109 年 國立臺北大學財政學系碩士班《統計學》

本題考驗聯合機率與條件機率的應用，以及基本機率的計算。

首先，我們定義以下事件：
$A$: 學生參與交換計畫出國唸書
$A^c$: 學生未參與交換計畫
$W$: 學生為女性
$M$: 學生為男性

根據題目給予的資訊，我們可以整理出以下機率：
$P(A) = 0.095$ (9.5% 的學生參與交換計畫)
$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.095 = 0.905$ (90.5% 的學生未參與交換計畫)
$P(W|A) = 0.60$ (出國唸書的學生中，60% 為女性)
$P(W|A^c) = 0.49$ (未出國唸書的學生中，49% 為女性)

(a) 求出國唸書的女性學生的機率，即 $P(W \cap A)$。
我們可以利用條件機率的定義來計算：$P(W|A) = \frac{P(W \cap A)}{P(A)}$
因此，$P(W \cap A) = P(W|A) \times P(A)$
$P(W \cap A) = 0.60 \times 0.095 = 0.057$

這裡題目問的是「female student studied abroad in 2019」，這句話可以解釋為「一位學生是女性，並且她出國唸書」的機率，也就是 $P(W \cap A)$。

本題考驗貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用，以及如何判斷一個詞語是否為「強指標」。

首先，我們定義以下事件：
$A$: 演講稿是候選人 A 所說的。
$O$: 演講稿是其他候選人所說的。
$G$: 演講稿中包含單詞 "great"。
$E$: 演講稿中包含單詞 "economy"。
$S$: 演講稿中包含單詞 "stupid"。

根據題目給予的資訊，我們可以整理出以下機率：
$P(A) = 0.10$ (候選人 A 的演講稿佔樣本的 10%)
$P(O) = 1 - P(A) = 1 - 0.10 = 0.90$ (其他候選人的演講稿佔樣本的 90%)

對於單詞 "great"：
$P(G|A) = 0.51$ (候選人 A 的演講稿中，包含 "great" 的比例)
$P(G|O) = 0.015$ (其他候選人的演講稿中，包含 "great" 的比例)

對於單詞 "economy"：
$P(E|A) = 0.45$ (候選人 A 的演講稿中，包含 "economy" 的比例)
$P(E|O) = 0.022$ (其他候選人的演講稿中，包含 "economy" 的比例)

對於單詞 "stupid"：
$P(S|A) = 0.34$ (候選人 A 的演講稿中，包含 "stupid" 的比例)
$P(S|O) = 0.022$ (其他候選人的演講稿中，包含 "stupid" 的比例)

(a) 求如果演講稿包含 "great"，則該演講稿是候選人 A 所說的機率，即 $P(A|G)$。
我們使用貝氏定理：
$P(A|G) = \frac{P(G|A) P(A)}{P(G)}$
其中，$P(G)$ 是包含 "great" 的總體機率，可以透過全機率公式計算：
$P(G) = P(G|A) P(A) + P(G|O) P(O)$
$P(G) = (0.51 \times 0.10) + (0.015 \times 0.90)$
$P(G) = 0.051 + 0.0135 = 0.0645$

本題考驗對 Poisson 分布、抽樣分配、信賴區間的理解，以及估計量不偏性與一致性的判斷。

首先，我們知道隨機變數 $x$ 服從 Poisson 分布，其參數為 $\lambda$ (期望值和變異數皆為 $\lambda$)。
題目給予的資訊：
樣本數 $n = 50$
樣本平均數 $\bar{x} = 36$
母體標準差 $\sigma = 6$ (注意：Poisson 分布的母體標準差是 $\sqrt{\lambda}$，此處給予 $\sigma=6$ 應是直接給定母體標準差，而非 $\sqrt{\lambda}=6$。若 $\lambda$ 為母體平均數，則其標準差為 $\sqrt{\lambda}$。但題目明確給出 $\sigma=6$，且在 (a) 小題要求計算信賴區間，此時若未知 $\lambda$，通常會使用樣本標準差。但題目又給了 $\sigma=6$，這是一個小小的矛盾，我們假設 $\sigma=6$ 是母體標準差，且我們知道 Poisson 分布的母體標準差是 $\sqrt{\lambda}$，所以 $\sqrt{\lambda}=6 \implies \lambda=36$。然而，樣本平均數 $\bar{x}=36$ 卻是用來估計母體平均數 $\lambda$，這表示我們應該用 $\bar{x}$ 來估計 $\lambda$。
在統計推論中，當母體標準差 $\sigma$ 已知時，我們可以使用 Z 分配。若 $\sigma$ 未知，則使用 t 分配（若母體為常態）或近似方法。
由於 Poisson 分布的特性，當樣本量夠大時 (n=50 算夠大)，中央極限定理 (CLT) 適用，樣本平均數 $\bar{x}$ 的抽樣分配近似於常態分配。
Poisson 分布的母體平均數為 $\lambda$，母體變異數為 $\lambda$。因此，母體標準差為 $\sqrt{\lambda}$。
題目給的 $\sigma = 6$ 應該是指母體標準差。如果 $x \sim Poisson(\lambda)$，則 $E(x) = \lambda$ 且 $Var(x) = \lambda$，所以 $\sigma = \sqrt{\lambda}$。
因此，$\sqrt{\lambda} = 6 \implies \lambda = 36$。
這表示母體平均數 $\lambda = 36$，母體標準差 $\sigma = 6$。
而題目給予的樣本平均數 $\bar{x} = 36$。

(a) 描述 $\bar{x}$ 的抽樣分配，並計算 90% 信賴區間。
根據中央極限定理 (CLT)，當樣本數 $n$ 夠大時 (通常 $n \ge 30$)，樣本平均數 $\bar{x}$ 的抽樣分配會近似於常態分配，其平均值為母體平均數 $\mu$ (在此即 $\lambda$)，標準差為母體標準差 $\sigma$ 除以樣本數的平方根，即標準誤 (standard error) $SE(\bar{x}) = \sigma / \sqrt{n}$。
所以，$\bar{x}$ 的抽樣分配近似於 $N(\mu, \sigma^2/n)$，即 $N(\lambda, \sigma^2/n)$。
在此題中，我們已知母體平均數 $\lambda = 36$ (由 $\sigma=6$ 推得 $\lambda = \sigma^2 = 36$)，母體標準差 $\sigma = 6$，樣本數 $n = 50$。

本題考驗獨立兩樣本的平均數比較，以及假設檢定的應用。此題要求進行一個單尾檢定，以判斷 city A 的平均薪資是否顯著低於 city B。

我們設定以下參數：
City A: $n_A = 40$, $\bar{x}_A = 56100$, $s_A = 6000$
City B: $n_B = 50$, $\bar{x}_B = 59400$, $s_B = 7000$
顯著水準 $\alpha = 0.05$

由於我們比較兩個獨立樣本的平均數，且樣本數足夠大 ($n_A=40, n_B=50$ 均大於 30)，我們可以使用 Z 檢定。
由於題目給的是樣本標準差，並且我們不確定母體變異數是否相等，我們應該使用聯合變異數的公式來計算標準誤，或者直接使用 Z 檢定（當樣本夠大時，樣本標準差可近似母體標準差）。
更嚴謹的做法是進行 t 檢定，但由於樣本數大，Z 檢定是可接受的近似。
我們將採用 Z 檢定，並假設母體變異數未知但獨立。

1. 設定假設檢定 (Hypotheses)
求職者希望證明 city A 的平均薪資低於 city B。因此，我們要檢定的是：
虛無假設 $H_0$: City A 的平均薪資 $\mu_A$ 大於或等於 City B 的平均薪資 $\mu_B$。 ($\mu_A \ge \mu_B$ 或 $\mu_A - \mu_B \ge 0$)
對立假設 $H_1$: City A 的平均薪資 $\mu_A$ 低於 City B 的平均薪資 $\mu_B$。 ($\mu_A < \mu_B$ 或 $\mu_A - \mu_B < 0$)
這是一個左尾檢定。

2. 計算檢定統計量 (Test Statistic)
檢定統計量為：

本題考驗簡單線性迴歸模型的建立、迴歸係數的顯著性檢定，以及迴歸模型的擬合優度判斷。

首先，我們定義：
$Y$: 股價 B (應變數)
$X$: 股價 A (自變數)

迴歸模型假設 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$，其中 $\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 是斜率，$\epsilon$ 是誤差項。

(a) 估計的最小平方法迴歸模型為何？樣本數是多少？
根據迴歸結果表格，我們可以得到：
截距 (Constant) 的估計值 $\hat{\beta}_0 = 0.2747$
自變數 (Independent Variable, 即 X) 的斜率估計值 $\hat{\beta}_1 = 0.9498$

因此，估計的最小平方法迴歸模型為：
$\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X$
$\hat{B} = 0.2747 + 0.9498 A$

樣本數 $n$ 可以從自由度 (DF) 中得知。
總自由度 (Total DF) 通常是 $n-1$。
從表格中，Total 的 DF 為 9。
所以，$n-1 = 9 \implies n = 10$。
另外，迴歸自由度 (Regression DF) 為 1，殘差自由度 (Residual Error DF) 為 8。
$n = \text{Regression DF} + \text{Residual Error DF} + 1 = 1 + 8 = 9$?
這裡有一個小矛盾。通常，Total DF = Regression DF + Residual Error DF。
Total DF = 9。
Regression DF = 1。
Residual Error DF = 8。
$1 + 8 = 9$。
所以，Total DF = 9。
對於簡單線性迴歸，Total DF = $n-1$。
因此，$n-1 = 9 \implies n = 10$。

【答案】迴歸模型為 $\hat{B} = 0.2747 + 0.9498 A$。樣本數 $n = 10$。

(b) 在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，兩個變數之間是否存在顯著關係？
這需要檢定迴歸斜率 $\beta_1$ 是否顯著異於 0。
虛無假設 $H_0$: $\beta_1 = 0$ (股價 A 與股價 B 之間沒有線性關係)
對立假設 $H_1$: $\beta_1 \ne 0$ (股價 A 與股價 B 之間存在線性關係)
這是雙尾檢定。

我們可以使用 t 檢定來檢定斜率係數。檢定統計量為：
$t = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_{1,0}}{SE(\hat{\beta}_1)}$
其中，$\hat{\beta}_1 = 0.9498$，$\beta_{1,0} = 0$ (來自 $H_0$)，$SE(\hat{\beta}_1) = 0.3569$。
$t = \frac{0.9498 - 0}{0.3569} \approx 2.6612$