111 年 國立臺北大學財政學系碩士班《統計學》

本題要求計算樣本資料的四分位距（Interquartile Range, IQR）與樣本標準差（Sample Standard Deviation）。

步驟一：整理資料並計算四分位距 (IQR)

首先，將樣本資料由小到大排序：
63, 64, 66, 66, 67, 72, 74, 74, 75, 75, 75, 76, 76, 78, 79

共有 $n=16$ 個樣本點。
四分位距 (IQR) = Q3 - Q1，其中 Q1 是第一四分位數，Q3 是第三四分位數。

計算 Q1：
Q1 的位置為 $(n+1)/4 = (16+1)/4 = 17/4 = 4.25$。
表示 Q1 位於第 4 個值與第 5 個值之間，且距離第 4 個值 0.25。
第 4 個值是 66，第 5 個值是 67。
$Q1 = 66 + 0.25 * (67 - 66) = 66 + 0.25 * 1 = 66.25$

計算 Q3：
Q3 的位置為 $3(n+1)/4 = 3(16+1)/4 = 51/4 = 12.75$。
表示 Q3 位於第 12 個值與第 13 個值之間，且距離第 12 個值 0.75。
第 12 個值是 76，第 13 個值是 76。
$Q3 = 76 + 0.75 * (76 - 76) = 76 + 0.75 * 0 = 76$

四分位距 $IQR = Q3 - Q1 = 76 - 66.25 = 9.75$。

步驟二：計算樣本標準差

樣本標準差的公式為 $s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$，其中 $\bar{x}$ 是樣本均值。

計算樣本均值 $\bar{x}$：
$\bar{x} = \frac{63+64+66+66+67+72+74+74+75+75+75+76+76+78+79}{16}$
$\bar{x} = \frac{1170}{16} = 73.125$

本題考查常態分佈母體的信賴區間估計。

已知資訊：
樣本大小 $n=60$
樣本均值 $\bar{x} = 37.2$
樣本標準差 $s = 4.3$
信賴水準為 95%

a) 請計算母體均值 $\mu$ 的 95% 信賴區間。

由於樣本大小 $n=60 \ge 30$，且我們有樣本標準差，我們可以使用 Z 分配來建構信賴區間。

信賴區間的公式為：$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

首先，計算 $\alpha$ 和 $z_{\alpha/2}$：
信賴水準為 95%，所以 $1 - \alpha = 0.95$，則 $\alpha = 0.05$。
$\alpha/2 = 0.025$。
查閱標準常態分配表（Z-table），找到 $P(Z \le z) = 1 - 0.025 = 0.975$ 的 $z$ 值，即 $z_{0.025} = 1.96$。

接著，計算標準誤 (Standard Error, SE)：
$SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4.3}{\sqrt{60}} \approx \frac{4.3}{7.746} \approx 0.5551$

計算信賴區間的邊際誤差 (Margin of Error, ME)：
$ME = z_{\alpha/2} \times SE = 1.96 \times 0.5551 \approx 1.0880$

計算 95% 信賴區間：
信賴區間 = $\bar{x} \pm ME = 37.2 \pm 1.0880$
信賴區間下限 = $37.2 - 1.0880 = 36.1120$
信賴區間上限 = $37.2 + 1.0880 = 38.2880$

因此，母體均值 $\mu$ 的 95% 信賴區間約為 $(36.112, 38.288)$。

b) 當你說信賴係數為 0.95 時，其涵義為何？

本題考查比例（proportion）的信賴區間估計。

已知資訊：
95% 信賴區間為 $(0.16, 0.44)$。

a) 統計學家的估計值 $p$ 是多少？

比例的信賴區間通常是對稱於樣本比例 $\hat{p}$。
信賴區間的計算公式為：$\hat{p} \pm ME$，其中 $ME$ 是邊際誤差。
因此，信賴區間的下限是 $\hat{p} - ME$，上限是 $\hat{p} + ME$。

我們有：
$\hat{p} - ME = 0.16$
$\hat{p} + ME = 0.44$

將這兩個方程式相加，可以得到 $2\hat{p} = 0.16 + 0.44 = 0.60$。
所以，$\hat{p} = \frac{0.60}{2} = 0.30$。

統計學家的估計值，也就是樣本比例 $\hat{p}$，是 0.30。

b) 統計學家使用了大約多少的樣本大小？

比例信賴區間的邊際誤差 (ME) 公式為：$ME = z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。

從 a) 部份我們知道：
$\hat{p} = 0.30$
信賴區間為 $(0.16, 0.44)$，所以 $ME = 0.44 - \hat{p} = 0.44 - 0.30 = 0.14$。
信賴水準是 95%，所以 $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$。

現在我們可以將這些值代入 ME 公式來求解 $n$：
$0.14 = 1.96 \times \sqrt{\frac{0.30(1-0.30)}{n}}$

本題考查簡單線性迴歸模型，包含參數估計、模型擬合優度檢定，以及殘差變異數的假設檢定。

已知資料：
共 10 對 $(X, Y)$ 資料。
迴歸模型：$Y = \alpha + \beta X + \epsilon$，其中 $E(\epsilon) = 0$ 且 $Var(\epsilon) = \sigma^2$。

資料如下：
X: 6, -3, 4, 3, -2, -4, 0, -1, -5, 2
Y: 10, 1, 8, 7, 1, 2, 5, 3, 2, 6

步驟一：計算必要的統計量

首先，我們需要計算 $\sum X, \sum Y, \sum X^2, \sum Y^2, \sum XY, \bar{X}, \bar{Y}$。
$n = 10$

$\sum X = 6 + (-3) + 4 + 3 + (-2) + (-4) + 0 + (-1) + (-5) + 2 = 0$
$\sum Y = 10 + 1 + 8 + 7 + 1 + 2 + 5 + 3 + 2 + 6 = 45$
$\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{0}{10} = 0$
$\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{45}{10} = 4.5$

$\sum X^2 = 6^2 + (-3)^2 + 4^2 + 3^2 + (-2)^2 + (-4)^2 + 0^2 + (-1)^2 + (-5)^2 + 2^2$
$= 36 + 9 + 16 + 9 + 4 + 16 + 0 + 1 + 25 + 4 = 120$

$\sum Y^2 = 10^2 + 1^2 + 8^2 + 7^2 + 1^2 + 2^2 + 5^2 + 3^2 + 2^2 + 6^2$
$= 100 + 1 + 64 + 49 + 1 + 4 + 25 + 9 + 4 + 36 = 293$

$\sum XY = (6 \times 10) + (-3 \times 1) + (4 \times 8) + (3 \times 7) + (-2 \times 1) + (-4 \times 2) + (0 \times 5) + (-1 \times 3) + (-5 \times 2) + (2 \times 6)$
$= 60 + (-3) + 32 + 21 + (-2) + (-8) + 0 + (-3) + (-10) + 12 = 93$

a) 計算 $\alpha$ 和 $\beta$ 的最小平方法點估計量。

最小平方法估計量公式：
$\hat{\beta} = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2}$
$\hat{\alpha} = \bar{Y} - \hat{\beta}\bar{X}$

代入計算：
$\hat{\beta} = \frac{10(93) - (0)(45)}{10(120) - (0)^2} = \frac{930 - 0}{1200 - 0} = \frac{930}{1200} = \frac{93}{120} = \frac{31}{40} = 0.775$

由於 $\bar{X} = 0$，計算 $\hat{\alpha}$ 變得非常簡單：
$\hat{\alpha} = \bar{Y} - \hat{\beta}\bar{X} = 4.5 - (0.775)(0) = 4.5$

因此，$\hat{\alpha} = 4.5$ 且 $\hat{\beta} = 0.775$。
迴歸直線方程式為 $\hat{Y} = 4.5 + 0.775X$。

b) 計算判定係數 (Coefficient of Determination)。

判定係數 $R^2$ 表示自變數 $X$ 解釋了應變數 $Y$ 變異的比例。
$R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$

其中：
$SST = \sum (Y_i - \bar{Y})^2 = \sum Y^2 - n\bar{Y}^2 = 293 - 10(4.5)^2 = 293 - 10(20.25) = 293 - 202.5 = 90.5$
$SSR = \sum (\hat{Y}_i - \bar{Y})^2$
$SSE = \sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2 = \sum \epsilon_i^2$

我們也可以使用以下公式計算 $R^2$：
$R^2 = \frac{(\sum XY - n\bar{X}\bar{Y})^2}{(\sum X^2 - n\bar{X}^2)(\sum Y^2 - n\bar{Y}^2)}$
由於 $\bar{X} = 0$，此公式簡化為：
$R^2 = \frac{(\sum XY)^2}{(\sum X^2)(\sum Y^2 - n\bar{Y}^2)}$
$R^2 = \frac{(93)^2}{(120)(90.5)} = \frac{8649}{10860} \approx 0.7964$

本題考查超幾何分配（Hypergeometric Distribution）的應用。

情境設定：
總申請者人數 $N = 10$
男性申請者人數 $K = 6$
女性申請者人數 $N-K = 4$
雇主隨機選取 $n = 3$ 位新員工。
令 $X$ 為錄取女性員工的數量。

a) 計算 $X$ 的期望值 (Mean) 和變異數 (Variance)。

$X$ 服從超幾何分配，參數為 $N=10$, $K=4$, $n=3$。
超幾何分配的期望值公式為：$E(X) = n \frac{K}{N}$
超幾何分配的變異數公式為：$Var(X) = n \frac{K}{N} \frac{N-K}{N} \frac{N-n}{N-1}$

計算期望值 $E(X)$：
$E(X) = 3 \times \frac{4}{10} = 3 \times 0.4 = 1.2$

計算變異數 $Var(X)$：
$Var(X) = 3 \times \frac{4}{10} \times \frac{10-4}{10} \times \frac{10-3}{10-1}$
$Var(X) = 3 \times \frac{4}{10} \times \frac{6}{10} \times \frac{7}{9}$
$Var(X) = 3 \times 0.4 \times 0.6 \times \frac{7}{9}$
$Var(X) = 1.2 \times 0.6 \times \frac{7}{9}$
$Var(X) = 0.72 \times \frac{7}{9} = \frac{0.72 \times 7}{9} = \frac{5.04}{9} = 0.56$

b) 計算沒有女性被錄取的機率。

「沒有女性被錄取」意味著錄取的 3 位員工都是男性。
這相當於從 6 位男性申請者中選出 3 位，且從 4 位女性申請者中選出 0 位。

本題考查兩個獨立樣本的平均數比較，即獨立樣本 t 檢定 (Independent Samples t-test)。

情境設定：
我們要比較單身族群 (Group 1) 和已婚族群 (Group 2) 的每週平均駕駛里程。

已知資訊：
單身族群 (Group 1):
樣本大小 $n_1 = 55$
樣本均值 $\bar{x}_1 = 79$ miles
樣本標準差 $s_1 = 16$ miles

已婚族群 (Group 2):
樣本大小 $n_2 = 70$
樣本均值 $\bar{x}_2 = 67$ miles
樣本標準差 $s_2 = 8$ miles

顯著水準 $\alpha = 0.01$

問題： 單身族群是否比已婚族群開更多的車程？

步驟一：建立假設
我們要檢定的是單身族群的平均里程是否大於已婚族群的平均里程。這是一個單尾檢定。
虛無假設 $H_0: \mu_1 \le \mu_2$ (單身族群的平均里程不超過已婚族群)
對立假設 $H_1: \mu_1 > \mu_2$ (單身族群的平均里程大於已婚族群)

也可以寫成：
$H_0: \mu_1 - \mu_2 \le 0$
$H_1: \mu_1 - \mu_2 > 0$

步驟二：選擇檢定統計量
由於我們有兩個獨立樣本，並且樣本大小都足夠大 ($n_1=55 \ge 30, n_2=70 \ge 30$)，我們可以使用 Z 檢定。
檢定統計量為：$Z = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)_0}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$
在 $H_0$ 下，$(\mu_1 - \mu_2)_0 = 0$。

步驟三：計算檢定統計量
首先，計算標準誤的分母：
$\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} = \sqrt{\frac{16^2}{55} + \frac{8^2}{70}}$
$= \sqrt{\frac{256}{55} + \frac{64}{70}}$
$= \sqrt{4.6545 + 0.9143}$
$= \sqrt{5.5688} \approx 2.3598$