108 年 國立臺灣大學地理環資系碩士班丙組《計量地理學》

本題主要在釐清三個核心概念的定義與區別：相關、空間相關、以及空間自相關。

相關 (Correlation)：
相關是指兩個變數之間線性關係的強度與方向。它衡量當一個變數改變時，另一個變數平均會如何改變。相關係數（通常用 $r$ 表示）的值介於 -1 到 +1 之間。

• $r = +1$ 表示完全正相關。
• $r = -1$ 表示完全負相關。
• $r = 0$ 表示沒有線性相關。

空間相關 (Spatial Correlation)：
空間相關是指地理空間上相鄰或靠近的地理事物（或屬性）之間存在關聯性的現象。也就是說，一個位置的屬性值與其鄰近位置的屬性值之間可能有關聯。這種關聯性可以為正（相鄰相似）或負（相鄰相異），但它不必然是統計上顯著的，也可能僅是空間配置上的巧合。

空間自相關 (Spatial Autocorrelation)：
空間自相關是指地理空間上，某一屬性值與其自身在空間上的鄰近位置的屬性值之間的關聯性。它是一種統計檢定，用來判斷空間上的聚集（clustering）或分散（dispersion）現象是否顯著。

本題要求評估圖 1 中藍鵲分佈研究的空間分析流程是否適當。首先需要理解圖 1 所描繪的流程，並結合計量地理學的相關知識來進行判斷。

圖 1 流程分析：
圖 1 顯示了研究藍鵲分佈的流程，大致可分為以下幾個步驟：

1. 數據收集與輸入：可能包含藍鵲出現的地點（點狀數據）以及相關的環境變數（如地形、植被等，可能是面狀或線狀數據）。
2. 空間插值 (Kriging Interpolation)：使用 Kriging 方法對藍鵲出現的點數據進行插值，以估計藍鵲在未觀測區域的出現機率或密度。
3. 空間分佈型態分析 (Spatial Pattern Analysis)：利用插值結果來分析藍鵲在空間上的分佈型態。

評估流程的適當性：

適當之處：

• 運用空間插值技術：Kriging 是一種常用的地統計學方法，能夠考慮空間自相關性來進行插值，對於估計連續性空間變數（如預測的藍鵲密度或出現機率）是適當的。它可以提供比單純的內插法（如反距離加權法 IDW）更優良的估計，並能提供估計的變異性（標準差）。
• 考量空間關聯性：Kriging 方法本身就內建了對空間自相關性的假設，這對於分析地理現象（如物種分佈）是重要的。
• 分析分佈型態：研究物種的分佈型態是生態學和地理學中常見的研究目標。

可能不適當或可改進之處：

• 流程過於簡化：圖 1 的流程圖相對簡略，未能包含許多重要的空間分析步驟。
  • 數據前處理：未提及對原始觀測點數據的品質檢查、空間篩選、或考慮觀測偏差（如觀測者偏好、可見度偏差等）。
  • 環境變數的整合：通常物種分佈會受到多種環境因子（如海拔、坡度、植被類型、土地利用、氣候因子等）的影響。圖 1 並未明確顯示如何將這些環境因子納入分析。單純的 Kriging 插值僅基於觀測點的位置，忽略了影響藍鵲分佈的潛在環境驅動因子。

本題要求利用 X、Y 座標的敘述統計量（平均數、標準差）來描述和區分圖 2 中兩個地區的地物空間分佈型態。首先需要理解敘述統計量在空間分析中的含義，並結合圖 2 所呈現的視覺資訊進行判斷。

核心觀念：
敘述統計量（如平均數、標準差）可以量化數據的集中趨勢和離散程度。在空間分析中，將這些統計量應用於地物的 X、Y 座標，可以幫助我們量化其空間分布的特徵。

• 平均數 (Mean)：X 座標的平均數和 Y 座標的平均數可以指示地物群集的「中心位置」。
• 標準差 (Standard Deviation)：X 座標的標準差和 Y 座標的標準差可以指示地物群集在 X 和 Y 方向上的「分散程度」或「離散程度」。較大的標準差意味著地物在該方向上分布較為分散；較小的標準差意味著地物在該方向上分布較為集中。

分析圖 2 (假設圖 2 呈現兩種不同的空間分佈)：
假設圖 2 顯示了兩種不同的地物（例如點狀符號）在兩個不同區域（區域 A 和區域 B）的空間分布。我們需要想像這兩種分布可能的視覺特徵，並將其與敘述統計量連結。

情況一：區域 A 的地物分布

• 視覺觀察：假設區域 A 的地物看起來呈現一種「簇狀」（clustered）或「集中」的分布，可能聚集在某個區域。
• 預期統計量：
  • X 座標的平均數和 Y 座標的平均數會指示出這個聚集的中心。
  • X 座標和 Y 座標的標準差會相對較小，因為地物彼此靠近。

情況二：區域 B 的地物分布

• 視覺觀察：假設區域 B 的地物看起來呈現一種「分散」或「均勻」的分布。
• 預期統計量：
  • X 座標和 Y 座標的平均數會指示出整個區域的中心位置。
  • X 座標和 Y 座標的標準差會相對較大，因為地物在空間上散開。

如何運用統計量來描述與區別：

1. 計算統計量：

   • 對於區域 A 的所有地物點，分別計算其 X 座標的平均數 ($\bar{x}_A$)、標準差 ($s_{x,A}$)，以及 Y 座標的平均數 ($\bar{y}_A$)、標準差 ($s_{y,A}$)。
   • 對於區域 B 的所有地物點，分別計算其 X 座標的平均數 ($\bar{x}_B$)、標準差 ($s_{x,B}$)，以及 Y 座標的平均數 ($\bar{y}_B$)、標準差 ($s_{y,B}$)。

2. 描述空間分佈型態：

   • 集中（簇狀）分布：如果某區域的 X 和 Y 座標的標準差都很小，則表示該區域的地物呈現高度集中的空間分布。
   • 分散（均勻）分布：如果某區域的 X 和 Y 座標的標準差都很大，則表示該區域的地物呈現較為分散或均勻的空間分布。
   • 線性分布：如果某區域的 X 座標標準差很大，但 Y 座標標準差很小（或反之），則可能表示地物沿著一個方向（X 或 Y 軸）呈線性分布。

本題要求進行迴歸分析的假設檢定、信賴區間估計，並比較兩者結果。核心概念是線性迴歸中的顯著性檢定、參數估計與信賴區間。

核心觀念：

• 線性迴歸：模型假設因變數 $Y$ 與自變數 $X$ 之間存在線性關係，$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$，其中 $\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 是斜率，$\epsilon$ 是誤差項。
• 假設檢定 (Hypothesis Testing)：用於判斷自變數對因變數的影響是否統計上顯著。
• 信賴區間 (Confidence Interval)：用於估計迴歸係數的真實值範圍。

題目資訊：

• 因變數 (Dependent variable): price
• 自變數 (Independent variable): distance
• 迴歸模型：$price = \beta_0 + \beta_1 \cdot distance + \epsilon$
• 樣本數 $n = 92$
• 迴歸結果：
  • $\hat{\beta}_0$ (Intercept estimated coefficient) = 70.492, $SE(\hat{\beta}_0) = 9.436$
  • $\hat{\beta}_1$ (Distance estimated coefficient) = -0.829, $SE(\hat{\beta}_1) = 0.199$
• $R^2 = 0.156$, Adjusted $R^2 = 0.147$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$

附表 1：Critical values of t*

(1) 檢定「距捷運站距離」與「房屋交易單價」間的關係是否統計上顯著 (α=0.05)

檢定過程：

1. 建立虛無假設與對立假設：
   我們想檢定的是「距捷運站距離」對「房屋交易單價」是否有顯著影響，也就是檢定迴歸係數 $\beta_1$ 是否不為零。

   • 虛無假設 $H_0: \beta_1 = 0$ (距捷運站距離對房屋交易單價沒有線性影響)。
   • 對立假設 $H_1: \beta_1 \neq 0$ (距捷運站距離對房屋交易單價有線性影響)。
     這是一個雙尾檢定。

2. 選擇檢定統計量：
   由於我們是估計迴歸係數，並且樣本數 $n=92$ 較大，可以使用 t 檢定。檢定統計量為：
   $t = \frac{\hat{\beta}_1 - \beta_{1, H_0}}{SE(\hat{\beta}_1)}$
   其中 $\hat{\beta}_1$ 是估計的斜率，$\beta_{1, H_0}$ 是虛無假設下的斜率值（在此為 0），$SE(\hat{\beta}_1)$ 是斜率的標準誤。

3. 計算檢定統計量的值：
   $\hat{\beta}_1 = -0.829$
   $SE(\hat{\beta}_1) = 0.199$
   $t = \frac{-0.829 - 0}{0.199} = \frac{-0.829}{0.199} \approx -4.166$

4. 決定自由度 (df)：
   對於簡單線性迴歸 (一個自變數)，自由度為 $df = n - k - 1$，其中 $n$ 是樣本數，$k$ 是自變數的數量。
   $df = 92 - 1 - 1 = 90$

5. 決定臨界值：
   顯著水準 $\alpha = 0.05$，雙尾檢定。我們需要查閱 t 分配表，找到自由度 df=90 時，雙尾 $\alpha=0.05$ 的臨界值。
   在附表 1 中，當 df 趨近於無限大 (Infinite) 時，雙尾 $\alpha=0.05$ 的臨界值為 1.96。對於 df=90，這個值會非常接近 1.96。查表可知，df=90 時，雙尾 $\alpha=0.05$ 的臨界值約為 1.987 (實際查表或使用軟體會更精確，但此處可估計為約 1.96-1.99)。我們使用 1.987 作為臨界值。
   臨界區域為 $t < -1.987$ 或 $t > 1.987$。

6. 做出決策：
   我們計算出的 t 統計量為 $t \approx -4.166$。
   因為 $|-4.166| > 1.987$，即 $t < -1.987$，所以我們的檢定統計量落入了拒絕域。
   因此，我們拒絕虛無假設 $H_0$。

7. 結論：
   在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，有足夠的證據顯示，「距捷運站距離」與「房屋交易單價」之間存在統計上顯著的線性關係。具體來說，距離捷運站越遠，房屋交易單價越低（斜率為負）。

檢定過程總結：

• $H_0: \beta_1 = 0$ vs $H_1: \beta_1 \neq 0$
• $t = -4.166$
• $df = 90$

本題為典型的卡方檢定 (Chi-squared test) 應用題，第一題檢定兩個類別變數（區域與嚴重程度）之間是否有關聯性，第二題則進一步檢定單一區域內不同嚴重程度的分布是否均勻。

核心觀念：

• 卡方獨立性檢定 (Chi-squared Test of Independence)：用於檢定兩個類別變數之間是否存在統計上的關聯性。
• 卡方適合度檢定 (Chi-squared Goodness-of-Fit Test)：用於檢定一個類別變數的觀測頻率是否與預期的頻率（例如均勻分布）顯著不同。
• 觀察頻率 (Observed Frequency, $O$)：實際數據中各類別的計數。
• 期望頻率 (Expected Frequency, $E$)：在虛無假設成立的情況下，各類別應有的計數。
• 卡方統計量：$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

附表 2: Chi-square distribution

(1) 檢定「空氣污染日數的分布在不同區域間有沒有差異?」 (α=0.05)

這是要檢定「區域」與「污染嚴重程度」這兩個類別變數之間是否獨立。

• 虛無假設 $H_0$: 區域與空氣污染嚴重程度的分布是獨立的（即沒有差異）。
• 對立假設 $H_1$: 區域與空氣污染嚴重程度的分布是不獨立的（即有差異）。

檢定過程：

1. 計算期望頻率 (E)：
   在 $H_0$ 成立下，即區域與嚴重程度無關，各儲格的期望頻率 $E_{ij}$ 可由以下公式計算：
   $E_{ij} = \frac{(\text{Row i Total}) \times (\text{Column j Total})}{\text{Grand Total}}$
   其中 $i$ 代表區域（列），$j$ 代表嚴重程度（欄）。總樣本數 (Grand Total) = 300。

   • 北部 (Row 1)：
     • 稍微嚴重 ($E_{11}$): $(75 \times 93) / 300 = 23.25$
     • 嚴重 ($E_{12}$): $(75 \times 100) / 300 = 25.00$
     • 非常嚴重 ($E_{13}$): $(75 \times 107) / 300 = 26.75$
   • 中部 (Row 2)：
     • 稍微嚴重 ($E_{21}$): $(76 \times 93) / 300 = 23.72$
     • 嚴重 ($E_{22}$): $(76 \times 100) / 300 = 25.33$
     • 非常嚴重 ($E_{23}$): $(76 \times 107) / 300 = 27.28$
   • 南部 (Row 3)：
     • 稍微嚴重 ($E_{31}$): $(75 \times 93) / 300 = 23.25$
     • 嚴重 ($E_{32}$): $(75 \times 100) / 300 = 25.00$
     • 非常嚴重 ($E_{33}$): $(75 \times 107) / 300 = 26.75$
   • 東部 (Row 4)：
     • 稍微嚴重 ($E_{41}$): $(74 \times 93) / 300 = 22.78$
     • 嚴重 ($E_{42}$): $(74 \times 100) / 300 = 24.67$
     • 非常嚴重 ($E_{43}$): $(74 \times 107) / 300 = 26.55$

2. 計算卡方統計量 ($\chi^2$)：
   $\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

   區域	嚴重程度	O	E	O - E	(O - E)^2	(O - E)^2 / E
   北部	稍微嚴重	26	23.25	2.75	7.5625	0.325
   	嚴重	25	25.00	0.00	0.0000	0.000
   	非常嚴重	24	26.75	-2.75	7.5625	0.283
   中部	稍微嚴重	26	23.72	2.28	5.1984	0.219
   	嚴重	27	25.33	1.67	2.7889	0.110
   	非常嚴重	23	27.28	-4.28	18.3184	0.671
   南部	稍微嚴重	15	23.25	-8.25	68.0625	2.927
   	嚴重	23	25.00	-2.00	4.0000	0.160
   	非常嚴重	37	26.75	10.25	105.0625	3.928
   東部	稍微嚴重	26	22.78	3.22	10.3684	0.455
   	嚴重	25	24.67	0.33	0.1089	0.004
   	非常嚴重	23	26.55	-3.55	12.6025	0.475
   總計						9.955

   計算得到的卡方統計量 $\chi^2 \approx 9.955$。

3. 決定自由度 (df)：
   對於獨立性檢定，自由度為 $df = (\text{行數} - 1) \times (\text{欄數} - 1)$。
   行數（區域）= 4，欄數（嚴重程度）= 3。
   $df = (4 - 1) \times (3 - 1) = 3 \times 2 = 6$。

4. 決定臨界值：
   顯著水準 $\alpha = 0.05$。查附表 2 (Chi-square distribution)，在 df=6 下，p=0.05 的臨界值為 12.59。

5. 做出決策：
   我們計算出的卡方統計量 $\chi^2 \approx 9.955$。
   由於 $9.955 < 12.59$，我們的檢定統計量未落入拒絕域。
   因此，我們不拒絕虛無假設 $H_0$。

6. 結論：
   在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，沒有足夠的證據顯示，臺灣四個區域的空氣污染日數在「稍微嚴重」、「嚴重」、「非常嚴重」這三個嚴重程度的分布上存在顯著差異。換句話說，區域與污染嚴重程度的分布是獨立的。

核心觀念

這題要檢定的是：空氣污染日數在各嚴重程度類別中的比例分布，是否因區域不同而改變。這是類別資料的分布比較問題，適合使用卡方同質性檢定；若把每筆觀測視為「區域」與「嚴重程度」兩個類別變數，也可稱為卡方獨立性檢定。

令各區域為列、污染嚴重程度為欄，整理成列聯表。虛無假設與對立假設為：

解題方法

設有 $r$ 個區域、$c$ 種嚴重程度。記第 $i$ 區、第 $j$ 種嚴重程度的實際日數為 $O_{ij}$。在虛無假設成立時，該格的期望日數為：

計算卡方統計量：