108 年 國立臺北大學財政學系碩士班《統計學》

本題主要在考察風險衡量與投資組合期望報酬及風險的計算。

(a) 風險比較

風險通常以標準差 (standard deviation) 或變異數 (variance) 來衡量。標準差越大，表示報酬率的波動性越大，風險也越高。

• WSI 的標準差: $18.90\%$
• TGB 的標準差: $4.60\%$

比較兩者的標準差，WSI 的標準差 ($18.90\%$) 明顯大於 TGB 的標準差 ($4.60\%$)。因此，WSI 的風險較高。

解釋: 標準差衡量了投資報酬率相對於平均報酬率的離散程度。標準差越大，表示實際報酬率可能與平均報酬率的差距越大，波動性越高，也就代表風險越高。

【答案】WSI 是風險較高的基金，因為其標準差 ($18.90\%$) 遠大於 TGB 的標準差 ($4.60\%$)。

(b) 投資組合的預期報酬與標準差

假設投資組合的權重分別為：

• $w_{WSI} = 0.75$ (投資於 WSI 的比例)
• $w_{TGB} = 0.25$ (投資於 TGB 的比例)

已知：

• WSI 的預期報酬率 $\mu_{WSI} = 7.80\%$
• WSI 的標準差 $\sigma_{WSI} = 18.90\%$
• TGB 的預期報酬率 $\mu_{TGB} = 5.50\%$
• TGB 的標準差 $\sigma_{TGB} = 4.60\%$
• WSI 與 TGB 之間的共變異數 $\text{Cov}(R_{WSI}, R_{TGB}) = -12.4$ (請注意，這裡的單位是百分比的平方，但題目提供的數字似乎是直接數值，我們將依題目提供的數字計算，並在解釋中說明若單位是百分比的平方，則應乘以 $10^{-4}$)

1. 預期報酬 (Expected Return)

投資組合的預期報酬是各資產預期報酬的加權平均。
$\mu_P = w_{WSI} \mu_{WSI} + w_{TGB} \mu_{TGB}$
$\mu_P = (0.75)(7.80\%) + (0.25)(5.50\%)$
$\mu_P = 5.85\% + 1.375\%$
$\mu_P = 7.225\%$

若投資總額為 NT$10,000，則投資組合的預期報酬金額為： 預期報酬金額$= 10,000 \times 7.225%$預期報酬金額$= 10,000 \times 0.07225$預期報酬金額$= 722.5$ 元

2. 標準差 (Standard Deviation)

投資組合的變異數 (variance) 計算公式為：
$\sigma_P^2 = w_{WSI}^2 \sigma_{WSI}^2 + w_{TGB}^2 \sigma_{TGB}^2 + 2 w_{WSI} w_{TGB} \text{Cov}(R_{WSI}, R_{TGB})

本題考驗對標準誤 (standard error) 的理解以及點估計的機率計算。

已知資訊：

• 樣本平均數 (point estimate of population mean) $\bar{x}$ 似乎代表了文章所說的平均 NT$3000$。
• 標準誤 (Standard Error of the Mean, SEM) $SE(\bar{x}) = 20$
• 母體標準差 (population standard deviation) $\sigma = 500$

(a) 樣本大小的計算

標準誤的公式為 $SE(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $\sigma$ 是母體標準差，$n$ 是樣本大小。
我們已知 $SE(\bar{x}) = 20$ 且 $\sigma = 500$。將這些值代入公式：
$20 = \frac{500}{\sqrt{n}}$

解出 $\sqrt{n}$：
$\sqrt{n} = \frac{500}{20}$
$\sqrt{n} = 25$

解出 $n$：
$n = 25^2$
$n = 625$

因此，該研究使用的樣本大小是 625。

【答案】樣本大小 $n = 625$。

(b) 點估計在特定範圍內的機率

問題要求計算點估計 ($\bar{x}$) 在母體平均數 ($\mu$) 的 $\pm 25$ 範圍內的機率，即 $P(\mu - 25 \le \bar{x} \le \mu + 25)$。
這裡需要注意的是，題目中的「點估計」指的是樣本平均數 $\bar{x}$，而「母體平均數」是 $\mu$。然而，題目給的 NT$3000$ 是根據「他們的調查」得出的「平均」，通常這就是該研究的樣本平均數 $\bar{x}$。但問題 (b) 卻問「點估計在母體平均數 $\mu$ 的 $\pm 25$ 範圍內」。這兩個說法有點矛盾。

假設一：NT$3000$ 是母體平均數 $\mu$
如果 NT$3000$ 是母體平均數 $\mu$，那麼問題是求 $P(3000 - 25 \le \bar{x} \le 3000 + 25)$，即 $P(2975 \le \bar{x} \le 3025)$。
我們知道 $\bar{x}$ 的平均值是 $\mu = 3000$，標準誤是 $SE(\bar{x}) = 20$。
將 $\bar{x}$ 轉換為標準分數 $Z$：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{SE(\bar{x})}$
$Z_1 = \frac{2975 - 3000}{20} = \frac{-25}{20} = -1.25$
$Z_2 = \frac{3025 - 3000}{20} = \frac{25}{20} = 1.25$
因此，我們需要計算 $P(-1.25 \le Z \le 1.25)$。
使用標準常態分配表：
$P(-1.25 \le Z \le 1.25) = P(Z \le 1.25) - P(Z \le -1.25)$
$P(Z \le 1.25) = 1 - P(Z \ge 1.25) = 1 - 0.1056$ (查表 $Z=1.25$ 提供的 $\text{Pr}(Z \ge Z)$ 是 $0.1056$)
$P(Z \le -1.25) = P(Z \ge 1.25) = 0.1056$
所以，$P(-1.25 \le Z \le 1.25) = (1 - 0.1056) - 0.1056 = 1 - 2 \times 0.1056 = 1 - 0.2112 = 0.7888$。

假設二：NT$3000$ 是樣本平均數 $\bar{x}$，且我們不知道母體平均數 $\mu$
如果 NT$3000$ 是樣本平均數 $\bar{x}$，那麼題目問「點估計 was within $\pm 25$ of the population mean」這句話的語意就比較奇怪。通常，點估計是我們用來估計母體參數的值。我們不能說「點估計在母體平均數的範圍內」，除非我們是在討論信賴區間。
然而，如果題目是想問「樣本平均數 $\bar{x}$ 的值（NT$3000$）與真實母體平均數 $\mu$ 的差異，其絕對值小於等於 25 的機率」，即 $P(|\bar{x} - \mu| \le 25)$。
這實際上是問 $P(-25 \le \bar{x} - \mu \le 25)$。
將不等式除以標準誤 $SE(\bar{x}) = 20$：
$P(\frac{-25}{20} \le \frac{\bar{x} - \mu}{SE(\bar{x})} \le \frac{25}{20})$
$P(-1.25 \le Z \le 1.25)$
這個計算結果與假設一相同。

假設三：NT$3000$ 是真實的母體平均數 $\mu$
如果 NT$3000$ 是母體平均數 $\mu$，那麼問題是求 $P(|\bar{x} - 3000| \le 25)$。
由於 $\bar{x}$ 的平均值是 $\mu = 3000$，其標準誤是 $SE(\bar{x}) = 20$。
我們將 $\bar{x}$ 轉換為標準分數 $Z$：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{SE(\bar{x})}$
$P(|\bar{x} - 3000| \le 25) = P(-25 \le \bar{x} - 3000 \le 25)$

本題主要考驗信賴區間的計算以及偏態分配的特性。

已知資訊：

• 樣本平均數 $\bar{x} = 1873$
• 樣本大小 $n = 80$
• 樣本標準差 $s = 550$
• 信賴水準為 $95\%$

(a) 95% 信賴區間

由於樣本大小 $n=80$ (大於 30)，且母體標準差未知，我們使用 t 分配來建構信賴區間。
信賴區間的公式為：
$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

首先，計算標準誤 (Standard Error, SE)：
$SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{550}{\sqrt{80}}$
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5} \approx 4 \times 2.236 = 8.944$
$SE \approx \frac{550}{8.944} \approx 61.494$

接著，確定自由度 (degrees of freedom, df) 和 $t$ 值。
自由度 $df = n - 1 = 80 - 1 = 79$。
對於 $95\%$ 的信賴水準，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。因此，$\alpha/2 = 0.025$。
我們需要在 t 分配表中查找自由度為 79，上尾機率為 0.025 的 $t$ 值。
查表時，若找不到精確的 79，可以使用最接近且較保守的值，或平均。在標準 t 分配表中，通常會列出一些常見的自由度。若 79 找不到，常會使用 80 或 100。
查表 (Student's t-distribution table) 尋找 $t_{0.025, 79}$。
若查表，對於 df=80，上尾機率 0.025 的 $t$ 值約為 $2.000$ (當 df 趨近無限大時，t 分配近似於標準常態分配，$Z_{0.025} \approx 1.96$)。
對於 df=70，$t_{0.025, 70} \approx 2.000$。

本題考驗比例的假設檢定，特別是使用 p-value 方法。

1. 建立虛無假設與對立假設
報紙秘書的說法是「大多數 (majority) 的成人對國家的前景感到樂觀」。所謂「大多數」通常指超過 50%。
令 $p$ 為所有成人中對國家前景感到樂觀的比例。

• 虛無假設 ($H_0$): 樂觀的比例不超過 50%。即 $p \le 0.50$。
• 對立假設 ($H_1$): 樂觀的比例超過 50%。即 $p > 0.50$。

這是右尾檢定 (right-tailed test)。

2. 計算樣本比例
樣本大小 $n = 910$。
樂觀的受訪者人數 $= 503$。
樣本比例 $\hat{p} = \frac{503}{910} \approx 0.5527$。

3. 檢定統計量
由於樣本大小足夠大 ($n\hat{p} = 910 \times 0.5527 \approx 503 > 5$ 且 $n(1-\hat{p}) = 910 \times (1-0.5527) \approx 407 > 5$)，我們可以使用 Z 檢定。
在虛無假設為 $p=0.50$ (這是檢定邊界) 的情況下，檢定統計量 Z 的計算公式為：
$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$
其中 $p_0$ 是虛無假設中的比例值，在此為 $0.50$。

$Z = \frac{0.5527 - 0.50}{\sqrt{\frac{0.50(1-0.50)}{910}}}$
$Z = \frac{0.0527}{\sqrt{\frac{0.25}{910}}}$
$Z = \frac{0.0527}{\sqrt{0.0002747}}$
$Z = \frac{0.0527}{0.01657}$
$Z \approx 3.180$

本題考驗對簡單線性迴歸模型的理解，包括模型建立、顯著性檢定、迴歸擬合優度以及信賴區間的計算。

已知迴歸分析輸出：

• 因變數 (Dependent Variable): 學生缺席天數 (days)
• 自變數 (Independent Variable): 住家到學校的距離 (distance)

迴歸係數：

• 截距 (Intercept) 估計值 $\hat{\beta}_0 = 8.09783$
• 斜率 (slope, coefficient of x) 估計值 $\hat{\beta}_1 = -0.34420$
• x 的標準誤 (Std. Error of x) $= 0.07761$
• x 的 t 值 (t value for x) $= -4.435$

變異數分析 (ANOVA) 表：

• 迴歸自由度 (DF Regression) $= 1$
• 迴歸平方和 (SS Regression) $= 32.699$
• 迴歸均方 (MS Regression) $= 32.699$
• 殘差自由度 (DF Residual Error) $= 8$
• 殘差平方和 (SS Residual Error) $= 13.301$
• 殘差均方 (MS Residual Error) $= 1.663$
• 總自由度 (DF Total) $= 9$
• 總平方和 (SS Total) $= 46.000$
• F 值 $= 19.67$
• p-value $= 0.002$

(a) 最小平方法迴歸模型與樣本大小

最小平方法迴歸模型 (Least Squares Regression Model):
模型形式為 $\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$。
在這裡，$y$ 代表因變數「缺席天數 (days)」，$x$ 代表自變數「距離 (distance)」。
根據 Coefficients 表格：
$\hat{\beta}_0 = 8.09783$
$\hat{\beta}_1 = -0.34420$
所以，估計的迴歸模型為：
$\widehat{\text{days}} = 8.09783 - 0.34420 \times \text{distance}$

樣本大小 (Sample Size):
樣本大小 $n$ 可以從總自由度 (DF Total) 或殘差自由度 (DF Residual Error) 得知。
對於簡單線性迴歸，總自由度 $DF_{Total} = n-1$。
由 ANOVA 表可知，$DF_{Total} = 9$。
所以，$n-1 = 9 \implies n = 10$。
或者，殘差自由度 $DF_{Residual Error} = n-2$。
由 ANOVA 表可知，$DF_{Residual Error} = 8$。
所以，$n-2 = 8 \implies n = 10$。

【答案】(a) 估計的迴歸模型為 $\widehat{\text{days}} = 8.09783 - 0.34420 \times \text{distance}$。樣本大小為 $n=10$。

(b) 變數間的顯著性關係檢定

我們要檢定自變數「距離 (distance)」與因變數「缺席天數 (days)」之間是否存在顯著的線性關係。這通常是檢定斜率 $\beta_1$ 是否顯著不為零。

• 虛無假設 ($H_0$): $\beta_1 = 0$ (距離與缺席天數之間沒有線性關係)
• 對立假設 ($H_1$): $\beta_1 \ne 0$ (距離與缺席天數之間有線性關係)

我們可以使用 t 檢定或 F 檢定來進行。
使用 t 檢定 (檢定斜率係數 $\beta_1$):
從 Coefficients 表格中，自變數 $x$ (distance) 的 t 值是 $-4.435$。
自由度是 $df = n-2 = 10-2 = 8$。
給定的顯著水準 $\alpha = 0.05$。

本題考驗兩個獨立樣本的平均數比較檢定，即獨立樣本 t 檢定。

已知資訊：
國家 A (Country A):

• 樣本大小 $n_A = 30$
• 樣本平均數 $\bar{x}_A = 16.23$
• 樣本標準差 $s_A = 3.52$

國家 B (Country B):

• 樣本大小 $n_B = 30$
• 樣本平均數 $\bar{x}_B = 15.70$
• 樣本標準差 $s_B = 3.31$

檢定水準 $\alpha = 0.05$。
檢定目的：判斷國家 A 的基金年報酬率是否高於國家 B。

1. 建立虛無假設與對立假設
令 $\mu_A$ 為國家 A 基金的母體平均年報酬率，$\mu_B$ 為國家 B 基金的母體平均年報酬率。

• 虛無假設 ($H_0$): 國家 A 的平均年報酬率不顯著高於國家 B。即 $\mu_A \le \mu_B$ 或 $\mu_A - \mu_B \le 0$。
• 對立假設 ($H_1$): 國家 A 的平均年報酬率顯著高於國家 B。即 $\mu_A > \mu_B$ 或 $\mu_A - \mu_B > 0$。

這是右尾檢定 (right-tailed test)。

2. 選擇檢定方法
由於我們有兩個獨立的樣本，且樣本大小都足夠大 ($n_A=30, n_B=30$)，我們可以使用獨立樣本 t 檢定。
我們需要判斷兩個母體變異數是否相等。雖然題目沒有明確說明，但從樣本標準差 $s_A=3.52$ 和 $s_B=3.31$ 來看，它們相對接近。通常，如果兩者差異不大，可以假設母體變異數相等，使用合併變異數 (pooled variance) 的 t 檢定。如果差異較大，則不假設變異數相等，使用 Welch's t-test。
在此，我們可以先假設母體變異數相等，並計算合併變異數。

假設母體變異數相等：
合併變異數 $s_p^2 = \frac{(n_A-1)s_A^2 + (n_B-1)s_B^2}{n_A + n_B - 2}$
$s_p^2 = \frac{(30-1)(3.52)^2 + (30-1)(3.31)^2}{30 + 30 - 2}$
$s_p^2 = \frac{29 \times 12.3904 + 29 \times 10.9561}{58}$
$s_p^2 = \frac{359.3216 + 317.7269}{58}$
$s_p^2 = \frac{677.0485}{58} \approx 11.6733$

t 檢定統計量公式：
$t = \frac{(\bar{x}_A - \bar{x}_B) - (\mu_A - \mu_B)_0}{\sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}\right)}}$
其中 $(\mu_A - \mu_B)_0 = 0$ (來自虛無假設)。

$t = \frac{(16.23 - 15.70) - 0}{\sqrt{11.6733 \left(\frac{1}{30} + \frac{1}{30}\right)}}$
$t = \frac{0.53}{\sqrt{11.6733 \left(\frac{2}{30}\right)}}$
$t = \frac{0.53}{\sqrt{11.6733 \times 0.06667}}$
$t = \frac{0.53}{\sqrt{0.7783}}$
$t = \frac{0.53}{0.8822}$
$t \approx 0.6007$

自由度 $df = n_A + n_B - 2 = 30 + 30 - 2 = 58$。

3. 決定臨界值與決策
對於右尾檢定，顯著水準 $\alpha = 0.05$，自由度 $df = 58$。
查 t 分配表，尋找 $t_{0.05, 58}$。
若查表，當 df=60 時，$t_{0.05, 60} \approx 1.671$。當 df=50 時，$t_{0.05, 50} \approx 1.676$。
我們可以使用近似值 $t_{critical} \approx 1.671$。