112 年 國立臺北大學不動產與城鄉環境學系碩士班《測量學及地理資訊系統概論》

核心觀念

本題考查測圖時，地球曲率造成的偏差是否大於圖上容許精度。比例尺為 $1/1000$，表示圖上 $1$ 單位代表實地 $1000$ 個相同單位；圖上精度門檻為 $0.1\,\mathrm{mm}$，換算成實地偏差為：

$$0.1\,\mathrm{mm}\times 1000=100\,\mathrm{mm}=0.1\,\mathrm{m}$$

題目提供的曲率公式為 $\frac{S^2}{2R}$，用來估算水平距離 $S$ 上的地球曲率偏差。

解題方法

從原卷可讀到本題給定比例尺 $1/1000$、圖上精度門檻 $0.1\,\mathrm{mm}$，並假設地球為半徑 $R=6374\,\mathrm{km}$ 的正球體。將曲率偏差設為換算後的實地精度門檻，求出地球曲率開始超出圖上精度時的距離：

$$\frac{S^2}{2R}=0.1\,\mathrm{m}$$

將 $R=6374\,\mathrm{km}=6{,}374{,}000\,\mathrm{m}$ 代入：

【核心觀念】

導線測量以連續觀測的角度與邊長計算各點座標。測角誤差會使邊的方向偏轉，造成橫向位置誤差；測距誤差則直接造成沿邊方向的位置誤差。若其中一種觀測的精度遠低於另一種，整體成果便主要受較差的一項控制。

長度為 $s$ 的邊，若測角標準誤差為 $m_\theta$（以弧度表示），其造成的位置誤差量級約為：

$$e_\theta\approx s\,m_\theta$$

測距標準誤差記為 $m_s$。要使兩種誤差的影響量級相近，應使：

$$s\,m_\theta\approx m_s \qquad\Longleftrightarrow\qquad m_\theta\approx\frac{m_s}{s}$$

也就是測角精度應與測距的相對精度相當。

【解題方法】

依邊長與測距精度換算相應的測角精度。舉例而言，若邊長為 $1{,}000\text{ m}$，測距標準誤差為 $0.20\text{ m}$，則相對測距誤差為 $1:5{,}000$。相應的測角標準誤差為：

$$m_\theta\approx\frac{0.20}{1{,}000} =0.0002\text{ rad} \approx41.3''$$

因此，這個例子中測距精度約為 $1:5{,}000$ 時，測角標準誤差約 $41''$，兩者對位置成果造成的誤差量級相近。

實務上依導線邊長與成果精度要求選擇儀器及觀測方法，並安排適當的測角測回數與測距作業。邊長不同時，應分別比較各邊的測距誤差與測角誤差所造成的位置誤差。導線整體誤差也會受邊數、角度配置與誤差累積影響，正式平差時應依觀測精度進行誤差傳播與檢核。

【導線成果的正確性檢查】

一、角度閉合檢查

若量測的是 $n$ 邊多邊形的內角，理論內角和為：

核心觀念

衛星定位測量以接收衛星訊號的觀測量計算測站位置。外業成果會受到衛星與大氣造成的訊號誤差、衛星幾何分布、接收設備，以及現場觀測作業影響。常見誤差包括衛星軌道與時鐘誤差、大氣延遲、多路徑效應和接收儀器雜訊；實際成果也與觀測時間、天線架設及資料品質有關。

解題方法

作答時可依誤差來源分類，逐項說明其如何影響定位成果：

1. 衛星端因素

   • 衛星軌道誤差：衛星位置資料不準確，會使測站位置計算產生偏差。
   • 衛星時鐘誤差：衛星發射訊號的時間偏差會影響距離觀測量。
   • 衛星數量與幾何分布：可用衛星數量不足，或衛星集中在天空某一方向，會降低定位可靠度。衛星幾何分布可用精度因子（DOP）描述；DOP 越大，觀測誤差對坐標成果的影響通常越大。

2. 訊號傳播因素

   • 電離層延遲：訊號通過電離層時速度改變，造成觀測距離誤差。
   • 對流層延遲：溫度、氣壓及水氣會影響訊號傳播，形成距離誤差。
   • 多路徑效應：訊號經地面、建物或其他物體反射後再進入天線，與直達訊號疊加，造成觀測值偏差。

3. 接收設備與天線因素

   • 接收儀器的測距雜訊、天線相位中心變化及設備品質會影響觀測精度。
   • 天線對中、整平或天線高量測錯誤，會直接造成測站坐標或高程偏差；

核心觀念

本題考查 GNSS 相對定位中的觀測值差分。兩台接收儀在同一時刻觀測相同衛星時，會受到許多相同或高度相關的誤差影響。將觀測值相減，可消去部分共同誤差，降低待估參數的複雜度，提升相對定位的解算品質。常見差分依序為單差、雙差、三差；其中單差通常取兩接收儀對同一衛星的觀測差，雙差再對兩顆衛星取差，三差則對不同時刻的雙差取差。ESA Navipedia：差分觀測值定義

以接收儀 $r$ 觀測衛星 $s$ 的載波相位觀測值（以距離表示）為例，可簡化寫成：

$$L_r^s=\rho_r^s+c(\delta t_r-\delta t^s)+T_r^s-I_r^s+\lambda N_r^s+\varepsilon_r^s$$

其中，$\rho$ 為幾何距離，$\delta t_r$ 與 $\delta t^s$ 分別為接收儀鐘差與衛星鐘差，$T$、$I$ 分別為對流層與電離層延遲，$\lambda$ 為載波波長，$N$ 為整數週波模糊度，$\varepsilon$ 為量測雜訊及其他未模型化誤差。偽距觀測值也有類似的鐘差與大氣延遲項，但不含載波相位的整數模糊度。

解題方法

依序追蹤差分的方向，就能判斷各類差分消除了哪些誤差。設兩台接收儀為 $A$、$B$，兩顆衛星為 $s$、$q$。

1. 單差：接收儀間差分

同一時刻，以兩台接收儀對同一顆衛星的觀測值相減：

$$\Delta L_{AB}^{s}=L_B^s-L_A^s$$

因兩接收儀觀測的是同一衛星，衛星鐘差項 $c\delta t^s$ 相消。兩接收儀距離較近時，衛星軌道誤差與大氣延遲等誤差具有較高相關性，差分後也會大幅減弱。接收儀鐘差仍保留為 $c(\delta t_B-\delta t_A)$。

2. 雙差：接收儀間單差，再作衛星間差分

將兩顆衛星各自形成的單差再相減：

$$\nabla\Delta L_{AB}^{sq} =\Delta L_{AB}^{s}-\Delta L_{AB}^{q}$$

核心觀念

地籍測量的「放樣」，是將設計圖或計算所得的界址點位置，依測量成果在現場標定出來。數值法戶地測量以光線法為主，必要時可依現場條件採直線截點法等方法。(地籍測量實施規則、數值法地籍圖重測作業手冊)

• 光線法：在已知測站架設儀器，定向後，依各待放樣點的方向與距離，從測站沿一道道視線把點標定出來。它以「角度或方位角＋距離」決定點位，等同以極座標放樣。
• 直線截點法：先精確測定一條直線兩端點，再沿線量取相鄰界址點的距離，以各段距離在直線上截定中間點。適合多個界址點位於同一直線上的情形；量測各段距離總和與兩端點坐標反算的直線長度後，可按比例配賦差值作檢核與改正。(數值法地籍圖重測作業手冊)

道路圓弧轉角的幾何設計

假設十字路口兩側道路邊線互相垂直，圓弧轉角與兩邊線相切，設圓弧半徑為 $R$。令兩條道路邊線的理論交點為 $P$，兩切點為 $T_1、T_2$，圓心為 $O$。

直角轉角的幾何關係為：

$$PT_1=PT_2=R$$ $$PO=R\sqrt{2}$$ $$\angle T_1OT_2=90^\circ$$

例如令 $P=(0,0)$，兩條道路邊線分別為 $x$ 軸與 $y$ 軸，則可取圓心 $O=(R,R)$，切點為 $T_1=(0,R)$、$T_2=(R,0)$。圓弧上任一點 $Q$ 均滿足：

$$(x_Q-R)^2+(y_Q-R)^2=R^2$$

實際放樣前，先由道路設計資料確認圓弧半徑、切點位置與座標系方向；若道路邊線不是直角，則須依實際交角計算切線長及圓心位置。

解題方法：以光線法放樣圓弧

1. 計算圓弧分點：依現場需要將 $90^\circ$ 圓弧分成 $n$ 等分，每一段圓心角為 $\Delta\theta=90^\circ/n$。由圓心 $O$ 與半徑 $R$，計算各分點坐標；以 $P=(0,0)$ 的設定為例，分點可寫成 $$Q_i=\bigl(R+R\cos\theta_i,\ R+R\sin\theta_i\bigr)$$ 其中角度 $\theta_i$ 由 $180^\circ$ 至 $270^\circ$ 依序取值，兩端分別為切點。

核心觀念

相對重力測量是以相對重力儀測定兩點間的重力差，再以已知重力值的基準站為起算點，推算其他測站的重力值。它的觀測重點是「重力差」，不是直接量得絕對重力值；因此測區必須連結已知重力基準，並控制儀器漂移與潮汐等影響。

大地起伏 $N$ 是大地水準面相對參考橢球面的高程差，常用符號約定為

$$N = h - H$$

其中 $h$ 為橢球高，$H$ 為正高。由重力求大地起伏，基本關係是先由重力異常求擾動位，再依布倫斯公式換算：

$$N = \frac{T}{\gamma}$$

其中 $T$ 為擾動位，$\gamma$ 為正常重力。實務上常以史托克斯公式（Stokes formula）由重力異常直接計算大地起伏。

相對重力測量的施測方法

1. 建立測線與基準站
   選定穩固、易重複占測的基準站，並取得其已知重力值。測站宜形成閉合環線，方便檢核觀測成果。

2. 以相對重力儀觀測測站
   依規定整平儀器，待讀數穩定後記錄讀值、時間與測站資訊。相鄰測站間的重力差，可由儀器讀值差乘以儀器校正係數求得；實際作業常採往返或重複觀測，以降低偶然誤差。

3. 連接基準站並計算重力值
   觀測路線應由基準站出發，完成測區觀測後再回到基準站，形成閉合環線。設從測站 $A$ 到測站 $B$ 的已校正重力差為 $\Delta g_{AB}$，則

   $$g_B = g_A + \Delta g_{AB}$$

   沿測線逐站累加，即可求得各站相對於基準站的重力值。閉合環線的重力差總和理論上應為零；實際閉合差須檢核，並依規範分配或重測。

4. 套用必要改正
   將觀測讀值換算成重力差時，須改正儀器漂移、地球潮汐及儀器校正係數等影響；需要高精度時，還須考慮極移、氣壓或海潮負荷等改正。各改正項的正負號依採用的儀器與資料處理規範一致處理。

施測注意事項

• **儀器漂移：**彈簧式相對重力儀的零點會隨時間改變。以基準站重複觀測可估計漂移，再依時間改正各站讀值。
• **地球潮汐：**日月引力會使重力隨時間變化。需記錄觀測時間並套用潮汐改正，避免把潮汐變化誤認為測站間的重力差。
• **儀器校正：**儀器讀值須使用適當的校正係數換算；儀器運送、碰撞或溫度變化後，應確認校正狀況。
• **架設與環境：**測站地面應穩固，儀器須整平並避免震動、日曬、溫度劇變與強風。每站均應留存時間、讀值、儀器及測站紀錄。
• **閉合檢核：**觀測路線須連回基準站或另一已知站，檢查環線閉合差。閉合差過大時，應查明讀值、改正、站名或測線紀錄錯誤。
• **高程與位置：**計算大地起伏時，重力資料須有足夠的位置與高程資訊，才能將地面重力歸算至適合套用史托克斯公式的基準面。

由重力成果計算大地起伏

1. 整理重力異常

相對重力成果先連結到已知重力基準，再結合測站位置、高程及正常重力資料，計算重力異常。史托克斯公式所需的是大地水準面上的重力異常；地面觀測值須先作高程歸算及必要改正，才能形成適用的重力異常資料。

核心觀念

本題考測量誤差傳播中的相關係數。若兩個量由相同的觀測量推導而來，須先用一階誤差傳播計算各自的變異數及兩者的共變異數，再求相關係數：

$$\rho_{A,S}=\frac{\operatorname{Cov}(A,S)}{\sigma_A\sigma_S}$$

將題目的 $\pm$ 值視為標準不確定度，並採用一階誤差傳播。

解題方法

已知

$$\sigma_L=0.02,\qquad \sigma_W=0.01,\qquad \operatorname{Cov}(L,W)=\rho_{L,W}\sigma_L\sigma_W =0.3(0.02)(0.01)=0.00006$$

面積與斜對角線分別為

$$A=LW,\qquad S=\sqrt{L^2+W^2}=\sqrt{136}\approx 11.6619\ \mathrm{m}$$

一階誤差傳播所需的偏導數為

$$\frac{\partial A}{\partial L}=W=6,\qquad \frac{\partial A}{\partial W}=L=10$$ $$\frac{\partial S}{\partial L}=\frac{L}{S},\qquad \frac{\partial S}{\partial W}=\frac{W}{S}$$

1. 計算面積的變異數

$$\sigma_A^2 =W^2\sigma_L^2+L^2\sigma_W^2 +2LW\operatorname{Cov}(L,W)$$ $$\sigma_A^2 =6^2(0.02)^2+10^2(0.01)^2 +2(10)(6)(0.00006) =0.0316$$

2. 計算斜對角線的變異數

核心觀念

本題考查地理屬性資料的四種測量尺度。判斷時依序確認資料是否有分類、順序、等距及絕對零點：

資料尺度	分類	有順序	間距相等	有絕對零點
名目性	是	否	否	否
排序性	是	是	否	否
間隔性	是	是	是	否
比例性	是	是	是	是

尺度愈高，可進行的數值運算通常愈多。要特別注意：資料以數字表示，不代表它就具有間隔或比例尺度；應看數值是否具有實際的大小與運算意義。

解題方法

逐類說明資料的分類與比較能力，再舉出地理資訊系統中的屬性例子，並指出適合的統計或比較方式。

一、名目性資料

名目性資料用來區分類別，各類別之間沒有大小或先後次序。即使以數字編碼，也只是標籤，不能作大小比較或進行有意義的加減運算。

**例子：**土地使用類別，如住宅區、商業區、工業區；行政區代碼，如臺北市、新北市、桃園市。

**適用情況：**適合做分類統計，例如計算各土地使用類別的筆數或面積，並以眾數表示最常見類別。

二、排序性資料

排序性資料除能分類外，還能表示高低或先後；但相鄰等級之間的差距不一定相等，因此不能把等級差當作固定數值差距。

**例子：**淹水風險等級，如低、中、高；土地適宜性等級，如不適宜、普通、適宜。

**適用情況：**適合做等級排序、比較高低，或以中位數、百分位數描述資料。若將「低、中、高」編成 $1、2、3$，不能據此認定「高」比「中」多一個固定單位的風險。

核心觀念

本題考查兩件事：如何由原始測量資料產製數值高程模型（DEM），以及 DEM 與不規則三角網（TIN）在資料結構上的差異。

DEM 是以數值表示地表高程的模型。常見的 DEM 採用規則網格：在固定間距的格網節點記錄高程，每個節點的位置可由起始座標、格網間距與列行索引決定。TIN 則以分布不規則的平面座標點及其高程構成三角形網格，每個三角形內以平面表示地形。

以下以航空攝影測量產製 DEM 為例。須留意，立體影像匹配取得的高程常同時包含樹木、建物等地表物體，形成數值表面模型（DSM）；若要產製代表裸露地面的地形 DEM，還需進行地面點分類與濾除地物。

解題方法：以航空攝影測量產製 DEM

航空攝影測量利用具重疊範圍的航空照片，從同一地物在不同照片中的位置差異求得其三維座標與高程。完整流程如下。

1. 規劃航攝與取得影像
   規劃航線，使相鄰照片具有足夠的前向重疊與旁向重疊，讓同一地區能在不同攝影位置被拍攝。同步取得相機校正資料、航攝位置與姿態等資料，以利後續幾何解算。

2. 影像定向與建立立體模型
   先利用控制點、相機參數及影像上的同名點進行空中三角測量，求得照片的內方位與外方位參數，將各張照片納入統一的地面座標系統。再由重疊影像建立立體模型，使同一地物能在立體觀測或影像匹配中定位。

3. 匹配同名點並求取三維位置
   在重疊照片中尋找同一地物的影像位置，稱為同名點匹配。對近似垂直攝影的立體像對，可用視差與高程的關係說明基本原理：

   $$p \approx \frac{fB}{H-h}$$

   其中，$p$ 為像片上的立體視差，$f$ 為相機焦距，$B$ 為攝影基線長，$H$ 為攝影站相對於高程基準面的高度，$h$ 為地面點高程。整理可得：

   $$h \approx H-\frac{fB}{p}$$

   因此，已知攝影幾何條件並量得視差後，即可推算地面點高程。實務上會使用攝影測量軟體，以多張影像進行密集影像匹配，產生大量三維點或點雲。

4. 點雲檢核與地面點分類
   移除匹配錯誤、離群點與重複點，並檢查接縫、遮蔽區及影像品質不佳處。若成果要表示裸露地面，需將點雲分類為地面點與非地面點，濾除建物、樹冠等地物；未經此步驟的高程資料通常表示地表表面，而非裸地地形。

5. 內插為規則網格並輸出 DEM
   將已檢核的高程點轉換為規則格網。對沒有實測點落入的格網節點，可用鄰近點內插高程。例如，若格網節點位於四個鄰近網格點之間，可採用雙線性內插。

核心觀念

空間自相關是指某一地點的屬性值，與鄰近地點的屬性值是否具有系統性關聯。若鄰近地區的數值傾向相似，稱為正空間自相關；若鄰近地區傾向一高一低，稱為負空間自相關；若觀察到的空間排列與隨機情況沒有顯著差異，則稱為空間自相關不顯著。這個概念呼應地理學第一定律：距離近的事物通常比距離遠的事物更相關。ITC 空間統計教材

計算前須先界定「鄰近」關係，通常以空間權重矩陣 $W=[w_{ij}]$ 表示。例如，兩區共邊或共點時令 $w_{ij}=1$，否則為 $0$；也可依距離設定權重。權重的選擇會影響統計結果，因此須配合資料特性與研究尺度。FAO 空間分析教材

常見指標

1. 全域莫蘭指數（Global Moran’s $I$）

衡量整體研究區的空間自相關程度。令 $x_i$ 為第 $i$ 個空間單元的觀測值，$\bar{x}$ 為平均值，$n$ 為單元數，$w_{ij}$ 為空間權重，且 $S_0=\sum_i\sum_j w_{ij}$，則：

$$I=\frac{n}{S_0} \frac{\sum_i\sum_j w_{ij}(x_i-\bar{x})(x_j-\bar{x})} {\sum_i(x_i-\bar{x})^2}$$

$I$ 為正且達統計顯著，表示相似值傾向相鄰；$I$ 為負且顯著，表示高低值傾向交錯；不顯著則表示沒有足夠證據判定整體存在空間自相關。隨機化假設下，$I$ 的期望值為 $-1/(n-1)$，因此不能只看 $I$ 是否大於或小於零，還須檢定顯著性。

2. 蓋瑞指數（Geary’s $C$）

以鄰近單元之間的差平方衡量空間差異：

$$C=\frac{(n-1)}{2S_0} \frac{\sum_i\sum_j w_{ij}(x_i-x_j)^2} {\sum_i(x_i-\bar{x})^2}$$

$C$ 接近 $1$ 表示沒有顯著空間自相關；$C<1$ 傾向正空間自相關；$C>1$ 傾向負空間自相關。由於公式直接比較鄰區差異，$C$ 對局部鄰近差異較敏感。莫蘭指數與蓋瑞指數是常用的全域指標。ITC 空間統計教材

3. Getis–Ord 指數（全域 $G$ 與局部 $G_i^*$）

全域 Getis–Ord $G$ 用來檢視高值或低值是否在整體範圍內聚集；局部 $G_i^*$ 則逐一評估各地點周遭的高低值聚集程度，常用於標示熱點與冷點。$G_i^*$ 的顯著正值通常代表高值熱點，顯著負值通常代表低值冷點。

核心觀念

GeoAI 是將地理空間資料與人工智慧方法結合，用來辨識空間中的型態、預測地理現象，並支援空間分析與決策。遙測影像具有地理位置與多波段光譜資訊，可作為 GeoAI 的空間資料來源。

每個像元可用其多波段反射值表示為特徵向量 $\mathbf{x}$，模型則依據訓練資料學習分類或預測函數：

$$\hat{y}=f_{\theta}(\mathbf{x})$$

其中 $\hat{y}$ 是模型預測結果，$f_{\theta}$ 是由參數 $\theta$ 決定的人工智慧模型。若分析對象是影像中的區域或物件，則可利用語意分割或物件偵測模型判釋其位置與範圍。

遙測影像常見的植生指標為正規化差異植生指標（NDVI）：

$$\mathrm{NDVI}=\frac{\mathrm{NIR}-\mathrm{Red}}{\mathrm{NIR}+\mathrm{Red}}$$

其中 $\mathrm{NIR}$ 為近紅外光波段，$\mathrm{Red}$ 為紅光波段。NDVI 可作為模型特徵，協助辨識植生狀態。

解題方法

作答時可依「影像資料、人工智慧判釋、空間分析、應用成果」的順序說明：

1. 取得並處理遙測影像：選用衛星或航空影像，進行幾何校正、雲影處理、影像配準及必要的波段或指標計算，使影像可與其他空間資料套疊。
2. 建立訓練資料與模型：依研究目的標註土地覆蓋類別、災害範圍或地物位置，使用分類、語意分割、物件偵測等方法訓練模型。
3. 產生地理空間成果：將模型輸出轉為具有座標的分類圖、地物圖層或連續數值圖，並在地理資訊系統中進行面積統計、圖層套疊、變遷分析或空間分布分析。