$ 和 $v'$。
$u' = g'(x)$
$v' = \frac{d}{dx}(1 + x^2 e^x)$
對 $x^2 e^x$ 使用乘積法則 $(fg)' = f'g + fg'$：
令 $f(x) = x^2$, $g(x) = e^x$。
$f'(x) = 2x$, $g'(x) = e^x$。
所以，$\frac{d}{dx}(x^2 e^x) = 2x e^x + x^2 e^x = e^x (2x + x^2)$。
因此，$v' = e^x (2x + x^2)$。

本題考驗學生對對數微分法的應用。對數微分法適用於處理複雜的乘積、商以及指數形式的函數。

給定函數 $f(x) = \frac{e^{-3x}\sqrt{2x-5}}{(6-5x)^4}$。
首先，對函數 $f(x)$ 取自然對數：
$\ln |f(x)| = \ln \left| \frac{e^{-3x}\sqrt{2x-5}}{(6-5x)^4} \right|$
利用對數的性質 $\ln(\frac{A}{B}) = \ln A - \ln B$ 和 $\ln(AB) = \ln A + \ln B$ 以及 $\ln(A^n) = n \ln A$：
$\ln |f(x)| = \ln(e^{-3x}) + \ln(\sqrt{2x-5}) - \ln((6-5x)^4)$
$\ln |f(x)| = -3x + \frac{1}{2}\ln(2x-5) - 4\ln|6-5x|$
注意：對於 $\sqrt{2x-5}$，定義域要求 $2x-5 \ge 0$，即 $x \ge 5/2$。同時，分母 $(6-5x)^4 \neq 0$，即 $x \neq 6/5$。因此，我們主要考慮 $x \ge 5/2$ 的情況。在此區間內，$2x-5 > 0$ 且 $6-5x < 0$。

接下來，對等式兩邊關於 $x$ 求導。利用鏈式法則，$\frac{d}{dx}(\ln |f(x)|) = \frac{f'(x)}{f(x)}$。
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx}(-3x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\ln(2x-5)\right) - \frac{d}{dx}(4\ln(6-5x))$
計算各項的導數：
$\frac{d}{dx}(-3x) = -3$

本題考驗學生對函數漸近線的判斷。漸近線分為水平漸近線和垂直漸近線。

首先，簡化函數表達式：
$f(x) = \frac{1-x^2}{8-(\sqrt{2}x)^2} = \frac{1-x^2}{8-2x^2}$

垂直漸近線 (Vertical Asymptotes)
垂直漸近線出現在使分母為零但分子不為零的 $x$ 值處。
令分母等於零：
$8 - 2x^2 = 0$
$2x^2 = 8$
$x^2 = 4$
$x = 2$ 或 $x = -2$

檢查這些 $x$ 值是否使分子為零：
當 $x = 2$ 時，分子 $1 - x^2 = 1 - 2^2 = 1 - 4 = -3 \neq 0$。
當 $x = -2$ 時，分子 $1 - x^2 = 1 - (-2)^2 = 1 - 4 = -3 \neq 0$。

由於在 $x=2$ 和 $x=-2$ 處，分母為零且分子不為零，因此 $x=2$ 和 $x=-2$ 是函數的垂直漸近線。

水平漸近線 (Horizontal Asymptotes)
水平漸近線是當 $x \to \infty$ 或 $x \to -\infty$ 時，函數 $f(x)$ 的極限。
我們需要計算 $\lim_{x \to \infty} f(x)$ 和 $\lim_{x \to -\infty} f(x)$。

核心觀念

本題考查由曲線與直線所圍成區域的面積。由於兩條曲線皆可表示成 $x$ 關於 $y$ 的函數，適合使用水平微小矩形，以 $dy$ 積分：

$$A=\int_{y_1}^{y_2}\bigl(x_{\text{右}}-x_{\text{左}}\bigr)\,dy.$$

關鍵步驟包括：

1. 求出曲線與直線的交點。
2. 判斷兩條曲線在封閉區域中的左右位置。
3. 以右邊界減左邊界建立面積積分。

解題方法

拋物線為

$$y^2=4x+4$$

整理得

$$x=\frac{y^2}{4}-1.$$

直線為

$$y=4x-16,$$

整理得

$$x=\frac{y}{4}+4.$$

1. 求交點

令兩個 $x$ 表示式相等：

$$\frac{y^2}{4}-1=\frac{y}{4}+4.$$

兩邊乘以 $4$：

$$y^2-4=y+16,$$

因此

$$y^2-y-20=0.$$

因式分解得

$$(y-5)(y+4)=0,$$

所以

$$y=5\quad\text{或}\quad y=-4.$$

代回直線 $x=\frac{y}{4}+4$：

當 $y=5$ 時，

$$x=\frac54+4=\frac{21}{4}.$$

當 $y=-4$ 時，

$$x=-1+4=3.$$

兩交點為

$$\left(\frac{21}{4},5\right),\qquad (3,-4).$$

2. 判斷左右邊界

拋物線的 $x$ 座標為

$$x_{\text{拋物線}}=\frac{y^2}{4}-1,$$

直線的 $x$ 座標為

$$x_{\text{直線}}=\frac{y}{4}+4.$$

取交點之間的測試值 $y=0$：

$$x_{\text{拋物線}}=-1, \qquad x_{\text{直線}}=4.$$

因此在 $-4\le y\le 5$ 中，直線位於右側，拋物線位於左側。

3. 建立並計算面積

封閉區域面積為

$$A=\int_{-4}^{5} \left[ \left(\frac{y}{4}+4\right) -\left(\frac{y^2}{4}-1\right) \right]dy.$$

整理被積分式：

$$A=\int_{-4}^{5}\frac{20+y-y^2}{4}\,dy.$$

因此

本題考驗學生對二重積分的計算，特別是積分區域的轉換。給定的積分順序是 $dy \, dx$，積分區域是 $0 \le x \le 2$ 且 $0 \le y \le \sqrt{4-x^2}$。

步驟 1：確定積分區域
不等式 $0 \le x \le 2$ 和 $0 \le y \le \sqrt{4-x^2}$ 定義了一個區域。
從 $y \le \sqrt{4-x^2}$，平方得到 $y^2 \le 4-x^2$ (因為 $y \ge 0$)。
移項得到 $x^2 + y^2 \le 4$。
結合 $x \ge 0$ 和 $y \ge 0$，這個區域是圓心在原點，半徑為 2 的圓在第一象限的部分，也就是一個四分之一圓。

步驟 2：考慮積分順序的轉換
被積函數是 $\frac{x e^y}{4-y}$。這個函數對於 $y$ 的積分看起來不太容易直接計算。尤其是 $e^y$ 和 $4-y$ 的組合。
因此，我們考慮將積分順序從 $dy \, dx$ 轉換為 $dx \, dy$。

當我們轉換積分順序時，需要根據新的積分變數（這裡是以 $y$ 為外層積分變數）來重新描述區域。
在第一象限的四分之一圓中，$y$ 的範圍是從 0 到 2。
對於給定的 $y$ 值，我們需要找出 $x$ 的範圍。
從 $x^2 + y^2 \le 4$，我們得到 $x^2 \le 4 - y^2$。
由於我們在第一象限 ($x \ge 0$)，所以 $0 \le x \le \sqrt{4-y^2}$。

所以，轉換後的積分區域是 $0 \le y \le 2$ 且 $0 \le x \le \sqrt{4-y^2}$。
積分變為：
$\int_0^2 \int_0^{\sqrt{4-y^2}} \frac{x e^y}{4-y} \, dx \, dy$

步驟 3：計算轉換後的積分
首先計算內層積分，將 $y$ 視為常數：
$\int_0^{\sqrt{4-y^2}} \frac{x e^y}{4-y} \, dx$